平面幾何強化訓(xùn)練題集：初中分冊數(shù)學(xué)練習(xí)題

目錄

第1章全等三角形..........................................................1

第2章相似三角形.........................................................25

第3章圓的性質(zhì)及應(yīng)用.....................................................48

第4章面積問題與銳角三角函數(shù).............................................74

第5章四點共圓...........................................................83

第6章三角形的“五心”...................................................96

第7章重要定理的應(yīng)用....................................................105

第1章全等三角形

1.如圖1.1所示，在AABC中，AB=AC,點。在川上，點E在AC的延長線上，BD=CE,延長CB

至點尸，使8F=CB.直線￡3與。尸交于點P.求證：PB=PF.

2.如圖1.2所示，點。在A48C內(nèi)，DB=DC,過點B作乙4DB的平分線的垂線，垂足為點E,過點C

作NAOC的平分線的垂線，垂足為點尸.求證：EF//BC.

3.如圖1.3所示，點。是AABC內(nèi)部一點，AB=AC,

A

4.如圖1.4所示，在凸四邊形ABCQ中，BC=CD,AC平分NSW,試探究N5與NO的數(shù)量關(guān)系,

并證明你的結(jié)論.

A

5.如圖1.5所示，在&4BC中，ABwAC.點。在NBAC的外角NCAE的平分線上，且。B=OC.求證:

ZABD=ZACD.

圖1.5

6.如圖1.6所示，在AABC中，點Q,E分別在邊AC,Afi上，且4)=他，BD=CE.求證：AB=AC.

7.如圖1.7所示，在AABC?中，點E,3分別在BC的延長線及反向延長線上，ZABD=2ZACE,AF

是角平分線.求證：AB-BF=AC.

2

A

圖1.7

8.如圖1.8所示，在AA8C中，NACB=NBAC+2NB,A￡>_LBC于點￡).求證：AB-BC=2CD.

9.如圖1.9所示，在AA8C中，NA=3NC,8c=2A8.求證：ZBAC=90°.

10.如圖1.10所示，在AABC中，AB=AC,點O是4c的中點，已知NABO=30。.求證：AA8C是等

邊三角形.

11.如圖1.11所示，在四邊形A8C。中，ZB=2ZD.AC平分NBCD.求證：AB+BC=CD.

3

圖1.11

12.如圖1.12所示，在AA8C中，AB=AC,NA=20。，NABC的平分線交AC于點。.求證:

AD=BEU-BC

圖1.12

13.如圖1.13所示，在四邊形A8C。中，AB=AD，NB=ND=90。.點E,尸分別在BC,CD±.,

求證：BE+DF=EF.

2

圖1.13

14.如圖1.14所示，在四邊形ABCO中，AB=BC,NABC=NBC￡>,延長BC至點G.點E在BC上，CF

平分"CG,且NAEF=48C.求證：AE=EF.

4

15.如圖1.15所示，在R/A4BC中，ZC=90°,NA=30。，CE,AF是角平分線，點。在AC上，CD=CF.

求NCED.

A

16.如圖1.16所示，在RtAABC中，NC=90°,N4=30°.點。，E,■分別在邊AC，AB,BC上,AE=AC,

AF平分NBAC,CD=CFZCED.

17.如圖1.17所示，在AA8C中，NB=2NC,點。為BC的中點，NBAO=2NCAO.求證：ZBAC=900.

5

B

圖1.17

18.如圖1.18所示，在“8C中，點。，E分別在8c的延長線及反向延長線上，ZABE=2ZACD,

ADJ.AC.求證：CD=2AB.

19.如圖1.19所示，在四邊形A8CO中，AE_L5。于點E,CF■!B。于點尸，點p為AC的中點.求證:

PE=PF.

圖1.19

20.如圖1.20所示，在銳角AABC中，點。是BC的中點，。后，人（;于點￡,于點P,BE=CF.

求證：AB=AC.

6

A

21.如圖1.21所示，在R/AABC中，斜邊AB和直角邊BC上各有一點。，E,使得AO=AC,CE=2BD.

CO_LOE.求證：AC=BC.

22.如圖1.22所示，在等邊&48c中，點。在邊鉆上，點E在CB的延長線上，滿足4)=8".求證:

CD=ED.

23.如圖1.23所示，在AABC中，ZA=100°,ZACB=30°,延長AC至點。，使CD=AB.求NCDB.

圖1.23

7

24.如圖1.24所示，在Rf&ABC中，N8AC=90°,點。，E分別在AB,AC上，NAOE=NAC8.從點

A,E分別引直線C。的垂線，分別交邊BC于點尸，G.求證：BF=FG.

圖1.24

25.如圖1.25所示，在A4BC中，A8=AC,點。在射線.上，。￡，4(7于點后，NCDE=NABC.

求證：BD=2AE.

圖1.25

26.如圖1.26所示，在R/A4BC中，ZACB=90°,NABC=30。.點。，E分別在BC,AC上，滿足

ZBAD=40°,ZABE=20°ZADE.

圖1.26

27.如圖1.27所示，在菱形ABC。中，點E是AD的中點，點尸在AD上，滿足8尸=CD+OF.求證:

ZABE^-ZFBC.

2

8

BD

圖1.27

28.如圖1.28所示，在AABC中，ZBAC=60°,NC=20。，點。在BC上，且NBA。=20。.求證:

AB+AD=DC.

BD

圖1.28

29.如圖1.29所示,在中，AB=AC,以點A為直角頂點，AC為一腰在AABC外側(cè)作等腰RtAACD.

作CE〃AB,交4）于點E,與4c交于點尸.求證：AE+AF=CE.

圖1.29

30.如圖1.30所示，在A48c中，AZ）是角平分線，且AC=AB+BD,C。=A8+A。.求AA8C各角.

A'

圖1.30

31.如圖1.31所示，在&48c中，點。在BC上，點E在AC的延長線上,AC=AB=8力=DE,CD=CE.

求證：NA=100。.

9

A

E

圖1.31

32.如圖1.32所示，在所AABC中,NA=90。,NB=75。，點。為BC的中點，點E為AC上一點，AE=AB.

求ZBDE.

BD

圖1.32

33.如圖1.33所示，在AABC中，AB=AC,點。在AC上，AD=BD+BC,NBDC=60。.求證：

ABAC=20°.

A

1

BC

圖1.33

34.如圖1.34所示，在A4BC中，Zfi=45°,NC=3()o.B。是邊AC上的中線.求483.

A

BC

圖1.34

35.如圖1.35所示，在凸四邊形ABCD中，BC=CD,ZADB=30°,Z.ABD-ZDBC=60°Z.CAD.

10

A

C

圖1.35

36.如圖1.36所示，在用A4BC中，AB=AC,點P為三角形內(nèi)一點，/尸8C=NPCA=30。.求N&4P.

A

圖1.36

37.如圖1.37所示，在MBC中，NBACZ2。，4B=AC,點。在8C的延長線上，BD=AB.作DE//AB,

交4c的延長線于點及求N的D.

A

圖1.37

38.如圖1.38所示，在A48C中，AB=AC，點D,E分別在邊BC,AC上，滿足A￡)_LBE,AE=AD=CD.

求證：ZBAC=100°.

11

A

圖1.38

39.如圖1.39所示，在AA8C中，AB=AC,CH是腰鉆上的高線，高足”在上，點。在CH上,

延長30,交AC于點E.已知至=3E,">=A￡?.求證：ZB4C=80°.

圖1.39

40.如圖1.40所示，在AABC中，ZBAC=100°,AB=AC,點。在BC上，滿足孔>=他.作,

交AC于點E.求NB￡D.

圖1.40

41.如圖1.41所示，在A/18c中，Z/i=45°,NC=15。，點力在BC上，滿足NCW=45。.求證：CD=2BD.

A

圖141

42.如圖1.42所示，在A4BC中，AB=AC,NBAC=100。，點p在AA8C內(nèi)，^PAB=25°,ZPBA=30°.

求ZACP.

12

A

圖1.42

43.如圖1.43所示，在AA8C中，A8=AC,點。為AC或其延長線上的一點，滿足NA￡>B=60。，在直

線53上取點E,使CE=CB.連接求證：ZAEC=30°.

（注：若點。在CA的延長線上，則滿足NAOB=120°.）

圖1.43

44.如圖1.44所示，在AABC中，ZACB>90°,NBAC及其外角的平分線分別交射線BC于點。，￡.

已知2AB=BD+BE,求證：ZACB=90°+-ZABC.

2

45.如圖1.45所示，/為M8C的內(nèi)心，點E,尸分別在3/,C7的延長線上，滿足=".A。_L8C

于點。，交EF于點K.求證：AK^r（r為AA8C的內(nèi)切圓半徑）.

13

A

圖1.45

46.如圖1.46所示，在AA8C中，ZABC<60°,ZACfi=30°,點。在AABC內(nèi)部，DB=DC,

ZABC+NDBC=60°.求ACAD.

47.如圖1.47所示，在菱形ABC。中，乙48c=78。，點E為菱形內(nèi)的一點，滿足NEW=21。，ZEDA=9°.

求證：ABCE是等邊三角形.

圖1.47

48.如圖1.48所示，以AB,AC為斜邊在&ABC外側(cè)分別作Rt\ABD,Rt\ACE,且ZABD=ZACE=30。,

點尸是BC的中點.求證：4無尸是正三角形.

圖1.48

14

49.如圖1.49所示，點。是AA8C內(nèi)部一點，AB=AC,NO8C=NACO.點M是8c的中點，點E,F

分別在OB,DC上，且NEMF=9()。.求證：NEAF=-NBAC.

2

;A

BMC

圖1.49

50.如圖1.50所示，在A43C中，,48=AC,點。為BC或BC的延長線上的一點，滿足NADB=60。.

延長45至E,使DE=DB,連接(求證：CE=AC.

A

/

E

(a)(b)

圖1.50

51.如圖1.51所示，在AABC中，ZB=30°,ZC=15°,AZ)是中線.求ND4C.

52.如圖1.52所示，在AABC中，AB=AC,NBAC=80。，點。在8c上，NR4O=50。，點E在AC上,

15

NABE=30。，求/WE.

A

53.如圖1.53所示，在AA8C中，NACB=2NABC,點Q,E都在BC上，點尸在AE上，滿足CF，AE,

BFLFD,且NDFE=NABC.求證：I3D=2CD.

54.如圖1.54所示，在AABC中，點E,￡）分別在BC的延長線及反向延長線上.NA8￡>=2NACE,

AEJ.BC,點M是8c的中點.求證：ME=-AB.

2

圖1.54

55.如圖1.55所示，在AA3C中，點。為4?的中點，點E為AC上的一點，且=.求證:

2

AE=BC+CE.

16

圖1.55

56.如圖1.56所示，。是OABC。的對角線的交點，AE為NBAC的平分線，交BC于點E.DH于

點”，交于點F,交AC于點G.求證：BF=2OG.

57.如圖1.57所示，在OA8CO中，點E是/W的中點，8P_LCE于點P.求證：AP=AB.

58.如圖1.58所示，在AABC中，點0是BC的中點，點E,尸分別在鉆，AC上，BE=CF,AQ交

EF于點G,且點G是所的中點.求證：AB=AC.

59.如圖1.59所示，4）是&4BC的邊8C上的中線，點E,尸分別是AC,A￡＞的中點，DH_LBF于

17

點”.求證：HE=-AB.

2

60.如圖1.60所示，在&48c中，AB=AC,_LBC于點。，點E在54的延長線上，點尸在線段AC

上，AE=CF.求證：EF>AD.

:

BDC

圖1.60

61.如圖1.61所示，在四邊形ABC。中，對角線AC與5。交于點。，且08=0。，BC,4）的中點分

別為點E,凡求證：AC平分線段EE

D

二

BEC

圖1.61

62.如圖1.62所示，在銳角A4BC中，A8>4C,點M為8c的中點,4短，8C于點。，于

點、E,交A￡>于點尸.點尸為瓦'的中點.求證：APLBE.

18

A

63.如圖1.63所示，在凸五邊形A8CDE中，NABC=NAEQ=90。.點尸，G分別在邊BC,上，滿

足4尸J.BG,AGJ.EF.求證：AB=AE.

64.如圖1.64所示，點A,。在直線8c的同側(cè)，N8AC=N8OC=90。.點E,尸分別在3D,AC上,

滿足。尸，CE.求證：AFAC=DEDB.

65.如圖1.65所示，在AA8C中，AB=AC,

交BC于點。.求證：DE2-BE2=DF2-CF2.

19

A

BDC

圖1.65

66.如圖1.66所示,在RrAABC中,ZBAC=90°,于點。，設(shè)4）斗,&48C的外接圓半徑、

內(nèi)切圓半徑分別為/?,r.求證：/?4（應(yīng)-1）R+仿.

A

圖1.66

67.如圖1.67所示，在AABC中，點。，￡分別為邊AB,AC上的點，BD=CE.BE與CD交于點、0.

求證：AB=AC.

A

;

BC

圖1.67

68.如圖1.68所示，在&4BC中,ZABC=60°,N4CB=70。.點。，E分別在邊AC,A8上，滿足

NDBC=NECB=40°.求ZBDE.

20

A

圖1.68

69.如圖1.69所示，在A48C中，點。為BC的中點，點尸在八4的延長線上，點E，尸分別在邊AB,

AC上，BE=CF,莊=所.求證：AB=AC.

70.如圖1.70所示，線段AB與線段CO垂直相交，A8=C￡>=a.求證：AD+BC>41a-

圖1.70

71.如圖1.71所示，己知AM=AN,BF=CE,FN=EM.求證：AB=4C.

21

A

圖1.71

72.如圖1.72所示，在M8C中，點。，E分別在4?,4c上，8。=CE.延長和反向延長BC至點G和

F,使BF=CG.已知NF=NG.求證：AB=AC.

73.如圖1.73所示，在A4BC中，點￡),E分別在A3,AC上，AD=AE,4DCB=NEBC.求證：AB=AC.

圖1.73

74.如圖1.74所示，在A43C中，AB>AC,P為三角形內(nèi)的一點，NBA?<NCAP.求證:

AB-AC>PB-PC.

75.如圖1.75所示，在凸四邊形4BC。中，對角線4c與3。交于點。，AB+AC=D8+OC,OB>OC.

求證：0A>O￡>.（改編題.原題的條件為AB=AC,本題改為OB>OC.）

22

A

76.如圖1.76所示，在AABC中，AB=AC,點。為8c（或BC的延長線）上的一點，滿足NAE>8=60。,

在AD（或AD的延長線）上取點E，使OE=OC.連接3E.求證：BE=AB.

77.如圖1.77所示，在四邊形A8CD中，AB=AC,NACO=NOBC=30。.求證：ZBAC=2ZCAD.

圖1.77

78.如圖1.78所示，在等邊A4BC中，點。在邊A3上，點E在C8的延長線上，滿足AD=BE.點、F是CD

的中點.求證：AFLEF.

79.如圖1.79所示，在AABC中，A8=AC,NBAC=80。，點。在BC上，NBA。=50。，點E在AC上,

ZABE=40°.求NADE.

23

A

80.如圖1.80所示，在AA3C中，點加，N分別在鉆，AC上，AM=AN,點￡),E在8c上,

8O=CE＜」8C已知N8MD=NCNE,求證：AB=AC.

2

24

第2章相似三角形

1.如圖2.1所示，在R/&4BC中，ABAC=90°,AD,8c于點。.求E,尸分別在射線4?，。上，滿

BEAB

足"￡＞尸=90。.求證：一

AF~AC

圖2.1

2.如圖2.2所示，在AABC中，AB=c,BC=a,AC=6.點￡,。分別在BC的延長線及反向延長線

上，NA8D=2NACE.求證：c2-b2=ac.

圖2.2

3.如圖2.3所示，在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,延長BC至點。，使。=BC.點E在AC上,

AE=gAC.3E交相＞于點尸.求莊.

48=40延長5(7至點。，使C￡＞=:8C，點E是AC的

4.如圖2.4所示，在A4BC中，ZBAC=90°,

2

中點，BE與AD交于點、F.求〃\FE.

25

A

5.如圖2.5所示，在AA8C中，點。在A3上，滿足NA8=NB,點P是C。的中點，A尸交BC于點E，

EF//CD,交A8于點E.求證：EF2=CEBE.

6.如圖2.6所示，點C,。在線段A3上，AC=BD,點E,尸在A3的同側(cè)，JiZA=ZB=ZECF=a.

求證：ZEDF=a.

7.如圖2.7所示，在RfAABC中，N8=90。，點。是8c的中點，點E在4c上，AE=2CE.求證:

ZADB=ZCDE.

Ar3

8汝口圖2.8所示，在8c中,ZC=90°,—=-,斜邊4?和直角邊BC上各有一點。，E,滿足

BC4

AO=AC=CE.求證：CDLDE.

26

圖2.8

9.如圖2.9所示，在R/AA8C中，A8=AC,點。是AC的中點，點E在Afi上，滿足ZAOE=N08c.

求若的值.

圖2.9

10.如圖2.10所示，在Rf&48c中，Z4=90°,A8:AC=3:4,點。在AC上,4D:AC=1:4,點E在

ABh,滿足ZAED=NOBC.求AE:EB的值.

圖2.10

11.如圖2.11所示，在梯形A8CQ中，AD//BC,AC與皮）交于點。，點E,尸在BC上，BE=CF.

E。與CD交于點G,尸。與84交于點”.求證：HG//AD.

圖2.11

12.如圖2.12所示，在AABC中，AD為邊BC上的中線，點E為直線AD上的一點，作E尸〃BC,交4?

于點F.點P為直線BC上的一點，PF與CE交于點G,PE與AC交于點”.求證：GH//BC.

27

A

13.如圖2.13所示，在AA8C中，">為角平分線，點M為BC的中點，延長CA至點E,使的=加，

直線與AD交于點F.求證：BF=BD.

14.如圖2.14所示，在梯形ABC。中，AD〃BC,點P是BC上的任一點，作尸E〃4C，交AB于點E,

PF//BD,交DC于點、F，F(xiàn)G//BC,交AB于點G.求證：AG=BE.

別交BC,BD于點、F,G.求證：—

28

16.如圖2.16所示,在梯形ABCD中，AD//BC,點、P是直線4）上的一點，過點尸的另一直線分別交回,

CD于點、E,F,BF,CE分別交直線相＞于點”，G.求證：PGPH=PAPD.

圖2.16

17.如圖2.17所示，在凸四邊形ABCD中，/84。=/4。（7,邊8（7上存在點片，滿足8￡=謖，CE=CD.

作EF〃AB,分別交AC,4）于點G,凡求證：EG=GF.

18.如圖2.18所示，在定四邊形ABC。中，點p是直線8c上的動點，PE〃AC,交4?于點E,PF//BD,

EG

交CD于點F，EF與BD,AC分別交于點G,".求證：定為定值.

H卜

19.如圖2.19所示，在OABCQ中，點￡,尸分別在邊BC,以上，滿足8￡=*點G為直線CO上

的任一點，AG與CF交于點”.求證：BH//EG.

29

?D

Ji

/\3yG

B~~EC

圖2.19

20.如圖2.20所示，在&48c中，邊8c上的中線為4),點尸是CD上的一點.尸E〃AC,分別交4?,

AD于點E,G,PF//AB,交AC于點F.求證：EG=CF.

21.如圖2.21所示，已知AABC所在平面上的任一直線/,BD//AC,交I于點、D,CE〃AB,交I于點E,

C。交4?于點M,BE交AC于點N.求證：MN//1.

22.如圖2.22所示，在RfA/lBC中，N54C=90。，點。在BC上，ZBAD=60°,4B=C。.求證：ZC=30°.

圖2.22

An)々

23.如圖2.23所示，在AABC中，點。在邊4?上，——=-^?.求證：MCD-AABC.

ABBC2

30

A

圖2.23

24.如圖2.24所示，在AA8C中，點。是邊AB上的一點，42上8=這.求證：AACD-AABC.

AC+BCAB

圖2.24

25.如圖2.25所示，在M8C中，過點4作乙4BC的平分線的垂線，垂足為點E,過點A作NACB的平

分線的垂線，垂足為點F.8F與CE交于點X,點/是A4BC的內(nèi)心，點。是BC的中點.求證：X,/,

。三點共線.

26.如圖2.26所示，在"BC中，點。，E在邊BC上，^EF//AD，交直線AC于點尸，作反;〃Afi,

交4c于點G.求證：BF//DG.

BDEC

圖2.26

27.如圖2.27所示，在梯形ABCQ中，AD//BC,A8=8C>AD,點E在比）上，NBAE=NBDA,點、F

31

在AB上，AF=AZ).求證：NAEF=NBFC.

D

28.如圖2.28所示，在梯形ABC。中，AD//BC,EF//BC,EF分別交AB,CD,BD,AC于點E,

F,H,G.點P在CO上，CP=DF,分別交3。，AC于點R,S.求證：ER=PS.

29.如圖2.29所示，在凸四邊