實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化定理定理1 1實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù). .證證明明, 對(duì)應(yīng)的特征向量對(duì)應(yīng)的特征向量為為復(fù)向量復(fù)向量的特征值的特征值為對(duì)稱矩陣為對(duì)稱矩陣設(shè)復(fù)數(shù)設(shè)復(fù)數(shù)xA . 0, xxAx 即即, 的的表示表示用用 共共軛軛復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)xAxA 則則 .xxAx , 的的表示表示xx共軛復(fù)向量共軛復(fù)向量于是有于是有AxxT AxxT xxT ,xxT AxxT 及及 xAxTT xxAT xxT .xxT 兩式相減，得兩式相減，得 . 0 xxT , 0 x, 0| 121niiniiiTxxxxx,.是實(shí)數(shù)第1頁(yè)/共18頁(yè)定理定理1 1的意義：的意

2、義：所以齊次線性方程組為實(shí)數(shù)的特征值由于實(shí)對(duì)稱矩陣, iA.,0,以取實(shí)向量從而對(duì)應(yīng)的特征向量可系知必有實(shí)的基礎(chǔ)解由是實(shí)系數(shù)方程組EAi0)( xEAi說(shuō)明說(shuō)明：本節(jié)所提到的對(duì)稱矩陣，：本節(jié)所提到的對(duì)稱矩陣， 除非特別說(shuō)明，均指除非特別說(shuō)明，均指實(shí)對(duì)稱矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣第2頁(yè)/共18頁(yè)., 221212121正交正交與與則則若若是對(duì)應(yīng)的特征向量是對(duì)應(yīng)的特征向量的兩個(gè)特征值的兩個(gè)特征值是對(duì)稱矩陣是對(duì)稱矩陣設(shè)設(shè)定理定理ppppA 證明證明,21222111 AppApp,AAAT 對(duì)稱對(duì)稱 TTTAppp11111 ,11ApApTTT 于是于是 22121211ppAppppTTT ,212ppT

3、. 0 2121 ppT ,21 .21正交正交與與即即pp. 021 ppT第3頁(yè)/共18頁(yè)一、對(duì)稱矩陣性質(zhì)一、對(duì)稱矩陣性質(zhì)定理定理1:1:實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù). ., 221212121正交正交與與則則若若是對(duì)應(yīng)的特征向量是對(duì)應(yīng)的特征向量的兩個(gè)特征值的兩個(gè)特征值是對(duì)稱矩陣是對(duì)稱矩陣設(shè)設(shè)定理定理ppppA 定理定理1 1的意義：的意義：所以齊次線性方程組為實(shí)數(shù)的特征值由于實(shí)對(duì)稱矩陣, iA.,0,以取實(shí)向量從而對(duì)應(yīng)的特征向量可系知必有實(shí)的基礎(chǔ)解由是實(shí)系數(shù)方程組EAi0)( xEAi第4頁(yè)/共18頁(yè). , 41素素的的對(duì)對(duì)角角矩矩陣陣個(gè)個(gè)特特征征值值為為對(duì)對(duì)角角元元

4、的的是是以以其其中中使使則則必必有有正正交交矩矩陣陣階階對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣為為設(shè)設(shè)定定理理nAAPPPnA 證證明明,21s 它們的重?cái)?shù)依次為它們的重?cái)?shù)依次為srrr,21. ,)( , , 3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量恰有恰有對(duì)應(yīng)特征值對(duì)應(yīng)特征值從而從而的秩的秩則矩陣則矩陣重根重根的特征方程的的特征方程的是是階對(duì)稱矩陣階對(duì)稱矩陣為為設(shè)設(shè)定理定理rrnEAREArAnA ).(21nrrrs 由定理由定理1（對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)）和定理）和定理3得：得：設(shè)設(shè) 的互不相等的特征值為的互不相等的特征值為A第5頁(yè)/共18頁(yè),21知知由由nrrrs 由定理由定理2知

5、知對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量正交對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量正交，., ), 2 , 1( 單位正交的特征向量單位正交的特征向量個(gè)個(gè)即得即得把它們正交化并單位化把它們正交化并單位化關(guān)的實(shí)特征向量關(guān)的實(shí)特征向量個(gè)線性無(wú)個(gè)線性無(wú)恰有恰有對(duì)應(yīng)特征值對(duì)應(yīng)特征值rrsiiii PPAPP11.,11個(gè)特征值個(gè)特征值的的是是恰恰個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)的對(duì)角元素含的對(duì)角元素含其中對(duì)角矩陣其中對(duì)角矩陣nArrss 這樣的特征向量共可得這樣的特征向量共可得 個(gè)個(gè).n故這故這 個(gè)單位特征向量?jī)蓛烧粋€(gè)單位特征向量?jī)蓛烧?n以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣 ，則，則P第6頁(yè)/共18頁(yè)根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣

6、根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣P P將對(duì)稱矩陣將對(duì)稱矩陣A A化化為對(duì)角矩陣，其步驟為對(duì)角矩陣，其步驟為：為：將特征向量正交化將特征向量正交化;3.單位化單位化.2. ;, 0的特征向量的特征向量求出求出由由AxEAi 1.;的特征值的特征值求求A即得正交可逆陣即得正交可逆陣P和對(duì)角陣和對(duì)角陣.4.第7頁(yè)/共18頁(yè)s ,)1(1特特征征值值求求出出的的全全部部互互不不相相等等的的.)(,11nkkkkss 它它們們的的重重?cái)?shù)數(shù)依依次次為為,.,0)(,)2(量量?jī)蓛蓛蓛烧唤坏牡膯螁挝晃惶靥卣髡飨蛳虻玫没僭侔寻阉鼈儌冋唤粋€(gè)個(gè)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量得得解解系系的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)求

7、求方方程程對(duì)對(duì)每每個(gè)個(gè)重重特特征征值值iikkxEA ,1nkks 因因.向向量量個(gè)個(gè)兩兩兩兩正正交交的的單單位位特特征征故故總總共共可可得得 n., )3(T1APPAPPPn便有向量構(gòu)成正交陣個(gè)兩兩正交的單位特征把這具體詳細(xì)過(guò)程如上：具體詳細(xì)過(guò)程如上：第8頁(yè)/共18頁(yè)解解 20212022EA 214 0 . 2, 1, 4321得,020212022A例例 1實(shí)對(duì)稱陣實(shí)對(duì)稱陣A，求正交矩陣，求正交矩陣 ，使，使 為對(duì)角陣為對(duì)角陣.APP1 P(1)第一步第一步 求求 的特征值的特征值A(chǔ) 的特征向量的特征向量求出求出由由第二步第二步AxEAi, 0 得由對(duì), 04, 41xEA 04202

8、320223232121xxxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系 .1221 第9頁(yè)/共18頁(yè)得由對(duì), 0, 12xEA 0202202323121xxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系.2122 得由對(duì), 02, 23xEA 02202320243232121xxxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系.2213 第三步第三步 將特征向量正交單位化將特征向量正交單位化.,3, 321321故它們必兩兩正交故它們必兩兩正交的特征向量的特征向量個(gè)不同特征值個(gè)不同特征值的的是屬于是屬于由于由于 A. 3 , 2 , 1, iiii 令令第10頁(yè)/共18頁(yè),3132321 得得,3231322 .

9、3232313 ,22121212231,321 P作作.200010004 1 APP則則第11頁(yè)/共18頁(yè),011101110A.,1為對(duì)角陣使求一個(gè)正交陣APPP解解 由由 111111EA21rr 1111011例例2 2設(shè)設(shè)21cc 21111001)2)(1(2 .)2()1(2 .1,2321的特征值為A,21對(duì)應(yīng)由解方程,0)2(xEA2111211122EAr 000110101第12頁(yè)/共18頁(yè)由組解方程,0)(xEA111111111EA101,01132基礎(chǔ)解系,:,2232取正交化將r000000111,132對(duì)應(yīng)得單位化將得基礎(chǔ)解系,11111.111311p222

10、3233,01121101.21121第13頁(yè)/共18頁(yè),62031612131612131 APPAPPT1有有.100010002 ),(321pppP 構(gòu)成正交矩陣構(gòu)成正交矩陣將將321,ppp.21161,0112132 pp得得,32單位化單位化再將再將 第14頁(yè)/共18頁(yè)例例3 3.,2112nAA求求設(shè)設(shè) 解解,可對(duì)角化故是實(shí)對(duì)稱陣因AA,及對(duì)角陣即有正交可逆陣 p.1 App使使,1ppA于是.1ppAnn從而2112EA342, )3)(1(于是的特征值.3,121A,3001.3001nn第15頁(yè)/共18頁(yè),11 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng);111 得得,32 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng).112 得得r 0011r 0011 1111EA由由 11113EA由由,111121),(2211p并有.1111211p再求出1 ppAnn于是于是11113001111121n.3131313121nnnn第16頁(yè)/共18頁(yè)1.對(duì)稱矩陣的性質(zhì)：對(duì)稱矩陣的性質(zhì)： (1) (1)特征值為實(shí)數(shù)；特征值為實(shí)數(shù)； (2)(2)屬于不同特征值的特征向量正交；屬于不同特征值的特征向量正交； (3)(3)特征值的重?cái)?shù)和與之對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征值的重?cái)?shù)和與之對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)相等；特征向量的個(gè)數(shù)相等； (4)(4)必存在正交矩陣，將其化為對(duì)角