有限元分析及工程應(yīng)用-第二章ppt課件

1、第二章第二章 彈性力學(xué)實(shí)際根底彈性力學(xué)實(shí)際根底 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.1 根本假設(shè)和根本概念根本假設(shè)和根本概念根本假設(shè)：根本假設(shè)：1) 延續(xù)性假設(shè)，即物體內(nèi)部都被組成該物體的介質(zhì)所填滿，沒延續(xù)性假設(shè)，即物體內(nèi)部都被組成該物體的介質(zhì)所填滿，沒有任何空隙。這樣，物體中的應(yīng)力、應(yīng)變、位移等量都是延續(xù)的有任何空隙。這樣，物體中的應(yīng)力、應(yīng)變、位移等量都是延續(xù)的，可以用坐標(biāo)的延續(xù)函數(shù)表示。，可以用坐標(biāo)的延續(xù)函數(shù)表示。2) 均勻性和各向同性假設(shè)，即物體內(nèi)一切各點(diǎn)和一切方向上有均勻性和各向同性假設(shè)，即物體內(nèi)一切各點(diǎn)和一切方向上有一樣的物理性質(zhì)，因此物體的彈性常數(shù)不隨位置坐標(biāo)和方向而變一樣的物理性質(zhì)，因此物體的彈

2、性常數(shù)不隨位置坐標(biāo)和方向而變化。化。3) 線彈性假設(shè)，即物體在產(chǎn)生變形的外加要素線彈性假設(shè)，即物體在產(chǎn)生變形的外加要素(外力、溫度變外力、溫度變化等化等)被除去以后，能完全恢復(fù)到原狀而沒有任何剩余變形。被除去以后，能完全恢復(fù)到原狀而沒有任何剩余變形。 滿足上述條件的物體，那么稱為理想彈性體。滿足上述條件的物體，那么稱為理想彈性體。4) 無初應(yīng)力假設(shè)，即物體在未受載荷或溫度變化等作用之前，無初應(yīng)力假設(shè)，即物體在未受載荷或溫度變化等作用之前，其內(nèi)部無應(yīng)力，即物體處于自然形狀。其內(nèi)部無應(yīng)力，即物體處于自然形狀。5) 小變形假設(shè)，即在外加要素作用下，物體的變形或位移，與小變形假設(shè)，即在外加要素作用下，

3、物體的變形或位移，與物體原有尺寸相比是很微小的。物體原有尺寸相比是很微小的。 根據(jù)上述根本假設(shè)而建立的彈性力學(xué)，稱為線性彈性力學(xué)。根據(jù)上述根本假設(shè)而建立的彈性力學(xué)，稱為線性彈性力學(xué)。1彈性力學(xué)的根本假設(shè)彈性力學(xué)的根本假設(shè) 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.1 根本假設(shè)和根本概念根本假設(shè)和根本概念1外力外力 作用于物體上的外力，按其作用方式的不同，可以分為體積作用于物體上的外力，按其作用方式的不同，可以分為體積力和外表力兩類，兩者也分別簡稱為膂力和面力。力和外表力兩類，兩者也分別簡稱為膂力和面力。 膂力：是指分布在物體體積內(nèi)部的力，如物體的自重、慣性膂力：是指分布在物體體積內(nèi)部的力，如物體的自重、慣性力、溫度

4、和磁吸力等。力、溫度和磁吸力等。 普通在物體內(nèi)部各點(diǎn)的膂力是不一樣的，假設(shè)將任一點(diǎn)普通在物體內(nèi)部各點(diǎn)的膂力是不一樣的，假設(shè)將任一點(diǎn)P處處單位體積內(nèi)所作用的膂力，沿著直角坐標(biāo)軸單位體積內(nèi)所作用的膂力，沿著直角坐標(biāo)軸x、y、z三個方向的三個方向的投影，分別記為投影，分別記為X、Y、Z，那么這三個量被稱為物體在該點(diǎn)的膂，那么這三個量被稱為物體在該點(diǎn)的膂力分量。力分量。2彈性力學(xué)的根本概念彈性力學(xué)的根本概念 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.1 根本假設(shè)和根本概念根本假設(shè)和根本概念2彈性力學(xué)的根本概念彈性力學(xué)的根本概念2應(yīng)力應(yīng)力 物體受外力作用后，在其內(nèi)部將要產(chǎn)生物體受外力作用后，在其內(nèi)部將要產(chǎn)生應(yīng)力。應(yīng)力。 六面

5、體稱為微元體：從物體中取出一六面體稱為微元體：從物體中取出一個無限小的平行六面體，它的棱邊平行于個無限小的平行六面體，它的棱邊平行于坐標(biāo)軸。坐標(biāo)軸。 將微元體每一個面上的應(yīng)力分解成為一將微元體每一個面上的應(yīng)力分解成為一個正應(yīng)力和兩個剪應(yīng)力，分別與三個坐標(biāo)軸個正應(yīng)力和兩個剪應(yīng)力，分別與三個坐標(biāo)軸平行，并稱為該面的三個應(yīng)力分量平行，并稱為該面的三個應(yīng)力分量 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.1 根本假設(shè)和根本概念根本假設(shè)和根本概念2彈性力學(xué)的根本概念彈性力學(xué)的根本概念2應(yīng)力應(yīng)力由資料力學(xué)的剪應(yīng)力互等定理，六個剪應(yīng)力是由資料力學(xué)的剪應(yīng)力互等定理，六個剪應(yīng)力是兩兩相等的，即有兩兩相等的，即有xzzxzyyzyxxy

6、 , ,3應(yīng)變應(yīng)變 單元體受力之后，要發(fā)生外形的改動。單元體受力之后，要發(fā)生外形的改動。為了描畫物體內(nèi)某點(diǎn)的變形，就在該點(diǎn)取一為了描畫物體內(nèi)某點(diǎn)的變形，就在該點(diǎn)取一個平行于坐標(biāo)軸的微元體。個平行于坐標(biāo)軸的微元體。 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.1 根本假設(shè)和根本概念根本假設(shè)和根本概念2彈性力學(xué)的根本概念彈性力學(xué)的根本概念3應(yīng)變應(yīng)變 物體變形以后，這三個棱邊物體變形以后，這三個棱邊(線段線段)的長度的長度及它們之間的角度改動，就作為該點(diǎn)的變形。及它們之間的角度改動，就作為該點(diǎn)的變形。正應(yīng)變正應(yīng)變(相對變形或線應(yīng)變相對變形或線應(yīng)變)：線段每單位長度的伸縮。：線段每單位長度的伸縮。剪應(yīng)變：線段之間直角的改動。

7、剪應(yīng)變：線段之間直角的改動。 這六個應(yīng)變，稱為該點(diǎn)的形變分量，可以完全確定該點(diǎn)這六個應(yīng)變，稱為該點(diǎn)的形變分量，可以完全確定該點(diǎn)的形變形狀。的形變形狀。 知這六個應(yīng)變，就可以求得經(jīng)過該點(diǎn)的任一線段的正應(yīng)知這六個應(yīng)變，就可以求得經(jīng)過該點(diǎn)的任一線段的正應(yīng)變，也可以求得經(jīng)過該點(diǎn)的恣意兩個線段之間的角度改動。變，也可以求得經(jīng)過該點(diǎn)的恣意兩個線段之間的角度改動。 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.1 根本假設(shè)和根本概念根本假設(shè)和根本概念2彈性力學(xué)的根本概念彈性力學(xué)的根本概念4位移位移 物體在受力之后或其它緣由物體在受力之后或其它緣由(如溫度改動如溫度改動)，其內(nèi)部各點(diǎn)將，其內(nèi)部各點(diǎn)將發(fā)生位移。發(fā)生位移。 彈性體內(nèi)任一點(diǎn)

8、的膂力分量、面力分量、應(yīng)力分量，應(yīng)彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的膂力分量、面力分量、應(yīng)力分量，應(yīng)變分量以及位移分量，都是隨點(diǎn)的位置不同而不同，因此它們變分量以及位移分量，都是隨點(diǎn)的位置不同而不同，因此它們都是點(diǎn)的位置坐標(biāo)的延續(xù)函數(shù)。都是點(diǎn)的位置坐標(biāo)的延續(xù)函數(shù)。3彈性力學(xué)問題求解的根本方法彈性力學(xué)問題求解的根本方法 在彈性力學(xué)里假想把物體分成無限多個微小六面體在彈性力學(xué)里假想把物體分成無限多個微小六面體(在物在物體邊境處能夠是微小四面體體邊境處能夠是微小四面體)，稱為微元體。，稱為微元體。 思索任一微元體的平衡思索任一微元體的平衡(或運(yùn)動或運(yùn)動)，可寫出一組平衡，可寫出一組平衡(或運(yùn)或運(yùn)動動)微分方程及邊境條

9、件。微分方程及邊境條件。 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.1 根本假設(shè)和根本概念根本假設(shè)和根本概念3彈性力學(xué)問題求解的根本方法彈性力學(xué)問題求解的根本方法 彈性力學(xué)問題都是超靜定的，必需同時再思索微元體彈性力學(xué)問題都是超靜定的，必需同時再思索微元體的變形條件以及應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系，它們在彈性力學(xué)中相的變形條件以及應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系，它們在彈性力學(xué)中相應(yīng)地稱為幾何方程和物理方程。平衡應(yīng)地稱為幾何方程和物理方程。平衡(或運(yùn)動或運(yùn)動)方程、幾何方方程、幾何方程和物理方程以及邊境條件稱為彈性力學(xué)的根本方程。程和物理方程以及邊境條件稱為彈性力學(xué)的根本方程。 從取微元體入手，綜合思索靜力從取微元體入手，綜合思索靜力(或運(yùn)動

10、或運(yùn)動)、幾何、物理、幾何、物理三方面條件，得出其根本微分方程，再進(jìn)展求解，最后利用三方面條件，得出其根本微分方程，再進(jìn)展求解，最后利用邊境邊境(外表外表)條件確定解中的常數(shù)條件確定解中的常數(shù) 將其中的一部份未知函數(shù)選為將其中的一部份未知函數(shù)選為“根本未知函數(shù)，先將根本未知函數(shù)，先將它們求出，然后再由此求出其他的未知函數(shù)，而得到問題的它們求出，然后再由此求出其他的未知函數(shù)，而得到問題的全部解答。全部解答。 以應(yīng)力為以應(yīng)力為“根本未知函數(shù)的應(yīng)力解法和以位移作為根本未知函數(shù)的應(yīng)力解法和以位移作為“根根本未知函數(shù)的位移解法。本未知函數(shù)的位移解法。 在一定邊境條件下，按選取的解題方法在一定邊境條件下，

11、按選取的解題方法(應(yīng)力法或位移法應(yīng)力法或位移法)，求出其相應(yīng)微分方程組的解。求出其相應(yīng)微分方程組的解。 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.2 彈性力學(xué)的根本方程彈性力學(xué)的根本方程1平衡方程平衡方程 思緒是：從彈性體中任一點(diǎn)處取出一個微元體，思索其思緒是：從彈性體中任一點(diǎn)處取出一個微元體，思索其平衡，運(yùn)用靜力學(xué)的三個平衡條件，找出應(yīng)力與膂力的關(guān)系。平衡，運(yùn)用靜力學(xué)的三個平衡條件，找出應(yīng)力與膂力的關(guān)系。 微小單元體上作用有內(nèi)部的體積力和四個微小單元體上作用有內(nèi)部的體積力和四個側(cè)面上的應(yīng)力。側(cè)面上的應(yīng)力。222d21dxxxxxxxdxx略去二階及二階以上的微量后：略去二階及二階以上的微量后：xxxxd同樣設(shè)左面

12、的剪應(yīng)力是同樣設(shè)左面的剪應(yīng)力是xy右面的剪應(yīng)力將是右面的剪應(yīng)力將是xxxyxyd 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.2 彈性力學(xué)的根本方程彈性力學(xué)的根本方程1平衡方程平衡方程 各個面上所受的應(yīng)力可以假設(shè)為均勻分各個面上所受的應(yīng)力可以假設(shè)為均勻分布，并作用在對應(yīng)面的中心。六面體所受的布，并作用在對應(yīng)面的中心。六面體所受的膂力，也可假設(shè)為均勻分布，并作用在它的膂力，也可假設(shè)為均勻分布，并作用在它的體積的中心。體積的中心。1) 各力在各力在x軸方向上的投影代數(shù)和應(yīng)等于零軸方向上的投影代數(shù)和應(yīng)等于零 0 xF0ddddddddyxXtxtxtyyytytxxyxyxyxxxx化簡后，兩邊除以化簡后，兩邊除以yxtd

13、d0Xyxyxx2) 各力在各力在y軸方向上的投影代數(shù)和應(yīng)等于零軸方向上的投影代數(shù)和應(yīng)等于零 0yF0Yyxyxy 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.2 彈性力學(xué)的根本方程彈性力學(xué)的根本方程1平衡方程平衡方程 3) 各力對單元體中心的力距代數(shù)和應(yīng)等于零各力對單元體中心的力距代數(shù)和應(yīng)等于零 0oM02dd2ddd2dd2dddyxtyxtyyxytxytxxyxyxyxxyxyxy除以除以yxtdd，并略去微量項(xiàng)，合并一樣的項(xiàng)后得出，并略去微量項(xiàng)，合并一樣的項(xiàng)后得出yxxy00YyxXyxyxyyxx超靜定問題超靜定問題 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.2 彈性力學(xué)的根本方程彈性力學(xué)的根本方程2幾何方程幾何方程平面內(nèi)的變

14、外形狀的兩類物理量：平面內(nèi)的變外形狀的兩類物理量：1 1分析各點(diǎn)的位移分析各點(diǎn)的位移 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.2 彈性力學(xué)的根本方程彈性力學(xué)的根本方程2幾何方程幾何方程2 2求正應(yīng)變求正應(yīng)變 根據(jù)彈性力學(xué)的根本假設(shè)，限定位移是微小根據(jù)彈性力學(xué)的根本假設(shè)，限定位移是微小的。的。正應(yīng)變的定義有：正應(yīng)變的定義有：xuxxxuxxuxxuudxPAPAAPxddddd2同理：同理：2yP BPBvPBy 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.2 彈性力學(xué)的根本方程彈性力學(xué)的根本方程2幾何方程幾何方程3 3求剪應(yīng)變求剪應(yīng)變xy右圖線段右圖線段PA的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角:xvxuxvxxuxvxxvvAPAAtg1ddd22線段線段PB

15、的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角:22B ButgP Byyuxvxy 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.2 彈性力學(xué)的根本方程彈性力學(xué)的根本方程2幾何方程幾何方程綜上所述，平面問題的幾何方程綜上所述，平面問題的幾何方程yuxvyvxuxyyx 分別求二階導(dǎo)數(shù)有分別求二階導(dǎo)數(shù)有2322yxuyx2322xyvxyyxxvyuyxxyxyyx222222變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程或相容方程或相容方程 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.2 彈性力學(xué)的根本方程彈性力學(xué)的根本方程2幾何方程幾何方程yuxvyvxuxyyx qBvuxyyxxvyuyvxuxyyx00 xyyx00B幾何矩陣幾何矩陣位移向量位移向量vuq 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.2 彈性力

16、學(xué)的根本方程彈性力學(xué)的根本方程3物理方程物理方程物理方程或彈性方程：表示應(yīng)力分量與應(yīng)變分量的關(guān)系式。物理方程或彈性方程：表示應(yīng)力分量與應(yīng)變分量的關(guān)系式。 在完全彈性的各向同性體內(nèi)，應(yīng)變分量與應(yīng)力分量之間的在完全彈性的各向同性體內(nèi)，應(yīng)變分量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系可根據(jù)廣義虎克定律關(guān)系可根據(jù)廣義虎克定律(Hookes law)導(dǎo)出為：導(dǎo)出為：111xxyzyyzxzzxyEEE 111xyxyyzyzzxzxGGGG剪切模量，又可稱為剛度模量；剪切模量，又可稱為剛度模量；E拉壓彈性模量，也可簡稱為彈性模拉壓彈性模量，也可簡稱為彈性模量；量；u側(cè)向收縮系數(shù)，也可稱為泊松比系側(cè)向收縮系數(shù)，也可稱為泊松比

17、系數(shù)。數(shù)。)1 (2EG 根據(jù)彈性力學(xué)的根本假設(shè)，這些彈根據(jù)彈性力學(xué)的根本假設(shè)，這些彈性常數(shù)不隨應(yīng)力或應(yīng)變的大小而變，不性常數(shù)不隨應(yīng)力或應(yīng)變的大小而變，不隨位置坐標(biāo)而變，也不隨方向而變。隨位置坐標(biāo)而變，也不隨方向而變。 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.2 彈性力學(xué)的根本方程彈性力學(xué)的根本方程3物理方程物理方程在平面應(yīng)力問題中在平面應(yīng)力問題中0zzyzxxyxyxyxyyyxxEEEE21112 1 1222D為應(yīng)力向量為應(yīng)力向量xyyxxyyx2100010112ED 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.2 彈性力學(xué)的根本方程彈性力學(xué)的根本方程4問題討論問題討論1 1平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題 深梁深梁 剪力墻剪力墻接受拉

18、伸的鋼條接受拉伸的鋼條接受拉伸的薄板接受拉伸的薄板特征：特征： 在幾何外形上，它們都是等厚度的平面薄板。在幾何外形上，它們都是等厚度的平面薄板。 在受力形狀上，面力都只作用在板邊上，且平行于板面，在受力形狀上，面力都只作用在板邊上，且平行于板面，并且不沿厚度變化；膂力也平行于板面，并且也不沿厚度變并且不沿厚度變化；膂力也平行于板面，并且也不沿厚度變化?；?機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.2 彈性力學(xué)的根本方程彈性力學(xué)的根本方程4問題討論問題討論1 1平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題0)(2tzz0)(2tzzx0)(2tzzy 但由于板很薄，外力又不沿厚度變化，可以但由于板很薄，外力又不沿厚度變化，可以以為在整

19、個薄板的一切各點(diǎn)都有：以為在整個薄板的一切各點(diǎn)都有：0z0zx0zy剪應(yīng)力互等剪應(yīng)力互等0 xz0yz 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.2 彈性力學(xué)的根本方程彈性力學(xué)的根本方程4問題討論問題討論1 1平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題)(yxzE00YyxXyxyxyyxxyuxvyvxuxyyx xyxyxyxyyyxxEEEE21112 1 1222平衡方程平衡方程 幾何方程幾何方程物理方程物理方程 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.2 彈性力學(xué)的根本方程彈性力學(xué)的根本方程4問題討論問題討論2 2平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題擋土墻擋土墻 圓柱形長管圓柱形長管水壩水壩 遂道遂道特征：特征： 在幾何外形上，它們都是一個近似等截在幾何

20、外形上，它們都是一個近似等截面的長柱體，它們的長度要比橫截面的尺寸面的長柱體，它們的長度要比橫截面的尺寸大得很多。大得很多。 在受力情況下，它們都只遭到平行于橫在受力情況下，它們都只遭到平行于橫截面，且沿縱向長度均布的面力和膂力，有截面，且沿縱向長度均布的面力和膂力，有的在縱向兩端還受有約束。的在縱向兩端還受有約束。 受壓的圓柱形長輥軸受壓的圓柱形長輥軸 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.2 彈性力學(xué)的根本方程彈性力學(xué)的根本方程4問題討論問題討論2 2平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題 沿長度方向取為沿長度方向取為z軸，兩端的約束可分為兩軸，兩端的約束可分為兩種情況種情況: 第一種情況如隧道。柱形體很長，分析時可第一

21、種情況如隧道。柱形體很長，分析時可以假想該柱形體為無限長，其端點(diǎn)不受以假想該柱形體為無限長，其端點(diǎn)不受z方向的約方向的約束。此時，任一橫截面都可以看作是對稱面。束。此時，任一橫截面都可以看作是對稱面。 第二種情況如水壩。兩端遭到第二種情況如水壩。兩端遭到z方向巖層的約束，因此，方向巖層的約束，因此，兩端面不能沿兩端面不能沿z軸方向挪動。假想將水壩沿軸方向挪動。假想將水壩沿z軸方向，切成許軸方向，切成許多厚度相等的并在多厚度相等的并在xoy平面內(nèi)的薄片。平面內(nèi)的薄片。 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.2 彈性力學(xué)的根本方程彈性力學(xué)的根本方程4問題討論問題討論2 2平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題 這些薄片的幾何外形

22、和受力情況都是一樣這些薄片的幾何外形和受力情況都是一樣的，所以，這些薄片的應(yīng)力、應(yīng)變和位移分量，的，所以，這些薄片的應(yīng)力、應(yīng)變和位移分量，都可看成是都可看成是x、y的函數(shù)，而與的函數(shù)，而與z坐標(biāo)無關(guān)。坐標(biāo)無關(guān)。 近似地以為，柱體任一橫截面上一切各近似地以為，柱體任一橫截面上一切各點(diǎn)的軸向位移點(diǎn)的軸向位移0w 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.2 彈性力學(xué)的根本方程彈性力學(xué)的根本方程4問題討論問題討論2 2平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題()zxy 實(shí)際證明，對于分開兩端足夠遠(yuǎn)處的截面，按平面應(yīng)實(shí)際證明，對于分開兩端足夠遠(yuǎn)處的截面，按平面應(yīng)變問題進(jìn)展分析，其計(jì)算結(jié)果完全可以滿足工程上的精度變問題進(jìn)展分析，其計(jì)算結(jié)果完

23、全可以滿足工程上的精度要求。要求。 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.2 彈性力學(xué)的根本方程彈性力學(xué)的根本方程4問題討論問題討論2 2平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題對于平面應(yīng)變問題：對于平面應(yīng)變問題：00YyxXyxyxyyxxyuxvyvxuxyyx 2211112 1xxyyyxxyxyEEE平衡方程平衡方程 幾何方程幾何方程 物理方程物理方程 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.2 彈性力學(xué)的根本方程彈性力學(xué)的根本方程4問題討論問題討論2 2平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題的彈性矩陣平面應(yīng)變問題的彈性矩陣101(1)10(1)(12 ) 112002(1)ED 平面問題共有平面問題共有8個方程，個方程，2個邊境條件，而

24、其未知函數(shù)也個邊境條件，而其未知函數(shù)也是是8個，結(jié)合上述個，結(jié)合上述8個方程，即可求出彈性力學(xué)問題的解。個方程，即可求出彈性力學(xué)問題的解。3 3剛體位移剛體位移剛體位移意味著物體內(nèi)無任何應(yīng)變，剛體位移意味著物體內(nèi)無任何應(yīng)變，0 0 0yuxvyvxuxyyx其解的方式為其解的方式為0)()()(),()(),(2121dxxdfdyydfxfyxvyfyxu0 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.2 彈性力學(xué)的根本方程彈性力學(xué)的根本方程4問題討論問題討論3 3剛體位移剛體位移要使上式的第三式成立，那么一定有要使上式的第三式成立，那么一定有dxxdfdyydf)()(21因此有因此有0201)()(vxxfuy

25、yf即剛體位移的表達(dá)式為即剛體位移的表達(dá)式為00),(),(vxyxvuyyxu 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.2 彈性力學(xué)的根本方程彈性力學(xué)的根本方程4問題討論問題討論4 4邊境條件邊境條件力邊境條件力邊境條件依然滿足平衡條件依然滿足平衡條件 彈性體邊境處割彈性體邊境處割取一個微元體。一個取一個微元體。一個微小的三角形或三棱微小的三角形或三棱柱體柱體cos( , )cosn xlcos( , )cosn ym由平衡條件由平衡條件 0 xF0dd21dddtsmslXmstlststXyxx 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.2 彈性力學(xué)的根本方程彈性力學(xué)的根本方程4問題討論問題討論4 4邊境條件邊境條件力邊境條件力

26、邊境條件0dd21dddtsmslXmstlststXyxxXmlyxxYmlyxyYmlXmlyxyyxx平面問題靜力邊境條件平面問題靜力邊境條件 假設(shè)彈性體處于平假設(shè)彈性體處于平衡形狀，那么在其內(nèi)部衡形狀，那么在其內(nèi)部應(yīng)滿足平衡微分方程應(yīng)滿足平衡微分方程00YyxXyxyxyyxx同時在自在邊境上應(yīng)同時在自在邊境上應(yīng)滿足靜力邊境條件。滿足靜力邊境條件。 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.2 彈性力學(xué)的根本方程彈性力學(xué)的根本方程4問題討論問題討論4 4邊境條件邊境條件位移邊境條件位移邊境條件 對于平面問題來說，關(guān)于對于平面問題來說，關(guān)于x和和y坐標(biāo)軸方向的位移邊坐標(biāo)軸方向的位移邊境條件可表示為：境條件可表

27、示為：uuvv5三維彈性問題的根本方程三維彈性問題的根本方程1) 平衡方程平衡方程000yxxzxxyyzyyzxzZXxyzYxyzZxyz 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.2 彈性力學(xué)的根本方程彈性力學(xué)的根本方程5三維彈性問題的根本方程三維彈性問題的根本方程2) 幾何方程幾何方程 , , , xxyyyzzzxuvuxxyvwvyyzwuwzzx 3) 物理方程物理方程 用應(yīng)變分用應(yīng)變分量表示應(yīng)力分量量表示應(yīng)力分量的關(guān)系式為：的關(guān)系式為： 12 12 12112111112111112111zxzxyzyzxyxyzyxzzyxyzyxxEEEEEE 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.2 彈性力學(xué)的根本方程彈性力學(xué)

28、的根本方程5三維彈性問題的根本方程三維彈性問題的根本方程4) 邊境條件邊境條件三維問題的力邊境條件為三維問題的力邊境條件為ZnmlYnmlXnmlzyzxzzyyxyzxyxx三維問題的位移邊境條件為三維問題的位移邊境條件為uuvvww 以上共有以上共有15個方程，個方程，3個邊境條件，三維彈性問題共有個邊境條件，三維彈性問題共有15個未知函數(shù)，結(jié)合上述個未知函數(shù)，結(jié)合上述15個方程，即可求出彈性力學(xué)問個方程，即可求出彈性力學(xué)問題的解。題的解。 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.3 軸對稱問題的根本方程軸對稱問題的根本方程 空間軸對稱問題：假設(shè)彈性體的幾何外形、約束情況，以空間軸對稱問題：假設(shè)彈性體的幾何外

29、形、約束情況，以及所受的外來要素，都對稱于某一軸經(jīng)過該軸的任一平面都及所受的外來要素，都對稱于某一軸經(jīng)過該軸的任一平面都是對稱面，那么一切的應(yīng)力、應(yīng)變和位移也就對稱于這一軸。是對稱面，那么一切的應(yīng)力、應(yīng)變和位移也就對稱于這一軸。 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.3 軸對稱問題的根本方程軸對稱問題的根本方程1平衡方程平衡方程 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.3 軸對稱問題的根本方程軸對稱問題的根本方程1平衡方程平衡方程 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.3 軸對稱問題的根本方程軸對稱問題的根本方程1平衡方程平衡方程dddd dd d2d d2 dd dd dd d d0rrrzrzrzrrrrrzrzr zrz rrrrK rr z

30、z 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.3 軸對稱問題的根本方程軸對稱問題的根本方程1平衡方程平衡方程dddd dd d2d d2 dd dd dd d d0rrrzrzrzrrrrrzrzr zrz rrrrK rr zz0rzrrrKrzr0dddddddd ddddddzrZrrrrrzzzrzrrrrzzzrzrzrz 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.3 軸對稱問題的根本方程軸對稱問題的根本方程1平衡方程平衡方程0dddddddd ddddddzrZrrrrrzzzrzrrrrzzzrzrzrz0Zrrzrzrzz00 rzrrrzrzrzKrzrZzrr 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.3 軸對稱問題的根本方程軸對稱問題的

31、根本方程2幾何方程幾何方程rururruurdd 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.3 軸對稱問題的根本方程軸對稱問題的根本方程2幾何方程幾何方程rurrurdddzwzwzzwwzdd剪應(yīng)力：剪應(yīng)力：zurwzr21 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.3 軸對稱問題的根本方程軸對稱問題的根本方程2幾何方程幾何方程空間軸對稱問題的幾何方程為：空間軸對稱問題的幾何方程為：rurruzwzzurwzr矩陣方式：矩陣方式：wurzzrrzurwzwruruzrzr0010 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.3 軸對稱問題的根本方程軸對稱問題的根本方程3物理方程物理方程rrzzzrzrDD彈性矩陣：彈性矩陣：10111011111210111

32、20002 1ED 空間軸對稱問題共有空間軸對稱問題共有10個未知變量，結(jié)合上述個未知變量，結(jié)合上述10個方個方程，即可求出彈性力學(xué)空間軸對稱問題的解。程，即可求出彈性力學(xué)空間軸對稱問題的解。 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.4 有限元法的實(shí)際根底有限元法的實(shí)際根底 有限元法是一種離散化的數(shù)值解法，對于構(gòu)造力學(xué)特性有限元法是一種離散化的數(shù)值解法，對于構(gòu)造力學(xué)特性的分析而言，其實(shí)際根底是能量原理。的分析而言，其實(shí)際根底是能量原理。 未知數(shù)的性質(zhì)：未知數(shù)的性質(zhì)：1以位移作為未知量的分析法，這種情況稱作位移法。位以位移作為未知量的分析法，這種情況稱作位移法。位移解法采用最小位能原理或虛位移原理進(jìn)展分析；移解法采

33、用最小位能原理或虛位移原理進(jìn)展分析；2應(yīng)力作為未知量的分析法，稱作應(yīng)力法。應(yīng)力解法常采應(yīng)力作為未知量的分析法，稱作應(yīng)力法。應(yīng)力解法常采用最小余能原理進(jìn)展分析；用最小余能原理進(jìn)展分析；3以一部分位移和一部分應(yīng)力作為未知量的分析法，稱作以一部分位移和一部分應(yīng)力作為未知量的分析法，稱作混合法，采用修正的能量原理進(jìn)展分析。混合法，采用修正的能量原理進(jìn)展分析。 虛位移原理或最小位能原理、最小余能原理、變分原虛位移原理或最小位能原理、最小余能原理、變分原理等是有限元法的又一重要根底實(shí)際。理等是有限元法的又一重要根底實(shí)際。 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.4 有限元法的實(shí)際根底有限元法的實(shí)際根底1虛位移原理虛位移原理1

34、 1彈性體的位移和虛位移彈性體的位移和虛位移位移位移 彈性體在給定的外載荷作用下，實(shí)踐產(chǎn)生確實(shí)定位移或?qū)嵨灰?，彈性體在給定的外載荷作用下，實(shí)踐產(chǎn)生確實(shí)定位移或?qū)嵨灰?，簡稱位移。它滿足變形協(xié)調(diào)條件和幾何邊境條件，由作用在彈性體上簡稱位移。它滿足變形協(xié)調(diào)條件和幾何邊境條件，由作用在彈性體上的外載荷獨(dú)一確定。的外載荷獨(dú)一確定。1 1彈性體的位移和虛位移彈性體的位移和虛位移虛位移虛位移 是假設(shè)的、約束條件允許的、恣意的、無限小的位移。但它并未是假設(shè)的、約束條件允許的、恣意的、無限小的位移。但它并未實(shí)踐發(fā)生，只是闡明產(chǎn)生位移的能夠性。實(shí)踐發(fā)生，只是闡明產(chǎn)生位移的能夠性。 必需滿足變形協(xié)調(diào)條件和幾何邊境條

35、件，前者限制彈性體內(nèi)部的必需滿足變形協(xié)調(diào)條件和幾何邊境條件，前者限制彈性體內(nèi)部的變外形狀，即保證彈性體內(nèi)部的延續(xù)性，后者限制彈性體邊境上一些變外形狀，即保證彈性體內(nèi)部的延續(xù)性，后者限制彈性體邊境上一些質(zhì)點(diǎn)的位移，即在構(gòu)造邊境上的幾何條件。質(zhì)點(diǎn)的位移，即在構(gòu)造邊境上的幾何條件。 與實(shí)位移的區(qū)別在于：它是在約束條件允許的范圍內(nèi)彈性體能與實(shí)位移的區(qū)別在于：它是在約束條件允許的范圍內(nèi)彈性體能夠發(fā)生的恣意的微小的位移，它的發(fā)生與時間無關(guān)，與彈性體所受的夠發(fā)生的恣意的微小的位移，它的發(fā)生與時間無關(guān)，與彈性體所受的外載荷無關(guān)。外載荷無關(guān)。 而彈性體在外載荷作用下產(chǎn)生的實(shí)位移是能夠的虛位移，由于它而彈性體在外

36、載荷作用下產(chǎn)生的實(shí)位移是能夠的虛位移，由于它也滿足變形協(xié)調(diào)條件和幾何邊境條件。也滿足變形協(xié)調(diào)條件和幾何邊境條件。 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.4 有限元法的實(shí)際根底有限元法的實(shí)際根底1虛位移原理虛位移原理2 2功與應(yīng)變能功與應(yīng)變能此功三角形此功三角形OCD的面積的面積(線彈性變力作的功線彈性變力作的功)。BFuW21且在彈性范圍內(nèi)且在彈性范圍內(nèi)BKuF 221BKuW 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.4 有限元法的實(shí)際根底有限元法的實(shí)際根底1虛位移原理虛位移原理2 2功與應(yīng)變能功與應(yīng)變能)(212211nnuFuFuFW矩陣表達(dá)式：矩陣表達(dá)式：FqT21W外載荷向量：外載荷向量：T21nFFFF位移向量：位移向量

37、：21nuuuq 不思索變形過程中的熱量損失、彈性體的動能及不思索變形過程中的熱量損失、彈性體的動能及外界阻尼等，那么外力功將全部轉(zhuǎn)變?yōu)閮Υ嬗趶椥泽w外界阻尼等，那么外力功將全部轉(zhuǎn)變?yōu)閮Υ嬗趶椥泽w內(nèi)的位能內(nèi)的位能應(yīng)變能。當(dāng)外載荷去掉時，儲存于彈性應(yīng)變能。當(dāng)外載荷去掉時，儲存于彈性體內(nèi)的位能或應(yīng)變能將使彈性體恢復(fù)原狀。體內(nèi)的位能或應(yīng)變能將使彈性體恢復(fù)原狀。221BKuU 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.4 有限元法的實(shí)際根底有限元法的實(shí)際根底1虛位移原理虛位移原理2 2功與應(yīng)變能功與應(yīng)變能xFWxd21d由于有：由于有：1d yAFxxyxxFWxxxdd21d21dyxUxxdd21dxxU21構(gòu)造的總應(yīng)變

38、能為：構(gòu)造的總應(yīng)變能為：yxUyxUxxdddd21 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.4 有限元法的實(shí)際根底有限元法的實(shí)際根底1虛位移原理虛位移原理2 2功與應(yīng)變能功與應(yīng)變能 根據(jù)力的疊加原理，得外力功儲存在微根據(jù)力的疊加原理，得外力功儲存在微元體內(nèi)的應(yīng)變能為：元體內(nèi)的應(yīng)變能為：yxyxyxyxUxyxyxxxxxyxyyyxxdd21dd21dd21dd21d令令xyxyyyxxU21T21U單位體積內(nèi)的應(yīng)變能單位體積內(nèi)的應(yīng)變能彈性體的總應(yīng)變能為：彈性體的總應(yīng)變能為：yxyxUUTdd 21dd21 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.4 有限元法的實(shí)際根底有限元法的實(shí)際根底1虛位移原理虛位移原理2 2功與應(yīng)變能功與應(yīng)

39、變能對于普通彈性體來講，單位體積的應(yīng)變能為：對于普通彈性體來講，單位體積的應(yīng)變能為：zxzxyzyzxyxyzzyyxxU21那么普通彈性體的總應(yīng)變能為那么普通彈性體的總應(yīng)變能為zxzxyzyzxyxyzzyyxxU21普通彈性體的總應(yīng)變能為普通彈性體的總應(yīng)變能為VVVVUUd21d21T微元體的體積微元體的體積3 3外力虛功與虛應(yīng)變能外力虛功與虛應(yīng)變能 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.4 有限元法的實(shí)際根底有限元法的實(shí)際根底1虛位移原理虛位移原理3 3外力虛功與虛應(yīng)變能外力虛功與虛應(yīng)變能FqTWVVUdT 在平衡形狀下發(fā)生虛位移時，外載荷已作用于彈性體，在平衡形狀下發(fā)生虛位移時，外載荷已作用于彈性體，而

40、且在虛位移過程中，外載荷和應(yīng)力均堅(jiān)持不變，是恒力而且在虛位移過程中，外載荷和應(yīng)力均堅(jiān)持不變，是恒力所作的功。所作的功。 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.4 有限元法的實(shí)際根底有限元法的實(shí)際根底1虛位移原理虛位移原理3 3外力虛功與虛應(yīng)變能外力虛功與虛應(yīng)變能 在單軸情況下，圖中右邊畫斜線的在單軸情況下，圖中右邊畫斜線的矩形面積表示虛功。矩形面積表示虛功。 右邊畫斜線的矩形面積表示單位體右邊畫斜線的矩形面積表示單位體積的虛應(yīng)變能。積的虛應(yīng)變能。TU 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.4 有限元法的實(shí)際根底有限元法的實(shí)際根底1虛位移原理虛位移原理4 4彈性體的虛位移原理彈性體的虛位移原理 虛位移原理虛功原理虛位移原理虛功原理

41、:假設(shè)在虛位移發(fā)生之前，彈性假設(shè)在虛位移發(fā)生之前，彈性體處于平衡形狀，那么在虛位移發(fā)生時，外載荷在虛位移上體處于平衡形狀，那么在虛位移發(fā)生時，外載荷在虛位移上所作的虛功就等于彈性體的虛應(yīng)變能所作的虛功就等于彈性體的虛應(yīng)變能應(yīng)力在虛應(yīng)變上所應(yīng)力在虛應(yīng)變上所作的虛功，即作的虛功，即UW或或VVdT T Fq 在虛位移過程中，原有的外力、應(yīng)力、溫度及速度均堅(jiān)在虛位移過程中，原有的外力、應(yīng)力、溫度及速度均堅(jiān)持不變，也就是說，沒有熱能或動能的改動。持不變，也就是說，沒有熱能或動能的改動。 按照能量守恒原理，虛應(yīng)變能的添加該當(dāng)?shù)扔谕饬ξ荒馨凑漳芰渴睾阍恚搼?yīng)變能的添加該當(dāng)?shù)扔谕饬ξ荒艿臏p小，也就是等于外

42、力所作的虛功。的減小，也就是等于外力所作的虛功。 外力包括集中力、體積力和外表力，對于平面彈性體而外力包括集中力、體積力和外表力，對于平面彈性體而言，上述外力的虛功為：言，上述外力的虛功為：SVSVWddT T T PqGqRq集中力虛功集中力虛功體積力虛功體積力虛功外表力虛功外表力虛功T vuq 機(jī)械學(xué)院機(jī)械學(xué)院2.4 有限元法的實(shí)際根底有限元法的實(shí)際根底1虛位移原理虛位移原理4 4彈性體的虛位移原理彈性體的虛位移原理最小位能原理最小位能原理 最小位能原理最小勢能原理是虛位移原理的另一種最小位能原理最小勢能原理是虛位移原理的另一種方式。根據(jù)虛位移原理：方式。根據(jù)虛位移原理：0)(WUWU 由于虛位移是微小的，在虛位移過程中，外力的大小由于虛位移是微小的，在虛位移過程中，外力的大小和方向可以看成常量，只是作用點(diǎn)有了改動：和方向可以看成常量，只是作用點(diǎn)有了改動：0)(WUWU 0令彈性體的總位能令彈性體的總位能 由于彈性體總位能的變化是虛位移或位移的變分引起