高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)ch(3)課件

1、高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)ch(3)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的定義曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的定義曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件二元函數(shù)的全微分的求積二元函數(shù)的全微分的求積高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)ch(3)babaxFdxdxxdF)()(: 式式的的推推廣廣格格林林公公式式可可看看成成牛牛萊萊公公理理論論上上分分曲曲線線積積分分可可化化為為二二重重積積計(jì)計(jì)算算上上 :條條件件曲曲線線積積分分與與路路徑徑無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的應(yīng)應(yīng)用用上上:B(1,1)OAy=xxy1)2(210310222 xdxxxdyxxydxOB解解：110200222101022 dyxyxdxxdyxxydxABOA高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)ch(3)Gyxo

2、 1LQdyPdx則則稱稱曲曲線線積積分分 LQdyPdx在在G內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無(wú)無(wú)關(guān)關(guān), , 2LQdyPdx1L2LBA 否否則則與與路路徑徑有有關(guān)關(guān). .一、曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的定義一、曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的定義GLLBAGBAGyxQyxPG 21,),(),(, 的的任任意意兩兩條條曲曲線線及及從從點(diǎn)點(diǎn)給給定定的的對(duì)對(duì)有有連連續(xù)續(xù)的的一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,內(nèi)內(nèi)具具在在是是一一個(gè)個(gè)開開區(qū)區(qū)域域點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)定義定義高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)ch(3)為為任任一一條條封封閉閉曲曲線線內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)在在CQdyPdxGQdyPdxCL, 0 定理定理2,曲曲線線為為任任一一條條封封閉閉設(shè)設(shè)C證明證

3、明GyxoBAc2L1L 221LLL021 LL0, C即即BAC,上上任任取取兩兩點(diǎn)點(diǎn)在在高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)ch(3)GyxoBA2L1L021 CLL的任意兩條光滑曲線的任意兩條光滑曲線為從為從設(shè)設(shè)BALLGBA 2, 1, 21LL 21LL即即高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)ch(3) 設(shè)設(shè)開開區(qū)區(qū)域域G是是一一個(gè)個(gè)單單連連通通域域, , 函函數(shù)數(shù)),(),(yxQyxP在在G內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,則則曲曲線線積積分分 LQdyPdx在在G內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)（或或沿沿G內(nèi)內(nèi)任任意意閉閉曲曲線線的的曲曲線線積積分分為為零零）的的充充要要條條件件是是xQyP 在在G內(nèi)內(nèi)恒恒成成立立.

4、 .定理定理3 3二、曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件二、曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件.由由格格林林公公式式是是顯顯然然的的 證明證明高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)ch(3)xQyPGM 處處設(shè)設(shè)在在用用反反證證法法)(.02),0(/0 yPxQKMMMK上上恒恒有有在在02)( KdxdyyPxQQdyPdxxQyPGQdyPdxC 內(nèi)內(nèi)要要證證在在已已知知, 0, 0)(0 MyPxQ不不妨妨設(shè)設(shè)內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在GxQyP ,有有的正向邊界的正向邊界是是設(shè)設(shè),K !0相相矛矛盾盾的的面面積積與與為為 LQdyPdxK yPxQ 高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)ch(3)(1) 開開區(qū)區(qū)域域G是是一一個(gè)個(gè)單單連連通通域域.(2) 函函數(shù)數(shù)

5、),(),(yxQyxP在在G內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù).兩條件缺一不可兩條件缺一不可 CCyxCyxxdyydxI 21:2222如如注02),(441:12222 yxGLGyxyPxQyxG但但內(nèi)內(nèi)部部的的任任一一閉閉路路包包含含原原點(diǎn)點(diǎn)在在高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)ch(3).)2()(.)2, 1()0,0(的值的值且計(jì)算且計(jì)算面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)證明曲線積分在整個(gè)平證明曲線積分在整個(gè)平 dyyxedxxeyy.2與與路路徑徑無(wú)無(wú)關(guān)關(guān) xQeyPyxeQxePyyyM(1,2)(0,0)(1,0)xy 2010)2, 1()0 , 0()2()1()2()(dyyedxxdy

6、yxedxxeyyy272202102)1 (2 eyeyx例例1解解高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)ch(3)dyyfdxxfdzyxfz ),(:前前面面講講過過).,()2(;),()1(,),(),(:yxuyxudyyxQdxyxP如如何何求求出出的的全全微微分分它它是是某某一一函函數(shù)數(shù)在在什什么么條條件件下下已已知知反反過過來(lái)來(lái)的的問問題題 三、二元函數(shù)的全微分的求積三、二元函數(shù)的全微分的求積高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)ch(3) 設(shè)設(shè)開開區(qū)區(qū)域域G是是一一個(gè)個(gè)單單連連通通域域, , 函函數(shù)數(shù)),(),(yxQyxP在在G內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), , 則則dyyxQdxyxP),(),( 在在G內(nèi)內(nèi)

7、為為某某一一函函數(shù)數(shù)),(yxu的的全全微微分分的的充充要要條條件件是是等等式式xQyP 在在G內(nèi)內(nèi)恒恒成成立立. .定理定理4 4高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)ch(3).),(:),(:3,000內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的曲曲線線積積分分在在終終點(diǎn)點(diǎn)，起起點(diǎn)點(diǎn)由由定定理理內(nèi)內(nèi)有有設(shè)設(shè)在在單單連連通通區(qū)區(qū)域域GyxMyxMxQyPG xQyPxQyxuyPyxuyxQyuyxPxudyyxQdxyxPyxdu 22),(),(),(),(),(則則，設(shè)設(shè)證明證明高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)ch(3) ),(),(00),(),(),(),(yxyxLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP ),(),(0),(:),(.,

8、yxyxoQdyPdxyxuyxuyx記記為為的的函函數(shù)數(shù)是是起起點(diǎn)點(diǎn)固固定定時(shí)時(shí)),(),(:的的原原函函數(shù)數(shù)稱稱為為下下面面將將證證明明QdyPdxyxuQdyPdxyxdu ),(),(yxQyuyxPxu 即即高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)ch(3)yOxGM0(x0,y0)M(x,y)N(x+x,y)xyxuyxxuxux ),(),(lim0事實(shí)上，事實(shí)上，xyxyxMNyxyxxoo ),(),(),(),(000limxyxyxyxxyxxoo ),(),(),(),(000limxdxyxPxxxx ),(lim0),(),(lim0yxPxxyPx 高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)ch(3)xQyP 若若 ),

9、(),(00),(yxByxAQdyPdxyxu則則dyyxQdxyxPyyxx),(),(000 ),(0yxC ),(yxB xyo),(00yxA dxyxPdyyxQxxyy),(),(000 或或高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)ch(3).:22并并求求出出一一個(gè)個(gè)這這樣樣的的函函數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)的的全全微微分分是是某某個(gè)個(gè)面面內(nèi)內(nèi)在在整整個(gè)個(gè)驗(yàn)驗(yàn)證證ydyxdxxyxoy .22是是某某個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)的的全全微微分分ydyxdxxy 2202202020),()0 , 0(2000),(yxydyxydyxxydyxxdxyxuyyxBAAyx XB(x,y)A(x,0)yO(0,0)平面平面整個(gè)整個(gè)xoy

10、yxyQxyyPyxQxyP ),(222例例2解解高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)ch(3)例例 3 3 設(shè)設(shè)曲曲線線積積分分 Ldyxydxxy)(2與與路路徑徑無(wú)無(wú)關(guān)關(guān), 其其中中 具具有有連連續(xù)續(xù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), 且且0)0( , 計(jì)計(jì)算算 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy. 積分與路徑無(wú)關(guān)積分與路徑無(wú)關(guān)xQyP ，解解,2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP ),(),(xyyxQ 高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)ch(3)由由0)0( ，知知0 c 2)(xx .故故 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy由由xyxy2)( cxx 2)( 10100ydydx.21 高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)ch(3)小結(jié)小結(jié)與路徑無(wú)關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題與路徑無(wú)關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題條條件件在在單單連連通通開開區(qū)區(qū)