4-1 特征值與特征向量習題評講

1、.特征值與特征向量習題評講、設方陣有特征值，（1，-2，2）T和（-2，-1，2）T分別是對應的特征向量，試將向量（3，4，-6）T表示成和的線性組合，并求。解：令，解對應的線性方程組，所以，。故。（）（）（）（，）（，）（，）（，）（，）。、求下列方陣的特征值及對應的線性無關的特征向量：（）；（）；（）；（）（）解：（）（）（）（）（）（）（）（）。另解：第二行減第三行有個單特征值：，。對，解方程組（），由，通解為：（任意），一個基礎解系為：（，），即屬于的線性無關的特征向量只有一個。對，解方程組（），由，通解為：（任意），一個基礎解系為：（，），即屬于的線性無關的特征向量只有一個。對，解方

2、程組（），由，通解為：（任意），一個基礎解系為：（，），即屬于的線性無關的特征向量只有一個。（）解：（）（）（）（）。的特征值為：，。對，解方程組（），由，通解為：（任意），令，得一個基礎解系：（，）。即屬于的線性無關的特征向量只有一個。對，解方程組（），由，通解為：（任意），一個基礎解系為：（，），即屬于的線性無關的特征向量只有一個。（）解：（）（）（）（）（）。的特征值為：，。對，解方程組（），由，通解為：，（，任意）。一個基礎解系為：（，），（，）。即屬于的線性無關的特征向量恰好有個：，。對，解方程組（），由，通解為：（任意），一個基礎解系為：（，）。即屬于的線性無關的特征向量只有一個。

3、（）解：（）（）。的特征值為：，。對，解方程組（），通解為：（，任意），一個基礎解系為：（，），（，）。即屬于的線性無關的特征向量恰好有個：，。對，解線性方程組（），通解為：（為任意數(shù)），一個基礎解系為：（，）。即屬于的線性無關的特征向量只有一個?？傋詼y題、（）（）矩陣的全部特征值為。解：。的全部特征值為：，。題型舉例證明題、證明：矩陣只有兩個線性無關的特征向量。證明：；的全部特征值為：。解齊次線性方程組（），由，秩（），這個元齊次線性方程組的基礎解系含解個數(shù)秩（），所以矩陣只有兩個線性無關的特征向量。證明：；的全部特征值為：解齊次線性方程組（），由，通解為：（，任意），一個基礎解系為：（，）

4、，（，），所以矩陣只有兩個線性無關的特征向量。、證明方陣與有相同的特征多項式（從而有相同的特征值）。證明：，可見方陣與有相同的特征多項式，從而有相同的特征值。、設方陣滿足，證明：的特征值只能是或。證明：設是方陣的特征值，是對應的特征向量：（）。（）（）（）（）。因為，所以，即（），而，所以，故或。、設與是方陣的兩個不同特征值，和分別是對應于和的特征向量，證明：不是的特征向量。證明：假設是的屬于特征值的特征向量，則（）（），即。由題設：，于是有，即有（）（），屬于不同特征值，的特征向量，線性無關，故有，；即有，這與題設條件矛盾，所以不是的特征向量。第五章自測題、（）若是階方陣的一個特征值，則。解

5、：是階方陣的一個特征值，則，即，即（），所以。、（）若是可逆方陣的一個特征值，則方陣必有一個特征值為。解：是可逆方陣的一個特征值；是可逆方陣的一個特征值；是可逆方陣的一個特征值；是方陣的一個特征值。解：因為（），所以是可逆方陣的一個特征值；是可逆方陣的一個特征值；（）是可逆方陣（）的一個特征值；（）是可逆方陣（）的一個特征值。、（）若與相似，則，。解：，則，即，所以。與的特征值都為：，所以（），。解：，則與的特征值都為：，。由，且，所以。因為所有特征值之和主對角線上元素之和：（），所以。、（）設方陣有一個特征值為。證明：方陣有一個特征值為。證明：設為方陣的屬于特征值的特征向量：（）。（）（）（），即且，所以矩陣有一個特征值為?？傋詼y題、（）若可逆矩陣有一個特征值為，則方陣（）必有一個特征值為（）。（）；（）；（）；