D極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1D極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限準(zhǔn)則準(zhǔn)則I,),(U0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xx Axhxgxxxx )(lim)(lim00, )()(xhxg )(xfAxfxx )(lim0)0( Xx)( x)( x)( x且且 利用函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系及數(shù)列極限存利用函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系及數(shù)列極限存在的夾逼準(zhǔn)則證明在的夾逼準(zhǔn)則證明.第1頁/共14頁1sincos xxx圓扇形圓扇形AOB的面積的面積1sinlim0 xxx證證: 當(dāng)當(dāng)即即 xsin1121212 xxtan121 )20(tansin xxxx即即),0(2 x時(shí)，時(shí)，)20( x,1 coslim 0 xx又又

2、. 1sinlim0 xxx故故顯然有顯然有AOB 的面積的面積AOD的面積的面積xxxcos1sin1 從而從而DABxo單位圓單位圓第2頁/共14頁.tanlim 0 xxx求求解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim0 1 例例2. .arcsinlim0 xxx求求解解: ,arcsin xt 令令則則,sintx 因此因此原式原式tttsinlim0 1lim0 tttsin1 第3頁/共14頁nnnR2cossinlim Rn.cos1lim 20 xxx 求求解解: 原式原式 =2220sin2limxxx2121 2

3、1 例例4. 已知圓內(nèi)接正已知圓內(nèi)接正 n 邊形面積為邊形面積為證明證明: .lim2RAnn 證證: nnA limnnnnRnA2cossin 2R 注注: 計(jì)算中注意利用計(jì)算中注意利用1)()(sinlim0)( xxx 20sinlim x2x2x21! 0)(重重要要x 第4頁/共14頁準(zhǔn)則準(zhǔn)則II ：單調(diào)有界數(shù)列必有極限。：單調(diào)有界數(shù)列必有極限。相應(yīng)的單調(diào)有界函數(shù)的收斂準(zhǔn)則相應(yīng)的單調(diào)有界函數(shù)的收斂準(zhǔn)則準(zhǔn)則準(zhǔn)則II ：設(shè)函數(shù)：設(shè)函數(shù) f (x)在在 x0 的某個(gè)左鄰域內(nèi)單調(diào)并且的某個(gè)左鄰域內(nèi)單調(diào)并且有界，則函數(shù)有界，則函數(shù) f (x)在在 x0的左極限的左極限 f ( x0- ) 必

4、存在。必存在。若數(shù)列若數(shù)列xn滿足滿足 1321nnxxxxx則稱數(shù)列則稱數(shù)列xn單調(diào)增加單調(diào)增加；若數(shù)列若數(shù)列 xn 滿足滿足 1321nnxxxxx則稱數(shù)列則稱數(shù)列xn單調(diào)減少；單調(diào)增加和單調(diào)減少的數(shù)單調(diào)減少；單調(diào)增加和單調(diào)減少的數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列。列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列。第5頁/共14頁e)11(lim xxx證明思路證明思路: 1. 首先證明數(shù)列首先證明數(shù)列xn是單調(diào)有界數(shù)列從而極限存在，是單調(diào)有界數(shù)列從而極限存在， 其中其中, .)11 (nnnx 2. 其次利用夾逼準(zhǔn)則證明其次利用夾逼準(zhǔn)則證明e)11(lim xxx3. 再用變量代換法證明再用變量代換法證明e)11(lim xxx4.

5、聯(lián)合上面兩個(gè)結(jié)論可得聯(lián)合上面兩個(gè)結(jié)論可得e)11(lim xxx第6頁/共14頁.)1(,1nnnnxx 其其中中收收斂斂數(shù)數(shù)列列第一步，證明數(shù)列第一步，證明數(shù)列xn是單調(diào)增加的。是單調(diào)增加的。)1()1)(1( )1()1)(1( )1)(1()1(11)1()1)(1( )1)(1()1(11 1 )()()()()1(11211)!1(1111211!11211!3111!211121!121!311!211!12)2)(1(1!3)2)(1(1!2)1(11!1212111010132 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnx

6、CCCCxn ，同理同理易見易見 ,.N ,1 nxxnn第7頁/共14頁)1()1)(1( )1)(1()1(11121!121!311!21nnnnnnnnnx 從而從而,3)(1(211)(1(11 11 11212121212121!1!31!2112 nnnnnx其中我們用了不等式其中我們用了不等式! 21nn (數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法)于是于是, 由單調(diào)增加和有界性知數(shù)列由單調(diào)增加和有界性知數(shù)列xn 極限存在極限存在, 記記e)1(lim1 nnn第8頁/共14頁e)1(lim1 xxx一方面一方面, 當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)時(shí), 設(shè)設(shè),1 nxn則則xx)1(1 11)1( nn nn)1

7、(11nnn)1(lim11 lim n111)1( nn111 ne 11)1(lim nnn1)1(lim11）（nnnn e e)1(lim1 xxx) ( xn，時(shí)時(shí)因因第9頁/共14頁x, )1( tx則則,t從而有從而有xxx)1(lim1 )1(11)1(lim ttt)1(1)(lim tttt11)1(lim ttt)1()1(lim11tttt e 故故e)1(lim1 xxx時(shí)時(shí), 令令) e)1(lim)1(lim (11 xxxxxx因因第10頁/共14頁.)11(lim xxx 求求解解: , xt 令令則則 xxx)11(limttt )11(lim 1lim ttt)1(1 e1 另證另證:,e)1(lim)()(1)( xxx 則則 原式原式 11e)11(lim xxx利用利用第11頁/共14頁 1. 數(shù)列極限存在的夾逼準(zhǔn)數(shù)列極限存在的夾逼準(zhǔn)則則函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則 2. 單調(diào)有界數(shù)列必有極單調(diào)有界數(shù)列必有極限限在點(diǎn)在點(diǎn) x0 的某左的某左(右右)鄰域內(nèi)單調(diào)且有界的鄰域內(nèi)單調(diào)且有界的函數(shù)有左函數(shù)有左(右右)極限極限3. 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限1sinlim)1(0 e)11(lim)2( 或或e)1(lim10 ( 形如形如1 的情形要注意用此極限并的情形要注意用此極限并 “湊湊” )第12頁/共1