3．2立體幾何中的向量方法（第五課時(shí)）

1、3.2 3.2 立體幾何中的向量方法（一）立體幾何中的向量方法（一）設(shè)直線設(shè)直線l,m的方向向量分別為的方向向量分別為a,b，平面，平面， 的法向量分別為的法向量分別為u,v,則則線線平行：線線平行：lm a b a=kb;線面平行：線面平行：l au au=0;面面平行：面面平行： u v u=kv.線線垂直：線線垂直：l m a b ab=0;面面垂直：面面垂直： u v uv=0.線面垂直：線面垂直：l a u a=ku;二、講授新課二、講授新課1 1、用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的、用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“三步曲三步曲”。 （1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間）建立立體圖形與

2、空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題； （2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的）通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問(wèn)題；位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問(wèn)題；（3）把向量的運(yùn)算結(jié)果）把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。成相應(yīng)的幾何意義。（化為向量問(wèn)題）（化為向量問(wèn)題）（進(jìn)行向量運(yùn)算）（進(jìn)行向量運(yùn)算）（回到圖形問(wèn)題）（回到圖形問(wèn)題） 例例1：如圖如圖1：一個(gè)結(jié)晶體的形狀為四棱柱，其中，：一個(gè)結(jié)晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點(diǎn)以頂點(diǎn)

3、A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等，且它們彼此的夾為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等，且它們彼此的夾角都是角都是60，那么以這個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的晶體的對(duì)角，那么以這個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的晶體的對(duì)角線的長(zhǎng)與棱長(zhǎng)有什么關(guān)系？線的長(zhǎng)與棱長(zhǎng)有什么關(guān)系？ A1B1C1D1ABCD圖圖1解：解：如圖如圖1，設(shè)，設(shè) BADADAAAB， 11 6011DAABAA化為向量問(wèn)題化為向量問(wèn)題依據(jù)向量的加法法則，依據(jù)向量的加法法則，11AAADABAC 進(jìn)行向量運(yùn)算進(jìn)行向量運(yùn)算2121)(AAADABAC )( 2112122AAADAAABADABAAADAB )60cos60cos60(cos2111 6 所以所以6|1 AC回到圖形問(wèn)題回到

4、圖形問(wèn)題這個(gè)晶體的對(duì)角線這個(gè)晶體的對(duì)角線 的長(zhǎng)是棱長(zhǎng)的的長(zhǎng)是棱長(zhǎng)的 倍。倍。1AC6思考：思考：（1）本題中四棱柱的對(duì)角線）本題中四棱柱的對(duì)角線BD1的長(zhǎng)與棱長(zhǎng)的長(zhǎng)與棱長(zhǎng)有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？ A1B1C1D1ABCD11BBBCBABD 60 120 11BCBABBABC，其其中中分析分析:思考：思考： （2 2）如果一個(gè)四棱柱的各條棱）如果一個(gè)四棱柱的各條棱長(zhǎng)都相等，并且以某一頂點(diǎn)為端長(zhǎng)都相等，并且以某一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都等于點(diǎn)的各棱間的夾角都等于 , , 那那么有這個(gè)四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)可么有這個(gè)四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)可以確定棱長(zhǎng)嗎以確定棱長(zhǎng)嗎? ? A1B1C1D1ABCD分析分

5、析: 1111 DAABAABADxAAADABaAC，設(shè)設(shè)11 AAADABAC 則由則由)( 211212221AAADAAABADABAAADABAC )cos3(23 222 xxa 即即ax cos631 這個(gè)四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)可以確定棱長(zhǎng)。這個(gè)四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)可以確定棱長(zhǎng)。（3 3）本題的晶體中相對(duì)的兩個(gè)平面之間的距）本題的晶體中相對(duì)的兩個(gè)平面之間的距離是多少？（提示：求兩個(gè)平行平面的距離，離是多少？（提示：求兩個(gè)平行平面的距離，通常歸結(jié)為求兩點(diǎn)間的距離）通常歸結(jié)為求兩點(diǎn)間的距離）A1B1C1D1ABCDH 分析：分析：面面距離面面距離回歸圖形回歸圖形點(diǎn)面距離點(diǎn)面距離向量的模向量

6、的模. 11HACHAA于點(diǎn)于點(diǎn)平面平面點(diǎn)作點(diǎn)作過(guò)過(guò) 解：解：. 1的的距距離離為為所所求求相相對(duì)對(duì)兩兩個(gè)個(gè)面面之之間間則則HA111 AAADABBADADAABA 且且由由. 上上在在 ACH3 360cos211)(22 ACBCABAC1111()cos60cos601.AA ACAAABBCAA ABAA BC 31|cos 111 ACAAACAAACA36sin 1 ACA36sin 111 ACAAAHA 所求的距離是所求的距離是。 36A1B1C1D1ABCDH練習(xí)練習(xí): : 如圖如圖2 2，空間四邊形，空間四邊形OABCOABC各邊以及各邊以及ACAC，BOBO的長(zhǎng)都是的長(zhǎng)

7、都是1 1，點(diǎn)，點(diǎn)D D，E E分別是邊分別是邊OAOA，BCBC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連結(jié)連結(jié)DEDE，計(jì)算，計(jì)算DEDE的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。 OABCDE圖圖2 例例2 2：如圖如圖3 3，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)A A處，乙站在水處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)壩斜面上的點(diǎn)B B處。從處。從A A，B B到直線到直線 （庫(kù)底與水壩的交線）（庫(kù)底與水壩的交線）的距離的距離ACAC和和BDBD分別為分別為 和和 ,CD,CD的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為 , AB, AB的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為 。求庫(kù)底與水壩所成二面角的余弦值。求庫(kù)底與水壩所成二面角的余弦值。 labcd解：解：如圖，如圖，. dABcCDbBDaAC ，

8、化為向量問(wèn)題化為向量問(wèn)題根據(jù)向量的加法法則根據(jù)向量的加法法則DBCDACAB 進(jìn)行向量運(yùn)算進(jìn)行向量運(yùn)算222)(DBCDACABd )(2222DBCDDBACCDACBDCDAB ABCD 圖圖3DBACbca 2222DBCAbca 2222于是，得于是，得22222dcbaDBCA CADB 因此因此.cos22222dcbaab 設(shè)向量設(shè)向量 與與 的夾角為的夾角為 ， 就是庫(kù)底與水壩所成的就是庫(kù)底與水壩所成的二面角。二面角。所以所以.2cos2222abdcba 回到圖形問(wèn)題回到圖形問(wèn)題庫(kù)底與水壩所成二面角的余弦值為庫(kù)底與水壩所成二面角的余弦值為.22222abdcba 例例2 2：

9、如圖如圖3 3，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)A A處，乙站在水處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)壩斜面上的點(diǎn)B B處。從處。從A A，B B到直線到直線 （庫(kù)底與水壩的交線）（庫(kù)底與水壩的交線）的距離的距離ACAC和和BDBD分別為分別為 和和 ,CD,CD的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為 , AB, AB的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為 。求庫(kù)底與水壩所成二面角的余弦值。求庫(kù)底與水壩所成二面角的余弦值。 labcd思考：思考： （1）本題中如果夾角）本題中如果夾角 可以可以測(cè)出，而測(cè)出，而AB未知，其他條件不變，未知，其他條件不變，可以計(jì)算出可以計(jì)算出AB的長(zhǎng)嗎？的長(zhǎng)嗎？ ABCD 圖圖322)( DBCDACAB 由由)(2

10、222DBCDDBACCDACBDCDAB 分析：分析： cos2222abbca 可算出可算出 AB 的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。 （2）如果已知一個(gè)四棱柱的各棱）如果已知一個(gè)四棱柱的各棱長(zhǎng)和一條對(duì)角線的長(zhǎng)，并且以同一頂點(diǎn)長(zhǎng)和一條對(duì)角線的長(zhǎng)，并且以同一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都相等，那么可為端點(diǎn)的各棱間的夾角都相等，那么可以確定各棱之間夾角的余弦值嗎？以確定各棱之間夾角的余弦值嗎？ 分析：分析：如圖，設(shè)以頂點(diǎn)如圖，設(shè)以頂點(diǎn) 為端點(diǎn)的對(duì)角線為端點(diǎn)的對(duì)角線長(zhǎng)為長(zhǎng)為 ，三條棱長(zhǎng)分別為，三條棱長(zhǎng)分別為 各棱間夾角為各棱間夾角為 。A1B1C1D1ABCDAd， cba 21212)( CCACABCAd 則則 co

11、s)(2222acbcabbca )(2cos 2222acbcabcbad （3）如果已知一個(gè)四棱柱的各棱長(zhǎng)都等于）如果已知一個(gè)四棱柱的各棱長(zhǎng)都等于 ，并且以某一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都等于并且以某一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都等于 ，那，那么可以確定這個(gè)四棱柱相鄰兩個(gè)夾角的余弦值嗎？么可以確定這個(gè)四棱柱相鄰兩個(gè)夾角的余弦值嗎？a A1B1C1D1ABCD分析：分析： 二面角二面角平面角平面角向量的夾角向量的夾角回歸圖形回歸圖形 解：解：如圖，在平面如圖，在平面 AB1 內(nèi)過(guò)內(nèi)過(guò) A1 作作 A1EAB 于點(diǎn)于點(diǎn) E，EF在平面在平面 AC 內(nèi)作內(nèi)作 CFAB 于于 F。 cos sin 1

12、aBFAEaCFEA ，則則 CFEAFCEA cos coscos 11， |11CFEACFEA 221sin)()(aBFCBAEAA 2222222sincos)cos(cos)cos(coscosaaaaa cos1cos 可以確定這個(gè)四棱柱相鄰兩個(gè)夾角的余弦值?？梢源_定這個(gè)四棱柱相鄰兩個(gè)夾角的余弦值。練習(xí)：練習(xí)： （1 1）如圖）如圖4 4，6060的二面角的二面角的棱上有的棱上有A A、B B兩點(diǎn)，直線兩點(diǎn)，直線ACAC、BDBD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直內(nèi)，且都垂直ABAB，已知，已知ABAB4 4，ACAC6 6，BDBD8 8，求，求CDCD的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。 B圖圖4ACD （2）三棱柱）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是邊長(zhǎng)中，底面是邊長(zhǎng)為為2的正三角形，的正三角形，A1AB45，A1AC60，求二面角，求二面角B-A A1-C的平面角的余弦值。的平面角的余弦值。 ABCA1B1C1圖圖5小結(jié)：小結(jié)：用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“三步曲三步曲”。面面距離面面距離回歸圖形回歸圖形點(diǎn)面距離點(diǎn)面距離向量的模向量的模