勾股定理難題50道

1、勾股定理難題50道1.已知：如圖，無蓋無底的正方體紙盒 ABCDEFGH , P , Q分別為棱FB , GC上的點，且FP =：2PB，GQ =丄QC，若將這個正方體紙盒沿折線AP _PQ QH裁剪并展開，得2到的平面圖形是（）A .一個六邊形B .一個平行四邊形C 兩個直角三角形D 一個直角三角形和一個直角梯形2.已知 ABC中，AB =17 , AC =10 , BC邊上的高 AD =8，則邊BC的長為（）A . 21B. 15C . 6D .以上答案都不對3在底面直徑為2cm,高為3cm的圓柱體側(cè)面上，用一條無彈性的絲帶從A至C按如圖所示的圈數(shù)纏繞，則絲帶的最短長度為 cm .（結(jié)果保

2、留二）4.如圖，長方體的底面邊長分別為1cm和3cm ,高為6cm .如果用一根細(xì)線從點 A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點 B，那么所用細(xì)線最短需要 cm .5.直角三角形是一個奇妙的三角形，除了有勾股定理這樣著名的定理外，它還有許多奇妙的特性值得我們?nèi)ヌ剿鳎?，在Rt.lABC中，.C =90 , /A、丄B、. C的對邊分別S為a、b、c .設(shè)S Abc =S , a b l，則S與I的比了蘊(yùn)含著一個奇妙的規(guī)律，這個規(guī)律與ab_c的值有關(guān)，觀察下面 a、b、c取具體勾股數(shù)的表：三邊a、b、ca +b clSS/l34521261/ 2681042424151213430301815176

3、40603/2121620848962BBSBBS B B B BSBS若a b -m，則觀察上表我們可以猜想出(二(用含m的代數(shù)式表示)6 .等腰 ABC的底邊BC =8cm,腰長AB =5cm，動點P在底邊上從點 B開始向點C以 0.25cm/秒的速度運(yùn)動，當(dāng)點P運(yùn)動到PA與腰垂直的位置時，點P運(yùn)動的時間應(yīng)為秒.7閱讀以下解題過程：已知a , b , c為二ABC的三邊，且滿足 a2c2 -b2c2 =a4 -b4，試判斷=ABC的形狀.錯解：Ta2c2 -b2c2 =a4-b4. (1),.c2(a2 -b2) =(a2 b2)(a2 b2)(2),2 2 丄 2/c、.c a b (3

4、)問：(1) 上述解題過程，從哪一步開始發(fā)現(xiàn)錯誤請寫出該步的代號_.(2) 錯誤的原因是_.(3) 本題正確的結(jié)論是.&勾股定理是初等幾何中的一個基本定理.這個定理有十分悠久的歷史，兩千多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，我國古代三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)造的弦圖，是最早證明勾股定理的方法，所謂弦圖是指在正方形的每一邊上各取一個點，再連接四點構(gòu)成一個正方形，它可以驗證勾股定理. 在如圖的弦圖中，已知：正方形EFGH的頂點E、F、G、H分別在正方形 ABCD的邊DA、AB、BC、CD上.若正方形 ABCD的面積=16 , AE =1 ;則正方形 EFGH的面積=229 .一棵高9米的樹從離地面

5、 4米處折斷，樹旁有一個身高為1米的小孩，則小孩至少離開這棵樹米才是安全的.10.如圖，長方體的底面是邊長為1cm的正方形，高為3cm .如果從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞2圈到達(dá)點B，那么所用細(xì)線最短需要 cm .11.如圖所示的 勾股樹”中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的邊長為12cm,則A、B、C、D四個小正方形的連接小正方形的三個頂點,到 ABC，則.：ABC中BC邊上的高是 可得13.如圖，在ABC中， ABC =90，分別以BC、AB、AC為邊向外作正方形，面積分 別記為 S、Sa、S3，若 S2=4，S3 =6，則 S=.14我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為

6、了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）.圖2由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成.記圖中正方形ABCD ,正方形EFGH ,正方形MNKT的面積分別為S, , S2 , S3，若S +S +S =10 ,則S2的值是E1團(tuán)215. 某校九年級學(xué)生準(zhǔn)備畢業(yè)慶典，打算用橄欖枝花圈來裝飾大廳圓柱.已知大廳圓柱高4米，底面周長1米.由于在中學(xué)同學(xué)三年，他們打算精確地用花圈從上往下均勻纏繞圓柱3圈（如圖），那么螺旋形花圈的長至少 米.16. Rt ABC中， BAC =90 , AB二AC =2 .以AC為一邊，在 ABC外部作等腰直角三 角形ACD，則線段B

7、D的長為.17. 勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣.1955年希臘發(fā)行了二枚以勾股圖為背景的郵票 .所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向 外作正方形構(gòu)成，它可以驗證勾股定理.在右圖的勾股圖中， 已知ACB = 90 , BAC = 30 , AB = 4 .作 PQR 使得 R = 90，點 H 在邊 QR上， 點D , E在邊PR 上, 點G , F在邊PQ 上, 那么 PQR的周長等 于.18.如圖，在 Rt. ABC 中，乙C =90，點 D 是 BC 上一點，AD=BD，若 AB =8 , BD =5 ,貝U CD =19如圖，有一個圓柱，它的高等于4cm，底面半徑等干

8、-cm，在圓柱下底面的 A點有只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的 B點處的食物，需要爬行的最短路程是cm .（結(jié)果保留根號）Z-720將一個含30角的三角板和一個含45角的三角板如圖擺放， ACB與DCE完全重合，C =90 , A = 45 , EDC =60 , AB =4邁,DE = 6，則21. 某小區(qū)有一塊等腰三角形的草地，它的一邊長為20m ,面積為160m2 ,為美化小區(qū)環(huán)境,現(xiàn)要給這塊三角形草地圍上白色的低矮柵欄，則需要柵欄的長度為m .22. 九章算術(shù)勾股”章有一題：今有開門去閫（ku n） 尺，不合二寸，問門廣幾何.”大意是說：今推開雙門，門框距離門檻1尺，雙門間的縫隙為

9、 2寸，那么門的寬度（兩扇門的和）為尺.23. 如圖是一個長8m、寬6m、高5m的倉庫，在其內(nèi)壁的點 A （長的四等分點）處有一只壁虎、點B （寬的三等分點）處有一只蚊子則壁虎爬到蚊子處的最短距離為 m .24. 如圖，Rt ABC的兩直角邊分別為 1, 2,以Rt ABC的斜邊AC為一直角邊，另一直角邊為1畫第二個：ACD ;在以.ACD的斜邊AD為一直角邊，另一直角邊長為1畫第三個.ADE ;，依此類推，第n個直角三角形的斜邊長是25. 如圖所示的長方體是某種飲料的紙質(zhì)包裝盒，規(guī)格為5 6 10 （單位：cm），在上蓋中開有一孔便于插吸管，吸管長為13cm，小孔到圖中邊AB距離為1cm，到

10、上蓋中與AB相鄰的兩邊距離相等，設(shè)插入吸管后露在盒外面的管長為hem，則h的最小值大約為cm .（精確到個位，參考數(shù)據(jù):2 1.4，3 ： 1.7，5 2.2）.吸管26. 如圖，有一圓柱體，它的高為20cm，底面半徑為7cm.在圓柱的下底面 A點處有一個蜘蛛，它想吃到上底面上與A點相對的B點處的蒼蠅，需要爬行的最短路徑是 cm（結(jié)果用帶根號和 二的式子表示）.三解答題（共24小題）27. 已知 ABC 中，AB =AC .（1）如圖 1,在 AADE 中，若 AD 二 AE，且.DAE =/BAC，求證：CD =BE ；（2）女口圖 2，在.ADE 中，若.DAE =. BAC =60 ，且

11、 CD 垂直平分 AE，AD=3，CD =4，求BD的長；（3）如圖3,在UADE中，當(dāng)BD垂直平分 AE于H，且.BAC = 2 ADB 時，試探究CD2，BD2，AH2之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.（1） 觀察：3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24 , 25;，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3 起就沒有間斷過.事實上，勾是三時，股和弦的算式分別是 丄（9一1）丄（91）;勾是五時，2 2股和弦的算式分別是 1（25 -1）,-（25 1）.根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，分別寫出勾是七時，股和2 2弦的算式；（2） 根據(jù)（1）的規(guī)律，請用含n（n為奇數(shù)，且n3）的代數(shù)式來表示所有這些勾股數(shù)的勾

12、、股、弦，合情猜想它們之間的相等關(guān)系（請寫出兩種），并對其中一種猜想加以證明；（3） 繼續(xù)觀察4, 3, 5; 6, 8, 10; 8, 15, 17;，可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個數(shù)都是偶數(shù)，且從4起也沒有間斷過.運(yùn)用類似上述探索的方法，直接用m（m為偶數(shù)，且m 4）的代數(shù)式來表示股和弦.29.大家在學(xué)完勾股定理的證明后發(fā)現(xiàn)運(yùn)用“同一圖形的面積不同表示方式相同”可以證明一類含有線段的等式，這種解決問題的方法我們稱之為面積法.學(xué)有所用：在等腰三角形ABC中，AB = AC，其一腰上的高為 h , M是底邊BC上的任意一點， M到腰AB、AC的距離分別為h、h2 (1 )請你結(jié)合圖形來證明：h h2 =

13、h ；(2) 當(dāng)點M在BC延長線上時，也、h2、h之間又有什么樣的結(jié)論.請你畫出圖形，并直接寫出結(jié)論不必證明；(3) 利用以上結(jié)論解答，如圖在平面直角坐標(biāo)系中有兩條直線l1 ：y =3x 3 , l2 ： y - -3x 3 ,43一若l2上的一點 M到h的距離是3 求點M的坐標(biāo).230.如圖，在等邊 ABC中，線段AM為BC邊上的中線，動點D在直線AM上時，以CD為一邊且在CD的下方作等邊厶CDE，連接BE (1) 填空： ACB 二度；(2) 當(dāng)點D在線段AM上(點D不運(yùn)動到點A)時，試求出如的值；BE(3) 若AB=8，以點C為圓心，以5為半徑作C與直線BE相交于點P、Q兩點，在點D運(yùn)動

14、的過程中(點D與點A重合除外)，試求PQ的長.31 李老師在與同學(xué)進(jìn)行“螞蟻怎樣爬最近”的課題研究時設(shè)計了以下三個問題， 請你根據(jù)下列所給的重要條件分別求出螞蟻需要爬行的最短路程的長(1) 如圖1 ,正方體的棱長為5cm 只螞蟻欲從正方體底面上的點 A沿著正 方體表面爬到點C,處；(2) 如圖2，正四棱柱的底面邊長為5cm，側(cè)棱長為6cm , 一只螞蟻從正四 棱柱底面上的點A沿著棱柱表面爬到C,處；(3) 如圖3，圓錐的母線長為4cm，圓錐的側(cè)面展開圖如圖 4所示，且AOA =120，只螞蟻欲從圓錐的底面上的點A出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬行周回到點A .為：(a b)2，也可表示為:c2 41-ab)

15、，2即(a b)c2 4l-ab)由此推出勾股定理a2 bc2，這種根據(jù)圖形可以極簡單地直觀推2論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱“無字證明”勺(H)（ni）（1 ）請你用圖（11）（2002年國際數(shù)字家大會會標(biāo)）的面積表達(dá)式驗證勾股定理（其中四個直角三角形全等）；（2）請你用（山）提供的圖形進(jìn)行組合，用組合圖形的面積表達(dá)式驗證（x yf = x2 2xy y2 ；（3）請你自己設(shè)計圖形的組合，用其面積表達(dá)式驗證2 2(x p)(x q) =x px qx pq =x (p q)x pq .33.如圖，一個無蓋的正方體盒子的棱長為10厘米，頂點G處有一只昆蟲甲，在盒子的內(nèi)部頂點A處有一只昆蟲乙

16、.（盒壁的厚度忽略不計）（1） 假設(shè)昆蟲甲在頂點 G處靜止不動，如圖 ，在盒子的內(nèi)部我們先取棱BR的中點E ,再連接AE、EG 蟲乙如果沿路徑 A - E -G爬行，那么可以在最短的時間內(nèi)捕捉到昆 蟲甲仔細(xì)體會其中的道理，并在圖中畫出另一條路徑，使昆蟲乙從頂點A沿這條路徑爬行，同樣可以在最短的時間內(nèi)捕捉到昆蟲甲；（請簡要說明畫法）（2） 如圖，假設(shè)昆蟲甲從頂點 Ci，以1厘米/秒的速度在盒子的內(nèi)部沿棱 GC向下爬行， 同時昆蟲乙從頂點 A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行， 那么昆蟲乙至少需要多長時間才1 秒)/ /SjT/ ；/DLA/E靜17B能捕捉到昆蟲甲？（精確到34 .在 ABC 中,B

17、C =a , AC =b , AB =c ,設(shè)c為最長邊，當(dāng)a2 bc2時，BC是直角三角形；當(dāng)2 2 2a b時，利用代數(shù)式a2 b2和c2的大小關(guān)系，探究 ABC的形狀（按角分類）.三角形；當(dāng)ABC三邊分別為6、8、（1 ）當(dāng)- ABC三邊分別為6、8、9時，AABC為11時，.ABC為三角形.(2) 猜想，當(dāng)a2 b2c2時，ABC為銳角三角形；當(dāng)a2 b2c2時，AABC為鈍角三角形.(3) 判斷當(dāng)a=2 , b=4時，ABC的形狀，并求出對應(yīng)的 c的取值范圍.35. 、閱讀理解：在 ABC 中，BC 二a, CA =b , AB 二c ;(1) 若.C為直角，則a2 - b2 =c2

18、;(2) 若/ C為銳角，則a2 b2與c2的關(guān)系為：a2 b2 c2證明：如圖過 A作AD _ BC于D，貝U BD =BC -CD =a _CD在 ABD 中：AD2 二AB2 -BD2在.ACD 中：AD2 =AC2 -CD22 2 2 2AB -BD =AC -CD2 2 2 2c (a - CD) b CD.a2 b2c2 =2丄CD；a 0, CD 02, .22亠m2, .22.a b c 0 ,所以：a b c(3 )若也C為鈍角，試推導(dǎo)a2 b2與c2的關(guān)系.二、探究問題：在 ：ABC中，BC=a=3 , CA二b =4 , AB二c ;若.：ABC是鈍角三角形，求第三邊c的

19、取值范圍.36. 已知a、b、c是 ABC的三邊，且滿足 a4 - b2cb4 a2c2，試判斷- ABC的形狀.閱讀下面解題過程：解：由 a4 亠b2c2 =b4 a2c2得:a4 -b4 =a2c2 - b2c22 2 2 2 22 2 (a b )(a -b ) =c (a -b ) 即 a2 b2 =c2 .ABC 為 Rt .試問：以上解題過程是否正確:若不正確，請指出錯在哪一步？(填代號) 錯誤原因是本題的結(jié)論應(yīng)為37. 如圖a , . EBF =90，請按下列要求準(zhǔn)確畫圖：1在射線BE、BF上分別取點 A、C，使BC :：: AB ：2BC，連接AC得直角.：ABC ；2:在AB

20、邊上取一點 M，使AM BC ,在射線CB邊上取一點N，使(N BM ，直線AN、CM相交于點P .(1 )請用量角器度量.APM的度數(shù)為 ;(精確到1 )(2) 請用說理的方法求出 ZAPM的度數(shù)；(3) 若將中的條件“ BCAB2BC ”，其他條件不變，你能自己在圖b中畫出圖形，求出 ZAPM的度數(shù)嗎？FFE S E B38. 如圖，D、E分別是 ABC的邊BC和AB上的點，ABD與.：ACD的周長相等， ：CAE 與ACBE的周長相等.設(shè) BC =a , AC =b , AB =c .(1 )求AE和BD的長；(2)若 /BAC =90 , ABC 的面積為 S，求證：S =AE|_BD

21、 .39. 小強(qiáng)家有一塊三角形菜地，量得兩邊長分別為40m, 50m，第三邊上的高為 30m .請你幫小強(qiáng)計算這塊菜地的面積.(結(jié)果保留根號)40. ABC中，BC二a , AC二b , AB二c .若 C =90，如圖1，根據(jù)勾股定理，則2 2 2 2 2 a b二c .若 ABC不是直角三角形，如圖2和圖3,請你類比勾股定理，試猜想a b與c2的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.團(tuán)1圖2圖341 張老師在一次“探究性學(xué)習(xí)”課中，設(shè)計了如下數(shù)表：n2345seaa22 132 _142 152 _1a a ab46810a a ac22 +132 +142 +152 +1sea(1)請你分別觀察a，b，

22、c與n之間的關(guān)系，并用含自然數(shù) n(n .1)的代數(shù)式表示:a =， b =， c =；(2)猜想：以a，b，c為邊的三角形是否為直角三角形并證明你的猜想.42據(jù)我國古代周髀算經(jīng)記載，公元前 1120年商高對周公說，將一根直尺折成一個直角，兩端連接得一個直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五后人概括為“勾三，股四，弦五” (1) 觀察：3, 4, 5;5,12,13;7,24 ,25;,發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3111 1起就沒有間斷過.計算一(9-1)、一(9 1)與一(25-1)、-(25 1)，并根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，2 2 2 2分別寫出能表示7, 24, 25的股和弦的算

23、式；(2) 根據(jù)(1)的規(guī)律，用n(n為奇數(shù)且n3)的代數(shù)式來表示所有這些勾股數(shù)的勾、股、弦，合情猜想他們之間二種相等關(guān)系并對其中一種猜想加以證明；(3) 繼續(xù)觀察4, 3, 5; 6, 8, 10; 8, 15, 17;，可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個數(shù)都是偶數(shù)，且從4起也沒有間斷過運(yùn)用類似上述探索的方法，直接用m(m為偶數(shù)且m 4)的代數(shù)式來表示他們的股和弦.43.如圖，梯子 AB斜靠在墻上，._ACB =90 , AB =5米，BC =4米，當(dāng)點B下滑到點B 時，點A向左平移到點 A 設(shè)BB =x米(0 ：:x ：:4) , AAy米.(1)用含x的代數(shù)式表示y ;(2) 當(dāng)x為何值時，點B下滑的

24、距離與點 A向左平移的距離相等？(3) 請你對x再取幾個值，計算出對應(yīng)的y值，并比較對應(yīng)的y值與x值的大小(y值可以用精確到0.01的近似數(shù)表示，也可用無理數(shù)表示).(4) 根據(jù)第(1)(3)題的計算，還可以結(jié)合畫圖、觀察，推測y與x的大小關(guān)系及對 應(yīng)的x的取值范圍.44已知某開發(fā)區(qū)有一塊四邊形的空地ABCD，如圖所示，現(xiàn)計劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量 /A =90 , AB =3m , BC =12m , CD =13m , DA =4m，若每平方米草皮需要 200元，問要多少投入？45. 如圖，一個無蓋的正方體盒子的棱長為10厘米，頂點G處有一只昆蟲甲，在盒子的內(nèi)部頂點A處有一只昆蟲乙.(盒

25、壁的厚度忽略不計)(1) 假設(shè)昆蟲甲在頂點 G處靜止不動，在圖 畫出一條路徑，使昆蟲乙從頂點A沿這條路徑爬行，可以在最短的時間內(nèi)捕捉到昆蟲甲.(請簡要說明畫法)(2) 如圖，假設(shè)昆蟲甲靜止不動，昆蟲乙從頂點A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆蟲乙至少需要多長時間才能捕捉到昆蟲甲？(3) 如圖，假設(shè)昆蟲甲從頂點 G，以1厘米/秒的速度在盒子的內(nèi)部沿棱GC向下爬行， 同時昆蟲乙從頂點 A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆蟲乙至少需要多長時間才 能捕捉到昆蟲甲？(精確到 1s).參考數(shù)據(jù)：: 4.4 , 21 : 4.6 .46. 在合肥市地鐵一號線的修建過程中，原設(shè)計的地鐵車站出入口高度較

26、低，為適應(yīng)地形，把地鐵車站出入口上下樓梯的高度普遍增加了， 如圖所示，已知原設(shè)計樓梯 BD長20米, 在樓梯水平長度(BC)不發(fā)生改變的前提下，樓梯的傾斜角由 30增大到45，那么新設(shè)計的樓梯高度將會增加多少米？(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：.2/.414， . 3、1.732)47. 如圖，小強(qiáng)在江南岸選定建筑物A，并在江北岸的B處觀察，此時，視線與江岸 BE所成的夾角是30，小強(qiáng)沿江岸 BE向東走了 500m，到C處，再觀察 A，此時視線 AC與 江岸所成的夾角.ACE =60 根據(jù)小強(qiáng)提供的信息，你能測出江寬嗎？若能，寫出求解 過程(結(jié)果可保留根號)；若不能，請說明理由.48. 在 ABC

27、中，AC =BC , ACB -90 , D、E 是直線 AB 上兩點. DCE =45(1 )當(dāng)CE _AB時，點D與點A重合，顯然 DEAD2 BE2 (不必證明);(2) 如圖，當(dāng)點D不與點A重合時，求證：DEAD2 BE2 ；(3) 當(dāng)點D在BA的延長線上時，(2)中的結(jié)論是否成立？畫出圖形，說明理由.DEB49. 如圖，四邊形 ABCD 中，AB _BC , AD _ AB , AB =1 , BC =CD =2 .求四邊形 ABCD的周長和面積.50.定義：三邊長和面積都是整數(shù)的三角形稱為“整數(shù)三角形”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組的同學(xué)從 32根等長的火柴棒(每根長度記為1個單位)中取 出若干根，

28、首尾依次相接組成三角形，進(jìn)行探究活動.小亮用12根火柴棒，擺成如圖所示的“整數(shù)三角形”；小穎分別用24根和30根火柴棒擺出直角“整數(shù)三角形”；小輝受到小亮、 小穎的啟發(fā)， 分別擺出三個不同的等腰“整數(shù)三角形”.(1) 請你畫出小穎和小輝擺出的“整數(shù)三角形”的示意圖；(2) 你能否也從中取出若干根， 按下列要求擺出“整數(shù)三角形”，如果能，請 畫出示意圖；如果不能，請說明理由. 擺出等邊“整數(shù)三角形”； 擺出一個非特殊 (既 非直角三角形，也非等腰三角形)“整數(shù)三角形”.勾股定理難題50道參考答案與試題解析選擇題（共2小題） 1.已知：如圖，無蓋無底的正方體紙盒 ABCDEFGH，P，Q分別為棱F

29、B，GC上的點，且FP SB , g1qc，若將這個正方體紙盒沿折線AP -PQ -QH裁剪并展開，得A .一個六邊形B .一個平行四邊形C .兩個直角三角形D .一個直角三角形和一個直角梯形11 2 2 【解答】 解：依題意可知，BP BF DH , CQ CG DH ,3333又；PB/CQ/DH ,.CAPBs . AQCsahD ,.A、P、Q、H四點共線，平面展開圖形為平行四邊形（如圖）故選：B .2.已知 厶ABC中，AB =17 , AC =10, BC邊上的高 AD =8，則邊BC的長為（）B. 15A . 21C . 6D .以上答案都不對【解答】解：在直角三角形 ABD中，

30、根據(jù)勾股定理，得 BD =15 ; 在直角三角形 ACD中，根據(jù)勾股定理，得 CD =6 .當(dāng)AD在三角形的內(nèi)部時，BC =15 6 =21 ;當(dāng)AD在三角形的外部時，BC =15 -6 =9 .則BC的長是21或9.CDDB二.填空題（共24小題）2cm ,高為3cm的圓柱體側(cè)面上，用一條無彈性的絲帶從A至C按如圖所3、.二2 1 _ cm .（結(jié)果保留二）3.在底面直徑為最短長度為B，高為6cm .如果用一根細(xì)線從點 A開始經(jīng)那么所用細(xì)線最短需要10 cm .:無彈性的絲帶從 A至C，繞了 1.5圈, .展開后 AB =1.5 2二=3:cm, BC =3cm, 由勾股定理得：AC - .

31、 AB2 BC2 二 9二2 9 =3：二2 1cm .【解答】解：將長方體展開，連接29TaA： =13 13=8(cm) , AB =6cm ,根據(jù)兩點之間線段最短，AB 8 6 10cm .除了有勾股定理這樣著名的定理外，它還有許多奇妙的特性值得我們?nèi)ヌ剿鳎?，在Rt.lABC中，.C =90，/A、/B、. C的對邊分別S為a、b、c 設(shè)S Abc =S，a b l，則S與I的比學(xué)蘊(yùn)含著一個奇妙的規(guī)律，這個規(guī)律與abc的值有關(guān)，觀察下面 a、b、c取具體勾股數(shù)的表：三邊a、b、ca +b cISS/I34521261/ 26810424241512134303018151764060

32、3/2121620848962BBSBBS B B B BSB若a b -c二m，則觀察上表我們可以猜想出 m_ (用含m的代數(shù)式表示)I 一 4 【解答】解：；m=a，b-c=3,4-5=2 時，=I 24m =a b -c =6 8 -10=5 12 -13=4時，S =1；I 4S36m =a bc=8 15 17 =6 時，一=一=一；I 24m =a b -c =12 16-20 =8 時，S =2；I4-我們可以猜想出 .I 4故答案為-.6 .等腰 ABC的底邊BC =8cm,腰長AB =5cm，動點P在底邊上從點 B開始向點C以0.25cm/秒的速度運(yùn)動，當(dāng)點 P運(yùn)動到PA與腰

33、垂直的位置時，點 P運(yùn)動的時間應(yīng)為 _7 或 25 秒.【解答】解：如圖，作AD _ BC，交BC于點D ,:BC =8cm ,1BD 二 CDBC 二 4cm ,22 2.AD 二 AB -BD =3 ,分兩種情況：當(dāng)點 P運(yùn)動t秒后有PA_AC時，(+ 2 2 2 2 2 2 2 2 2.AP =PD AD =PC -AC , . PD AD =PC -AC ,2 2 2 2.PD 3 =(PD 4) -5 . PD =2.2 5 , .BP =4 -2.25 =1.75 =0.2 5t,.t =7 秒，當(dāng)點P運(yùn)動t秒后有PA_AB時，同理可證得 PD =2.25 , .BP =4 2.2

34、5 =6.25 =0.25t, .t =25秒,.點P運(yùn)動的時間為7秒或25秒.7閱讀以下解題過程：已知a , b , c為 ABC的三邊，且滿足 a2c2 -b2c2二a4 -b4，試判斷 ABC的形狀.錯解：Ta2c2 -b2c2 =a4-b4. (1),2,2 . 2. . 2 . 2 2 , 2.一、.c (a -b ) =(a -b )(a b (2), .c2 =a2，b2. (3)問：(1) 上述解題過程，從哪一步開始發(fā)現(xiàn)錯誤請寫出該步的代號(2) 錯誤的原因是_.(3) 本題正確的結(jié)論是【解答】解：；c2(a2 _b2)=(a2_b2)(a2b2).應(yīng)有c2(a2_b2)_(a

35、2_ b2)( a2 b2)= 0尋到2 2 2 2 2 2 2 222 222 (a -b )c -(a +b )= 0 (a -b )=0 或c -(a +b ) =0，即 a =b或 a+b =c ,.根據(jù)等腰三角形得定義和勾股定理的逆定理，三角形為等腰三角形或直角三角形故填，不能確定a2 -b2是否為0，等腰三角形或直角三角形.&勾股定理是初等幾何中的一個基本定理.這個定理有十分悠久的歷史，兩千多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，我國古代三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)造的弦圖，是最早證明勾股定理的方法，所謂弦圖是指在正方形的每一邊上各取一個點，再連接四點構(gòu)成一個正方形，它可以驗證勾股定理

36、. 在如圖的弦圖中，已知：正方形EFGH的頂點E、F、G、H分別在正方形 ABCD的邊DA、AB、BC、CD上.若正方形 ABCD的面積=16 , AE =1 ;則正方形EFGH的面積二10.【解答】 解：t四邊形EFGH是正方形，.EH 二FE, . FEH =90 ,7 AEF . AFE =90 ,. AEF DEH =90 ,AFE = DEH ,:在.AEF和厶DHE中，壬 A =/D- ZAFE ZDEH ,EF =HE AEF 三 DHE ,.AF =DE ,t正方形ABCD的面積為16,.AB =BC =CD =DE =4 ,.AF 二 DE 二 AD -AE =4-1=3,在

37、 Rt AEF 中，EF =：；AE2 AF2 =10 ,故正方形EFGH的面積二.1010 =10 .故答案為：10.9 .一棵高9米的樹從離地面 4米處折斷，樹旁有一個身高為1米的小孩，則小孩至少離開這棵樹 4米才是安全的.【解答】解：如圖,折斷前折斷肓BC即為大樹折斷處 4m減去小孩的高1m，貝U BC =4 -1 =3m , AB =9 - 4 =5m ,在 Rt. ABC 中，AC =沁2 BC，=.；54米.即小孩至少離開這棵樹 4米才是安全的.故答案為：4.10.如圖，長方體的底面是邊長為1cm的正方形，高為3cm .如果從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞2圈到達(dá)點B，那么所用細(xì)線最短需

38、要.73_ cm .t從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞2圈到達(dá)點B ,展開后 AC =1cm 8 =8cm , BC =3cm ,由勾股定理得：ABAC2 BC2 - 73cm .故答案為：73 .11 如圖所示的 勾股樹”中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的邊長為12cm，則A、B、C、D四個小正方形的2 cm【解答】解：如右圖所示,根據(jù)勾股定理可知,S正方形2 S正方形3二S正方形1，S正方形C S正方形D = S正方形2 ，Se方形A S正方形B = S正方形3，2S正方形C S正方形D S正方形A S正方形B = S正方形1 = 12 144 .可得1的小

39、正方形構(gòu)成一個大正方形，連接小正方形的三個頂點,到. ABC，則AABC中BC邊上的高是.2 【解答】 解：由題意知，小四邊形分別為小正方形，所以B、C為EF、FD的中點,S.ABC正方形 AEFD -S.AeB_S.BfC 一Sc DA111=2 2 1 2 11 1 2 ,222_3.2. ：ABC中BC邊上的高是i 2*故答案為：1J2.ABC =90，分別以BC、AB、AC為邊向外作正方形，面積分則 S =一2=AC2，2 2.AB BC2 2.BC =AC-AB2，452BC S、弦實二主采及黃來實六黃賣一DBEl團(tuán)2【解答】 解：將四邊形MTKN的面積設(shè)為x，將其余八個全等的三角形

40、面積一個設(shè)為y ,1正方形 ABCD，正方形EFGH，正方形 MNKT的面積分別為 S,E , S +S +S3=10， 得出 S =8y x， S2 =4y x， S3 =x， .S S2 S3 =3x 12y =10，故 3x 12y =10，x亠4y所以 S2 =x 4y1015某校九年級學(xué)生準(zhǔn)備畢業(yè)慶典，打算用橄欖枝花圈來裝飾大廳圓柱已知大廳圓柱高4米，底面周長1米由于在中學(xué)同學(xué)三年，他們打算精確地用花圈從上往下均勻纏繞圓5 米.則有螺旋線長為三個長方形并排后的長方形的對角線長 ：圓柱高4米，底面周長1米2 2 2x =(1 3)4 =9 16 =25 所以，花圈長至少是 5m .D1

41、6. Rt. ABC 中，ZBAC =90 , AB = AC =2 .以 AC 為一邊,BC外部作等腰直角三角形ACD，則線段BD的長為 4或2 5或【解答】 解：以A為直角頂點，向外作等腰直角三角形DAC ,=AC.BD 二 BA AD =2 2 =4 ；以C為直角頂點，向外作等腰直角三角形ACD，連接BD，過點D作DE _ BC，交BC的延長線于 E .7 ABC是等腰直角三角形，/ACD =90 ,-ZDCE =45 ,又；DE _CE ,.-DEC =90 ,.CDE =45 ,.CE =DE =2在 Rt . BAC 中，BC.BD *BE2 DE2 = (2 .22)2(、2)2

42、 =2.5 ;以AC為斜邊，向外作等腰直角三角形ADC ,.ZADC =90 , AD =DC，且 AC =2 ,.2AD = DC = AC sin45 =22 ,2又7 ABC ADC是等腰直角三角形，.ACB =/ACD =45 ,.BCD =90 ,又.在 Rt. ABC 中，BC =：2222 =2 .2 ,.BD hjBC2 CD2 = ：(2.2)2(. 2)2 =.：；10 .故BD的長等于4或2 5或SO .17.勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣.1955年希臘發(fā)行了二枚以勾股圖為背景的郵票 .所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向 外作正方形構(gòu)成，它可以驗證勾股

43、定理.在右圖的勾股圖中，已知ACB =90 , - BAC =30 , AB =4 .作 PQR 使得 R =90，點 H 在邊 QR上, 點D，E在邊PR上, 點G，F(xiàn)在邊PQ 上, 那么 PQR的周長等于27 13.3.【解答】解：延長BA交QR于點M，連接AR , AP .:AC 二 GC , BC 二 FC , - ACB= GCF,ABC 三 GFC , CGF - BAC 二 30 ,.HGQ =60 ,:HAC BAD =90 ,BAC DAH =180 ,又 AD / /QR ,RHA DAH =180 ,RHA- BAC =30 ,.QHG =60 ,Q = QHG =. Q

44、GH =60 ,QHG是等邊三角形AC =ABbcos30 =4 一 =2 3 .2則 QH 二HA =HG =AC =2、.3 .在直角.HMA 中，HM = AH si n 60 =2,3 =3 . AM =HaLcos60=3 . 2在直角. AMR 中，MR = AD = AB =4 .QR =2.3 3 4 =72、3 .QP =2QR h4 4込.PR =qrL.3 =7 .3 6 .：PQR 的周長等于 RP QP QR =27 13.3 .故答案為：27 1.3 . *AD=BD，若 AB =8 , BD = 5 ,18 .如圖，在Rt ABC中，乙C =90 ,點D是BC上一

45、點,【解答】 解：設(shè)AC =x , CD =y，由勾股定理得:f 22x (y 5) =64x2 y2 =25消去x，得:2 2(y 5) -y =39 ,整理，得：10y =14，即 y =7 ,5故CD的長為7 .5419如圖，有一個圓柱，它的高等于4cm,底面半徑等干cm，在圓柱下底面的 A點有一71只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的B點處的食物，需要爬行的最短路程是_4 2cm .(結(jié)果保留根號)【解答】解：將圓柱體展開，連接A、B ,根據(jù)兩點之間線段最短，AB二42 42 =4. 2cm .Bz20.將一個含30角的三角板和一個含45角的三角板如圖擺放， ACB與DCE完全重合，C

46、 =90 , - A = 45 , EDC =60 , AB = 4遷,DE = 6，貝U EB -3 3 -4【解答】解：在Rt ABC中，:AB = 4、2，厶A = 45 ,.BC =4、2 -1=42在Rt EDC中，:EDC =60 , DE =6 ,.CE =DE|_sin . EDC =62.BE =CE -BC =3.3 -4 .故填空答案：3、3-4 .221 .某小區(qū)有一塊等腰三角形的草地，它的一邊長為20m ,面積為160m，為美化小區(qū)環(huán)境，現(xiàn)要給這塊三角形草地圍上白色的低矮柵欄，則需要柵欄的長度為_20 489或40 16 5 或 408 5_m .【解答】解：（1）當(dāng)

47、20是等腰三角形的底邊時，根據(jù)面積求得底邊上的高AD是16，再根據(jù)等腰三角形的三線合一，知：底邊上的高也是底邊上的中線，即底邊的一半BD=10，根據(jù)勾股定理即可求得其腰長 AB二.AD2 BD2 = 100一256 =2 89，此時三角形的周長是20 4 89 ;（2）當(dāng)20是腰時，由于高可以在三角形的內(nèi)部，也可在三角形的外部，又應(yīng)分兩種情況.根據(jù)面積求得腰上的高是 16；當(dāng)高在三角形的外部時，2-CD =12，從而可得 BD =32，進(jìn)一步根據(jù)勾股定理求得其底邊是BC二CD2 BD2162 322 1&拆，此時三角形的周長是40 16 5 ；當(dāng)高在三角形的內(nèi)部時,在RT CDB中，BC =T

48、CD2 BD2是162 82 =8.5，此時三角形的周長是 40 8.5 ；故本題答案為： 20 4.89或40 16 5或40 8 .5 .22. 九章算術(shù)勾股”章有一題：今有開門去閫（ku n） 尺，不合二寸，問門廣幾何.” 大意是說：今推開雙門，門框距離門檻1尺，雙門間的縫隙為 2寸，那么門的寬度（兩 扇門的和）為 10.1 尺.【解答】解：設(shè)單門的寬度是x米，根據(jù)勾股定理，得x2 =1（x-0.1）2, x=5.05，則2x =0 尺.23. 如圖是一個長8m、寬6m、高5m的倉庫，在其內(nèi)壁的點 A （長的四等分點）處有一只 壁虎、點B （寬的三等分點）處有一只蚊子.則壁虎爬到蚊子處的

49、最短距離為85_ m .【解答】 解：將正方體的上面剪開則變成如圖1所示的正方形，是長的四等分點，B是寬的三等分點，長 8m、寬6m、高5m,AC 二6m， BD 二2m ， BC 二CD 亠BD 二5 亠2 二7m，.AB 二.AC2 BC2 = , 62 72 - . 85m .如圖2所示，:AC =5 米, BC =8 米,則 AB = .52 8289 米;如圖 3, AB= .62 (6 5 4)2261(米),.85 ：、89 ：、261 ,-最短路程為、85米.故答案為：85 .則最短距離為.85米.故答案為：85 .24. 如圖，Rt ABC的兩直角邊分別為 1, 2,以Rt.

50、ABC的斜邊AC為一直角邊，另一直角邊為1畫第二個：ACD ；在以.ACD的斜邊AD為一直角邊，另一直角邊長為1畫第三個 ADE ;，依此類推，第n個直角三角形的斜邊長是 _ nr【解答】解：第1個直角三角形的斜邊長是 5=：煒訂5 ；第2個直角三角形的斜邊長是5一1 =,；6 =聖4 ；.依次可得第n個直角三角形的斜邊長的被開方數(shù)比第開方數(shù)大1 ；（n -1）個直角三角形的斜邊長的被故第n個直角三角形的斜邊長是. n4 .故答案為：.n 4 .25. 如圖所示的長方體是某種飲料的紙質(zhì)包裝盒，規(guī)格為5 6 10 （單位：cm），在上蓋中開有一孔便于插吸管，吸管長為13cm，小孔到圖中邊AB距離

51、為1cm，至吐蓋中與AB相鄰的兩邊距離相等，設(shè)插入吸管后露在盒外面的管長為hem，則h的最小值大約為_2cm .（精確到個位，參考數(shù)據(jù)：.2 -1.4，3 : 1.7，5 2.2）.吸管【解答】解：如圖所示：連接 DC , CF ,由題意：ED =3 , EC =5_1 =42 2 2 2CD =3 4 =25=5 ,2 2 2CF =510 =125 ,.吸管口到紙盒內(nèi)的最大距離=125.5 11cm .h =13 -11 ： 2cm .故答案為：2.吸管26. 如圖，有一圓柱體，它的高為20cm，底面半徑為7cm .在圓柱的下底面 A點處有一個蜘蛛，它 想吃到 上底面上 與A點相對的B點處

52、的蒼蠅，需要 爬行的 最短路徑 是（結(jié)果用帶根號和 二的式子表示）.把圓柱得側(cè)面展開，得到如圖所示的圖形,其中 AC =MR =7二，BC =20 ,在 Rt ABC 中，AB （7二）2 20249：2 400 .故答案為： 49二2 * 400 .三解答題(共24小題)27. 已知 ABC 中，AB 二 AC .(1) 如圖 1,在 AADE 中，若 AD =AE，且.DAE = . BAC，求證：CD = BE ;(2) 女口圖 2，在.ADE 中，若.DAE =. BAC =60 ，且 CD 垂直平分 AE，AD=3，CD =4，求BD的長；(3)如圖3,在.IADE中，當(dāng)BD垂直平分 AE于H，且.BAC = 2 ADB 時，試探究CD2，BD2，AH2之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.DAE ： _CAE =/BAC CAE ,即