空間曲線地切線與空間曲面地切平面

1、第六節(jié) 空間曲線的切線與空間曲面的切平面、空間曲線的切線與法平面x X(t)設(shè)空間的曲線C由參數(shù)方程的形式給出:y y(t) ， t (,).z z(t)設(shè) t0,t1(),A(x(to), y(to),z(to)、B(x(ti), y(ti), z(ti)為曲線上兩點(diǎn),A, B的連線AB稱為曲線C的割線，當(dāng)B A時，若AB趨于一條直線，則此直線稱為曲線C在點(diǎn)A的切線.如果 x x(t), yy(t), z z(t)對于t的導(dǎo)數(shù)都連續(xù)且不全為零(即空間的曲線 C為光滑曲線)，則曲線在點(diǎn)A切線是存在的因為割線的方程為XX(to)x(ti)x(to)也可以寫為xx(to)x(ti )x(to )t

2、 toy y(to)z z(to)y(ti)y(to)z(ti)z(to)yy(to)zz(to)y(ti)y(to)z(ti)z(to)ttotto當(dāng)B A時，tto ,害熾的方向向量的極限為x (to), y (to), z (to),此即為切線的方向向量，所以切線方程為X x(to) y y(to) zz(to)x (to) y (to)z(to)過點(diǎn)A(x(to), y(to), z(to)且與切線垂直的平面稱為空間的曲線 C在點(diǎn)A(x(to), y(to), z(to)的法平面，法平面方程為x(to)(x Xo) y(to)(y y。)z(t)(z z)0y y(x),z z(x)且

3、y(xo),z(xo)存在，則曲線在點(diǎn) A(xo, y(xo), z(xo)的切線是X X。y y(Xo)1y(X。)Z Z(X)z (Xo)法平面方程為(X Xo)y(Xo)(y y(Xo)z(Xo)(z z(Xo) 0如果空間的曲線 C表示為空間兩曲面的交，由方程組F (x, y, z) 0, c:G(x, y,z) 0確定時，假設(shè)在A(xo, yo,zo)有J(F,G)(y,z) a0，在A(xo,yo,zo)某鄰域內(nèi)滿足隱函數(shù)組存在定理條件，則由方程組F (x, y, z)0,在點(diǎn)A(X0, y, z)附近能確定隱函數(shù)G(x, y, z) 0y y(x),z z(x)有y0y(x0),

4、z0 z(X0)，dx1(F,G) dzJ (x,z) , dx1晉。于是空間的曲線C在點(diǎn)A(x, y, z)的切線是X X。yy。zz1dydzdxAdxAX Xyy。z Z(F,G)(F,G)(F,G)(y,z)A(z, X)a(x, y)A(F,G)(y,z)(x Xo)A(F,G)(z,x)(yAy。)(F,G)(x, y)(z Zo)0A0時，我們得到的切線方類似地，如果在點(diǎn) A(x0, y0, z0)有(F,G)(x, y)程和法平面方程有相同形式。所以，當(dāng)向量(F,G)(F,G)(F,G)(y,z)/ (z,x)/ (x, y)A 0r 時，空間的曲線 C在A(Xo,yo,Zo)

5、的切線的方向向量為r例6.32求曲線xa cos , y asin ,z b在點(diǎn) a,0,b處的切線方程.解 當(dāng)時，曲線過點(diǎn)a,0,b，曲線在此點(diǎn)的切線方向向量為a si n ,acos ,b |0, a,b ,所以曲線的切線方程為x x(t。)y y(t。) z z(t。)0abx a y z b即0 a b .、空間曲面的切平面與法線設(shè)曲面S的一般方程為F(x,y,z) 0取P0(X0,y,Z0)為曲面S上一點(diǎn)，設(shè)F(x,y,z)在P0(X0,y0,z)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)2 2 2偏導(dǎo)數(shù)，且 Fx(X0,y,z0)Fy(x0,y,Z0)Fz(x,y0,z0) 0。設(shè) c 為曲面 S 上過P

6、(X0, y,Z0)的任意一條光滑曲線：x X(t)c： y y(t)z z(t)設(shè) Xox(to), yo y(to), Zo z(to)，我們有F(x(t),y(t),z(t) 0上式對t在t to求導(dǎo)得到IIIFx (Xo, yo,Zo)x (to) Fy (Xo,yo,Zo)y (to) Fz (x。，y,z)z (t。) 0因此，曲面S上過Po(xo,yo,zo)的任意一條光滑曲線 c在Po(xo,yo,zo)點(diǎn)的切線都和 向量n Fx (xo，y,Zo),Fy (x, y,z),Fz (x。, y,z。)垂直，于是這些切線都在一個平面上，記為，平面 就稱為曲面S在Po(Xo,y,Z

7、o)的切平面，向量n稱為法向量。S在Po(xo,yo,zo)的切平面方程是Fx (Xo, yo,zo)(x Xo) Fy (Xo,yo,zo)(y y) Fz (x, y, zo)(z zo) o過點(diǎn)Po(Xo,yo,Zo)且與切平面垂直的直線稱為曲面 S在Po(Xo,yo,Zo)點(diǎn)法線，它的方程為(X Xo)(y yo)(Z Zo)Fx(Xo,yo,Zo)Fy (Xo, yo,Zo)Fz(Xo,y,z)設(shè)曲面S的方程為F(x,y,z) o若 F (x, y, z) 在S 有 連 續(xù) 偏 導(dǎo) 數(shù) 且o,則稱S是光滑曲面。由上面討論可2 2 2Fx (Xo,yo,Zo) Fy (Xo, yo,Z

8、o) Fz(Xo,yo,z)若曲面S的方程的表示形式為以知道光滑曲面有切平面和法線。z f (x, y)，這時，容易得到 S在Po(Xo, yo,Zo)的切fx(Xo,yo)(x x)fy(Xo,yo)(y y) (z z) 0法線方程為(x X。) (y y。)(z z。)fx(Xo,yo)fy(Xo,y。)1我們知道，函數(shù)z f (x, y)在點(diǎn)(Xo,yo)可微，則由Taylor公式知f (X,y) f(Xo,yo)fx(Xo,yo)(xXo)fy(Xo,y)(yy)O(._(xx)2(yy)2)也就是說，函數(shù) z f (x,y)在點(diǎn)(Xo,y)附近可以用S在Po(x,yo,Zo)的切平

9、面近似代替，誤差為,(x Xo)2 (y yo)2的高階無窮小。若曲面S的方程表示為參數(shù)形式x x(u,v)S： y y(u,v)z z(u, v)設(shè) Xox(Uo,Vo),yoy(Uo,Vo),Zoz(Uo,Vo)， Po(Xo,yo,Zo)為曲面上一點(diǎn)。假設(shè)FO(Xo,yo,Zo)有 j(X, y) (U,V) Poo,在Po(Xo,yo,Zo)某鄰域內(nèi)滿足隱函數(shù)組存在定理條件，則由方程組X x(u，v)，在點(diǎn)PO(Xo,yo,Zo)附近能確定隱函數(shù)(即 X和y的逆映射) y y(u,v)u u(x, y),v v(x, y)滿足Uo u(Xo,yo),vo v(Xo, yo) 于是，曲面

10、S可以表示為Z f (X, y) z(u(x, y),v(x,y)x x(u,v)，由方程組兩邊分別同時對x,y求偏導(dǎo)得到y(tǒng) y(u,v)yyuvvux(x,y),x(x, y)(u,v)(u,v)xxuvvuy(x, y)y(x,y)(u,v)(u,v)ZuUxZvVxZuUyZvVy(y，z) (u,v)/ (x, y) (u,v) (z,x) (u,v)/ (x,y)(u,v)所以，S在Po(X0,yo,Z0)的切平面方程為(y,z)(u,v)(X(uo,vo)Xo)(Z,x)(u,v)(Uo,vo)法線方程為x Xo(y,z)(u，v) (uo,vo)(yyo)3(z(u，v) (uo

11、,vo)Zo)y yo(z,x)(u，v) (uo,vo)z Zo(x,y)(UV) (uo,vo)x一例6.33求曲面z y In 在點(diǎn)(1,1,1)的切平面和法線方程。 z解曲面方程為F (x, y, z)xy In z o,易得 n 1,1, 2z切面方程為(x 1) (y 1)2(z 1)0即 x y 2z 0.習(xí)題6.61 .求曲線 x a cos a cost, y a si nacost,z a si nt在點(diǎn)t t0處的切線和法平面方程.2 .求曲線6在點(diǎn)(1, 2,1)處的切線和法平面方程.3 求曲面zarctan在點(diǎn)(1,1, /4)的切平面和法線方程。x34。證明曲面xy

12、z a (a 0)上任意一點(diǎn)的切平面與坐標(biāo)面形成的四面體體積為定值。5 .證明曲面z xf ()上任意一點(diǎn)的切平面過一定點(diǎn)。x第七節(jié)極值和最值問題一、無條件極值與一元函數(shù)極值類似，我們可以引入多元函數(shù)的極值概念。定義 6.3 n 元函數(shù) f(Xi,X2, ,Xn)在點(diǎn) Po(Xi0,x0, ,x0)的一個鄰域 U(Po) Rn 內(nèi) 有定義。若對任何點(diǎn) P(Xi ,X2, ,Xn) U (Po)，有f(Po)f(P) 或( f(Po)f(P)則稱n元函數(shù)f (Xi,X2, , Xn)在Po(X0,x0, ,x0)取得極大(或極小)值，Po(Xi0,X0, , X0)稱為函數(shù)f ( Xi, X2,

13、 , Xn)的極大(或極小)值點(diǎn)。極大值和極小值統(tǒng)稱 為極值，極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。類似一元函數(shù)，我們稱使得n元函數(shù)f (Xi, X2, ,Xn)的各個一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點(diǎn)為駐點(diǎn)。我們有如下定理。定理6.28 若Po(Xi,X, , X：)為n元函數(shù)f (Xi,X2, , Xn)的極值點(diǎn)，且 f (Xi, X2, Xn)在 P(Xi,x2), ,x)的一階偏導(dǎo)數(shù)存在，則 P(X,X, ,x)為 n 元函數(shù)f (Xi, X2, Xn)的駐點(diǎn)。證 考慮一元函數(shù)(Xi) f(Xi, Xi, ,x0 )(i 1,2 n)，則Xi是(xj的極值點(diǎn),Fermat馬定理告訴我們，可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)

14、的導(dǎo)數(shù)是零，于是(X)fXi (Xi0, ,Xi， ,X) 0和一元函數(shù)類似，反過來，駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。 而偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也有可能是極值點(diǎn)。判斷多元函數(shù)的極值點(diǎn)要比一元函數(shù)復(fù)雜的多，下面我們僅對二元函數(shù)不加證明給出一個判別定理。定理6.29若Po(Xo, yo)為二元函數(shù)f (x, y)的駐點(diǎn)，且 f (x, y)在 P(X0, y)的一個2鄰域U (P。)R中有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。令fyy(Xo, yo),Afxx(Xo, yo), Bfxy(Xo,yo),CA B2Q B C AC B，(1) 當(dāng) Q o 時，若 A o，f (x, y)在 Po(Xo, yo)取極小值；若 A o，f (

15、x,y)在Po(xo, yo)取極大值；(2) 當(dāng) Q o 時，f(x, y)在 Po(Xo, yo)不取極值；(3) 當(dāng)Q o時，f (x, y)在Po(xo, yo)可能取極值，也可能不取極值。23例6.34求函數(shù)z x y (6 x y)的極值。解解方程組z 3xy3(12 3x 2y)0xZ 2 2x2y2(18 3x 4y)0y得駐點(diǎn)為Po(2,3)及直線x0,y0上的點(diǎn)。對Po(2,3)點(diǎn)有A162,B108,C144, AC B20，于是函數(shù)z在 P(2,3)取積大值z(Po)108。容易判斷，滿足條件x 0的點(diǎn)為函數(shù)z的極小值點(diǎn)，極小值為0 ；滿足條件的0 y6x 0和x 0的

16、點(diǎn)為函數(shù)z的極大值點(diǎn)，極大值為0。y 0 y 6一、最值問題在社會生產(chǎn)各個領(lǐng)域我們都會遇上最值問題，即如何用最小的成本獲取最大利益的問題，這些問題一般都可以歸結(jié)為求某一函數(shù)在某一范圍內(nèi)的最大值和最小值的問題。我們稱使得函數(shù)取得最大值和最小值的點(diǎn)為函數(shù)的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)，統(tǒng)稱為最值點(diǎn)；函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱為最值。1、一元函數(shù)設(shè)yf (x)是定義在閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)，則 f (x)在a,b上一定有最大值和最小值。區(qū)間的兩個端點(diǎn)a和b可能成為其最值點(diǎn)，而如果最值點(diǎn)在開區(qū)間(a,b)取得的話， 則一定是f (x)的極值點(diǎn)，即是f (x)的駐點(diǎn)或是使導(dǎo)數(shù) f (x)不存在的點(diǎn)。假設(shè) f (x

17、)的所、 1 1 1 有駐點(diǎn)是X1 , X2 ,Xk，使導(dǎo)數(shù)f (x)不存在的點(diǎn)是X1 , X2 ,2Xm，那么max f (x) | xa,b1max f (a), f (b), f (X1),1 2 f (Xk), f (X1 ),2f(Xm)min f(x)|xa,b1min f (a), f (b), f (X1),1 2f(Xk), f(X1 ),f ( Xm )2例6.35求拋物線y 2x上與(1,4)最近的點(diǎn)。2 解 設(shè)(x,y)是拋物線y2x上的點(diǎn)，貝U (x, y)與(1,4)的距離是d (x 1)2 (y 4)2 J(ly2 1)2 (y 4)22 2 考慮函數(shù)f (y)

18、d ,由f (y) 0,得到唯一駐點(diǎn)y 2，于是拋物線y 2x上與(1,4)最近的點(diǎn)是(2,2)2、多元函數(shù)類似一元函數(shù)，n元函數(shù)f(X!,X2,Xn)的最值問題就是求 f(XX2, ,Xn)在某個區(qū)域DRn上的最大值和最小值，我們只需求出f(Xi,X2, ,Xn)在D內(nèi)部的所有極值和邊界上最值，從中比較就可以選出f(Xi,X2, , Xn)在D上的最值。例6.36求平面x 2y z 4與點(diǎn)(1,0, 2)的最短距離。解 設(shè)(x, y,z)是平面x 2y z 4上的點(diǎn)，貝U (x, y, z)與(1,0, 2)的距離是I2 2 2 . 1 2 .2 2d (x 1) y (z 2). (2 y

19、 1)(6 X y)考慮函數(shù)f(x,y) d ,由fx 0, fy 0,得到唯一駐點(diǎn) (11/6,5/3)，于是平面x 2y z 4與點(diǎn)(1,0, 2)的最短距離是d(11/6,5/3)三、條件極值問題和 Lagra nge 乘子法前面我們研究的極值和最值問題都是直接給出一個目標(biāo)函數(shù)n元函數(shù) f(Xi,X2, ,Xn)，然后求其極值或最值，是無條件極值問題，但是，更多的極值和最值問 題是有約束條件的，即條件極值問題。一般來說，條件極值問題是指：求目標(biāo)函數(shù)n元函數(shù)yf(Xi,X2, ,Xn)Gi(Xi, X2, Xn)0G2(X1 , X2, Xn)0在一組約束條件,(m n)下的極值。Gm(X

20、i,X2,Xn) 0我們可以嘗試對上面方程組用消元法解出m個變量，從而轉(zhuǎn)化為上一節(jié)的無條件極值問題來解決，但是，消元法往往比較困難甚至是不可能的，所以，我們需要給出一種新的方法來求條件極值。下面我們介紹拉格朗日乘子法。我們以二元函數(shù)為例來說明，即： 求目標(biāo)函數(shù)z f (x, y)在一個約束條件F(x, y) 0限制下的極值問題。假設(shè)點(diǎn)Po(Xo, yo)為函數(shù)z f(x,y)在條件F(x, y) 0下的極值點(diǎn)，且 F(x,y) 0 滿足隱函數(shù)存在定理的條件， 確定隱函數(shù)y g(x)，則x X0是一元函數(shù)z f (x,g(x)的 極值點(diǎn)。于是Ifx(X0,y) fy(x, y)g(X。)0由隱函

21、數(shù)存在定理得到fx(X0,y)Fy(X0, y) f y(x, y )Fx(x, y)0fy(x0,y)令 一，于是極值點(diǎn)P。(X0, y0)需要滿足三個條件：Fy(x,y)fx(x,y)Fx(x,y) 0fy(x,y)Fy(X0，y) 0F(X0,y)0L(x, y, ) f(x, y)F(x, y)其中，稱為拉格朗日乘子，則上面三個條件就是Lx(Xo，y。)fx(Xo，y。)Fx(Xo，yo)0Ly(x, y)fy(x, y)Fy(Xo, yo)0L (Xo,y) F(Xo,y)0用這種方法去求也就是說我們討論的條件極值問題轉(zhuǎn)化為拉格朗日函數(shù)的無條件極值問題?？赡艿臉O值點(diǎn)的方法，稱為拉格朗

22、日乘子法。類似地，求目標(biāo)函數(shù) n元函數(shù)y f(xX2, ,xn)Gi(Xi,X2,Xn)0在一組約束條件G2(Xi,X2,Xn)0,(m n)下的極值時,我們可以構(gòu)造相應(yīng)的拉格朗Gm(Xi,X2,Xn)0日函數(shù)為L(Xi,X2,Xn ,1 ,2 ,7m)f (Xi,X2,Xn)miGi(Xi,X2, Xn)i 1于是，所求條件極值點(diǎn)滿足方程組LximGiXiii iXimXnii 1LxnLiGi(Xi,X2,GiXn,xn )L m Gm(Xi,X2, xn )0例6.37橫斷面為半圓形的圓柱形的張口浴盆，其表面積等于S，問其尺寸怎樣時，此盆有最大的容積？2 1 2 解設(shè)圓半徑為r，高為h，

23、則表面積S (r rh)(r 0,h0)，容積V r2h 。2構(gòu)造拉格朗日函數(shù)22 SL(r,h, ) r2h (r2 rh )(2r h) 0r 0解方程組Lr(Xo,y) 2rhLh(x,y) rrh2r得到ro由實際情況知道,23S，S3 這時 V0，27 3。V一定達(dá)到最大體積，因此，當(dāng)ho2r0時，體積最大。習(xí)題6.71. 求函數(shù)zx3y33xy的極值。44222. 求函數(shù)zxyx 2xy y的極值。2 23 求橢圓4x y 4上與(1,0)最遠(yuǎn)的點(diǎn)4 求平面x y z 1與點(diǎn)(2,1, 1)的最短距離。25 求曲面z xy 1上與(0,0,0)最近的點(diǎn)6 .已知容積為V的開頂長方浴

24、盆，問其尺寸怎樣時，此盆有最小的表面積？2 27求用平面Ax By Cz 0與橢圓柱面篤爲(wèi) 1相交所成橢圓的面積。a b第八節(jié)導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用一、導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義1邊際函數(shù)定義6.4設(shè)函數(shù)yf(x)可導(dǎo)，則導(dǎo)函數(shù) f (X)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱為邊際函數(shù)。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，我們經(jīng)常用到邊際函數(shù)，例如：邊際成本函數(shù)、邊際收益函數(shù)、邊際利潤函數(shù)等等，它們都是表示一種經(jīng)濟(jì)變量相對于另一種經(jīng)濟(jì)變量的變化率問題，都反映了導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用。成本函數(shù)C(x)表示生產(chǎn)x個單位某種產(chǎn)品時的總成本。平均成本函數(shù)c(x)表示生產(chǎn)x個單位某種產(chǎn)品時，平均每個單位的成本，即c(x)。邊際成本函數(shù)是成本函數(shù) C(x)x相對于x的

25、變化率，即C(x)的導(dǎo)函數(shù)c(x)。由微分近似計算公式我們知道C(x) C(x x) C(x) dC(x) C(x) x令x 1，我們有C(x) C(x 1) C(x)，也就是說，邊際成本函數(shù)C(x)可以近似表示 已經(jīng)生產(chǎn)x個單位產(chǎn)品后再生產(chǎn)一個產(chǎn)品所需要的成本。在生產(chǎn)中，我們當(dāng)然希望平均成本函數(shù)c(x)取得極小值，這時，我們可以得到c(x) 0即c(x) xC(x)2C(x)0x則xC(x) C(x) 0，于是我們得到C(x) c(x)。因此，平均成本函數(shù) c(x)取得極小值 時，邊際成本函數(shù)和平均成本函數(shù)相等。這在經(jīng)濟(jì)學(xué)中是一個重要原則，就是說在生產(chǎn)中，當(dāng)邊際成本函數(shù)低于平均成本函數(shù)時，我

26、們應(yīng)該提高產(chǎn)量，以降低平均成本；當(dāng)邊際成本函數(shù)高于平均成本函數(shù)時，我們應(yīng)該減少產(chǎn)量，以降低平均成本。2例6.38設(shè)某種產(chǎn)品生產(chǎn) x個單位時的成本為 C(x) 250 2x 0.1x。求(1) 當(dāng)生產(chǎn)產(chǎn)品100單位時的邊際成本和平均成本；(2) 當(dāng)生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量為多少時平均成本最低。解(1)邊際成本函數(shù)和平均成本函數(shù)為C(x)20.2xc(x)2 0.1xx x于是，c(100)22,c(100)14.5(2)平均成本函數(shù) c(x)取得極小值時，邊際成本函數(shù)和平均成本函數(shù)相等，即C (x) c(x)25020.2x20.1xxx 50因此，當(dāng)生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量為50時平均成本最低。類似邊際成本函數(shù)我們可

27、以討論其它邊際函數(shù)。需求函數(shù)p(x)表示銷售x單位某種產(chǎn)品時的單個產(chǎn)品的價格。那么，p(x)是x的單調(diào)減少函數(shù)。收益函數(shù)是 R(x) xp(x)，邊際收益函數(shù)是 r(x)。利潤函數(shù)是P(x) R(x) C(x)邊際利潤函數(shù)是P(x)。當(dāng)利潤函數(shù)取極大值時，P(x) R(x) C(x) 0,于是，R(x) C(x)，也就是說取得最大利潤的必要條件是邊際利潤等于邊際成本。為了保證取得最大利潤還需要下面條件P(x) R(x) C(x) 0即R(x) C(x)。所以，當(dāng)R(x) C(x)且R(x) C(x)時取得最大利潤。例6.39設(shè)某種產(chǎn)品生產(chǎn) x個單位時的成本為 C(x) 27 1.28x 0.0

28、1x2 0.0003x3，需求函數(shù)p(x) 10.280.01x。當(dāng)生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量要達(dá)到多大時可以取得最大利潤？解收益函數(shù)是R(x) xp(x) 10.28x 0.01x2由 R(x) C(x)得到210.280.02x1.28 0.02x 0.0009x我們得到x 100。容易驗證對任意 x 0有R(x) C(x)。所以，當(dāng)生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量達(dá)到100單位水平可以取得最大利潤。2 .彈性在經(jīng)濟(jì)學(xué)中我們常常用到彈性的概念,彈性也是一種變化率問題，與導(dǎo)數(shù)概念密切相關(guān)。_y定義6.5設(shè)函數(shù)y f(x)在點(diǎn)xo可導(dǎo)，則稱 匹為函數(shù)y f(x)在點(diǎn)xo與x xxXo_y兩點(diǎn)間的彈性；稱 里在x0時的極限為函數(shù)

29、 y f(x)在點(diǎn)Xo的彈性，記為xXoxxo 或 ixf(xo)如果yEyEXxxoy.yolim -X o xXoXof (Xo)f (Xo)f (x)在x (a,b)可導(dǎo)，相應(yīng)地，我們可以給出(a,b)上彈性函數(shù)的定義f(x)EyEx當(dāng)X很小時，我們有近似計算公式y(tǒng)yoEyEXxxoxXo也就是說，函數(shù)的彈性是函數(shù)的相對改變量與自變量相對改變量之比，上式表示當(dāng)X從Xo產(chǎn)生1oo的改變時，y f (x)改變f (xo)ooEx需求函數(shù)Qf (p)表示在價格為p時，產(chǎn)品的需求量為 Q。需求函數(shù)Q f (p)是單調(diào)減少函數(shù)，Qf (p)的反函數(shù)也稱為需求函數(shù)，就是我們前面提到的需求函數(shù)p(x)

30、。需求函數(shù)Qf (p)對價格p的導(dǎo)數(shù)稱為邊際需求函數(shù)。需求函數(shù)Q f (p)的彈性為Efpp f (p)Ep f(p)由于q f (p)是單調(diào)減少函數(shù)，因此Ep收益函數(shù)R(p) pQ pf (p)，于是R(p) f(p) pf(p)f(p)1Eff (p)f(p)1 f(p)Ep令Ed若EdEfEp，我們有1 ,則需求變動幅度小于價格變動幅度,稱為低彈性，這時，R (p)0，R(p)是單調(diào)增加函數(shù)。也就是說當(dāng)價格上漲時收益增加,當(dāng)價格下跌時收益減少。若Ed 1，則需求變動幅度大于價格變動幅度,稱為高彈性，這時，R (p)0，R(p)是單調(diào)減少函數(shù)。也就是說當(dāng)價格上漲時收益減少,當(dāng)價格下跌時收益

31、增加。若Ed 1，則需求變動幅度和價格變動幅度相同,稱為單位彈性，這時,R (p)0。也就是說當(dāng)價格改變時，收益沒有變化。類似上面對需求彈性的研究，我們也可以討論供給彈性。供給函數(shù)Q(p)是指商品生產(chǎn)商的供給量 Q與價格p之間的關(guān)系函數(shù)。Q (p)是單調(diào)增加函數(shù)。邊際供給函數(shù)是Q (p)對價格p的導(dǎo)數(shù)，供給彈性函數(shù)是例6.40設(shè)某種產(chǎn)品的需求函數(shù)為(1)求需求函數(shù)Q的彈性EQE?；EEpp(p)(p)Q 100 5p，其中價格 p (0,20)。(2)用需求彈性說明價格在什么范圍變化時，降低價格反而使收益增加。(1 )需求函數(shù)Q的彈性EQEpPp 20(2)容易得到當(dāng)10 p 20時，EdEQ

32、Ep1,這時，r(p)0,當(dāng)價格下跌時收益增加。、其它應(yīng)用舉例導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中有很多應(yīng)用，下面舉一些例題說明。首先，我們考慮連續(xù)復(fù)利率問題。假設(shè)初始資金為Ao，如果年利率為r，那么，t年后資金為A(t)Ao(1J。通常情況下是一年多次計息，假設(shè)一年n次計息，那么A(t)Ao(1 -)ntn我們這里是連續(xù)復(fù)利率計算問題，令n 得到r ntr n；A(t) lim Ao(1 -)ntAlim(1 ) ； Aennnn于是，我們得到連續(xù)復(fù)利率計算公式A(t)Aoe。例6.41某企業(yè)釀造了一批好酒，如果現(xiàn)在就出售，總收入為Ro，如果貯藏起來，t年后出售，收入為 R(t)Re。如果銀行年利率為r，并且以連

33、續(xù)復(fù)利率計算，問貯藏多少年后出售可以使收入的現(xiàn)值最大。解由連續(xù)復(fù)利率計算公式,t年后的總收入R(t)的現(xiàn)值X(t)為X(t)R(t)ert2 trt由 x(t)0得，t亠(年)。故貯藏年出售，總收入的現(xiàn)值最大。25r225r2下面，我們再舉一個其它應(yīng)用題。例6.42某企業(yè)生產(chǎn)某型號儀器，年產(chǎn)量A臺，分幾批生產(chǎn)，每批生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為B元,假設(shè)產(chǎn)品均勻投入市場，且上一批用完后立即生產(chǎn)下一批，平均庫存量為批量的一半。設(shè)每年一臺儀器的庫存費(fèi)為C元。問如何選擇批量，使一年中庫存費(fèi)與準(zhǔn)備費(fèi)之和最小。XAA解設(shè)批量為X臺，則庫存費(fèi)為C，每年生產(chǎn)的批數(shù)為，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為B，于2xx是總費(fèi)用為f(x)ABx令f (x

34、)0 ,得到x因此，批量為x一年中庫存費(fèi)與準(zhǔn)備費(fèi)之和最小。多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中也有非常廣泛的應(yīng)用。n元函數(shù)y f(xi,X2, ,Xn)的偏導(dǎo)數(shù) f(Xi,X2 ,Xn)(i 1,2, ,n)稱為對Xi的邊際函數(shù)。我們可以類似一元函數(shù)引xi入邊際成本函數(shù)、邊際收益函數(shù)、邊際利潤函數(shù)等等。我們還可以類似一元函數(shù)引入函數(shù)的 偏彈性概念。這里不再一一詳細(xì)敘述。下面我們舉幾個多元函數(shù)應(yīng)用題。例6.43假設(shè)某企業(yè)在兩個相互分割的市場上出售同一種產(chǎn)品，兩個市場的需求函數(shù)分別是Pi 18 2Qi, P212 Q2其中Pi和P2為售價，Qi和Q2為銷售量。總成本函數(shù)為C 2(Qi Q2) 5(1 )如果

35、該企業(yè)實行價格差別策略，試確定兩個市場上該產(chǎn)品的銷售量和價格，使該企 業(yè)獲得最大利潤；(2)如果該企業(yè)實行價格無差別策略，試確定兩個市場上該產(chǎn)品的銷售量和統(tǒng)一的價格，使該企業(yè)總利潤最大化；并比較兩種策略下的總利潤大小。解（1）總利潤函數(shù)是PlQ1P2Q22(Q1Q2 ) 52 22Qi Q2 I6Q1 IOQ254Q11602Q2 100PP0!得 Q14,Q25，這時 P110,P27。因為這是一個實際問題，一定存在最大值，且駐點(diǎn)唯一，因此當(dāng)P110, P27 時，取得最大利潤P 2Q12Q；16Q110Q25 Q14521212Q25（3） 若實行價格無差別策略，則P1 P2，即有約束條件

36、2Q1 Q26構(gòu)造拉格朗日函數(shù)2 2L（Q1,Q2, ）2Q1 Q2 16Q1 10Q2 5（2Q1由Q26)丄Q1LQZL4Q116202Q2 1002Q1 Q260得 Q1 5,Q24,2，這時 P1 P2 8。最大利潤P2Qi2 Q； 16Qi IOQ2 5 49因此，企業(yè)實行價格差別策略所得利潤要大于實行價格無差別策略的利潤。例6.44假設(shè)某企業(yè)通過電視和報紙作廣告，已知銷售收入為2 2R（x, y） 15 14x 32y 8xy 2x 10y其中x （萬元）和y （萬元）為電視廣告費(fèi)和報紙廣告費(fèi)。（1 ）在廣告費(fèi)用不限的情況下求最佳廣告策略；（2）如果廣告費(fèi)用限制為 1.5 （萬元）

37、，求相應(yīng)廣告策略。解（1 ）利潤函數(shù)為2 2P R （x y） 15 13x 31 y 8xy 2x 10y由P13 8y 4x 0xP31 8x 20 y 0y得到唯一駐點(diǎn)x 1.5,y1。這時最大利潤為P（1.5,1）41 （萬元）（2）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為2 2L（x, y, ）1513x31y 8xy 2x 10y （x y 1.5）13 8y 4x31 8x 20yx y 1.5得到唯一駐點(diǎn)x 0, y 1.5。這時最大利潤為P(0,1.5)39 (萬元)習(xí)題6.821 設(shè)某種產(chǎn)品生產(chǎn) x個單位時的成本為 C(x) 40000300x X。求(1) 當(dāng)生產(chǎn)產(chǎn)品1000單位時的邊際成本和

38、平均成本；(2) 當(dāng)生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量為多少時平均成本最低。2 設(shè)某種產(chǎn)品生產(chǎn)x個單位時的成本為 C(x) 145036x x20.001x3，需求函數(shù)p(x) 600.01x。當(dāng)生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量要達(dá)到多大時可以取得最大利潤？p3 設(shè)某種產(chǎn)品的需求函數(shù)為 Q e忘，求p 6時的需求彈性；4 設(shè)某種產(chǎn)品的需求函數(shù)為 Q 100 2p討論其彈性的變化。5。某產(chǎn)品的總收益函數(shù)和成本函數(shù)分別是2 2R(x) 30x x2,C(x) x2 2x 1廠商追求最大利潤，政府對產(chǎn)品征稅，求：(1) 求產(chǎn)品產(chǎn)量和價格為多少時，廠商能取得稅前最大利潤；(2) 征稅收益的最大值及此時的稅率；(3) 廠商納稅后的最大利潤。6

39、假設(shè)某廠家在兩個相互分割的市場上出售同一種產(chǎn)品，兩個市場的需求函數(shù)分別是Q1240.2p1 ,Q210 p2其中Pl和P2為售價，Qi和Q2為銷售量?？偝杀竞瘮?shù)為C 40(Q1 Q2) 35試確定兩個市場上該產(chǎn)品的銷售價格，使該企業(yè)獲得最大利潤。第九節(jié)曲率所謂曲率就是用來描述曲線的彎曲程度的.線有直線和非直線，如果一個人沿著直線行走，他不需要轉(zhuǎn)動方向； 但如果他沿著一條非直線行走時，他在每一點(diǎn)行進(jìn)的方向是曲線的切線方向.因而他在每一點(diǎn)行進(jìn)的方向大多是不一樣的.人移動時，他要轉(zhuǎn)動方向.當(dāng)曲線的彎曲程度大一點(diǎn)時， 人走相同的距離目光的轉(zhuǎn)向要大一點(diǎn).在直線上轉(zhuǎn)向是沒有的.因而我們就用曲線上單位距離切線方向(即目光方向)的轉(zhuǎn)動角度來刻畫曲線的彎曲程度.設(shè)光滑曲線方程為y f x , x a,b ,x1,x2 a,b ,P-fx1, fx1,P2x2, f