2021-2021版高中數(shù)學(xué)第二章基本初等函數(shù)(Ⅰ)2.2.1函數(shù)的單調(diào)性(二)學(xué)案蘇教版必修1

1、221函數(shù)的單調(diào)性(二)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解函數(shù)的最大(小)值的概念及其幾何意義.2.會(huì)借助單調(diào)性求最值.3.掌握 求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值.If問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的最大(小)值1為什么不是最小思考 在如圖表示的函數(shù)中，最大的函數(shù)值和最小的函數(shù)值分別是多少?值？A梳理 設(shè)y= f (x)的定義域?yàn)锳如果存在Xo A,使得對(duì)于任意的x A,都有f(x) w f(X0)，那么稱f(X0)為y = f(x)的最大值，記為 ymax= f(xo) 如果存在Xo A,使得對(duì)于任意的x A,都有f (x) f(xo)，那么稱f(xo)為y = f (x)的最小值，記為 ymin= f(Xo) 知識(shí)點(diǎn)二

2、函數(shù)的最大(小)值的幾何意義梳理函數(shù)最大值對(duì)應(yīng)圖象中的最高點(diǎn)，最小值對(duì)應(yīng)圖象中的最低點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)三函數(shù)的單調(diào)性與最值假設(shè)函數(shù)y= f(x)在區(qū)間a, b上是單調(diào)增函數(shù)，那么函數(shù)的最小值為ymin=f(a)，最大值為ymax=f (b)；假設(shè)函數(shù)y = f (x)在區(qū)間a, b上是單調(diào)減函數(shù)，那么函數(shù)的最小值為ymin = f (b)，最大值為ymax= f(a) 即單調(diào)函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值、最小值.題型探究類型一借助單調(diào)性求最值x例1函數(shù)f (x) = -2-(x0)，求函數(shù)的最大值和最小值.T I反思與感悟(1)假設(shè)函數(shù)y = f(x)在區(qū)間a, b上為單調(diào)增函數(shù)，那么 f(x)的最大值為

3、f (b),最小值為f (a). 假設(shè)函數(shù)y = f (x)在區(qū)間a, b上為單調(diào)減函數(shù)，那么f (x)的最大值為f ( a),最小值為f (b).(3)假設(shè)函數(shù)y = f(x)有多個(gè)單調(diào)區(qū)間，那就先求出各區(qū)間上的最值，再?gòu)母鲄^(qū)間的最值中決出 最大(小)函數(shù)的最大(小)值是整個(gè)值域范圍內(nèi)最大(小)的.(4)如果函數(shù)定義域?yàn)殚_區(qū)間，那么不但要考慮函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性，還要考慮端點(diǎn)處的函數(shù)值或者開展趨勢(shì).跟蹤訓(xùn)練1函數(shù)f(x) = |x+ 1| + |x 1|.(1) 畫出f (x)的圖象； 根據(jù)圖象寫出f (x)的最小值.類型二求二次函數(shù)的最值2例2 (1)函數(shù)f(x) = x 2x 3,假設(shè)

4、x 0,2，求函數(shù)f (x)的最值； 函數(shù)f(x) = x2 2x 3，假設(shè)xt , t + 2，求函數(shù)f (x)的最值； 函數(shù)f (x) = x 2 x 3，求函數(shù)f (x)的最值；(4) “菊花煙花是最壯觀的煙花之一.制造時(shí)一般是期望在它到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)爆裂.如果煙花2距地面的高度h m與時(shí)間t s之間的關(guān)系為h(t) = 4.9 t + 14.7 t + 18,那么煙花沖出后什 么時(shí)候是它爆裂的最正確時(shí)刻？這時(shí)距地面的高度是多少(精確到1 m)?反思與感悟(1)二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值與二次函數(shù)的開口、對(duì)稱軸有關(guān)，求解時(shí)要注意這兩個(gè)因素.(2) 圖象直觀，便于分析、理解；配方法說(shuō)理更嚴(yán)謹(jǐn)，

5、一般用于解答題.跟蹤訓(xùn)練2 函數(shù)f(x) = x4 2x2 3，求函數(shù)f(x)的最值； 求二次函數(shù)f(x) = x 2ax+ 2在2,4上的最小值；(3) 如圖，某地要修建一個(gè)圓形的噴水池，水流在各個(gè)方向上以相同的拋物線路徑落下，以水池的中央為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸、豎直方向?yàn)閥軸建立平面直角坐標(biāo)系.那么水流噴出的高度h(單位：m)與水平距離x(單位：m)之間的函數(shù)關(guān)系式為 h= x2 + 2x + 4，x 0 ,5，求水流噴出的高度 h的最大值是多少?類型三函數(shù)最值的應(yīng)用2例3 x -x+ a0對(duì)任意x (0,+)恒成立，求實(shí)數(shù) 引申探究1a的取值范圍.a的取值范圍.假設(shè)將本例中“ x (

6、0,+) 改為“ x (2，+) ，再求反思與感悟恒成立的不等式問(wèn)題，任意x D, f(x)a恒成立，一般轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題：f(X)mina來(lái)解決.任意X D f(X)a恒成立？ f(x)max0對(duì)一切x (0 ,刁恒成立，貝U a的最小值為 .廠規(guī)律與方法 11 函數(shù)的最值與值域、單調(diào)性之間的聯(lián)系1(1)對(duì)一個(gè)函數(shù)來(lái)說(shuō)，其值域是確定的，但它不一定有最值，如函數(shù)y=x.如果有最值，那么最值一定是值域中的一個(gè)元素. 假設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上單調(diào)，那么f(x)的最值必在區(qū)間端點(diǎn)處取得.即最大值是f(a)或f ( b)，最小值是f (b)或f (a). .二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值探求二次函數(shù)在

7、給定區(qū)間上的最值問(wèn)題，一般要先作出y =f(x)的草圖，然后根據(jù)圖象的增 減性進(jìn)行研究.特別要注意二次函數(shù)的對(duì)稱軸與所給區(qū)間的位置關(guān)系，它是求解二次函數(shù)在 + xwi對(duì)任意x (0,1恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.12 .函數(shù)f (x) = -在 1 ,+s)上的最大值為 .x3.函數(shù)f (x) = x2, x 2,1的最大值，最小值分別為 .2x + 6, x 1 , 2,4 .函數(shù)f(x)=那么f (x)的最大值，最小值分別為 .x+ 7, x 1, 1,定在頂點(diǎn)處取得區(qū)間上最值問(wèn)題的主要依據(jù)，并且最大小 值不合案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考 最大的函數(shù)值為 4,最小的函數(shù)值為 2.1沒(méi)有A中

8、的元素與之對(duì)應(yīng)，不是函數(shù)值.知識(shí)點(diǎn)二思考 x =1時(shí)，y有最大值1，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是圖象中的最高點(diǎn)，x= 0時(shí)，y有最小值0，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為圖象中的最低點(diǎn).題型探究例1解 設(shè)xi, X2是區(qū)間(0 ,+)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且 XiX2,小xiX2貝U f(xi) f(X2)= 2-Xi+ 1 X2 + 12 2X1 X2+ 1 X2 X1 + 1=2 2X1 + 1X2 + 1X2 X1X2X1 1= 2 2 .X1+ 1X2 + 1當(dāng) X1X20, X1X2 10,f(X1) f (X2)0 , f(X1)f(X2),f (x)在(0,1上為單調(diào)增函數(shù)；當(dāng) 1 X10, X1X2 10,f (X1)

9、f(x2)0 , f(x1)f (X2), f (X)在1 ,+8 )上為單調(diào)減函數(shù).1- f (x)max= f (1) = 2，無(wú)最小值.跟蹤訓(xùn)練1解 由圖知，f (X)在(一8, 1上為單調(diào)減函數(shù)，在1,1上為常函數(shù)，在1 ,+8 )上為單調(diào)增函數(shù),- f ( x) min = 2.例2 解(1) I函數(shù)f (x) = x 2x 3開口向上，對(duì)稱軸 x = 1, f (x)在0,1上為單調(diào)減函數(shù)，在1,2上為單調(diào)增函數(shù)，且f(0) = f(2).- f (X)max= f (0) = f (2) = 3, f(X)min= f(1) = 一 4.對(duì)稱軸x= 1,當(dāng)1t + 2即t W 1

10、時(shí)，2f (X)max= f (t) = t 2t 3 , f (X)min= f (t + 2) = t2+ 2t 3.當(dāng) t + 2 + 2三 1t + 2，即一1t 0 時(shí),2f ( X) max= f ( t ) = t 2t 3 ,f ( X)min= f (1) = 4.當(dāng)t 1即0t 1時(shí),2f(X)max= f ( t + 2) = t + 2t 3,f ( X) min= f (1) = 4.當(dāng)11時(shí)，f (X)maX= f (t + 2) = t2+ 2t 3,2f (X)min= f (t) = t 2t 3.設(shè)函數(shù)最大值為g(t)，最小值為0 (t)，那么有t 02g(

11、t)=t 2t 32t + 2t 3t2+ 2t 3 t 10 (t) = 4 1t 1.(3)設(shè),x= t(t 0)，那么 X 2 ；x 3 = t2 2t 3.由(1)知y = t2 2t 3( t 0)在0,1上為單調(diào)減函數(shù)，在1 ,+)上為單調(diào)增函數(shù).當(dāng) t = 1 即 X= 1 時(shí)，f (X) min= 4，無(wú)最大值.2 作出函數(shù)h(t) = 4.9 t + 14.7 t + 18的圖象(如圖).顯然，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)就是煙花上升的最高點(diǎn)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是煙花爆裂的最正確時(shí)刻，縱坐標(biāo)就是這時(shí)距地面的高度.O(15 I IJj J25 3 i由二次函數(shù)的知識(shí)，214 7對(duì)于函數(shù) h(t)

12、 = 4.91 + 14.7 t + 18,我們有：當(dāng) t =2 X 4.91.5時(shí)，函數(shù)有最大值h=竺4.9X 18 14.74X 4.9于是，煙花沖出后1.5 s是它爆裂的最正確時(shí)刻，這時(shí)距地面的高度約為29 m.跟蹤訓(xùn)練 2 解 設(shè) x2= t(t 0)，貝U x4 2x2- 3 = t2-2t 3.y = t2-2t - 3( t 0)在0,1上為單調(diào)減函數(shù)，在1 ,+8)上為單調(diào)增函數(shù).當(dāng) t = 1 即 X=l 時(shí)，f(X)min= 4,無(wú)最大值./函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是 x= a,當(dāng)a4時(shí)，f(x)在2,4上是單調(diào)減函數(shù)，- f ( x) min = f (4) = 18 8a.2當(dāng)

13、 2w aw4 時(shí)，f (x) mi n= f(a) = 2 a.6 4a, a2,2 f (x)min = 2 a , 2 a4.255(3)由函數(shù)h= x + 2x + rxG 0,J的圖象可知，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)就是水流噴出的最高點(diǎn).時(shí)函數(shù)取得最大值.255對(duì)于函數(shù) h= x + 2x + 4, x 0 , 1 ,當(dāng)x = 1時(shí)，函數(shù)有最大值25 9h max= 1+ 2 X 1+=.449于是水流噴出的最咼咼度是m.4例3解方法一令y= x2 x + a,4a 一 11要使x2 x+ a0對(duì)任意x (0,+)恒成立，只需 ymin= - 0,解得a;.441實(shí)數(shù)a的取值范圍是(才，+).2 2方法二 x x+ a0可化為 a x + x.要使a x + x對(duì)任意x (0 ,+)恒成立, 只需 a( x2+ x) max,2 1 . 1 又(x + X)max= ： , a：.44實(shí)數(shù)a的取值范圍是(右+).引申探究 解fX =