2021年中考數(shù)學(xué)試卷解析版分類匯編圖形的相似與位似

1、圖形的相似與位似一、選擇題1. 2021山東濰坊，第8題3分如圖，矩形ABCD的長(zhǎng)AB為5，寬BC為4E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AE上EF,EF交CD于點(diǎn)F設(shè)BE=x,FC=y，那么點(diǎn) E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，能表示y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是 考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象分析：易證ABEECF，根據(jù)相似比得出函數(shù)表達(dá)式，在判斷圖像.解答：因?yàn)锳BEECF，那么BE：CF=AB：EC，即x：y=5：4xy，整理，得y=x22+，很明顯函數(shù)圖象是開口向下、頂點(diǎn)坐標(biāo)是2，的拋物線對(duì)應(yīng)A選項(xiàng)應(yīng)選：A點(diǎn)評(píng)：此題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，關(guān)鍵列出動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系，再判斷選項(xiàng)2. (2021年山東東營(yíng),第7題3分

2、)以下關(guān)于位似圖形的表述：相似圖形一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形；位似圖形一定有位似中心；如果兩個(gè)圖形是相似圖形，且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所在的直線都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，那么，這兩個(gè)圖形是位似圖形；位似圖形上任意兩點(diǎn)與位似中心的距離之比等于位似比其中正確命題的序號(hào)是ABCD考點(diǎn)：位似變換；命題與定理分析：利用位似圖形的定義與性質(zhì)分別判斷得出即可解答：解：相似圖形不一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；位似圖形一定有位似中心，此選項(xiàng)正確；如果兩個(gè)圖形是相似圖形，且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所在的直線都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，那么，這兩個(gè)圖形是位似圖形，此選項(xiàng)正確；位似圖形上任意兩點(diǎn)與位似中心的距離之比等

3、于位似比，此選項(xiàng)錯(cuò)誤正確的選項(xiàng)為應(yīng)選：A點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)與定義，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵3.2021四川涼山州，第7題，4分如果兩個(gè)相似多邊形面積的比為1：5，那么它們的相似比為 A1：25B1：5C1：2.5D1： 考點(diǎn)：相似多邊形的性質(zhì)分析：根據(jù)相似多邊形的面積的比等于相似比的平方解答解答：解：兩個(gè)相似多邊形面積的比為1：5，它們的相似比為1：應(yīng)選D點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似多邊形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵 42021四川瀘州，第11題，3分如圖，在直角梯形ABCD中，DCAB，DAB=90，ACBC，AC=BC，ABC的平分線分別交AD、AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，那么的值是A

4、BCD解答：解：作FGAB于點(diǎn)G，DAB=90，AEFG，=，ACBC，ACB=90，又BE是ABC的平分線，F(xiàn)G=FC，在RTBGF和RTBCF中，RTBGFRTBCFHL，CB=GB，AC=BC，CBA=45，AB=BC，=+1應(yīng)選：C點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行線分線段成比例，全等三角形及角平分線的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是找出線段之間的關(guān)系，CB=GB，AB=BC再利用比例式求解.52021四川內(nèi)江，第10題，3分如圖，RtABC中，ACB=90，AC=4，BC=6，以斜邊AB上的一點(diǎn)O為圓心所作的半圓分別與AC、BC相切于點(diǎn)D、E，那么AD為A2.5B1.6C1.5D1考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；相似三角

5、形的判定與性質(zhì)分析：連接OD、OE，先設(shè)AD=x，再證明四邊形ODCE是矩形，可得出OD=CE，OE=CD，從而得出CD=CE=4x，BE=64x，可證明AODOBE，再由比例式得出AD的長(zhǎng)即可解答：解：連接OD、OE，設(shè)AD=x，半圓分別與AC、BC相切，CDO=CEO=90，C=90，四邊形ODCE是矩形，OD=CE，OE=CD，CD=CE=4x，BE=64x=x+2，AOD+A=90，AOD+BOE=90，A=BOE，AODOBE，=，=，解得x=1.6，應(yīng)選B點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)相似三角形的性質(zhì)與判定，運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角

6、三角形，證明三角形相似解決有關(guān)問(wèn)題6.2021甘肅白銀、臨夏,第10題3分如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E在CB延長(zhǎng)線上，連接ED交AB于點(diǎn)F，AF=x0.2x0.8，EC=y那么在下面函數(shù)圖象中，大致能反映y與x之聞函數(shù)關(guān)系的是ABCD考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象分析：通過(guò)相似三角形EFBEDC的對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式=，從而得到y(tǒng)與x之間函數(shù)關(guān)系式，從而推知該函數(shù)圖象解答：解：根據(jù)題意知，BF=1x，BE=y1，且EFBEDC，那么=，即=，所以y=0.2x0.8，該函數(shù)圖象是位于第一象限的雙曲線的一局部A、D的圖象都是直線的一局部，B的圖象是拋物線的一局部，C的圖象是雙曲線的一局部應(yīng)選

7、C點(diǎn)評(píng)：此題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象解題時(shí)，注意自變量x的取值范圍4.5.6.7.8.二、填空題1.2021湖南懷化，第11題，3分如圖，D、E分別是ABC的邊AB、AC上的中點(diǎn)，那么SADE：SABC=1：4考點(diǎn)：三角形中位線定理；相似三角形的判定與性質(zhì)分析：根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DEBC且DE=BC，再求出ADE和ABC相似，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方解答解答：解：D、E是邊AB、AC上的中點(diǎn)，DE是ABC的中位線，DEBC且DE=BC，ADEABC，SADE：SABC=1：22=1：4故答案為：1：4點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形的中位線平行于第三邊并

8、且等于第三邊的一半，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵2.2021湖南張家界，第10題，3分如圖，ABC中，D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，那么ADE與ABC的面積比為1：4考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理分析：根據(jù)三角形的中位線得出DE=BC，DEBC，推出ADEABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出即可解答：解：D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，DE=BC，DEBC，ADEABC，=2=，故答案為：1：4點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線的應(yīng)用，注意：相似三角形的面積比等于相似比的平方3.2021遵義174分“今有邑，東西七里，南北九里，各開中門，出東門一

9、十五里有木，問(wèn)：出南門幾何步而見(jiàn)木？這段話摘自?九章算術(shù)?，意思是說(shuō)：如圖，矩形ABCD，東邊城墻AB長(zhǎng)9里，南邊城墻AD長(zhǎng)7里，東門點(diǎn)E、南門點(diǎn)F分別是AB，AD的中點(diǎn)，EGAB，F(xiàn)EAD，EG=15里，HG經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，那么FH=1.05里考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用分析：首先根據(jù)題意得到GEAAFH，然后利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等列出比例式求得答案即可解答：解：EGAB，F(xiàn)EAD，HG經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，F(xiàn)AEG，EAFH，HFA=AEG=90，F(xiàn)HA=EAG，GEAAFH，AB=9里，DA=7里，EG=15里，F(xiàn)A=3.5里，EA=4.5里，解得：FH=1.05里故答案為：1.05點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似

10、三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問(wèn)題中整理出相似三角形，難度不大4.2021婁底173分如圖，小明用長(zhǎng)為3m的竹竿CD做測(cè)量工具，測(cè)量學(xué)校旗桿AB的高度，移動(dòng)竹竿，使竹竿與旗桿的距離DB=12m，那么旗桿AB的高為9m考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用分析：根據(jù)OCD和OAB相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可解答：解：由題意得，CDAB，OCDOAB，=，即=，解得AB=9故答案為：9點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的應(yīng)用，是根底題，熟記相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵5. (2021年湖北咸寧163分)如圖，在ABC中，AB=AC=10，點(diǎn)D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)不與B，C重合，ADE=B=，DE交AC

11、于點(diǎn)E，且cos=以下結(jié)論：ADEACD；當(dāng)BD=6時(shí)，ABD與DCE全等；DCE為直角三角形時(shí)，BD為8或；0CE6.4其中正確的結(jié)論是把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)分析：根據(jù)有兩組對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似即可證明由BD=6，那么DC=10，然后根據(jù)有兩組對(duì)應(yīng)角相等且?jiàn)A邊也相等的三角形全等，即可證得分兩種情況討論，通過(guò)三角形相似即可求得依據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得解答：解：AB=AC，B=C，又ADE=BADE=C，ADEACD；故結(jié)論正確，AB=AC=10，ADE=B=，cos=，BC=16，BD=6，DC=10，AB=DC，在ABD與

12、DCE中，ABDDCEASA故正確，當(dāng)AED=90時(shí)，由可知：ADEACD，ADC=AED，AED=90，ADC=90，即ADBC，AB=AC，BD=CD，ADE=B=且cos=AB=10，BD=8當(dāng)CDE=90時(shí)，易CDEBAD，CDE=90，BADF=90，B=且cos=AB=10，cosB=，BD=故正確易證得CDEBAD，由可知BC=16，設(shè)BD=y，CE=x，=，=，整理得：y216y+64=6410x，即y82=6410x，0y8，0x6.4故正確點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及利用三角函數(shù)求邊長(zhǎng)等62021四川遂寧，第15題，4分：如圖，在ABC

13、中，點(diǎn)A1，B1，C1分別是BC、AC、AB的中點(diǎn)，A2，B2，C2分別是B1C1，A1C1，A1B1的中點(diǎn)，依此類推假設(shè)ABC的周長(zhǎng)為1，那么AnBnCn的周長(zhǎng)為考點(diǎn)：三角形中位線定理專題：規(guī)律型分析：由于A1、B1、C1分別是ABC的邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，就可以得出A1B1C1ABC，且相似比為，A2B2C2ABC的相似比為，依此類推AnBnCnABC的相似比為，解答：解：A1、B1、C1分別是ABC的邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，A1B1、A1C1、B1C1是ABC的中位線，A1B1C1ABC，且相似比為，A2、B2、C2分別是A1B1C1的邊B1C1、C1A1、A1B1的中點(diǎn)，A2B2

14、C2A1B1C1且相似比為，A2B2C2ABC的相似比為依此類推AnBnCnABC的相似比為，ABC的周長(zhǎng)為1，AnBnCn的周長(zhǎng)為故答案為點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形中位線定理的運(yùn)用，相似三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是有相似三角形的性質(zhì)：2.3.4.5.6.7.8.三、解答題1. 2021上海，第23題12分：如圖，梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)F，點(diǎn)E是邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CDE=ABD1求證：四邊形ACED是平行四邊形；2聯(lián)結(jié)AE，交BD于點(diǎn)G，求證：=考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定分析：1證BADCDA，推出A

15、BD=ACD=CDE，推出ACDE即可；2根據(jù)平行得出比例式，再根據(jù)比例式的性質(zhì)進(jìn)行變形，即可得出答案解答：證明：1梯形ABCD，ADBC，AB=CD，BAD=CDA，在BAD和CDA中BADCDASAS，ABD=ACD，CDE=ABD，ACD=CDE，ACDE，ADCE，四邊形ACED是平行四邊形；2ADBC，=，=，=，平行四邊形ACED，AD=CE，=，=，=，=點(diǎn)評(píng)：此題考查了比例的性質(zhì)，平行四邊形的判定，平行線的判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，題目比擬好，難度適中2. 2021四川巴中，第24題7分如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A2，4，B2

16、，1，C5，21請(qǐng)畫出ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的A1B1C12將A1B1C1的三個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)同時(shí)乘以2，得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A2，B2，C2，請(qǐng)畫出A2B2C23求A1B1C1與A2B2C2的面積比，即：=1：4不寫解答過(guò)程，直接寫出結(jié)果考點(diǎn)：平面直角坐標(biāo)系，相似三角形的面積比分析：1根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案；2根據(jù)將A1B1C1的三個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)同時(shí)乘以2，得出各點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出答案；3利用位似圖形的性質(zhì)得出位似比，進(jìn)而得出答案解答：1如下圖：A1B1C1即為所求；2如下圖：A2B2C2即為所求；3將A1B1C1的三個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)同時(shí)乘以2，得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

17、A2，B2，C2，A1B1C1與A2B2C2的相似比為：1：2，：=1：4故答案為：1：4點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了位似變換以及軸對(duì)對(duì)稱變換，得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵3. 2021四川巴中，第29題10分如圖，在ABC中，AD是BC邊上的中線，以AB為直徑的O交BC于點(diǎn)D，過(guò)D作MNAC于點(diǎn)M，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)B作BGMN于G1求證：BGDDMA；2求證：直線MN是O的切線考點(diǎn)：相似三角形的判定，切線的性質(zhì)分析：1根據(jù)垂直定義得出BGD=DMA=90，由圓周角定理、三角形內(nèi)角和定理、對(duì)頂角性質(zhì)及等角的余角相等得出DBG=ADM，再根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似即可證明BGDDMA；2連結(jié)O

18、D由三角形中位線的性質(zhì)得出ODAC，根據(jù)垂直于同一直線的兩直線平行得出ACBG，由平行公理推論得到ODBG，再由BGMN，可得ODMN，然后根據(jù)切線的判定定理即可證明直線MN是O的切線解答：證明：1MNAC于點(diǎn)M，BGMN于G，BGD=DMA=90以AB為直徑的O交BC于點(diǎn)D，ADBC，ADC=90，ADM+CDM=90，DBG+BDG=90，CDM=BDG，DBG=ADM在BGD與DMA中，BGDDMA；2連結(jié)ODBO=OA，BD=DC，OD是ABC的中位線，ODACMNAC，BGMN，ACBG，ODBG，BGMN，ODMN，直線MN是O的切線點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的判定，相似三角形的判定

19、要證某線是圓的切線，此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)即為半徑，再證垂直即可4. 2021山東濰坊，第22題12分如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，連接AE、BF，交點(diǎn)為G(1)求證：AEBF；(2)將BCF沿BF對(duì)折，得到BPF如圖2，延長(zhǎng)FP交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，求sinBQP的值；(3)將ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使邊AB正好落在AE上，得到AHM如圖3，假設(shè)AM和BF相交于點(diǎn)N，當(dāng)正方形ABCD的面積為4時(shí)，求四邊形GHMN的面積 考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；解直角三角形分析：1由四邊形ABCD是正方形，可得ABE=BCF=

20、90，AB=BC，又由BE=CF，即可證得ABEBCF,可得BAE=CBF，由ABF+CBF=900可得ABF+BAE=900，即AEBF；2由BCFBPF, 可得CF=PF,BC=BP,BFE=BFP，由CDAB得BFC=ABF,從而QB=QF，設(shè)PF為x,那么BP為2x,在RtQBF中可求 QB為x，即可求得答案；3由可求出AGN的面積，進(jìn)一步可求出四邊形GHMN的面積解答：(1)證明：E、F分別是正方形ABCD邊BC、CD的中點(diǎn)，CF=BE，RtABERtBCF BAE=CBF 又BAE+BEA=900，CBF+BEA=900，BGE=900， AEBF (2)根據(jù)題意得：FP=FC，P

21、FB=BFC，F(xiàn)PB=900， CDAB, CFB=ABF，ABF=PFBQF=QB 令PF=kkO，那么PB=2k，在RtBPQ中，設(shè)QB=x， x2=(xk)2+4k2, x=k，sinBQP=(3)由題意得：BAE=EAM,又AEBF, AN=AB=2, AHM=900, GN/HM, 四邊形GHMN=SAHM SAGN=1一= 答：四邊形GHMN的面積是.點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用5. 2021山東煙臺(tái)，第24題8分如圖，AB是O的直徑，延

22、長(zhǎng)AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足為點(diǎn)B，點(diǎn)D在PC上設(shè)PCB=，POC=求證：tantan=考點(diǎn)：圓的根本性質(zhì)，相似三角形的判定，銳角三角函數(shù).分析：連接AC先求出PBDPAC，再求出=，最后得到tantan=解答：證明：連接AC，那么A=POC=，AB是O的直徑，ACB=90，tan=，BDAC，BPD=A，P=P，PBDPAC，=，PB=0B=OA，=，tanatan=點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及圓周角的知識(shí)，此題解題的關(guān)鍵是求出PBDPAC，再求出tantan=6.( 2021年河南) 20.9分如圖，在直角梯形OABC中，BC/AO，AOC=900，點(diǎn)A

23、、B的坐標(biāo)分別為(5,0)、(2,6)，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，且BD=2AD.雙曲線y=x0經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E.1求雙曲線的解析式；2求四邊形ODBE的面積。解：1過(guò)點(diǎn)B、D作x軸的的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N. A (5.0)、B2，6，OM=BC=2,BM=OC=6,AM=3 DNBM,ANDABM. DN =2,AN=1, ON=4 點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,2)3分 又 雙曲線y=(x0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D， k=24=8雙曲線的解析式為y=5分 2點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為6. 又點(diǎn)E在雙曲線y=上，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(,6),CE=7分S四邊形ODBE=S梯形OABCSOCESAOD =(BC+OA)OC

24、OCCEOADN =(2+5)6652 =12四邊形ODBE的面積為12. 9分7. 2021江蘇鹽城,第25題10分菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作一條直線分別交DA、BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、F，連接BE、DF1求證：四邊形BFDE是平行四邊形；2假設(shè)EFAB，垂足為M，tanMBO=，求EM：MF的值考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；平行四邊形的判定分析：1根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得AEO=CFO，然后利用“角角邊證明AEO和CFO全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OE=OF，再根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明即可；2設(shè)OM=x，根據(jù)MBO的正切值表示出BM，再根據(jù)AOM和O

25、BM相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出AM，然后根據(jù)AEM和BFM相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求解即可解答：1證明：在菱形ABCD中，ADBC，OA=OC，OB=OD，AEO=CFO，在AEO和CFO中，AEOCFOAAS，OE=OF，又OB=OD，四邊形BFDE是平行四邊形；2解：設(shè)OM=x，EFAB，tanMBO=，BM=2x，又ACBD，AOMOBM，=，AM=x，ADBC，AEMBFM，EM：MF=AM：BM=x：2x=1：4點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，難點(diǎn)在于2兩次求出三角形相似8. (2021年山東東營(yíng),第2

26、4題11分)【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，ABC是等邊三角形，AEF=60，EF交等邊三角形外角平分線CF所在的直線于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，有AE=EF成立；【數(shù)學(xué)思考】某數(shù)學(xué)興趣小組在探究AE、EF的關(guān)系時(shí)，運(yùn)用“從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)驗(yàn)證得出如下結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)E是直線BC上B，C除外任意一點(diǎn)時(shí)其它條件不變，結(jié)論AE=EF仍然成立假設(shè)你是該興趣小組中的一員，請(qǐng)你從“點(diǎn)E是線段BC上的任意一點(diǎn)；“點(diǎn)E時(shí)線段BC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)；“點(diǎn)E時(shí)線段BC反向延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)三種情況中，任選一種情況，在圖2中畫出圖形，并證明AE=EF【拓展應(yīng)用】當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，假設(shè)CE=BC，在圖3中畫出

27、圖形，并運(yùn)用上述結(jié)論求出SABC：SAEF的值考點(diǎn)：相似形綜合題分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得AB=BC，B=ACB=60，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得AEC=B+GAE=60+GAE，根據(jù)ASA，可得AGEECF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得結(jié)論；根據(jù)等邊三角形的判定，可得AEF是等邊三角形，根據(jù)根據(jù)等邊三角形像似，可得ABC與AEF的關(guān)系，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得AC與AH的關(guān)系，AC與AE的關(guān)系，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方，可得答案解答：證明：如圖一，在B上截取AG，使AG=EC，連接EG，ABC是等邊三角形，AB=BC，B=ACB=60AG=EC，BG=BE，BEG是等邊三

28、角形，BGE=60，AGE=120FC是外角的平分線，ECF=120=AGEAEC是ABE的外角，AEC=B+GAE=60+GAEAEC=AEF+FEC=60+FEC，GAE=FEC在AGE和ECF中，AGEECFASA，AE=EF；拓展應(yīng)用：如圖二：作CHAE于H點(diǎn)，AHC=90由數(shù)學(xué)思考得AE=EF，又AEF=60，AEF是等邊三角形，ABCAEFCE=BC=AC，ABC是等邊三角形，CAH=30，AH=EHCH=AC，AH=AC，AE=AC，=點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似形綜合題，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵，題目稍有難度9. 2021山東淄博,

29、第23題9分如圖，四邊形ABCD中，ACBD交BD于點(diǎn)E，點(diǎn)F，M分別是AB，BC的中點(diǎn)，BN平分ABE交AM于點(diǎn)N，AB=AC=BD連接MF，NF1判斷BMN的形狀，并證明你的結(jié)論；2判斷MFN與BDC之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；三角形中位線定理分析：1根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得AM是高線、頂角的角平分線，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得EAB+EBA=90，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得答案；2根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可得MF與AC的關(guān)系，根據(jù)等量代換，可得MF與BD的關(guān)系，根據(jù)等腰直角三角形，可得BM與NM的關(guān)系，根據(jù)等量代換，可得NM與BC的關(guān)系，根據(jù)同角

30、的余角相等，可得CBD與NMF的關(guān)系，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似，可得答案解答：1答：BMN是等腰直角三角形證明：AB=AC，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，AMBC，AM平分BACBN平分ABE，ACBD，AEB=90，EAB+EBA=90，MNB=NAB+ABN=BAE+ABE=45BMN是等腰直角三角形；2答：MFNBDC證明：點(diǎn)F，M分別是AB，BC的中點(diǎn)，F(xiàn)MAC，F(xiàn)M=ACAC=BD，F(xiàn)M=BD，即BMN是等腰直角三角形，NM=BM=BC，即，AMBC，NMF+FMB=90FMAC，ACB=FMBCEB=90，ACB+CBD=90CBD+FMB=90，NMF=CBDMFNBDC

31、點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用了銳角是45的直角三角形是等腰直角三角形，兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似102021四川涼山州，第27題，8分：如圖，P是O外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P引圓的切線PCC為切點(diǎn)和割線PAB，分別交O于A、B，連接AC，BC1求證：PCA=PBC；2利用1的結(jié)論，PA=3，PB=5，求PC的長(zhǎng) 考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)分析：1連結(jié)OC，OA，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出ACO=CAO，再由PC是O的切線，C為切點(diǎn)得出PCO=90，PCA+ACO=90，在AOC中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知ACO+CAO+AOC=180，由圓周角定理可知AOC=2P

32、BC，故可得出ACO+PBC=90，再根據(jù)PCA+ACO=90即可得出結(jié)論；2先根據(jù)相似三角形的判定定理得出PACPCB，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論解答：1證明：連結(jié)OC，OA，OC=OA，ACO=CAO，PC是O的切線，C為切點(diǎn)，PCOC，PCO=90，PCA+ACO=90，在AOC中，ACO+CAO+AOC=180，AOC=2PBC，2ACO+2PBC=180，ACO+PBC=90，PCA+ACO=90，PCA=PBC；2解：PCA=PBC，CPA=BPC，PACPCB，=，PC2=PAPB，PA=3，PB=5，PC=點(diǎn)評(píng)：此題考查的是切線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出圓心

33、角是解答此題的關(guān)鍵 112021四川內(nèi)江，第26題，12分如圖，在ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)不與點(diǎn)B、C重合，連結(jié)AD問(wèn)題引入：1如圖，當(dāng)點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)時(shí)，SABD：SABC=1：2；當(dāng)點(diǎn)D是BC邊上任意一點(diǎn)時(shí)，SABD：SABC=BD：BC用圖中已有線段表示探索研究：2如圖，在ABC中，O點(diǎn)是線段AD上一點(diǎn)不與點(diǎn)A、D重合，連結(jié)BO、CO，試猜測(cè)SBOC與SABC之比應(yīng)該等于圖中哪兩條線段之比，并說(shuō)明理由拓展應(yīng)用：3如圖，O是線段AD上一點(diǎn)不與點(diǎn)A、D重合，連結(jié)BO并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，連結(jié)CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E，試猜測(cè)+的值，并說(shuō)明理由考點(diǎn)：相似形綜合題分析：1根據(jù)三角形的面積公式，兩三角形等高時(shí)，可得兩三角形底與面積的關(guān)系，可得答案；2根據(jù)三角形的面積公式，兩三角形等底時(shí)，可得兩三角形的高與面積的關(guān)系，可得答案；3根據(jù)三角形的面積公式，兩三角形等底時(shí)，可得兩三角形的高與面積的關(guān)系，再根據(jù)分式的加減，可得答案解答：解：1如圖，當(dāng)點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)時(shí)，SABD：SABC=1：2；當(dāng)點(diǎn)D是BC邊上任意一點(diǎn)時(shí)，SABD：SABC=BD：BC，故答案為：1：2，BD：BC；2SBOC：SABC=OD：AD，如圖作O