勾股定理的各類題型.doc

1、勾股定理各種題型 : 勾股定理面積相等法：方法 1:斗禺+曲顯趴迥正務開 go 廠 4x ab + (ia) c ) 化簡可證 .方法 2 :方法 3 :S 聃曲=十町* 七盼; 宀化簡得證二：方程思想和勾股定理結合的題目1. （2016 春？宜春期末）一旗桿在其 B 處折斷，量得 AC=5 米，則旗桿原來的高度為C. 10 米 D. 二. ；米【考點】勾股定理的應用 .【分析】可設 AB=x ，貝 U BC=2x ，進而在厶 ABC 中，利用勾股定理求解 x 的值即可 .【解答】 解：由題意可得， AC2- X2=5；解得 x= ,2=BC2- AB2, 即（2x）3 所以旗桿原來的高度為

2、3x=5 *匚故選 D.【點評】能夠利用勾股定理求解一些簡單的直角三角形 .2. （2016 春？防城區(qū)期中）如圖，在 ABC 中，/ B=40 EF/ AB , / 1=50 CE=3 , EF比 CF 大 1, 則 EF 的長為（4 BA. 5 B. 6 C. 3 D . 4【考點】勾股定理；平行線的性質 .【分析】由平行線的性質得出 / A= / 仁 50 得出 / C=90 設 CF= X，則 EF= X+1，根據勾 股定理得出方程，解方程求出 X，即可得出 EF 的長.【解答】 解：I EF / AB，?/ A=/ 1=50 ?/ A+ / B=50 40 90 歡迎下載 2?/ C

3、=90設 CF=x ，則 EF=x+1 ,2 2 2 根據勾股定理得： CE+CF =EF ,卄 2 2 2即 3 +X = ( X+1 ), 解得： x=4 ,? EF=4+1=5 ,故選： A.【點評】本題考查了平行線的性質、 直角三角形的判定、勾股定理；熟練掌握平行線的性質 , 并能進行推理論證與計算是解決問題的關鍵 .3. （2015 春?蚌埠期中）已知，如圖長方形 ABCD 中，AB=3cm , AD=9cm ，將此長方形折EF , 則 BE 的長為（A. 3cm B. 4cm C. 5cm D . 6cm【考點】翻折變換（折疊問題） .【分析】根據折疊的性質可得 BE=ED , 設

4、 AE=x ，表示出 BE=9 - X, 然后在 Rt ABE 中，利 用勾股定理列式計算即可得解 .【解答】 解：?長方形折疊點 B 與點 D 重合，? BE=ED ,設 AE=x ，貝 U ED=9 - x, BE=9 - x,2 2 2在 RtA ABE 中，AB +AE =BE ,“22 2即 3 +x = （9 - x）,解得 x=4 ,? AE 的長是 4,? BE=9 - 4=5 , 故選 C.【點評】本題考查了翻折變換的性質，勾股定理的應用，根據勾股定理列出關于 AE 的長的方程是解題的關鍵 .4. （2008 秋?奎文區(qū)校級期末）在我國古代數學著作九章算術中記載了一個有趣的問

5、題，這個問題的意思是：有一個水池，水面是一個邊長為 10 尺的正方形，在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面 1 尺，如圖所示，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊， 它的頂端恰好到達岸邊的水面 . 那么水深多少？蘆葦長為多少？歡迎下載 3【考點】勾股定理的應用 .【分析】找到題中的直角三角形，設水深為 x 尺，根據勾股定理解答 .【解答】解；設水深為 x 尺，則蘆葦長為（ X+1 ）尺，根據勾股定理得： I ;解得： x=12 （尺），蘆葦的長度 =x+1=12+ 仁 13 （尺），答：水池深 12 尺，蘆葦長 13 尺.【點評】此題是一道古代問題， 體現了我們的祖先對勾股定理的理解， 也體現了我國

6、古代數學的輝煌成就 .三：勾股定理應用：求最短距離問題1. （2014 秋？環(huán)翠區(qū)期中）如圖，長方體的底面邊長為 1cm 和 3cm，高為 6cm . 如果用一根細線從點 A 開始經過 4 個側面纏繞一圈到達 B, 那么所用細線最短需要（ ）/B11A 3 on1-7CWA. 12cm B. 11cm C. 10cm D . 9cm【考點】平面展開 -最短路徑問題 .【分析】要求所用細線的最短距離，需將長方體的側面展開，進而根據 兩點之間線段最短得出結果 .【解答】解：將長方體展開，連接 A、B,則 AA=1+3+1+3=8 （cm ）, AB=6cm ,根據兩點之間線段最短， AB = a/

7、 + 6?=10cm .歡迎下載 4【點評】 本題考查了平面展開 - 最短路徑問題，本題就是把長方體的側面展開 面”用化立體為平勾股定理解決 .2. （2016 春？繁昌縣期末）如圖，是一長、寬都是 3cm ，高 BC=9cm 的長方體紙箱， BC 上有一點 P, PC=BC , 只螞蟻從點 A 出發(fā)沿紙箱表面爬行到點 P 的最短距離是（蟲 B. 3 , :cm C . 10cm D . 12cmA. 6 |pjcm-最短路徑問題 . 【考點】平面展開【分析】 將圖形展開，可得到安排 AP 較短的展法兩種，通過計算，得到較短的即可 .【解答】解： (1) 如圖 1 ,AD=3cm , DP=3

8、+6=9cm ，在 RtA ADP 中，AP= ： . =3 一 i cm ;（2）如圖 2, AC=6cm , CP=3+3=6cm ,RtA ADP 中, AP= ；=6 |?汨 cm .綜上，螞蟻從點 A 出發(fā)沿紙箱表面爬行到點 P 的最短距離是 6 :-:cm .3. （2016? 大悟縣二模）如圖，小紅想用一條彩帶纏繞易拉罐，正好從 A 點繞到正上方 B點共四圈，已知易拉罐底面周長是 12cm ，高是 20cm ，那么所需彩帶最短的是（B歡迎下載 5A. 13cm B. 4 icm C . 4、J C! cm D . 52cm【考點】平面展開 -最短路徑問題 .【分析】要求彩帶的長，

9、需將圓柱的側面展開，進而根據 兩點之間線段最短”得出結果，在求線段長時，借助于勾股定理 .【解答】 解：由圖可知，彩帶從易拉罐底端的 A 處繞易拉罐 4 圈后到達頂端的 B 處，將易拉罐表面切開展開呈長方形，則螺旋線長為四個長方形并排后的長方形的對角線長，?易拉罐底面周長是 12cm ，高是 20cm ,2 , 、 2 2? x= (12 X4) +20 ,所以彩帶最短是 52cm .故選 D【點評】本題考查了平面展開 - 最短路徑問題， 圓柱的側面展開圖是一個矩形， 此矩形的長 等于圓柱底面周長，高等于圓柱的高，本題就是把圓柱的側面展開成矩形， 化曲面為平面” 用勾股定理解決.4. ( 20

10、16? 游仙區(qū)模擬 ) 長方體敞口玻璃罐，長、寬、高分別為 內點 E處有一小塊餅干碎末，此時一只螞蟻正好在罐外壁，在長方形16cm 、6cm 和 6cm，在罐ABCD 中心的正上方2cm 處，則螞蟻到達餅干的最短距離是多少 cm .( )A. 7 打* B._； C. 24 D . . : : :【考點】平面展開 -最短路徑問題 .【分析】做此題要把這個長方體中螞蟻所走的路線放到一個平面 在平面內線段最短，根內, 據勾股定理即可計算 .【解答】 解： 若螞蟻從平面 ABCD 和平面 CDFE 經過，螞蟻到達餅干的最短距離如圖 1:歡迎下載 6H& | |?上廠 =7 口， 若螞蟻從平面 ABC

11、D 和平面 BCEH 經過, 則螞蟻到達餅干的最短距離如圖 2:H E= | ：丨： 丄：；故選 B.【點評】考查了平面展開 - 最短路徑問題， 此題的關鍵是明確兩點之間線段最短這一知識點 ,然后把立體的長方體放到一個平面內，求出最短的線段 .5. （2015 秋？宜興市校級期中）如圖，一圓柱高 8cm，底面半徑為 cm , 一只螞蟻從點 A爬到點 B 處吃食，要爬行的最短路程是 10 cm .歡迎下載 7-最短路徑問題 .歡迎下載 8【分析】此題最直接的解法，就是將圓柱展開，然后利用兩點之間線段最短解答 .【解答】解：底面圓周長為 2 n，底面半圓弧長為 n，即半圓弧長為：一 X ：2展開得

12、：/ BC=8cm , AC=6cm ,根據勾股定理得： AB= ； ? | =10 （cm）.故答案為： 10.A C【點評】此題主要考查了立體圖形的展開和兩點之間線段最短， 解題的關鍵是根據題意畫出展開圖，表示出各線段的長度 .四：網格問題（簡單） 1、在邊長為 1 的小正方形組成的網格中， ABC 的三個頂點均在格點上， 則厶 ABC 中BC 邊上的高為答案：設厶 ABC 中 BC 邊上的高為 h .?/ ABA 2 =5 , ACA 2 =20 , BCA 2 =25 ,? BCA 2 =ABA 2 +AC 卜 2?/ A=90S ABC = 2 AB AC= 2 BC h ，即5 2

13、5 =5h .解得， h=2 .故答案是： 2.2. 如圖，方格紙中每個小方格都是邊長為 1 的正方形，我們把以格點連線為邊的多邊形稱為格點多邊形” . 如圖（一）中四邊形 ABCD 就是一個格點四邊形”.（1） 求圖（一）中四邊形 ABCD 的面積；歡迎下載 9（2） 在圖（二）方格紙中畫一個格點三角形 EFG,使厶 EFG 的面積等于四邊形 ABCD 的面 積且為軸對稱圖形 .歡迎下載 10 圖（二）圖（一）答案：解：（ 1）方法一： S= 2 6 4=12方法二： S= 46 - 2 X1 - 2 2 X3 4 - 2 X2X3 =12( 2)( 只要畫出一種即可 )XL -.、iL1|

14、7/ X3、如圖，在由邊長為 1 的小正方形組成的網格中， 請按 ABC 的三個頂點均在格點上 .要求完成下列各題：（1 ）畫 AD / BC （ D 為格點），連接 CD ;（2）試判斷 ABC 的形狀？請說明理由；歡迎下載 11AC2=2 2M 2=20 ,BC2=32+4 2=25 , ?BC2=AB 2+AC2 , ABC 是直角三角形。A 處，？它想答案： AB=5cm , BC=13cm . ?所以其最短路程為 18cm（難題） 5、如圖中的虛線網格我們稱之為正三角形網格，它的每一個小三角形都是邊長為1 的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形。（1） 直接寫出單位正三角形的高與面

15、積。（2） 圖中的平行四邊形 ABCD 含有多少個單位正三角形？平行四邊形 ABCD 的面積是多少？（3） 求出圖中線段 AC 的長（可作輔助線）?！敬鸢浮浚?1）單位正三角形的高為：，面積是： 二（2）如圖可直接得出平行四邊形 ABCD 含有 24 個單位正三角形，因此其面積歡迎下載 12(3)過 A 作 AK 丄 BC 于點 K( 如圖所示 ) ，則在 RtA ACK 中,五：方位角問題1、如圖所示，在一次夏令營活動中， 小明從營地 A 點出發(fā)，沿北偏東 60。方向走了 500 3 m到達 B 點，然后再沿北偏西 30。方向走了 500m 到達目的地 C 點.( 1 ) 求 A、C 兩點之

16、間的距離；( 2) 確定目的地 C 在營地 A 的什么方向？t 1)過 B 點作 BE JI AD , 羞如圖 r zDAB=zABE=60 . . 3o0+zCBAzABE=180 ZCBA=W ? 即匚 ABC 為直角三角 形.由已知可彳曇： BC=500m , AB-500 J3 m 由勾可得 : AC2 =BC2 +AB2 13，.? . 甲、乙兩人還能保持聯系 .答：上午 10: 00 甲、乙兩人相距 13 千米,兩人還能保持聯系 .3、如圖，甲乙兩船從港口 A 同時出發(fā)，甲船以 16 海里/時速度向北偏東 40。航行，乙船向 南偏東50航行， 3 小時后，甲船到達 C 島，乙船到達

17、 B 島若 C、B 兩島相距 60 海里，問 乙船的航速是多少？答案：從兩船航行的方向看 ，北偏東 40 度和南偏東 50 度的夾角為 90AC 丄 AB甲船速度每小時 16 海里，所以 AC=16 X3=48 海里AB2=BC2-AC 2=3600-2304=1296AB=36所以乙船速度為每小時： 36 +3=12 海里4、如圖，北海海面上，一艘解放軍軍艦正在基地 A 的正東方向且距 A 地 40 海里的 B 處訓練，突然接基地命令，要該艦前往 C 島，接送一病危漁民到基地醫(yī)院救治，已知 C 島在 A0 0的北偏東 60 方向，且在 B 北偏西 45 方向，軍艦從 B 處出發(fā)，平均每小時走 20 海里，需歡迎下載 15要多少時間才能把患病漁民送到基地醫(yī)院？（精確到 0.1 小時，參考數據 : 3 1.73、2 1.41歡迎下載 16解：作