復數的三角形式與指數形式ppt課件

1、初等數學專題研究初等數學專題研究第四講 復數的三角方式與指數方式4.1復數的三角方式4.2復數的指數方式4.3復數的運用在中學，我們曾經學習過復數及其用代數方式a+bi表達的四那么運算法那么及算律。在中我們學習過建立在實數集合上的微積分稱為實分析；同樣，在復數集合上也可以討論函數、導數、微分、積分等問題，這就是大學數學本科或研討生專業(yè)里一門必修課因此我們有必要對復數了解得更多些。本講講三個問題初等數學專題研究初等數學專題研究4.1、復數的三角方式一、復數的幅角與模我們知道復數a+bi對應著復平面上的點(a, b)，也對應復平面上一個向量如右圖所示這個向量的長度叫做復數a+bi的模，記為|a+b

2、i|，普通情況下，復數的模用字母r表示。xy同時，這個向量針對x軸的正方向有一個方向角，我們稱為幅角，記為arg(a+bi)，幅角普通情形下用希臘字母表示。顯然 sin,cosrbra 把它們代入復數的代數方式得：cossin(cossin )abirirri 初等數學專題研究初等數學專題研究4.1、復數的三角方式這樣，我們把 叫做復數a+bi的三角方式(cossin )ri cossin(cossin )abirirri 二、復數三角方式的運算法那么引入復數三角方式的一個重要緣由在于用三角方式進展乘除法、乘方、開方相對于代數方式較為簡單。所以這里只引見三角方式的乘法、除法、乘方與開方的運算法

3、那么。1、復數的乘法設1111(cossin)zri 2222(cossin)zri 那么1 2111111 (cossin) (cossin)z zriri 初等數學專題研究初等數學專題研究4.1、復數的三角方式二、復數三角方式的運算法那么1、復數的乘法1 2111222 (cossin) (cossin)z zriri 1 212121 21212(coscossinsin)(sincoscossin)rrirr1 21212cos()sin()rri 這闡明，兩個復數相乘等于它們的模相乘而幅角相加即1 21 21212cos()sin()z zrri 這個運算在幾何上可以用下面的方法進展

4、：將向量z1的模擴展為原來的r2倍，然后再將它繞原點逆時針旋轉角2，就得到z1z2。初等數學專題研究初等數學專題研究4.1、復數的三角方式二、復數三角方式的運算法那么2、復數的除法11112222(cossin)(cossin)rizzri 1112222222(cossin)(cossin)(cossin)(cossin)riirii 1121221212(coscossinsin)(sincoscossin)rri112122cos()sin()rir初等數學專題研究初等數學專題研究4.1、復數的三角方式二、復數三角方式的運算法那么2、復數的除法11121222cos()sin()zriz

5、r 即這闡明，兩個復數相除等于它們的模相除而幅角相減這個運算在幾何上可以用下面的方法進展：將向量z1的模減少為原來的r2分之一，然后再將它繞原點順時針旋轉角2，就得到z1z2。3、復數的乘方。利用復數的乘法不難得到(cossin)nnzrnin 這闡明，復數的n次方等于它模的n次方，幅角的n倍。初等數學專題研究初等數學專題研究4、復數的開方對于復數 ，根據代數根本定理及其推論知，任何一個復數在復數范圍內都有n個不同的n次方根。 (cossin )zri將向量z1的模變?yōu)樵瓉淼膎次方，然后再將它繞原點逆時針旋轉角n，就得到zn。4.1、復數的三角方式二、復數三角方式的運算法那么3、復數的乘方。這

6、個運算在幾何上可以用下面的方法進展：(cossin)nnzrnin 設 的一個n次方根為(cossin )zri(cossin )i 初等數學專題研究初等數學專題研究4、復數的開方4.1、復數的三角方式二、復數三角方式的運算法那么那么 (cossin )(cossin)nnninin 所以2012,(,)nrnkk 即22012,(,)nkkrknnn 顯然，當k從0依次取到n1,所得到的角的終邊互不一樣，但k從n開場取值后，前面的終邊又周期性出現。因此，復數z的n個n次方根為220 1 21(cossin),(, , ,)nkkkriknnn 初等數學專題研究初等數學專題研究4、復數的開方4

7、.1、復數的三角方式二、復數三角方式的運算法那么220 1 21(cossin),(, , ,)nkkkriknnn 從求根公式可以看出，相鄰兩個根之間幅角相差n 所以復數z的n個n次方根均勻地分布在以原點為圓心，以它的模的n次算術根為半徑的圓周上。因此，求一個復數z的全部n次方根，可以用下面的幾何手段進展：(cossin )zri先作出圓心在原點，半徑為 的圓，然后作出角 的終邊nrn 以這條終邊與圓的交點為分點，將圓周n等分，那么，每個等分點對應的復數就是復數z的n次方根。初等數學專題研究初等數學專題研究4.2、復數的指數方式在對復數三角方式的乘法規(guī)那么討論中，我們發(fā)現，復數的三角方式將復

8、數的乘法“部分地轉變成加法模相乘，幅角相加這種改動運算等級的景象在初等函數中有過表達：對數函數與指數函數xyxya aa log ()loglogaaaxyxy 前者將兩個同底冪的乘積變成同底的指數相加；后者將兩個真數積的對數變成兩個同底對數的和。1 21 21212cos()sin()z zrri 從方式上看，復數的乘法與指數函數的關系更為親密些：121 2() ()()xyxybab abba 初等數學專題研究初等數學專題研究4.2、復數的指數方式根據這個特點，復數 應該可以表示成某種指數方式(cossin )zri即復數應該可以表示成 的方式xy a 這里有三個問題需求處理：1反映復數本

9、質特征的三個要素：模r、幅角、虛數單位i應各自擺放在什么位置？2在這些位置上它們應呈現什么形狀？3作為指數方式的底應該用什么常數？先來研討第一個問題.初等數學專題研究初等數學專題研究4.2、復數的指數方式1 21 21212cos()sin()z zrri 121 2() ()()xyxybab abba 再重新察看下面的等式xy a 首先，顯然模r應該占據 中系數y的位置,其次，幅角應該占據 中指數x的位置,xy a 對于虛數單位i，假設放到系數y的位置會怎樣？由于222()xxi rar a 等式右邊是實數，對于恣意虛數而言，這是不能夠的。因此幅角也應該占據指數的位置。這樣第二個問題就產生

10、了：它與幅角一同在指數的位置上是什么關系？相加？相乘？初等數學專題研究初等數學專題研究4.2、復數的指數方式幅角與虛數單位i是相加的關系會怎樣？先調查模為1的復數cossini 假設寫成 的方式ia iiaaa 一方面，由于與 的方式差別不是很大，()ir a 其次()inni naa 在復數的乘方法那么中，應該僅是幅角的n倍而沒有虛數單位也要n倍，所以虛數單位與幅角不應該是相加關系，而應該是相乘關系izra 如今來審查乘法、除法和乘方法那么能否吻合初等數學專題研究初等數學專題研究4.2、復數的指數方式12121 2121 2()()()()iiiz zrar arr a 1212121212

11、()()()()iiizzrar arr a ()()ninni nzrar a乘除法堅持“模相乘除、幅角相加減、乘方堅持“模的n次方、幅角的n倍的本質特征下面來處理最后一個問題：應該選用哪個常數作為底數？我們暫時將 方式化地看做r與的“二元函數(cossin )zri數學是“方式化的科學，因此，一些方式化的性質應該“方式化地堅持不變。下面我們將 等式兩邊對方式化地求“偏微分(cossin )irira 初等數學專題研究初等數學專題研究(cossin )( sincos ) (cossin )riririizi 4.2、復數的指數方式()lnlniiiarariraazia 于是由1lnlni

12、zizaaae 這樣我們利用不太嚴厲的推理得到了復數的第三種表現方式指數式(cossin )izabirire 從復數的模與幅角的角度看，復數的指數方式其實是三角方式的簡單化對于指數方式的嚴厲證明可以參讀初等數學專題研究初等數學專題研究,cos ,sinxexx2112!nxxxxen 246444212464442cos!()!()!nnxxxxxxnn 35743413574341sin!()!()!nnxxxxxxxnn xiz 2323456724635712312345671246357( )( )( )!()()!cossinnizizizizeiznzzzzzzziiiizzzz

13、zzziziz 的證明：泰勒級數法的證明：泰勒級數法 寫成泰勒級數方式：寫成泰勒級數方式： 將將代入可得：代入可得： e iz = cos z+ i sin z歐拉公式歐拉公式 z ?R 將函數將函數初等數學專題研究初等數學專題研究4.2、復數的指數方式由復數的三角方式與指數方式，我們很容易得到下面的兩個公式：22cossincossincos,siniiiiiiieieeeeei 這兩個公式被統(tǒng)稱為歐拉公式在復數的指數方式中，令r=1,=，就得到下面的等式1 ie或10ie 初等數學專題研究初等數學專題研究數學家們評價它是“上帝發(fā)明的公式，我們只能看著它但卻不能了解它。它是數學里最令人著迷的

14、一個公式，它將數學里最重要的五個數字就這么奧秘地聯絡到了一同：兩個超越數自然對數的底e，圓周率；三個單位虛數單位i、自然數的乘法單位1和加法單位0。1 ie或10ie 4.2、復數的指數方式關于自然對數的底e和圓周率，這里我想多說那么幾句：它們是迄今為止人類所發(fā)現的兩個彼此獨立的超越數，雖然從實際上我們知道，超越數比有理數、代數數可以表示為有理系數一元多項式的根的數要多得多，但為人類所認識的超越數卻僅此兩個！令人不可思議的是，它們通暢憑仗這么一個簡單關系彼此聯絡著。在復數的指數方式中，令r=1,=，就得到下面的等式初等數學專題研究初等數學專題研究4.3、復數的運用利用復數的三角方式，我們可以比

15、較容易地處理一些數學其他領域里的問題。由于我們這門課的特點，我們僅限于在初等數學領域里舉兩個例子。例1：三角級數求和2coscoscosn 2sinsinsinn解：令cossinzi 那么對任何自然數k，有cossinkzkik于是22222(cossin)(cossin)(cossin)(coscoscos)(sinsinsin)nzzziininnin 初等數學專題研究初等數學專題研究4.3、復數的運用例1：三角級數求和2coscoscosn 2sinsinsinn解：另一方面22211112222222222()(cossin)(cossin)(cossin)(cossin)( sin

16、sincos)sinsincosnnzzzzzzinininnnii 222222sin(cossin)(cossin)sin(cossin)nnniii 初等數學專題研究初等數學專題研究4.3、復數的運用例1：三角級數求和2coscoscosn 2sinsinsinn解：222222sincos()sin()sinnnni 11222211222222sin(cossin)sinsincossinsinsinsinnnninnnni 初等數學專題研究初等數學專題研究4.3、復數的運用例1：三角級數求和2coscoscosn 2sinsinsinn即所以211222222sincossinsi

17、nsinsinnnnnnzzzi12222sincoscoscoscossinnnn 12222sinsinsinsinsinsinnnn 初等數學專題研究初等數學專題研究4.3、復數的運用例2：設M是單位圓周 x2 + y2 = 1上的動點，點N與定點A(2, 0)和點M構成一個等邊三角形的頂點，并且MNAM成逆時針方向，當M點挪動時，求點N的軌跡。分析：此題假設用普通解析幾何的方法尋覓點M與N之間的顯性關系是比較困難的。下面用復數的乘法的幾何意義來尋覓這種關系。設M、N、A對應的復數依次為：2Mxy iNxyiA 那么向量AM可以用向量AN繞A點逆時針旋轉300度得到用復數運算來實現這個變

18、換就是300300(cossin)AMiAN 初等數學專題研究初等數學專題研究4.3、復數的運用例2：設M是單位圓周 x2 + y2 = 1上的動點，點N與定點A(2, 0)和點M構成一個等邊三角形的頂點，并且MNAM成逆時針方向，當M點挪動時，求點N的軌跡。300300(cossin)AMiAN 即13222()ixy ixyi 所以3232 322,xyyxxy 但221xy 3232 322xyyxi 300300(cossin) ()OMOAiONOA 初等數學專題研究初等數學專題研究故223232 3122()()xyyx 4.3、復數的運用例2：設M是單位圓周 x2 + y2 = 1上的動點，