多圓盤上的Toeplitz算子_無界函數(shù)-論文網(wǎng)

1、多圓盤上的Toeplitz算子_無界函數(shù)-論文網(wǎng)論文摘要：受曹廣福教授和Josepha.Cima教授的文章的啟發(fā)，研究多圓盤上Bergman空間中具有無界符號的Toeplitz算子的有界性、緊性。論文關鍵詞：算子,無界函數(shù),空間一、引言記D是復平面內(nèi)的單位圓盤，T是單位圓周，對確定的正整數(shù)n，分別是n個D，T的笛卡爾積，不難證明是的Shilov邊界8，9，表示的拓撲邊界，本文所涉及的邊界問題只考慮Shilov邊界。表示Bergman空間，在上關于正規(guī)化的Lebesgue面積測度dA是平方可積的，且在上是解析的函數(shù)空間。對，用表示上以f為符號的Toeplitz算子，其定義如下：其中P表示上的正交

2、投影，此算子是稠密定義的。在1中，曹廣福教授在單位球上構(gòu)造了一類無界函數(shù)，使以之為符號的Toeplitz算子是緊的，并且，構(gòu)造了在單位球的每個邊界點的任意領域上的無界函數(shù)，以其為符號的Toeplitz算子是trace類算子。在2中Axler刻畫了D上的有界符號誘導出Toeplitz算子在Bergman空間上何時是緊的。在3中，Grudsky和Vasilevski證明了以徑向函數(shù)為符號的Toeplitz算子在上是有界（或緊）的，當且僅當序列。在5中Josepha.Cima研究了在單位圓盤上Bergman空間中以無界函數(shù)為符號的Toeplitz算子的緊性問題。二、有界性本部分在多圓盤上構(gòu)造滿足一定

3、增長條件的無界函數(shù).首先在的子域上構(gòu)造特定的類型使得這些無界函數(shù)在的正測度集上膨脹，但其相應的Toeplitz算子仍是有界的，或緊的。設“錐點”域其中m,b的值視研究的具體情況而定。對上的任意點，設是在旋轉(zhuǎn)，再“膨脹”，使得對某個，滿足且.設序列恰好是某個Cantor集的頂點。首先在0,1區(qū)間構(gòu)造Cantor集，去掉中間長度為的部分，在剩下的兩個不相交的區(qū)間中再分別去掉長度為的中間部分，依次重復這個過程.此過程在0,1上產(chǎn)生一個緊的正測度集A，對A作n個笛卡爾積，設，通過函數(shù)，把M映射到，且是頂點的像.因此，每個在達到，且可選擇使得它們是不相交的。設,考慮一個可測函數(shù)H(z)滿足其中0，使得對

4、每個球（以為球心，r為半徑），及任意r值，有。定義是的特征函數(shù)，顯然h在每個點趨向無窮大.又因為中的Cantor集的其它點是頂點的極限點，所以h在的Cantor集的其它點也趨向無窮大.因此，得出結(jié)論：在的正測集上，h為無窮大.易證當時，選擇適當?shù)腷與，可使下面討論Toeplitz算子的有界性。定理1.1:設H(z)是上具有增長速度為的可測函數(shù)，其中0，對上的任意Cantor集,其頂點，存在與不相交集，為集合在旋轉(zhuǎn)而得，且有限，使得若，則符號誘導上的一個有界Toeplitz算子。特別地，當取b=2c+5,時，結(jié)論成立.證明：對，對每個i,若對某一滿足b-2c-30的常數(shù)c,則取b=2c+5,上式

5、級數(shù)收斂，所以在上有界。.因此，即使符號在的正測度集上趨于無窮，仍可以得到有界的Toeplitz算子。三、緊性定理1.2:設h與如定理1.1中所設，則選取合適的b與值時，可使為上的緊算子。證明:選取序列滿足且在的緊子集上一致收斂到0，我們將證明，當時，。再選取序列使得設，選定J，則可找到正整數(shù)N使得對任意，且對，有.考察現(xiàn)估算與，對任意nN，對,運用Cachy-Schwarz不等式，則若取b=2c+4，則由已知假設得右邊的級數(shù)收斂，的和小于的常數(shù)倍。所以，當時，故是緊的。參考文獻1 Cao Guangfu. Toeplitz operators with unbounded symbols o

6、f several complex variables,Math.Anal.ApplJ.2008,339:1277-12852 S.AXLER,D.ZHENG. Compact operators via the Berezin transform,Indianauniv.Math.J.1998,47:387-4003 S.GRUDSKY,N.VASILEVSKI.Bergman-Toeplitz operators:Radial compact influence,Integral Equations operator Theory J.2001,40:16-334 J.Miao,D.Zhe

7、ng.Compact operators on Bergman Spaces,Integral Equations operatorTheory J.2004,48:61-795 JOSEPHA.CIMA,ZELJKO CUCKOVIC,Compact Toeplitz Operators with unbounded symbols,OperatorTheoryJ.2005,53:(2),431-4406 WALTER RUDIN.Function theory in polydiscs,W.A.BenjaminInc.New York-AmsterdanM.19697 Bottema,Reinie Erne.Topics in Elementary Geometry,Springer New YorkM.2008