《創(chuàng)新設(shè)計》數(shù)學(xué)一輪(文科)人教A配套精品課件第二章第2講函數(shù)的單調(diào)性與最值

1、第2講函數(shù)的單調(diào)性與最值 夯基釋疑y（考點三（例3（訓(xùn)練3 （乞課堂小結(jié)夯基釋疑判斷正誤(在括號內(nèi)打“廠或“ X ”)(1)函數(shù)丿=2的單調(diào)遞減區(qū)間是(一8, 0)U(0, +). %)(2) 對于函數(shù)于(兀)，xD,若m X2D且(兀1兀2)|/31) f(X2)0,貝!|函數(shù)/(x)ft D 是增函數(shù).(3) 函數(shù)y = x是R上的增函數(shù).0C)函數(shù)j=/(x)4l, +8)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞 增區(qū)間是1, +) (溝考點突破考點一 確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間【例1】試討論函數(shù)/*3）=篤H0）在（一1, 1）上的單調(diào)性.解設(shè)一1X1X219可用定義法或?qū)?shù)法f(x)=aX 1f(

2、xi)f(X2)=a(l1+(兀2兀1)(X1 1)(X21)?由于一10，Xj ICO, x21V0, 故當a0時，/(xj)/(x2)0, P/(x1)/(x2),函數(shù)心)在(一1, 1)上遞減;當“vO時，/(xj/(x2)0, BP/(x1)0,函數(shù)/(x)=x+(x0),證明：函數(shù)/(兀) 在(0,也上是減函數(shù)，在麗,+8)上是增函數(shù)；(2)求函數(shù)y=logx24x+3)M單調(diào)區(qū)間.3X2”2兀20 時，XI兀20, 1 有 /（X1）/*（X2）0,即 /（X1）0）在（0,也上為減函數(shù);x考點突破考點一確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間廠、【訓(xùn)練1】已知0,函數(shù)/(x)=x+(x0),證

3、明：函數(shù)/(兀)/V在(0,也上是減函數(shù)，在&, +8)上是增函數(shù);求函數(shù)J=log1(x24x+3)的單調(diào)區(qū)間.3當 xxiya時，XiX20,有金1)冷2)0,即金 1)/(*2), 此時，函數(shù)/(x)=x+%a0)在&, +)_t為增函數(shù);1=1綜上可知，函數(shù)/(x)=x+;(a0)4(0,也上深度思考(證明函數(shù)的單 調(diào)性問題一般 有兩種解法： 定義法和導(dǎo)數(shù) 法，你不妨都I試一試在&, +8)上為增函數(shù).1=1為減函數(shù);考點突破考點一 確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間丿【訓(xùn)練1】已知0,函數(shù)/（x）=x+（x0）,證明：函數(shù)/（兀） 在（0,也上是減函數(shù)，在麗,+8）上是增函數(shù)；（2）求函數(shù)y

4、=logx24x+3）M單調(diào)區(qū)間.3法二幾r）=l一芻，令/（x）0, Ml一令0， 解得xa或x &（舍）令f（x）V0,則1務(wù)V0,解得一&V兀0,/.0x0,函數(shù)/(x)=x+(x0),證明：函數(shù)/(兀) 在(0,也上是減函數(shù)，在麗,+8)上是增函數(shù)；(2)求函數(shù)y=logx24x+3)M單調(diào)區(qū)間.3解令 w=x24x+3, 原函數(shù)可以看作丿=10護與w=x24x+3的復(fù)合函數(shù).3令w=x2-4x+30.貝JUV1 或x3：函數(shù) j=log1(x24x4-3)的定義域為(一8, 1)U(3, +).3又“=以_4兀+3的圖象的對稱軸為兀=2,且開口向上， /.w=x24x+3在(一8,

5、1)上是減函數(shù)， 在(3, +8)上是增函數(shù).考點突破考點二 利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范冃廠、【訓(xùn)練1】已知0,函數(shù)/(x)=x+(x0),證明：函數(shù)/(兀)/V在(0,也上是減函數(shù)，在&, +8)上是增函數(shù);求函數(shù)J=log1(x24x+3)的單調(diào)區(qū)間.3接上一頁扭=/4兀+3在(一8, 1)上是減函數(shù)，在(3, +8)上是增函數(shù).而函數(shù)y=logU在(0, +8)上是減函數(shù)，3Aj=log1(x24x+3)的單調(diào)遞減區(qū)間為(3, +),3單調(diào)遞增區(qū)間為(一8 , 1).【例2】（1）如果函數(shù)遞增的，則實數(shù)a的一扌+f(x)=ax2-2x3A.若函數(shù)/（x）=x+1的取值范C在區(qū)間（一8, 4

6、）上是單調(diào)可用定義法或?qū)?shù)法o1-/DB.-扌，+ 阪主（一8, 1）上是減函數(shù),1- 4圍是借助二次函數(shù)的對稱軸和區(qū)間關(guān)系1x=a9解析（1）當“=0時，f（x）=2x3,在定義域只上是單調(diào)遞增的， 故在（-00, 4）上單調(diào)遞增； 當時，二次函數(shù)金）的對稱軸為 因為/在（一，4）上單調(diào)遞增， 所以0,且一4,解得一扌WaV0 綜合上述得一WaWO.CLX 1【例2】若函數(shù)金）=丁帀在（一口一1）上是減函數(shù)，則a的。+ 1Ul9取值范圍是9、亠ax1法則 f(Xl)f(X2)=1_1 _ (a + 1) (xiX2) X2+I xi + 1 (xi + 1) (x2+l) 又函數(shù)/（r）在（

7、一oo, 1）上是減函數(shù)，所以/E）/（兀2）。由于。產(chǎn)一1,/.Xjx20,工i + lvO, x2+l0, a + l 4. CJ實數(shù)。的取值范圍是（）A. (-OO, 1 B. 1, 4C. 4, +8) D. (-oo, 1U4, +oo)即aWl或故選D.答案Dy= -x2 +4 兀 代4)解析 作出函數(shù)fd）的圖象如圖所示， 由圖象可知/仗）在（a, +1）上單調(diào)遞增, 需滿足或a + lW2,丿考點突破考點三利用函數(shù)的單調(diào)性求最值【例3】已知函數(shù)加:)對于任意兀，yER,總有/(x)+/(y)2=/(兀+丿)，且當兀0 時，/(X)兀2，貝療（心）f（x2）=f（x1x2+x2）

8、 /（x2）=f（x1 X2） +/（兀 2）f（X2）又當兀o時，/(x)0，/(兀1一兀2)0,SP/(x1)/(x2),丿/(兀)在R上為減函數(shù)【例3】已知函數(shù)加:)對于任意兀，yER,總有/(x)+/(y)2=/(兀+丿)，且當兀0 時，/(X)0, /(1)=y(1) 求證：/(兀)在R上是減函數(shù)；(2) 求滄)在一3, 3上的最大值和最小值.(2)解 T/d)在R上是減函數(shù)， 冷)在一3, 3上也是減函數(shù),丁(兀)在3, 3上的最大值和最小值分別為(3)與/.耐(3)=#(1)=_2,又函數(shù)/仗)對于任意兀，yWR，總有/(兀)+/00=/(兀+丿)， 令r=y=0,得f(0)=0

9、,再令y = r,x) = /(x),V(-3)=-/(3)=2.Rd)在一3, 3上的最大值為2,最小值為一2考點突破考點三利用函數(shù)的單調(diào)性求最值規(guī)律方法利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大（?。┲担慈绻瘮?shù)尸 于（對在區(qū)間儀，盯上單調(diào)遞增，在區(qū)間方，C上單調(diào)遞減， 則函數(shù)y =/*（*）在區(qū)間a, c上的最大值是f（）；如果函數(shù)y =/3）在區(qū)間a,方上單調(diào)遞減，在區(qū)間b, c上單調(diào)遞 增，則函數(shù)丁=/*3）在區(qū)間a, c上的最小值是勉）.丿考點突破考點三利用函數(shù)的單調(diào)性求最值兀=3對*稱. 扌，+J上單調(diào)遞增，11一00, 2z7、【訓(xùn)練3】如果函數(shù)/(兀)對任意的實數(shù)兀，都有/(l+x)=/

10、(-x), 且當兀易時，/(x)=log2(3x1),那么函數(shù)ZU)在2, 0上的 最大值與最小值之和為()A. 2 B. 3 C. 4 D. -1解析 根據(jù)廣(1+兀)=，/*(*), 可知函數(shù)/(兀)的圖象關(guān)于直線 又函數(shù)/(兀)在上單調(diào)遞減，貝11函數(shù)/在一2, 0上的最大值與最小值之和為 /(-2)+/(0)=/(l+2)+/(l+0)=/(3)+/(l)=log28+log22=4. 答案C課堂小結(jié)思想方法丿1. 利用定義判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性 設(shè)任意兀1，x2a9方且xi0呵（兀）在0列上是增函數(shù);f（兀1）/ （兀2）X1X2vog/d）在0刃上是減函數(shù).(2)(X1-/(x2)

11、 O(x)ft ,方上是增函數(shù);（X1 X2）1/（x1） /（X2）0=V*（x）4a,方上是減函數(shù).函數(shù)的單調(diào) 性是對某個區(qū)間而言的.2. 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間首先應(yīng)注意函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間都是其定義域的 子集；其次掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)等基本初等函數(shù)的單調(diào) 區(qū)間.常用方法：根據(jù)定義、利用圖象和單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)、 利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì).3. 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性=1對于復(fù)合函數(shù)若t=g(x)在區(qū)間(a, b)上是單調(diào)函 數(shù)，且y=/(t)在區(qū)間(g), g(“)或者(方)，g)上是單調(diào)函 數(shù)，若t=gb)與y=/(t)的單諭隹箱同(向盼為曾兪減)，則y= /1以兀)為增函數(shù)；若t=g(x)鳥y =/(t)的單調(diào)性相反9貝!y = /kd)為減函藪.簡稱：同增異減.課堂小結(jié)易錯防范1. 函數(shù)的單調(diào)性是通過任意兩點的變化趨勢來刻畫整體的變 化趨勢，“任意”兩個字是必不可少的.如果只用其中兩點