線性代數(shù)作業(yè)

1、真誠(chéng)為您提供優(yōu)質(zhì)參考資料，若有不當(dāng)之處，請(qǐng)指正。線性代數(shù)（經(jīng)管類）綜合試題一（課程代碼 4184）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。1.設(shè)D=M0，則D1= (B )A.2M B.2M C.6M D.6M2.設(shè) A、B、C為同階方陣，若由AB = AC必能推出 B = C，則A應(yīng)滿足 ( D )A. A O B. A = O C.|A|= 0 D. |A|03.設(shè)A，B均為n階方陣，則 ( A )A.|A+AB|=0，則|A|=0或|E+B|=0 B.(A+B)2=A

2、2+2AB+B2C.當(dāng)AB=O時(shí)，有A=O或B=O D.(AB)-1=B-1A-14.二階矩陣A，|A|=1，則A-1= ( B ) A. B. C. D.5.設(shè)兩個(gè)向量組與，則下列說(shuō)法正確的是( B )A.若兩向量組等價(jià)，則s = t .B.若兩向量組等價(jià)，則r()= r() C.若s = t，則兩向量組等價(jià).D.若r()= r()，則兩向量組等價(jià).6.向量組線性相關(guān)的充分必要條件是 ( C )A. 中至少有一個(gè)零向量B. 中至少有兩個(gè)向量對(duì)應(yīng)分量成比例C. 中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示D. 可由線性表示7.設(shè)向量組有兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組與，則下列成立的是( C ) A. r與s未必相等

3、B. r + s = mC. r = s D. r + s m8.對(duì)方程組Ax = b與其導(dǎo)出組Ax = o，下列命題正確的是( D )A. Ax = o有解時(shí)，Ax = b必有解.B. Ax = o有無(wú)窮多解時(shí)，Ax = b有無(wú)窮多解.C. Ax = b無(wú)解時(shí)，Ax = o也無(wú)解.D. Ax = b有惟一解時(shí)，Ax = o只有零解.9.設(shè)方程組有非零解，則k = ( D )A. 2 B. 3 C. -1 D. 110.n階對(duì)稱矩陣A正定的充分必要條件是( D )A. |A|0 B.存在n階方陣C使A=CTCC.負(fù)慣性指標(biāo)為零 D.各階順序主子式均為正數(shù)二、填空題（本大題共10小題，每小題2分

4、，共20分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。11.四階行列式D中第3列元素依次為 -1，2，0，1，它們的余子式的值依次為5，3，-7，4，則D = -15 12.若方陣A滿足A2 = A，且AE，則|A|= 0 .13.若A為3階方陣，且 ，則|2A|= 4 14.設(shè)矩陣的秩為2，則t = -3 15.設(shè)向量(6，8，0)，=(4，3，5)，則(,)= 0 16.設(shè)n元齊次線性方程組Ax = o，r(A)= r n，則基礎(chǔ)解系含有解向量的個(gè)數(shù)為 n-r 個(gè).17.設(shè)(1，1，0)，(0，1，1)，=(0，0，1)是R3的基，則=(1，2，3)在此基下的坐標(biāo)為 (1,1,2)

5、 .18.設(shè)A為三階方陣，其特征值為1，-1，2，則A2的特征值為 1,1,4 .19.二次型的矩陣 A= 20.若矩陣A與B=相似，則A的特征值為 1,2,3 .三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.求行列式的值.解：= =x2y2. 22.解矩陣方程：.解：令A(yù)=, B=.因?yàn)?AE)=，所以.由AX=B，得：X=A-1B=. 23.求向量組=( 1, 1, 2, 3 )，=(1,1, 1, 1 )，=(1, 3, 3, 5 )，=(4,2, 5, 6 )的秩和一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表示.解：將已知向量按列構(gòu)成矩陣，并對(duì)其進(jìn)行行變換：.所以，極

6、大無(wú)關(guān)組為 24.a取何值時(shí)，方程組有解？并求其通解（要求用它的一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）.解：對(duì)方程組的增廣矩陣施以初等行變換：若方程組有解，則，故a=5.當(dāng)a=5時(shí)，繼續(xù)施以初等行變換得：，原方程組的同解方程組為：為自由未知量，令x3=x4=0,得原方程組的一個(gè)特解：.與導(dǎo)出組同解的方程組為：為自由未知量，令分別取，得到導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系：，所以，方程組的全部解為：，其中，c1 ，c2為任意常數(shù). 25.已知,求A的特征值及特征向量，并判斷A能否對(duì)角化，若能，求可逆矩陣P，使P 1AP =（對(duì)角形矩陣）解：矩陣A的特征多項(xiàng)式為：，所以，A的特征值為：.對(duì)于，求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，

7、得基礎(chǔ)解系：，從而矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值的全部特征向量為： 對(duì)于，求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，得基礎(chǔ)解系：，從而矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值的全部特征向量為： .因?yàn)槿A矩陣A有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以， A相似于對(duì)角矩陣，且. 26.用配方法將下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形： 解：=. 令，即，得二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為：.四、證明題（本大題共6分）27.設(shè)向量，證明向量組是R3空間中的一個(gè)基.證：因?yàn)椋跃€性無(wú)關(guān)（方法多樣），所以向量組是R3空間中的一個(gè)基. 線性代數(shù)（經(jīng)管類）綜合試題二（課程代碼 4184）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求

8、的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。1.若三階行列式=0, 則k = ( C ).A1 B0 C-1 D-22.設(shè)A、B為n階方陣,則成立的充要條件是 ( D ).AA可逆 BB可逆 C|A|=|B| DAB=BA3.設(shè)A是n階可逆矩陣, A*是A的伴隨矩陣, 則 ( A ).A BC D4.矩陣的秩為2，則 = (B ).A2 B1 C0 D5.設(shè)34矩陣A的秩r(A)=1，是齊次線性方程組Ax=o的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，則方程組的基礎(chǔ)解系為 ( D ).A B C D6.向量線性相關(guān),則( C ).Ak =-4 Bk = 4 Ck =-3 Dk = 3 7.設(shè)u1,

9、u2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個(gè)解, 若是其導(dǎo)出組Ax=o的解, 則有 ( B ).Ac1+c2 =1 Bc1= c2 Cc1+ c2 = 0 Dc1= 2c2 8.設(shè)A為n(n2)階方陣，且A2=E，則必有 ( B ).AA的行列式等于1BA的秩等于nCA的逆矩陣等于EDA的特征值均為19.設(shè)三階矩陣A的特征值為2, 1, 1， 則A-1的特征值為 ( D ).A1, 2 B2, 1, 1 C, 1 D, 1, 110.二次型是 (A ).A正定的 B半正定的 C負(fù)定的 D不定的二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。11.=

10、 5_12.設(shè)A為三階方陣,且|A|=4，則|2A|= _32 13.設(shè)A=, B =, 則ATB= 14.設(shè)A =,則A-1=15.向量表示為向量組的線性組合式為16.如果方程組有非零解, 則k =_-1_17.設(shè)向量與正交，則a =_2_18.已知實(shí)對(duì)稱矩陣A=,寫出矩陣A對(duì)應(yīng)的二次型19.已知矩陣A與對(duì)角矩陣=相似，則A2= E _20.設(shè)實(shí)二次型的矩陣A是滿秩矩陣，且二次型的正慣性指數(shù)為3，則其規(guī)范形為三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.計(jì)算行列式的值.解：原式= 22.設(shè)矩陣A=，B=，求矩陣A-1B .解： 得：. 所以， 23.設(shè)矩陣，求k的值，使A的秩r(A

11、)分別等于1，2，3.解：對(duì)矩陣A施行初等變換：.當(dāng)k=1時(shí)，A，矩陣A的秩r(A)=1；當(dāng)k= -2時(shí)，A，矩陣A的秩r(A)=2；當(dāng)k1且k-2時(shí)，A，矩陣A的秩r(A)=3. 24.求向量組的秩和一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無(wú)關(guān)組線性表示.解：將所給列向量構(gòu)成矩陣A，然后實(shí)施初等行變換： ，所以，向量組的秩，向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為：，且有. 25.求線性方程組的基礎(chǔ)解系，并用基礎(chǔ)解系表示其通解.解：對(duì)方程組的系數(shù)矩陣（或增廣矩陣）作初等行變換：與原方程組同解的方程組為：，其中x3, x4為自由未知量.令分別取得基礎(chǔ)解系：.方程組的通解為：. （c1 , c2為任意常數(shù)）

12、 26.已知矩陣，求正交矩陣P和對(duì)角矩陣，使P-1AP=.解：矩陣A的特征多項(xiàng)式為：，得矩陣A的所有特征值為：.對(duì)于，求方程組的基礎(chǔ)解系.，得基礎(chǔ)解系為，將此線性無(wú)關(guān)的特征向量正交化，得：.再標(biāo)準(zhǔn)化，得：對(duì)于解方程組.，方程組的基礎(chǔ)解系為， 將其單位化，得：.令P=，=，則P是正交矩陣，且P-1AP=.四、證明題（本大題共6分）27.設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，證明：向量組也線性無(wú)關(guān).證：令，整理得：因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)，所以 ，解得：， 故線性無(wú)關(guān). 線性代數(shù)（經(jīng)管類）綜合試題三（課程代碼 4184）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)

13、將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。1.當(dāng)( D )成立時(shí)，階行列式的值為零.A.行列式主對(duì)角線上的元素全為零B.行列式中有個(gè)元素等于零C.行列式至少有一個(gè)階子式為零D.行列式所有階子式全為零2.已知均為n階矩陣，E為單位矩陣，且滿足ABC=E，則下列結(jié)論必然成立的是 ( B ).A. ACB=E B. BCA=E C. CBA=E D. BAC=E 3.設(shè)A，B均為n階可逆矩陣，則下列等式成立的是 ( D ).A. (AB)-1=A-1B-1 B. (A+B)-1=A-1+B-1 C. (AB)T=ATBT D. 4.下列矩陣不是初等矩陣的是 ( B ). A. B. C.

14、D.5.設(shè)是4維向量組，則 (D ). A.線性無(wú)關(guān)B.至少有兩個(gè)向量成比例C.只有一個(gè)向量能由其余向量線性表示D.至少有兩個(gè)向量可由其余向量線性表示6.設(shè)A為mn矩陣，且m0 B. A的每一個(gè)元素都大于零C. D. A的正慣性指數(shù)為n10.設(shè)A，B為同階方陣，且r(A) = r(B)，則 ( C ). A. A與B相似 B. A與B合同C. A與B等價(jià) D.|A|=|B|二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。11.行列式 24 .12.設(shè)A為三階矩陣，|A|=-2，將矩陣A按列分塊為，其中是A的第j列，,則|B|= 6 .13.

15、已知矩陣方程AX=B，其中A=，B=，則 X=.14.已知向量組的秩為2，則k = -2 .15.向量的長(zhǎng)度=.16.向量在基下的坐標(biāo)為 (3，-4，3) .17.設(shè)是4元齊次線性方程組Ax=o的基礎(chǔ)解系，則矩陣A的秩r(A)= 1 .18.設(shè)是三階矩陣A的特征值，則a = 1 .19.若是正定二次型，則滿足 . 20.設(shè)三階矩陣A的特征值為1,2,3，矩陣B=A2+2A,則|B|= 360 .三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.設(shè)三階矩陣A=，E為三階單位矩陣.求：(1)矩陣A-2E及|A-2E|；(2).解：(1) A-2E=| A-2E |= -1；(2).22.已知

16、向量組求：(1)向量組的秩；(2)向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無(wú)關(guān)組線性表示.解：(1)將所給向量按列構(gòu)成矩陣A，然后實(shí)施初等行變換： .所以，向量組的秩；(2)向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為：，且有.23.討論a為何值時(shí)，線性方程組有解？當(dāng)方程組有解時(shí)，求出方程組的通解.解：對(duì)方程組的增廣矩陣實(shí)施初等行變換： .若方程組有解，則，從而a=1.當(dāng)a=1時(shí)，原方程組的通解方程組為： ，為自由未知量.令，得原方程組的一個(gè)特解：(0, 1, 0, 0)T.導(dǎo)出組的同解方程組為：，為自由未知量.令分別取得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系：(0, 1, 1, 0)T，(-4, 1, 0, 1)T.所以，方程組的通解為：(0, 1, 0, 0)T+c1(0, 1, 1, 0)T+c2(-4, 1, 0, 1)T，其中，c1，c2為任意常數(shù). 24.已知向量組，討論該向量組的線性相關(guān)性.解：因?yàn)?當(dāng)a=2或a=-6時(shí)，向量組相性相關(guān)；當(dāng)a2且a-6時(shí)，向量組線性無(wú)關(guān). 25.已知矩陣A=，(1)求矩陣A的特征值與特征向量；(2)判斷A可否與對(duì)角矩陣相似，若可以，求一可逆矩陣P及相應(yīng)的對(duì)角形矩陣. 解：矩陣A的特征多項(xiàng)式為：，所以，A的特征值為：.對(duì)于，求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，得基礎(chǔ)解系：，從而矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值的全部特征向量為：，(c0).對(duì)于，求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系