中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)——方法上(6)課件

1、中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)1高等數(shù)學(xué)方法 第一講中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)2唯有奮斗最風(fēng)流!惜時(shí)如金中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)3此刻打盹，你將做夢(mèng)，學(xué)習(xí)時(shí)的痛苦是暫時(shí)的， 未學(xué)到的痛苦是終身的；學(xué)習(xí)這件事，不是缺乏時(shí)間，學(xué)習(xí)不是人生的全部，請(qǐng)享受無法回避的痛苦；哈佛圖書館的訓(xùn)誡哈佛圖書館的訓(xùn)誡但是人生的一部分;只有比別人更早，更勤奮的努力，此刻學(xué)習(xí)，你將圓夢(mèng)；而是缺乏努力；學(xué)習(xí)也無法征服，還能做什么呢？才能嘗到成功的滋味；中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)4誰(shuí)也不能隨隨便便成功，狗一樣地學(xué)習(xí)，紳士一樣地玩；今天不走，明天要跑；教育程度代表收入；哈

2、佛圖書館的訓(xùn)誡哈佛圖書館的訓(xùn)誡沒有艱辛，便無所獲。它來自徹底的自我管理和毅力；即使現(xiàn)在，對(duì)手也不停地翻動(dòng)書頁(yè)；中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)5培根說培根說：歷史使人聰明，詩(shī)歌使人機(jī)智，數(shù)學(xué)使人精細(xì)。馬克思馬克思：一門科學(xué)只有當(dāng)它達(dá)到了能夠成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)，才算真正發(fā)展了。伽利略認(rèn)為伽利略認(rèn)為：宇宙像一本用數(shù)學(xué)語(yǔ)言寫成的大書，如果不掌握數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，就像在黑暗的迷宮里游蕩，華羅庚華羅庚：數(shù)學(xué)是最寶貴的研究精神之一?？茖W(xué)家語(yǔ)錄科學(xué)家語(yǔ)錄什么也看不清。勤能補(bǔ)拙是良訓(xùn)，一分辛苦一分才。中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)6華羅庚華羅庚 （1910 - 1985）“聰明在于勤奮聰明在于勤奮,

3、, 天才在于積累天才在于積累”“學(xué)而優(yōu)則用學(xué)而優(yōu)則用, , 學(xué)而優(yōu)則創(chuàng)學(xué)而優(yōu)則創(chuàng)”“由薄到厚由薄到厚 , ,由厚到薄由厚到薄”注意問題注意問題：認(rèn)真聽課，扼要記錄，認(rèn)真聽課，扼要記錄， 多做題目，總結(jié)規(guī)律多做題目，總結(jié)規(guī)律。中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)7一提到數(shù)學(xué)， 很多人首先想到的是復(fù)雜的公式、大量的計(jì)算、漫天的數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)、 還有百思不得其解數(shù)學(xué)題。對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生畏懼、反彈心理。. 這與中國(guó)的高中教育偏重于對(duì)于知識(shí)的灌輸，而非對(duì)于知識(shí)的掌握密切相關(guān)。 基于應(yīng)試的壓力， 數(shù)學(xué)教育尤其容易演變?yōu)楣潭愋偷念}海戰(zhàn)術(shù)，某種意義上的死記硬背， 而非激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，這在根本上就是與數(shù)學(xué)教育相

4、背道而馳的。甚至成為這樣使學(xué)生中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)8其實(shí)數(shù)學(xué)背后的思想， 精髓。 數(shù)學(xué)的證明方法才是數(shù)學(xué)的都是約定俗成、極少歧義的概念。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)關(guān)注的是邏輯推演能力。 數(shù)學(xué)是一種表述簡(jiǎn)潔、清晰、歧義較少的邏輯體系。在數(shù)學(xué)中，不僅各種數(shù)字、函數(shù)，就連加、減、乘、除，大于、小于、等于，以及指數(shù)、導(dǎo)數(shù)、積分等符號(hào)本身， 也用清晰、直觀的坐標(biāo)或圖形表達(dá)比較復(fù)雜的邏輯關(guān)系。 而幾何方法， 更是能學(xué)習(xí)的目的是得到某種確定感和安全感，就是一個(gè)戰(zhàn)場(chǎng)，身處戰(zhàn)場(chǎng)絕對(duì)不是一安全的事， 并且上學(xué)有利于得到某種確定感和安全感。 不是為了考高分念書，而是為了不逃避痛苦與討厭的事。 生活本質(zhì)上活脫脫中國(guó)

5、礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)9科學(xué)方法是打開科學(xué)殿堂大門的科學(xué)方法是打開科學(xué)殿堂大門的鑰匙鑰匙 , 是由必然王國(guó)通向自由王國(guó)的是由必然王國(guó)通向自由王國(guó)的橋梁橋梁。數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)的靈魂靈魂高等數(shù)學(xué)方法高等數(shù)學(xué)方法（上）（上）中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)10參 考 書張曉寧、李安昌張曉寧、李安昌： 高等數(shù)學(xué)方法高等數(shù)學(xué)方法 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社，2002.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)11目目 錄錄第一講第一講 高等數(shù)學(xué)中的分析問題和解決問題 方法第二講第二講 研究函數(shù)與極限的基本方法第三講第三講 導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法及微分中值定理應(yīng)用第四講第四講 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的

6、方法第五講第五講 積分學(xué)的概念、性質(zhì)和不定積分的 計(jì)算法第六講第六講 定積分的計(jì)算、證明和解應(yīng)用問題 的方法第七講第七講 試題類型及解題方法分析中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)12前言一一. 為什么要學(xué)為什么要學(xué)“高等數(shù)學(xué)方法高等數(shù)學(xué)方法 (參考前言第一段參考前言第一段)1. 科學(xué)方法的重要性科學(xué)方法的重要性科學(xué)科學(xué)是什么 , 為什么:技術(shù)技術(shù)做什么 , 怎么做:科學(xué)方法科學(xué)方法橋梁與鑰匙。反映自然、 社會(huì)、思維的客觀規(guī)律的分科的知識(shí)體系。進(jìn)行物資資料生產(chǎn)所憑借的方法和能力。中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)13數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思維的體操科學(xué)的語(yǔ)言生活的需要(思路思路)(表達(dá)表達(dá))(應(yīng)用

7、應(yīng)用)數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)方法對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的認(rèn)識(shí)對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的認(rèn)識(shí)思維方法解題方法(是數(shù)學(xué)的靈魂是數(shù)學(xué)的靈魂)2. 數(shù)學(xué)方法的含義數(shù)學(xué)方法的含義中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)14二二. “高等數(shù)學(xué)方法高等數(shù)學(xué)方法”的結(jié)構(gòu)與學(xué)習(xí)方法的結(jié)構(gòu)與學(xué)習(xí)方法(參考前言第二、三段參考前言第二、三段)第一部分第一部分 (第一至第七章)每節(jié)包含: 方法指導(dǎo), 實(shí)例分析, 相關(guān)問題第二部分第二部分 (第八至第十一章)包括綜述和提高(從古典數(shù)學(xué)向近代數(shù)學(xué)靠攏 )學(xué)習(xí)方法學(xué)習(xí)方法:1. 掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)方法相結(jié)合；2. 重視分析問題和解決問題的方法；3. 學(xué)習(xí)要縱橫結(jié)合 , 著眼于提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高

8、等數(shù)學(xué)方法上(6)15第一講第一講 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)中的中的 分析問題分析問題 和和 解決問題解決問題 方法方法中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)16一一. 數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)建模方法數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)建模方法 ( P511 , 第一節(jié)第一節(jié) )數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型客觀實(shí)際問題內(nèi)在規(guī)律性的數(shù)學(xué)具有形式化形式化、符號(hào)化符號(hào)化、簡(jiǎn)潔化簡(jiǎn)潔化的特點(diǎn).是一種高度抽象的模型. 有狹義狹義和廣義廣義兩種解釋 .數(shù)學(xué)建模方法數(shù)學(xué)建模方法 實(shí)驗(yàn)歸納法 理論分析法 ( P514 )物理模型數(shù)學(xué)模型求解和分析結(jié)構(gòu).許多物理中的概念都要借助于高等數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)才能說的清楚。中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)17可

9、無限逼近可無限逼近例如例如 , , 為什么用為什么用N及語(yǔ)言定義極限語(yǔ)言定義極限 ? ? 用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積A . .orn圓內(nèi)接正n邊形的面積為nA),5,4,3(n,0N(正整數(shù)) , 當(dāng)Nn 時(shí), 有, AAn記作記作.limAAnn精度要求精度要求邊數(shù)足夠多邊數(shù)足夠多找出找出利用極限知識(shí)可求出 :nAlim2rnncossinn2rnnrcossin2n中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)18 測(cè)量圓面積測(cè)量圓面積2rA直接觀測(cè)量為r間接觀測(cè)量為A.半徑真值為0r面積真值為0A測(cè)量圓半徑得r計(jì)算圓面積為2)(rrf任給精度,0要使0)(Ar

10、f尋找精度,0讓0rr記作20200lim)(limrrrfrrrr中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)19再如再如 , 椅子穩(wěn)定問題椅子穩(wěn)定問題 (P515P516)假設(shè)假設(shè): 四條腿一樣長(zhǎng) ; 地面為連續(xù)曲面 .建模建模:設(shè) A , C 兩腳與地面的距離之和為,0)(2CgB , D 兩腳與地面的距離之和為,0)(2CfABCDABCD不妨設(shè),0)0(g,0)0(f且對(duì)任意有,0)()(gf證明存在, ),0(02使.0)()(00gf中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)20證明證明: 設(shè))()()(gfh,0)0(h, ,0C2又,0)(h2由連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)定理可知 , 存在, )

11、,0(02使0)(0h即)()(00gf又知,0)()(00gf所以0)()(00gf思考思考: 對(duì)長(zhǎng)方形板凳的穩(wěn)定問題如何考慮?不妨設(shè),0)0(g,0)0(f且對(duì)任意有,0)()(gf證明存在, ),0(02使.0)()(00gf2（轉(zhuǎn)后，對(duì)角線互換）。提示提示：相鄰兩腳之和，并旋轉(zhuǎn)1800。中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)21二二 .幾種常用的分析問題的方法幾種常用的分析問題的方法 (P444-455)1. 簡(jiǎn)化方法簡(jiǎn)化方法 2. 直觀分析法直觀分析法3. 逆向分析法逆向分析法 4. 類比法類比法1. 簡(jiǎn)化方法簡(jiǎn)化方法復(fù)雜問題 簡(jiǎn)單問題分解法分解法變換法變換法換元法換元法遞推法遞推

12、法轉(zhuǎn)化法轉(zhuǎn)化法中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)22abba2222122xxbabalnlnlnbabalnlnlnabablnlnabbealn1cossin22xxxxxcossin22sin22cos1sin2xx22cos1cos2xxxx22sectan1xx22csccot1 0lnxexx常用幾個(gè)的初等函數(shù)公式常用幾個(gè)的初等函數(shù)公式22cos2cossinxxx22cos1x21 2sin x 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)23sinsin2sincos221sinsincos()cos()21sincossin()sin()2tantantan()1tanta

13、nsinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin22 sin()sincoscossin1coscoscos()cos()2cos()coscossinsin中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)246ln6ln3ln)(23xxxxf單調(diào)遞減。 提示提示: 令,ln xt )663()(23tttetgt)0(0)(3ttetgt31)(xxxfx)1(x則轉(zhuǎn)化為討論下述函數(shù)在 t 0 時(shí)單調(diào)遞減 . 注意說明說明 1. ) 1()()(33xxxfxg與具有相同的極值點(diǎn) , 故可用后者代替前者討論極值 2. 有些復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題 , 可利用組成

14、它的簡(jiǎn)單例例1. 證明問題與單調(diào)性問題 . 函數(shù)鏈的單調(diào)性傳遞得出 . 如 P445例1.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)25 設(shè), 求提示：將函數(shù)化為提示：將函數(shù)化為則)24cos(41)(nxynnxxy44cossin.)(ny例例2.442222sincos2sincos2sincosyxxxxxx221 2sincosxx 211sin 22x xy4cos41431 cos414x 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)262. 直觀分析直觀分析法法 通過特例或圖形，尋找規(guī)律、方法和結(jié)論. 與幾何形體有關(guān)的問題應(yīng)盡量畫圖尋求啟示. 有關(guān)幾何應(yīng)用畫出圖形找?guī)缀侮P(guān)系 . 填空

15、題和選擇題可用增強(qiáng)條件的方法找結(jié)論.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)27)(xf的圖形關(guān)于例例1. 設(shè)定義在實(shí)數(shù)域上的函數(shù)直線ax 及)(abbx對(duì)稱 , 試證)(xf為周期函數(shù) . ( P.447 例例4 )oyxax bx x)(xfxa2)(2abx直觀分析直觀分析:任取一個(gè)實(shí)數(shù), xxa()2,aaxax2axxb(2)2(), bbaxxba( )(2)(2()f xfaxf xba因此有)(xf是周期為)(2ab的函數(shù) .它關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為而關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為顯然可猜想中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)28)(xf的圖形關(guān)于例例1. 設(shè)定義在實(shí)數(shù)域上的函數(shù)直線ax

16、及)(abbx對(duì)稱 , 試證)(xf為周期函數(shù) . ( P.447 例例4 )oyxax bx x)(xfxa2)(2abx證證:, ),(x有)(2(abxf)2(xaf)(xf因此)(xf是周期為)(2ab的函數(shù) .中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)29拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 )( (1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù))(xfy 滿足:(2) 在區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點(diǎn), ),(ba使.)()()(abafbffxyoab)(xfy 思路思路: 利用逆向思維逆向思維找出一個(gè)滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)作輔助函數(shù)顯然 ,)(x在 a , b 上連續(xù) , 在 ( a

17、 , b ) 內(nèi)可導(dǎo), 且證證: 問題轉(zhuǎn)化為證)(x)(xfxabafbf)()()(a由羅爾定理知至少存在一點(diǎn), ),(ba,0)(使即定理結(jié)論成立 ., )(babbfaafb)()(0)()()(abafbff證畢中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)30漸近線漸近線若,)(limbxfx)(x則)(xfy 有水平漸近線;by 若0lim( ),xxf x 0()xx則)(xfy 有垂直漸近線;0 xx 若,)(limaxxfx)(x,)(limbxaxfx)(x則)(xfy 有斜漸近線.bxay中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)31例例2.2.如何求函數(shù))(xfy 的斜漸近線?

18、bxay分析分析: :oyxx)(xfy bxay由圖可知, 若曲線)(xfy 有斜漸近線,bxay則必有0)()(limbxaxfx從而xxlimxbxxfa)(0 xlimxbxxfa)(0,lim)(xxfxa)(limxaxfbx中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)32例如例如 , 求曲線12( )xf xxe的斜漸近線。解解:xxfxa)(lim)(limxxfbx21limxex11lim21xexx21limxxx0所以曲線有斜漸近線.xy 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)3332(1)xyx32yx32(1)limlimxxyxkxx x32(1)lim()lim(

19、)xxxbykxxx的斜漸近線方程。解解 所求 斜漸近線方程為 例例3 3、求曲線321lim (1)1xxx321lim(1)1xx2005考研考研3 13lim22xxx中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)34練習(xí)練習(xí)、曲線1(1)lim(1)(1)xx xxx221xxyxC0;221lim1xxxx1x 22lim11xxxx1y 漸近線的條數(shù)（ ）；A、1； B、2； C、D、3. 則為垂直漸近線；，則為水平漸近線，解解2012考研考研故沒有斜漸近線。22limlim0(1)xxyxxkxx x中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)35例例4. 求笛卡兒葉形線yxayx333的

20、漸近線 . (P100 例例13)解解: 令 y = t x , 代入原方程得曲線的參數(shù)方程 :x,133ttay3213ttax, 1t因xyxlim1limt3213tta313tta1)(limxyx1limt3213tta313tta)1)(1 ()1 (3lim21tttttata所以笛卡兒葉形線有斜漸近線,axy即0ayx中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)36)(xf),(ba)(xf )(,(),(,(bfbBafaA)(xfy ,)(,(cfcC,bca),(ba 在,ba上連續(xù), 在內(nèi)存在 , 連接兩點(diǎn)的直線交曲線于且試證至少存在一點(diǎn)使.0)( f提示提示:如圖所示,

21、有),(),( )()()()(2121bccaabafbfff)(xf 在,21上應(yīng)用Rolle定理。1 2 CacbAB對(duì)（ P118 題題7 ）例例5.5.已知中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)37逆向思維反推 執(zhí)果溯因反證 利用正命題與逆否命題等價(jià)，反例 找反例說明原命題不正確3. 逆向分析法逆向分析法多用于否命題。中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)38設(shè)函數(shù) 在 0,1 上二階可導(dǎo) , 且證明至少存在一點(diǎn) ,使 .0)() 1()(2 ff) 1 , 0(提示提示: 設(shè)輔助函數(shù))() 1()(2xfxxF )() 1()() 1()() 1(222 xfxxfxxfx在0

22、,1上滿足 Rolle 定理 ,可知有 , 再對(duì) F(x) 在)(xf)(xf0)( f1 ,),0() 1 (ff從結(jié)論入手, 注意到利用上用 Rolle 定理.例例1.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)39在 上連續(xù),在 內(nèi)可導(dǎo),且,試證存在 使得)(xf,ba),(ba0)( xfeabeeffab)()(提示提示:轉(zhuǎn)化為證efeeabfab)()(上滿足 Lagrange 定理?xiàng)l件 ,使,)()()(abfafbf則只需證明efeeafbfab)()()(可見只要對(duì))(xf)(xf),(ba ,),(ba上用 Cauchy 中值定理.( P450,考研考研98 )由于在,ba則有

23、xe,ba及在例例2. 設(shè)函數(shù)中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)400!100!211002xxx無實(shí)根.( P451 例例7 )提示提示:用反證法. 假設(shè)有實(shí)根) 10(!101!100!211011002 xexxxexx代入,0 xx 1010!10100 xeexx 上式兩邊異號(hào)上式兩邊異號(hào), 矛盾, 假設(shè)不真!,00 x,0 x利用顯然則有例例3. 證明方程2100000102!100!xxx中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)41 類比是找相似性, 是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的重要方法。 4. 類比方法類比方法中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)42計(jì)算極限)2)(1(14

24、3213211limnnnn提示提示:類比下列極限) 1(1321211limnnn)111()3121()211 (limnnn111limnn例例 1( P453 例例9)2)(1(1kkk2112limn3223) 1() 1(nnnn)2)(1()2(21kkkkk1中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)43計(jì)算極限)2)(1(143213211limnnnn提示提示:類比下列極限例例 1( P453 例例9)2)(1(1kkk)2)(1()2(21kkkkk1112(1)(1)(2)k kkk1 112 24) 1(1321211limnnn111limnn111(1)(2)nkk

25、 kk11112(1)(1)(2)nkk kkk111112(1)(1)(2)nnkkk kkk1111(1)(1)2122nnn 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)44利用Lagrange 微分中值定理易推出 :若)(xf 在 a , b 上嚴(yán)格單調(diào)增加嚴(yán)格單調(diào)增加 , 則)()()()(bfabafbfaf例例2. 證明下列不等式 :nnxxxnnxnn212lnlnloglog) 1(ln) 1(ln)1, 1(nx中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)45nnxxxnnxnn212lnlnloglog) 1(ln) 1(ln)1, 1(nx提示提示: 將不等式改寫為nnnn)

26、1(ln) 1(ln11設(shè)1( ), ,1lnf ttn nt易證21( ).lnf ttt 若)(xf 在 a , b 上嚴(yán)格單調(diào)增加嚴(yán)格單調(diào)增加 , 則)()()()(bfabafbfaf) 1(ln) 1(12nnnn2ln122lnlnlnln(1)ln (1)lnln(1)lnxxxxnnnnnn. )1(0)( ttf中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)46高等數(shù)學(xué)方法主講教師主講教師: 王升瑞王升瑞 第二講中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)47三三. .幾種常用的證題方法幾種常用的證題方法1.分析綜合法分析綜合法2. 設(shè)輔助函數(shù)法設(shè)輔助函數(shù)法3. 反證法反證法 證明題是

27、考核基本理論、基本運(yùn)算掌握情況和邏輯推理能力的重要題型通過“執(zhí)果溯因”尋找證明的途徑,利用“由因?qū)Ч睂懗鲎C明過程.1. 分析綜合法分析綜合法中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)48設(shè) 為正實(shí)數(shù),試證ba,提示提示:xxxfln)(為), 0( )0.fxbabababa)(22ln)(lnlnbababbaa2ln22lnlnbababbaa上的上凹函數(shù)在 上，(0,)( )ln ,( )ln1f xxxfxx( P473 例例12 )例例1.滿足中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)49在 上可導(dǎo), 且 , 證明至少存在一點(diǎn) 使)(xf,ba),(ba ba 0)()(1)()(bf

28、afbabaff 提示提示: 因?yàn)?( )( )abf af bab可考慮對(duì)函數(shù)xxGxxfxF1)(,)()(在區(qū)間 a , b 上用 Cauchy 中值定理 .baafbbfa)()(abaafbbf11)()( P81 例例10 )例例2 設(shè)( )( )11f bf ababa22( )( )1ff( )( )ff中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)50利用輔助函數(shù)證明等式或不等式是一種重要的證明方法.如:尋找輔助函數(shù)一般用逆向分析法. 通過設(shè)輔助函數(shù), 利用微分或積分中值定理 證明等式或方程零點(diǎn)的存在. 通過討論輔助函數(shù)的單調(diào)性或最值,證明 相關(guān)不等式.2. 設(shè)輔助函數(shù)方法設(shè)輔助函數(shù)方法中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)51例例1. 設(shè))(xf在 上連續(xù)且可導(dǎo), 并有 n 個(gè)不同的),0零點(diǎn)120.nxxx 證明證明: 對(duì)任意常數(shù) a ,)()(xfxfa在 上至少有 ),0提示提示: 設(shè)輔助函數(shù))()(xfexFxa在)1,2, 1(,1nixxii上用 Rolle 定理 . n -1 個(gè)不同的零點(diǎn).( )( )( )axF xea f xfx( )( )0iaxiiF xef x( )( )( )0iaiiiFea ff11,2,1.iiixxin( )( )0iia ff中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)方法上(6)52