2021年人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊3.2.2《雙曲線的簡單幾何性質(zhì)（1）》導(dǎo)學(xué)案(含答案)

1、3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì) (1) 導(dǎo)學(xué)案 1.掌握雙曲線的簡單幾何性質(zhì)2.理解雙曲線的漸近線及離心率的意義3.根據(jù)幾何條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.重點(diǎn)：運(yùn)用雙曲線的方程獲得幾何性質(zhì) 難點(diǎn)：雙曲線的漸近線及離心率的意義雙曲線的幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程圖形標(biāo)準(zhǔn)方程性質(zhì)范圍x-a或xa yRy-a或ya xR對稱性對稱軸:x軸、y軸;對稱中心:坐標(biāo)原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)軸實(shí)軸:線段A1A2,長:2a;虛軸:線段B1B2,長:2b;半實(shí)軸長:a,半虛軸長:b漸近線 y=bax y=abx離心率a,b,c間的關(guān)系 c2=a2+b2(ca0,cb0)(1)

2、雙曲線與橢圓的六個不同點(diǎn): 雙曲線橢圓曲線兩支曲線封閉的曲線頂點(diǎn)兩個頂點(diǎn)四個頂點(diǎn)軸實(shí)、虛軸長、短軸漸近線有漸近線無漸近線離心率e10e0,b0)的形狀相同. ()(2)雙曲線x2a2y2b2=1與y2a2x2b2=1(a0,b0)的漸近線相同. ()(3)等軸雙曲線的漸近線互相垂直. ()2.圓錐曲線x2m+8+y29=1的離心率e=2,則實(shí)數(shù)m的值為()A.-5B.-35 C.19 D.-11一、 問題導(dǎo)學(xué)類比橢圓幾何性質(zhì)的研究，你認(rèn)為應(yīng)該研究雙曲線x2a2y2b2=1 (a0，b0)，的哪些幾何性質(zhì)，如何研究這些性質(zhì)？1、范圍利用雙曲線的方程求出它的范圍，由方程x2a2y2b2=1可得x2

3、a2=1+y2b21 于是，雙曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)（ x， y）都適合不等式，x2a21，yR所以xa 或xa; yR2、對稱性 x2a2y2b2=1 (a0，b0)，關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)都是對稱。x軸、y軸是雙曲線的對稱軸，原點(diǎn)是對稱中心，又叫做雙曲線的中心。3、頂點(diǎn)（1）雙曲線與對稱軸的交點(diǎn)，叫做雙曲線的頂點(diǎn) .頂點(diǎn)是A1a,0、A2 a,0，只有兩個。（2）如圖，線段A1A2 叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長為2a,a叫做實(shí)半軸長；線段B1B2 叫做雙曲線的虛軸，它的長為2b,b叫做雙曲線的虛半軸長。（3）實(shí)軸與虛軸等長的雙曲線叫等軸雙曲線4、漸近線（1）雙曲線x2a2y2b2=1 (a0，b0)，的

4、漸近線方程為：y=bax（2）利用漸近線可以較準(zhǔn)確的畫出雙曲線的草圖4、漸近線慢慢靠近5、離心率（1）定義：e = ca（2）e的范圍：e 1（3）e的含義：因?yàn)閏a0,所以可以看出e1，另外，注意到ba=c2a2a=c2a2a2=e21；說明越趨近于1，則的值越小，因此雙曲線的漸近線所夾得雙曲線區(qū)域越狹窄.如果雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2a2x2b2=1 (a0，b0)，那么該雙曲線的范圍、對稱性、頂點(diǎn)、漸近線、離心率中，那些與焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線是有區(qū)別的？二、 典例解析例1 求雙曲線9y2-4x2=-36的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長、虛軸長、離心率、漸近線方程.由雙曲線的方程研究其幾何性質(zhì)的

5、注意點(diǎn)(1)把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是解決此類題的關(guān)鍵.(2)由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)位置,確定a,b的值.(3)由c2=a2+b2求出c的值,從而寫出雙曲線的幾何性質(zhì).跟蹤訓(xùn)練1 求雙曲線nx2-my2=mn(m0,n0)的半實(shí)軸長、半虛軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程.例2 根據(jù)以下條件,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)過點(diǎn)P(3,-5),離心率為2;(2)與橢圓x29+y24=1有公共焦點(diǎn),且離心率e=52;(3)與雙曲線x29y216=1有共同漸近線,且過點(diǎn)(-3,23).2.巧設(shè)雙曲線方程的六種方法與技巧(1)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為x2a2y2b2=1(a0,b0).(

6、2)焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為y2a2x2b2=1(a0,b0).(3)與雙曲線x2a2y2b2=1共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為x2a2-y2b2+=1(0,-b2a2).(4)與雙曲線x2a2y2b2=1具有相同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為x2a2y2b2=(0).(5)漸近線為y=kx的雙曲線方程可設(shè)為k2x2-y2=(0).(6)漸近線為axby=0的雙曲線方程可設(shè)為a2x2-b2y2=(0).跟蹤訓(xùn)練2 求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. (1)焦點(diǎn)在x軸上,虛軸長為8,離心率為53;(2)過點(diǎn)(2,0),與雙曲線y264x216=1離心率相等.1.雙曲線mx2+y2=1的虛軸長是實(shí)

7、軸長的2倍,則m的值為() A.4B.-4C.-14D.142.(多選)若雙曲線C的一個焦點(diǎn)F(5,0),P是雙曲線上一點(diǎn),且漸近線方程為y=43x,則下列結(jié)論正確的是 ()A.C的方程為x29y216=1B.C的離心率為54C.焦點(diǎn)到漸近線的距離為3D.|PF|的最小值為23.中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,且一個焦點(diǎn)在直線3x-4y+12=0上的等軸雙曲線的方程是.4.關(guān)于雙曲線x29y216=-1,有以下說法:實(shí)軸長為6;雙曲線的離心率是54;焦點(diǎn)坐標(biāo)為(5,0);漸近線方程是y=43x;焦點(diǎn)到漸近線的距離等于3.正確的說法是.(把所有正確說法的序號都填上)5.已知F為雙曲線C:x24y29=

8、1的左焦點(diǎn),P,Q為雙曲線C同一支上的兩點(diǎn).若PQ的長等于虛軸長的2倍,點(diǎn)A(13,0)在線段PQ上,則PQF的周長為.參考答案：知識梳理1.答案:(1)(2)(3) 2.解析:由圓錐曲線x2m+8+y29=1的離心率e=2,說明曲線是雙曲線,所以m0,n0)化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2my2n=1(m0,n0),由此可知,半實(shí)軸長a=m,半虛軸長b=n,c=m+n,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(m+n,0),(-m+n,0),離心率e=ca=m+nm=1+nm,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-m,0),(m,0),所以漸近線方程為y=nm x,即y=mnmx.例2 解:(1)若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)其方程為x2a2y2b2=1(a0,

9、b0),e=2,c2a2=2,即a2=b2.又雙曲線過P(3,-5),9a25b2=1,由得a2=b2=4,故雙曲線方程為x24y24=1.若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,設(shè)其方程為y2a2x2b2=1(a0,b0),同理有a2=b2,5a29b2=1,由得a2=b2=-4(舍去).綜上,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24y24=1.(2)由橢圓方程x29+y24=1,知半焦距為9-4=5,焦點(diǎn)是F1(-5,0),F2(5,0).因此雙曲線的焦點(diǎn)為(-5,0),(5,0).設(shè)雙曲線方程為x2a2y2b2=1(a0,b0),由已知條件,有ca=52,a2+b2=c2,c=5,解得a=2,b=1.所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方

10、程為x24-y2=1.(3)設(shè)所求雙曲線方程為x29y216=(0),將點(diǎn)(-3,23)代入得=14,雙曲線方程為x29y216=14,即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x294y24=1.跟蹤訓(xùn)練2 解:(1)設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2y2b2=1(a0,b0),由題意知2b=8,e=ca=53,從而b=4,c=53a,代入c2=a2+b2,得a2=9,故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29y216=1.(2)由題意知,所求雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,故可設(shè)其方程為x264y216=(0),將點(diǎn)(2,0)的坐標(biāo)代入方程得=116,故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24-y2=1.達(dá)標(biāo)檢測1.解析:由雙曲線方程mx2+y2=1

11、,知m0,則雙曲線方程可化為y2-x2-1m=1,則a2=1,a=1,又虛軸長是實(shí)軸長的2倍,b=2,-1m=b2=4,m=-14,故選C.答案:C 2.(多選)解析:雙曲線C的一個焦點(diǎn)F(5,0),且漸近線方程為y=43x,可得c=5,焦點(diǎn)坐標(biāo)在x軸上,所以ba=43,因?yàn)閏=5,所以b=4,a=3,所以C的方程為x29y216=1,A正確;離心率為e=53,B不正確;焦點(diǎn)到漸近線的距離為d=4542+32=4,C不正確;|PF|的最小值為c-a=2,D正確.答案:AD 3.解析:令y=0,得x=-4,等軸雙曲線的一個焦點(diǎn)為(-4,0),c=4,a2=b2=12c2=1216=8,故等軸雙曲線的方程為x2-y2=8.答案:x2-y2=84.解析:雙曲線x29y216=-1,即y216x29=1,a=4,b=3,c=9+16=5,實(shí)軸長為2a=8,故錯誤;雙曲線的離心率是e=ca=54,故正確;焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(0,5),故錯誤;漸近線方程是y=43x,故正確;焦點(diǎn)到漸近線的距離為d=|0+15|9+16=3,故正確