動態(tài)過程數(shù)學(xué)模型參數(shù)估計(jì)的最小二乘方法Least

1、（2004教案）辨識與自適應(yīng)第二章5第二章動態(tài)過程數(shù)學(xué)模型參數(shù)估計(jì)的最小二乘方法LeastSquares 21靜態(tài)線性模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)（多元線性回歸）一、什么是最小二乘估計(jì) 例：y = ax + :其中：y、x可測；一不可測的干擾項(xiàng)；a 未知參數(shù)。通過 N次實(shí)驗(yàn)，得到測量數(shù)據(jù) yk和Xk k = 1、2、3，確定未知參數(shù)a稱“參數(shù)估計(jì)”。使準(zhǔn)則J為最?。篘2J 八他 - axQ 二 mink =1令: J : a = 0,導(dǎo)出 a = ?Xk）二N/ykk =1XkYkk 1稱為“最小二乘估計(jì)”，即殘差平方總和為最小的估計(jì)，Gauss于1792年提出。Xkk =1二、多元線性回歸 線性模

2、型 y 二 a0+ a1x1 + anx n + ；引入?yún)?shù)向量：三=a,ai, a n T（n+i）進(jìn)行N次試驗(yàn)，得出N個方程:yk = _kT 2 + ；k ; k=l、2 、N 其中：上 k = 1,X1,X2，X N T式(2 -1- 2)(n+1) 1y =:n + _其中：y = yi,y2,。，y n T式(2 -1- 3 )(N 1)(N 1)估計(jì)準(zhǔn)則:有:1II一1X11X12X1N. TXn111申11.TXn2-巴2-1 1；X nNNN (n+1)y-T2)J 八(yk -1T-)2k =1(yN(yiT-)I . I(y?yN N丿一方程組可用矩陣表示為=（y ：2）

3、 T（ y 2）（1 N）（ N 1）J = yjy +:.：，T :.：，J - y：j- m：，T y=yTy + J 錄 T ：.：2 J 療 T y式（2 -1-4）假設(shè)： （；J ） +1）（n+1） 滿秩，由;:J0利用線性代數(shù)的以下兩個矩陣對向量求偏導(dǎo)數(shù)的公式：宀T工T=2叮：.：它2 門 y) ty-所以:（yT y ：，：二 _2二y） = 2：.：十二 _2T yc0 ce一 一 一-式（2 -1- 5）解出參數(shù)估計(jì)向量：二LS =（門T）-1 :-：j T y令: P = C：-：-）-1則參數(shù)估計(jì)向量 2 ls = PT y參數(shù)估計(jì)向量 二LS被視為以下“正則方程”的解

4、：式（2 -1- 6）注：為了便于區(qū)別，我們用紅體字符表示估計(jì)量或計(jì)算值，而用黑體 表示為參數(shù)真值或?qū)嶋H測量值三、關(guān)于參數(shù)最小二乘估計(jì)二Ls性質(zhì)的討論以上求解參數(shù)最小二乘估計(jì)二Ls時并為對 ；k 的統(tǒng)計(jì)特性做任何規(guī)定，這是最小二乘估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)。當(dāng) * 為平穩(wěn)零均值白噪聲時， 則二Ls有如下良好的估計(jì)性質(zhì)：a）參數(shù)最小二乘估計(jì)Ls是y的線性估計(jì)二Ls = p T y 是y的線性表出；b）參數(shù)最小二乘估計(jì) 二Ls是無偏估計(jì)，即E T1 Ls= 2（參數(shù)真值）證明:E Ls= E P ： T y = P ： T E（ y ） = P ： T E （+ 二）=P ：t ：n + E（ _ ） = 2 +

5、 0 =2c）最小二乘估計(jì) 二ls的估計(jì)誤差協(xié)方差陣是 2 P （n+1）（n+1）即: E （ d Ls- 2 ） （ d Ls- 2 ）T =二2P證明:E （二 Ls - 2 ） L Ls - 2 ）T = E P ： T （ y -） （ y-g）TP = E PT空空T dp = PT E （空空T）P =PT 二2 In“N P = -2Pd）若 k 為正態(tài)分布零均值白噪聲時，則，Ls是線性無偏最小方 差估計(jì)（證明從略）。如若 :k 是有色噪聲，則二Ls不具有上述性質(zhì), 即為有偏估計(jì)。四、最小二乘估計(jì)ls的的幾何意義和計(jì)算問題1。最小二乘估計(jì)的幾何意義最小二乘估計(jì)的模型輸出值為 y

6、k二_i kT二Ls k = 1,2,N輸出實(shí)際測量值與模型輸出值之差叫殘差:飛=yk -yk（2004教案）辨識與自適應(yīng)第二章#（2004教案）辨識與自適應(yīng)第二章#模型輸出向量為y二門ls ,而殘差向量為:（2004教案）辨識與自適應(yīng)第二章7（2004教案）辨識與自適應(yīng)第二章9；=y _ y = y 二 ls：.：T ； k = ?- T y ：T 屯（j T 屯）-1 g T y=住 T y _： T y = q即殘差向量；與由測量數(shù)據(jù)矩陣 門的各個向量：込1,込2，,土 n張成的超平面（估計(jì)空間）正交，而最小二乘 模型輸出向量y為 實(shí)際輸出向量y在估計(jì)空間上的正交投影，這就是最小二乘估計(jì)

7、的幾何意義最小二乘估計(jì)的幾何意義2.關(guān)于最小二乘估計(jì)計(jì)算中的 病態(tài)問題估計(jì)參數(shù)向量ls 一般是求解正則方程：（；T 門）J =門 T y式（2 -1- 6）得出。可以利用消元法等一系列求解多元線性一次方程組的方法，計(jì)算得出，其有解的條件是（“ ）=P T矩陣非奇異（行列式數(shù)值大 于零）。但有時在求解式（2 -1- 6）方程組是會出現(xiàn)矩陣接近于奇異（行列式數(shù)值接近于零），即所謂“病態(tài)”的情況。由此導(dǎo)致參數(shù)估 計(jì)的結(jié)果不穩(wěn)定，不可信。出現(xiàn)上述情況的原因可能是由于被辨識的 過程受到的外加激勵不夠，采樣間隔太密；或者A/D轉(zhuǎn)換的位數(shù)太短， 計(jì)算舍入誤差累計(jì)所致。為解決最小二乘計(jì)算中可能出現(xiàn)的病態(tài)問題，

8、提出了不少改進(jìn)算 法，例如：Householder變換法、改進(jìn)的平方根法和U D分解算法。 后者是Bierman 1977提出的改善P陣計(jì)算性質(zhì)（對稱性、正定性和穩(wěn) 定性）而又不增加計(jì)算量的算法。正定 P陣可以分解成一個上三角陣 U （其對角線元素都為1）和一個對角陣DP = U D U T由此可解決最小二乘計(jì)算中可能出現(xiàn)的病態(tài)問題，具體可參閱關(guān)于計(jì)算方法的文獻(xiàn)?？傊覀冊谑褂米钚《说谋孀R方法時，應(yīng)該注意 避免出現(xiàn)和克服病態(tài)問題。應(yīng)用舉例在建立生產(chǎn)過程的靜態(tài)模型時，特別是在機(jī)理不清之時常用多元線性回歸方法，例如：水泥凝固放熱量與水泥成分的關(guān)系模型y = a0+ a1x1+ a2x2+ a3

9、x3+ a4x 4 + ；y水泥凝固時的放熱量（卡/克）；X1 X1水泥的幾種成分五、非線性最小二乘法（Nonlin ear Least Square ）以“誤差平方總和為最小”的估計(jì)準(zhǔn)則，估計(jì)非線性模型參數(shù)的 方法。假設(shè)非線性靜態(tài)系統(tǒng)模型為y = f ( x, 2)非線性模型f的形式是已知的，參數(shù) 2未知。經(jīng)過N次實(shí)驗(yàn)， 取得N組數(shù)據(jù)（Xi, yi）（Xn, yN）。準(zhǔn)則：N2J 二 Wk 一 f （Xk）2k =1需要用優(yōu)化算法求解，常用的算法有兩類一一搜索法和迭代法。 前者如單純型法；后者如梯度法、高斯法、牛頓一拉夫森法、變尺度 法等等。該類方法也還可應(yīng)用于動態(tài)模型和時間連續(xù)模型的參數(shù)估

10、 計(jì)。單純型法是先給出參數(shù)空間的幾個猜想點(diǎn)，構(gòu)成正多面體，計(jì) 算各點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，比較各值后舍去最差的點(diǎn)，按照反射、開拓、 收縮等步驟確定新的估計(jì)點(diǎn)，直到預(yù)定的精度要求后停止搜索。迭代法是先猜想一個估計(jì)的初值，確定一個向量為可接受的方 向和步長，進(jìn)行迭代計(jì)算十+1 - k =卩? v ,。具體內(nèi)容可閱有關(guān)計(jì)算方法的參考書籍。近年來發(fā)展出一系列基于生物進(jìn)化論的優(yōu)化新算法，如 遺傳算 法（Genetic Algorithms ）（基于改進(jìn)遺傳算法的系統(tǒng)辨識方法.北 方工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào).第10卷，第1期，1998年3月,P62-67.）和免疫算法 （Immu ne Algorithms），使得優(yōu)化算法的

11、性能得到了很大的改善。應(yīng)用舉例：化學(xué)反應(yīng)速度模型(2004教案)辨識與自適應(yīng)第二章11r 二 keRT 22動態(tài)過程參數(shù)估計(jì)的線性最小二乘法一、模型類：考慮CAR模型nny(k) - ajy(k - i) = bw(k - i) ；(k)i =1i =1式(2 -2- 1 )其中 y(k) 和 u(k) 為可測的輸出和輸入， ；(k) 為不可測的 隨機(jī)干擾。上式還可表示成：式(2 -2- 2 )+anzA(z-1)y(k)二 B(z-1)u(k)+ (k)其中：A(z-1) = 1+ a 1z- 1+ a2z- 2+B(z-1) = b1z- 1+ b2z- 2+bnz- n還可表示為y(k)

12、二(k)式(2 -2- 3 )其中： Tk 二a1,a2,，an , b1,b2，bn 二_y(k _1),，_y(k _ n),u(k - 1),., u(k _ n)當(dāng)進(jìn)行了 k = 1-n , 2-n,., 0,1,2，,N 共計(jì)(N+n)次采樣，得到N個方程: y(1)= - a1y(0)-any(1- n)+b2(0)+ +bu(1-n)+ (1)y(2)= - aiy(1)-a.y(2- n)+biu(1)+ +bu(2-n)+ (2) y(N)=- aiy(N-1)-a*y(N- n)+biU(N-1)+ +bnU(N-n)+ (N)用矩陣表示成y N = ：,J N 2 + 二

13、 N弋(2 -2- 4)其中：y n =:y(1), y(2),y(N)-y(0).1y (1 _ n),u(0). u(1 - n)N =-yy (2 n),u(1).u(2 - n)y(N -1). y (N _ n),u(N - 1).u(N - n)二 n = ； (1),(2),-,(N) T參數(shù)最小二乘估計(jì)二ls的導(dǎo)出估計(jì)準(zhǔn)則為NT 2J 八y(k) - J2k =1(2004教案)辨識與自適應(yīng)第二章#式(2 -2- 5)由解出：71 N =（門 N 丁 門 N）1 十 N T y N上式可視為以下正則方程的解（，N 丁 * N）工 N = ：/ N 丁 y N；J0迫式（2 -2

14、- 6）式（2 -2- 7）(2004教案)辨識與自適應(yīng)第二章#(2004教案)辨識與自適應(yīng)第二章15稱為最小二乘的“一次完成算法”，是離線算法，有解的條件是（門n :- N）2n-2n滿秩。用消元法或平方根法解線性方程組，得出2 N三、用配方法導(dǎo)出二lsN T 2J Y y(k) -？月k Ty(i) - ： 宀 宀丨J =y(i)三,，y(N)-N* .y(N) y=(yN-NE)T( Yn-Gn2)+小你(nT：n)-1nTAn-yNG N ( j NN)1 叮，nJn = -( NTQ N)- 1 NT_Zn T NTQ n -( NT N)-1 NTN + _y.NT -Zn- _Z

15、nTN (*N)1 ：J NTN上式的后兩項(xiàng)中均不含二，能使得J二nim的條件是：即前式(2 -2- 6)-TA-T-=(門 N 門 N)：J N y N用兩種方法推證出相同結(jié)論。四、線性動態(tài)參數(shù)最小二乘估計(jì) 二Ls的性質(zhì)在靜態(tài)模型：Yk = _ikT 2 + ；k式(2 -1- 2)中的2k = 1, X1,x N T為確定性量，取值與Yk統(tǒng)計(jì)性質(zhì)無關(guān)；在動態(tài)模型：y(k) = _kT 2 + ；(k)式(2 -2- 3)的最小二乘估計(jì) 二LS雖然形式上與靜態(tài)的相同，但是式的上k中包含y(k-1)、y(k-2)、，導(dǎo)致有關(guān)估計(jì)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的證明要困難得多， 不能簡單地套用靜態(tài)模型多元回歸的結(jié)果

16、。動態(tài)參數(shù)最小二乘估計(jì)二ls的估計(jì)性質(zhì)的主要結(jié)果是：當(dāng)N-；:時：E * = 0(漸進(jìn)無偏估計(jì))a.s.n y 2(強(qiáng)一致性收斂)如若 (k) 為有色噪聲，二LS是有偏估計(jì)。五、數(shù)字仿真y(k)- 1.5y(k- 1)+0.7y(k - 2)=u(k-1)+0.5u(k-2)+(k)般取N二100 200。仿真結(jié)果如下表:參數(shù)a1a2b1b2真值-1.50.710.5估計(jì)-1.50910.70741.00220.4656 2 - 3遞推最小二乘方法 （RLS法）、遞推算法的導(dǎo)出對式(3 -2- 1 )的 CAR 過程y(k)和u(k)進(jìn)行了 k=1-n、N,共（n+N）次觀測，組成了 y n和

17、門n ，可得出參數(shù)估計(jì) 二n，現(xiàn)在再進(jìn)行一次新的采樣，又得出N+1和新的估計(jì)二N+1 。 如何由估計(jì)向量rN經(jīng)過遞推直接得到由新的估計(jì)向量二N+1 ,而不必反復(fù)做一次完成LS法的計(jì)算？先分析y n+1與y以及由估計(jì)向量二N+1 與N+1二N的關(guān)系,用分塊矩陣:(2004教案)辨識與自適應(yīng)第二章#(2004教案)辨識與自適應(yīng)第二章17y(i) y(2)式(2-3-1 )I y（N）（N +i）一_y(N 1)n 1 二-y(0).-y (1 - n)u(o).u(1-n)y(N -1).-y( N - n)u(N -1).u(N-n)-y(N).-y(N - n 1)u(N ).u(N -n 1

18、)-式(2-3-2)N甲TN -+1 一由式(3 -2- 6 )有由估計(jì)向量-N+1=(門 N+1J N+1 )1：J N+1 T y N+1=Pn+1N+1 T y N+1其中Ln1JJTpN=*T-1V T:嚴(yán)1丨III1*N11=(J N 5 N + 一 N+1 一 N+1 J 1 =( Pn 1 + 一 N+1 _ N+1 J 1根據(jù)以下矩陣求逆公式：若 A是n n滿秩矩陣，B和C是n m陣,且(A+BC T)n n和(I +c t A-1B)m m都滿秩(I為m維單位陣)，則 有以下矩陣恒等式成立：(A+BC t) t = A T - A Tb ( I +c t A-1B) - C

19、T A-1P n+1 = ( p n +現(xiàn)令：P- = A和巴n+1 = B = C m=1 ,考慮到前面得到的N+1 _ n+1 T)1 得出Pn 1 二 PnPn1 ： T P :N 1 N _n 1式(2-3-3)其中：Pn十二.Pn即相當(dāng)于矩陣恒等式中的（I + C T A-1B）將式（2-3-3 ）、式（2-3-2 ）和式（2-3-1 ）代入由估計(jì)向量-N+1 = P N+1：JN+1y N+1并令:1PPN n 1式（2-3-4）PnPN1 N .1TN -1TPnIN:1_ N 1 I- y N 111Tn InPN 1y(N 1)(2004教案)辨識與自適應(yīng)第二章#(2004教

20、案)辨識與自適應(yīng)第二章#將上式打開：-n+1 = Pnn T y n+ Pn _n+1 y(N+1)-& N+1 _N+1 丁 PN JyN - K N+1N+J PN _N+1 y(N+1)(2004教案)辨識與自適應(yīng)第二章#(2004教案)辨識與自適應(yīng)第二章#N+1=二 N + ( P N N+1 -K N+1 N+1Tp n 一N+1 )y(N+1) -K n+n+1Tn可以證明:(P N N+1 -K n+1 N+1TPn _N+1)= K N+1式(2-3-4)TKn V_n 1PN _n 1Pnn”1：NPVNN 1PN 1PNj 1PNj 二 1PNPN 1 N 1J Pn”（2

21、004教案）辨識與自適應(yīng)第二章#（2004教案）辨識與自適應(yīng)第二章19-N+1 = - N + K N+1(y(N+1)巴 N+1、遞推算式的物理含義二 N+1 =二 n+ K N+1 (y(N+1)_N+1 T - n)PnK N -1N .1一二嚴(yán)1PN ：;：T PNPPn_n.1 N1nPN 1= PN _T1 +1 PN PN -1 N _ n 12n+1 t = - y(N)，-y(N- n+1) , u(N) ， 一 u(N模型：y(N+1)=上n+1T 2 + (N+1)N時刻對N+1時刻的預(yù)報(bào)y(N+1 N) = _n+1 T 2n預(yù)報(bào)誤差（被稱為 新息），用綠色表示y（N+

22、1 N） = y（N+1） - y（N+1 N） = y（N+1） - 2 n+1則式（2-3-5 ）可表達(dá)成二 n+1 =上 n+ K n+1 y(N+1 N)式（2-3-5）式（2-3-5）式（2-3-4）式（2-3-3）n+1）式（2-3-6）式（2-3-7）T 2n式（2-3-8）式（2-3-5）物理意義：新的參數(shù)估計(jì)二N+1是對上次老的估計(jì) 二n進(jìn)行修正而得出 的，修正的依據(jù)是利用在N對新的輸出y（N+1）預(yù)報(bào)的預(yù)報(bào)誤差。（2004教案）辨識與自適應(yīng)第二章#K N+1是修正系數(shù)向量，它需要遞推計(jì)算得出，在遞推計(jì)算K N+1時要用到估計(jì)誤差的協(xié)方差陣P N，而后者也是遞推得出的三、初值

23、選擇和計(jì)算框圖遞推計(jì)算需要初值V 0和P0。初值的選擇有兩種方法：其一是， 可以用初始的3n組數(shù)據(jù)用一次完成算法解出：P。= C）-1和二0二P。T y，但是實(shí)際上并不用上述辦法，而是用以下更為簡便的方法。即 令：二0= 0和P = :I 2n 2n其中=103 10 （即假設(shè)為足夠大的 正數(shù)）?？梢宰C明：在遞推2n步后，估計(jì)結(jié)果與前面介紹的精確初值相接 近。遞推計(jì)算框圖如下圖所示。四、LS法和RLS法的討論（1）LS和RLS法數(shù)學(xué)等價(jià)a）均由使準(zhǔn)則J二x y（k） -v 2 = min得出b）不要求對 ；（k）的統(tǒng)計(jì)特性有任何驗(yàn)前知識。c）如果 ；（k）為零均值白噪聲，則可得漸進(jìn)無偏估計(jì)，即

24、當(dāng)n 時，E 二二 Q ,且二d）若 ； （k）為有色噪聲，二是有偏估計(jì)，但是因該算法簡單，所 以應(yīng)用廣泛。e）均可推廣到多輸入多輸出系統(tǒng)（2004教案）辨識與自適應(yīng) 第二章17(2004教案)辨識與自適應(yīng)第二章#(2004教案)辨識與自適應(yīng)第二章23(2) LS法和RLS法的比較a) LS法是一次完成算法，適于離線辯識，要記憶全部測量數(shù)據(jù)， 程 序長；b) RLS法是遞推算法，適于在線辯識和時變過程，只需要記憶n+1步數(shù)據(jù)，程序簡單；c) RLS法用粗糙初值時，如若 N較小時，估計(jì)精度不如 LS法。 2-4時變過程的參數(shù)估計(jì)(時變遞推最小二乘法)參數(shù)的遞推最小二乘估計(jì)與一次完成的最小二乘估計(jì)

25、是數(shù)學(xué)等價(jià)的，它們都僅適用于估計(jì) 時間定常過程的參數(shù)，而不適用于估計(jì)時 變過程的參數(shù)。時變過程的特點(diǎn)是過程的參數(shù)可能隨著時間變化而改 變。因此，它的數(shù)學(xué)模型參數(shù)具有“時間性”，在利用動態(tài)過程的輸 入一輸出數(shù)據(jù)來辨識模型參數(shù)時，“老”的數(shù)據(jù)往往只能反映“老” 的過程參數(shù)；而改變后的“新”參數(shù)，要靠用新的和比較新的實(shí)驗(yàn)數(shù) 據(jù)來估計(jì)。因此時變過程參數(shù)估計(jì)的特點(diǎn)是，不同時段的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的 作用是有區(qū)別的。時變過程的參數(shù)估計(jì)有多種不同的算法，限于課時， 本課程只講授最常用的“帶遺忘因子的遞推最小二乘估計(jì)算法”，以下簡稱為“遺忘因子法”(2004教案)辨識與自適應(yīng)第二章#一、遺忘因子算法的思路算法的主要思路

26、是“厚今薄古”即對新老數(shù)據(jù)給予不同的對待，逐漸遺忘老數(shù)據(jù)的影響。具體做法是每采得一個新的 y（N+1）時，將以前的所有數(shù)據(jù)乘以小于1的加權(quán)因子?。? 1）,-P厶1-Nqp y(1) 1y(N +1)_|-p y(N)y(N +1)X N 1 1 =PT_ NTN川1乘以加權(quán)因子?后的估計(jì)準(zhǔn)則為：NJ 八，N(y(k)-T2k =1即對不同時刻的殘差予以不同加權(quán)的平方和, 衰減，被遺忘。老數(shù)據(jù)的作用按照指數(shù)遺忘因子遞推最小二乘算法的遞推算式PN 1(2004教案)辨識與自適應(yīng)第二章#(2004教案)辨識與自適應(yīng)第二章#利用矩陣求逆公式得出(2004教案)辨識與自適應(yīng)第二章25(2004教案)辨

27、識與自適應(yīng)第二章#PN -H = P NPnPndPNIn .11P2式(2-3-5)式(2-4-1 )PN -1PnPn -二 Jn2TP2 /n4 嚴(yán)_N 41 N _n 十| 丿式(2-4-2)令：二M ,遺忘因子(0 : 1 );:取值范圍(0.950.995 ),，值愈小，“遺忘”愈快。帶遺忘因子的RLS法由以下幾個遞推算式組成:71 N+1 = N+ K N+1 (y(N+1) _N+1 T二 N)PN N 1kn 1 _Ta + 護(hù)Pz N 1 N _n 1三、遺忘因子的作用對于遺忘因子的不同值，得到了不同的遺忘效果：值較小時 2的估計(jì)跟蹤參數(shù)時變的能力強(qiáng)，但是噪聲干擾影響造成的

28、估計(jì)波動 亦大，可通過以下的計(jì)算機(jī)仿真說明 ：值的影響。模擬如下2階過程：y(k)+a1y(k-1)+ a 2y(k-2)=b 1u(k-1)+ b 2u(k-2)+ ；(k)其中：a2 = - 0.7, b 1 = 1, b2 = 0.5 ,而a2 = 0.6( n 2000 時)給出值分別為1; 0.995 ; 0.99 ; 0.95時的a1和b1:四、算法的改進(jìn)1 )變算法模型的一步預(yù)報(bào)誤差為；(k) = y(k)-上1將；2 (k)與事先給定的 m1值相比較 仲10)當(dāng)；2(k) m1時選擇較小的：值當(dāng)；2(k)w m1時選擇較大的值一般選擇 m1 =(46) - Var (k) 。2

29、 )變P算法將2(k)與事先給定的 m2值相比較(m20)當(dāng)；2(k) m2時將P陣重新置為：106 I比較：以2000步的預(yù)報(bào)誤差平方總和 Q做比較20002Q 2(k)Q的理想值為2000R L S法變口算法a = 0.999/0.9m 1= 4變P算法 m 2=25 = 0.995a = 1a = 0.99a = 128896270250221222137（2004教案）辨識與自適應(yīng)第二章293）附加R陣法只要在P陣的遞推公式上附加一個小小的正定附加方陣 R，即可大大提高v的跟蹤能力。即：PN 1PN2TP +1n+1Pnn+1 丿1+ RN +12RN 訂八(N 1) L1為事先給定的

30、正值例 1、y(k+1)= a 1y(k)+ be(k)+ e (k+1)a1 = - 0.2 0 k 40 ; a1 = - 0.8k-40b1 = 0.40 k 40 ; b1 = 1.6k-40例2.、參數(shù)按照正弦規(guī)律快速周期性變化的一階過程a (k) = 0.5 - 0.4 Sin (k 20)b (k) = 1 + 0.8 Sin (k 20) 2 -5最小二乘法的應(yīng)用例1.熱交換器在線辨識（R.Isermann“Automatica “ ）辯識以蒸汽流量調(diào)節(jié)閥為輸入，熱水出口溫度為輸出的動態(tài)模型，t=0.3s、N=31、n=3, 用RLS 法。圖3oaa 蒸汽加熱熱交換器輸入：氣動

31、蒸汽閥的fflfiU.輸出二水舉乂= 1100斤/小時.必口N3Q仝斤7小時* PDl2*5巴4,r-:_(0 H7 2103033969 Used囹3oa2在鍛識別時過咼輸入輸出怙專FRBS：周期N-J1時標(biāo)幾仔*采非周期秒結(jié)論：對采樣的數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)臑V波處理，對辯識的效果大有改善。例2 .直流它激電動機(jī)參數(shù)在線辨識“自動化學(xué)報(bào)”singMc圖1 電機(jī)結(jié)構(gòu)直流電機(jī)模型的形式是已知的，主要參數(shù)如：機(jī)電時間常數(shù)Tm、電磁時間常數(shù)Ta、磁通量門和負(fù)載轉(zhuǎn)距Me是需要辯識的，其中：RJCeCm假設(shè)Me是常值，其方向總是與電機(jī)旋轉(zhuǎn)方向相反，即:Sign (Me)Sign ( );方案一、利用U和的采樣值辯識Tm、Ta、Ce 和 Me方案二、利用i和，的采樣值辯識J和Me(2004教案)辨識與自適應(yīng)第二章33N81020304050J(km.m 2)0.003650.004650.004480.004500.004510.00454Mc(N.m)0.43800.46440.46300.45490.45520.4149實(shí)驗(yàn)電機(jī)ZK-22FC,110V, 5.7A, 2800rpm, 0.5KW，產(chǎn)品目錄給出的轉(zhuǎn)動慣量J=0.00425(km.m 2)?？梢姡?dāng)N=20以后，估計(jì)結(jié)果與實(shí)際 很接近了。 2-6關(guān)于卡爾曼濾波(Kalman Filtering )與遞推最小二乘 參數(shù)估計(jì)卡爾曼(