學(xué)數(shù)學(xué)只需要知道的8個(gè)數(shù)

1、學(xué)數(shù)學(xué)只需要知道的 8 個(gè)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)只需要知道的 8 個(gè)數(shù)數(shù)是無(wú)限多的，處理數(shù)的辦法也是無(wú)限多的。數(shù)學(xué)家們常常把數(shù)表示在一條直線上，這條直線就是教材上說(shuō)的數(shù)軸。 在數(shù)軸上取一個(gè)點(diǎn)， 這個(gè)點(diǎn)就代表了一個(gè)數(shù)。到頭來(lái)，我們所用的幾乎所有的數(shù)都是建立在構(gòu)成數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的那些非常重要的數(shù)之上。下面介紹的的八個(gè)數(shù)，是你構(gòu)建數(shù)軸必須的，也是你做其它和數(shù)相關(guān)的事需要的。“ 0”：一切從“零”開(kāi)始“ 0”表示沒(méi)有。 “ 0”也是我們構(gòu)造數(shù)系必需的一個(gè)數(shù)。當(dāng)我們要寫(xiě)的數(shù)不止一位數(shù)時(shí)， “ 0”就是一個(gè)占位符號(hào)“0”讓我們清楚地知道2 塊錢(qián)和 20 塊錢(qián)的區(qū)別。“ 0”本身在數(shù)學(xué)時(shí)也是至關(guān)重要的數(shù)。“ 0”是“加法單位元

2、”任何數(shù)加上“0”得到的還是那個(gè)數(shù)本身：3+0=3 。“ 0”的這個(gè)性質(zhì)也是它在算術(shù)和代數(shù)中的核心性質(zhì)。 “ 0”在數(shù)軸中間，把數(shù)軸分成正半軸和負(fù)半軸兩部分，而且它還是我們構(gòu)建數(shù)系的起點(diǎn)。“ 1” : 只有零我們做不了太多，于是我們有了“一”“ 0”是“加法單位元”， 而是“ 1”是乘法單位元任何一個(gè)數(shù)乘以“ 1”得到的數(shù)都是那個(gè)數(shù)本身：5x1=5。有了“ 1”，我們就能開(kāi)始構(gòu)建我們的數(shù)軸了。特別的，我們用“ 1”來(lái)得到自然數(shù)： 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ，等等。我們不斷地在其自身上加上“ 1”來(lái)得到不同的數(shù)： 2 就是 1+1 ， 3 就是 2+1 ， 4 就是 3+1 ，

3、不斷下去，直到無(wú)窮。自然數(shù)是我們最基本的數(shù)。我們利用它們來(lái)數(shù)東西。同樣，我們可以用自然數(shù)來(lái)做算術(shù)：兩個(gè)自數(shù)然，它們相加或者相乘，能得到別的自然數(shù)。 一些時(shí)候當(dāng)然不是任何時(shí)候我們也能用減法和除法得到別的自然數(shù)： 10-7=3以及18+2=9。只需用“ 0”、“1”和基本的算術(shù)運(yùn)算，我們已經(jīng) 能做得很不錯(cuò)了，很多數(shù)學(xué)也只用到了自然數(shù)。“-1”：自然數(shù)已經(jīng)非常好了， 但它能做的事還是很有限。剛才說(shuō)過(guò)，不是任何兩個(gè)自然數(shù)相減都能得到自然數(shù)。如果我們所有事都圍繞自然數(shù)來(lái)做，我們無(wú)法解釋像這樣一個(gè)式子： 3-7 。在數(shù)學(xué)里，有一種精彩的事故當(dāng)遇到類(lèi)似局限時(shí)，我們可以擴(kuò)充我們的系統(tǒng)來(lái)打破這樣的局限。為了讓每

4、個(gè)減法有意義，我們加入“ -1”來(lái)擴(kuò)充我們的數(shù)軸?！?-1”能生產(chǎn)出所有負(fù)整數(shù)， 因?yàn)椤?-1”與任何數(shù)相乘能得到那個(gè)數(shù)的相反數(shù)： -3就是-1x3。帶來(lái)負(fù)整數(shù)的同時(shí)，我們也解決了剛才減法的問(wèn)題： 3-8=-5 。把正整數(shù)、零和負(fù)整數(shù)放在一起，我們得到了整數(shù)，而且我們?cè)谌魏螘r(shí)候都可以將兩個(gè)整數(shù)做減法，得到的還是整數(shù)。整數(shù)為數(shù)軸提供了很多錨點(diǎn)。負(fù)數(shù)對(duì)欠款的表示很有用。 如果我信用透資取了 500 塊錢(qián)， 于是我可以認(rèn)為銀行賬戶(hù)的余額為 -500 元。 負(fù)數(shù)也讓我們?cè)谝恍?shù)量表示時(shí)，使用比零小的數(shù)成為可能，比如說(shuō)氣溫。在冰冷南極，平均氣溫能達(dá)到 -40 c 左右。“ 1/10 ”：整數(shù)適用于描述完

5、整的事物，但對(duì)于一些事物我們需要討論它的一部分。同樣的，整數(shù)的算術(shù)體系同樣不完整即便我們?nèi)魏螘r(shí)候把兩個(gè)整數(shù)做加、減、乘還是得到整數(shù)，但是有時(shí)候，兩個(gè)整數(shù)做除法，我們得不到整數(shù)。如只有整數(shù)，9t各沒(méi)有意義。為了應(yīng)付這個(gè)情況，我們?cè)跀?shù)軸上加入“ 1/10 ”，或者說(shuō)“ 0.1 ”有了“。 0.1 我們對(duì)他做乘方能得到”， 0.01 ， 0,001 ， 0.0001 ，等等。這樣，我們能表示分?jǐn)?shù)和小數(shù)了。9+就是1.8。兩個(gè)整數(shù)相除（被除數(shù)不能為零）能得到小數(shù)。它們有的是有限小數(shù)，像1.8,有的是循環(huán)小數(shù)，像 1 + 3=0.33333，無(wú)限個(gè) 3 循環(huán)下去。這種形式的小數(shù)，我們叫有理數(shù)，他們能表示

6、成兩個(gè)整數(shù)的比值，即分?jǐn)?shù)。有理數(shù)在算術(shù)運(yùn)算下已經(jīng)是封閉的了對(duì)任何兩個(gè)有理數(shù)做加、減、乘、除得到的還是有理數(shù)。有理數(shù)讓我們能表示出整數(shù)之間的數(shù)，也能表示出一個(gè)整體的一部分。比如我和我的三個(gè)朋友要分享一個(gè)大蛋糕，我們把蛋糕切了，每人拿到蛋糕的 1/4 ， 0.25 或者 25% 。有理數(shù)幫助我們開(kāi)始填補(bǔ)數(shù)軸上整數(shù)與整數(shù)之前的縫隙了?！案?hào)2”：有理數(shù)打開(kāi)了無(wú)理數(shù)的大門(mén)，因?yàn)橛械臄?shù)不能表示成整數(shù)的之間的比。一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是這樣一個(gè)非負(fù)數(shù)，即它的平方等于原來(lái)的那個(gè)數(shù)。 于是 9 的算術(shù)平方根是3 ， 因?yàn)?3?2; = 3 x3 = 9 。我們能為每一個(gè)正數(shù)找到算術(shù)平方根，只是有一些，他們的算術(shù)平

7、方根有些復(fù)雜。2 的算術(shù)平方根就是這樣復(fù)雜的數(shù)。它是一個(gè)無(wú)理數(shù)他的小數(shù)展開(kāi)后，不會(huì)終止，也不會(huì)循環(huán)?！案?hào) 2”展開(kāi)的數(shù)字是這樣的1.41421356237看起來(lái)規(guī)律很奇怪和混亂。實(shí)際上，大部分有理數(shù)的算術(shù)平方根都是無(wú)理數(shù)而一些例外，比如說(shuō) 9 叫做完全平方數(shù)。平方根在代數(shù)是非常重要， 它們是很多方程的解。 比如說(shuō)“根號(hào)2”是 x?2;=2的解。有理數(shù)和無(wú)理數(shù)放在數(shù)軸上，我們就能鋪滿(mǎn)整個(gè)數(shù)軸。有理數(shù)和無(wú)理數(shù)一起，我們稱(chēng)為實(shí)數(shù)，它們是在各種計(jì)算中最常用到的數(shù)。現(xiàn)在，我們完成了整個(gè)數(shù)軸的構(gòu)建，我們來(lái)看看一對(duì)非常重要的無(wú)理數(shù)?，F(xiàn)在我們來(lái)增加維度，到平面和立體幾何中去兀圓周率“?！币灰粓A周長(zhǎng)與半徑之比

8、一一可能是幾何中最 重要的一個(gè)數(shù)?！柏！闭故玖艘恍╆P(guān)于圓和球的基本關(guān)系一一半 徑為r的圓的面積是 兀r?2;半徑為r的球的面積是4兀r?3;/3 。“?！痹谌呛瘮?shù)也有重要性質(zhì)。是2部本三角函數(shù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)是最小正周期。就是說(shuō)，函數(shù)值在每一個(gè)2兀長(zhǎng)度的區(qū)間上不斷重復(fù)。這樣的函數(shù)用于描述周期變化或者 不斷往復(fù)的事物，比如說(shuō)聲波。和“根號(hào)2” 一樣，“兀”是一個(gè)無(wú)理數(shù)。它的小數(shù)展開(kāi)不會(huì) 終止，也不會(huì)循環(huán)。開(kāi)始的幾位小數(shù)大家非常熟悉，3.14159，數(shù)學(xué)家用計(jì)算機(jī)，通過(guò)夜以繼日的計(jì)算，面 把“?！闭归_(kāi)到了0萬(wàn)億位以后，但我們大多時(shí)候只需要前面 很少的幾位，去得到一些精確的結(jié)果。“e”用它來(lái)計(jì)算

9、復(fù)利自然對(duì)數(shù)底，又叫歐拉數(shù)，用“e”來(lái)表示je”是指數(shù)函數(shù) 的底數(shù)。指數(shù)函數(shù)用來(lái)表示一個(gè)事物數(shù)理倍增或者衰減的過(guò)程。如果一開(kāi)始兩只兔子，一個(gè)月后有了 4 只，兩個(gè)月后有了 8 只，三個(gè)月后有了 16 只。推廣下去， n 個(gè)月后，有了2a(n+1)只，一一n+1個(gè)2自己乘起來(lái)?！癳”是無(wú)理數(shù)，展開(kāi)是2.71828，但和所有無(wú)理數(shù)一樣，小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)字永遠(yuǎn)不會(huì)終止也不會(huì)循環(huán)。eax叫做自然指數(shù)函數(shù)， 他是其它指數(shù)函數(shù)的基準(zhǔn)。 原因有些許復(fù)雜，因?yàn)?eax 很特別。如果你們學(xué)過(guò)微積分，你會(huì)知道eax 的導(dǎo)數(shù)還是eax o就是說(shuō)對(duì)每個(gè)x,函數(shù)eax的在點(diǎn)x的增長(zhǎng)率正好是函數(shù)值本身比如 x=2 ，那么

10、eax 在這點(diǎn)的增長(zhǎng)率是 e?2; 。 這是只有 eax 才具有的唯一性質(zhì)， 使得 eax 在數(shù)學(xué)上有著非常漂亮的操作性。eax 在大部分指數(shù)過(guò)程中很有用。有一個(gè)常見(jiàn)應(yīng)用就是計(jì)算復(fù)利。初始的本金是 p,年利率是r,那么在t年投資回 報(bào) a(t) 可以表示成公式 a(t)=pea(rt) 。“ i ”：現(xiàn)在，虛數(shù)來(lái)了我們之前提到的內(nèi)容，我們知道每個(gè)正數(shù)都能計(jì)算的算術(shù)平方根，所以我們來(lái)看看對(duì)于負(fù)數(shù)會(huì)發(fā)生什么。負(fù)數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是沒(méi)有算術(shù)平方根的。兩個(gè)負(fù)數(shù)相乘得到的是正數(shù)，所以任何實(shí)數(shù)的平方都是不小于零的，即沒(méi)有一個(gè)實(shí)數(shù)的平方是負(fù)數(shù)。但是，我們之前也說(shuō)過(guò)，當(dāng)遇到局限時(shí)，我們可以擴(kuò)充我們的系統(tǒng)來(lái)打破這樣的局限。所以，我們遇到的局限是“ -1”沒(méi)有平方根，于我們就傻傻地問(wèn)自己，如果有會(huì)怎么樣？我們定義了“ i ”，叫做虛數(shù)單 位，作為“ -1”的平方根。然后，把所有的數(shù)作加、減、乘、除，想辦法讓這些結(jié)果有意義，于是我們把實(shí)數(shù)擴(kuò)展到了復(fù)數(shù)。復(fù)數(shù)有著很多讓人驚奇的性質(zhì)和應(yīng)用。