ch5 分布的檢驗(yàn)

1、主要內(nèi)容 5.1 正態(tài)性檢驗(yàn)*5.2 指數(shù)分布的檢驗(yàn) 5.3 柯莫哥洛夫檢驗(yàn) 5.4 2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)設(shè)x1,x2,xn是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本,根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn),可對(duì)總體X的分布提出如下假設(shè):H0:X的分布為F(x)=F0(x)其中F0(x)可以是一個(gè)完全已知的分布,也可以是含有若干未知參數(shù)的已知分布,這類(lèi)檢驗(yàn)問(wèn)題統(tǒng)稱(chēng)為分布的檢驗(yàn)問(wèn)題分布的檢驗(yàn)問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題很重要,是統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)性工作。明確了總體分布或其類(lèi)型就可進(jìn)一步做深入的統(tǒng)計(jì)推斷。這一章將先研究正態(tài)分布的檢驗(yàn)問(wèn)題,然后研究一般分布的檢驗(yàn)問(wèn)題。 5.1 正態(tài)性檢驗(yàn)一個(gè)樣本是否來(lái)自正態(tài)分布的檢驗(yàn)稱(chēng)為正態(tài)性檢驗(yàn)正態(tài)性檢驗(yàn)。在這種檢驗(yàn)中“樣本來(lái)自正態(tài)

2、分布”是作為原假設(shè)H0而設(shè)立的,在H0為真下,人們根據(jù)正態(tài)分布特性構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量或一種特定方法,觀察其是否偏離正態(tài)性。若偏離到一定程度就拒絕原假設(shè)H0,否則就接受原假設(shè)H0,所以“正態(tài)性檢驗(yàn)”是指“偏離正態(tài)性檢驗(yàn)”。由于正態(tài)分布的重要性,吸引很多統(tǒng)計(jì)學(xué)家參與正態(tài)性檢驗(yàn)的研究,先后提出幾十種正態(tài)性檢驗(yàn)的定量方法,經(jīng)過(guò)國(guó)內(nèi)外多人多次用隨機(jī)模擬方法對(duì)它們進(jìn)行比較,篩選出如下兩種正態(tài)性檢驗(yàn)： 夏洛皮威爾克（Shapiro-Wilk）檢驗(yàn)（8n50） 愛(ài)潑斯普利（Epps-Pully）檢驗(yàn)（n8） 夏洛克威爾克檢驗(yàn)又簡(jiǎn)稱(chēng)W檢驗(yàn)，于1965年提出，分以下幾步來(lái)敘述W檢驗(yàn)產(chǎn)生的思想和使用方法。(1)設(shè)x1,

3、x2,xn是來(lái)自正態(tài)總體N(,2)的一個(gè)樣本,x(1),x(2),x(n)為其次序統(tǒng)計(jì)量。令u(i)=(x(i)-)/,則u(1),u(2),u(n)為來(lái)自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的次序統(tǒng)計(jì)量,且有如下關(guān)系 x(i)=+u(i),i=1,2,n(5.1.1)5.1.1 夏皮洛威爾克檢驗(yàn)若把上式中u(i)用期望E(u(i)=mi代替,會(huì)產(chǎn)生誤差,記此誤差為i,這樣上式可改寫(xiě)為x(i)=+mi+i,i=1,2,n(5.1.2)這是一元線(xiàn)性回歸模型。由于次序統(tǒng)計(jì)量的關(guān)系,其中諸i是相關(guān)的。若記=(1,2,n),則是均值為零向量,協(xié)方差矩陣為V=(vij)的n維隨機(jī)向量。5.1.1 夏皮洛威爾克檢驗(yàn)若

4、暫時(shí)不考慮諸i間的相關(guān)性,只考察x(i)與mi間的線(xiàn)性相關(guān)性,則n個(gè)點(diǎn)(x(1),m1),(x(n),mn)應(yīng)大致呈一條直線(xiàn),其間誤差是由i引起的。x=(x(1),x(2),x(n)與m=(m1,m2,mn)間的線(xiàn)性相關(guān)程度可用其樣本相關(guān)系數(shù)r的平方來(lái)度量。r2= (5.1.3)r2越接近1,x與m間的線(xiàn)性關(guān)系越密切。5.1.1 夏皮洛威爾克檢驗(yàn)ninimmxxmmitttxxt11222)(n1)(_m011miimnniniiiniiimxxxm112)(21)(.）（Qniim2112s212niim125.1.1 夏皮洛威爾克檢驗(yàn)而 ,可以看出: 是的線(xiàn)性無(wú)偏估計(jì)(BLUE),這只要注

5、意到 Ex(i)=+mi和 mi=0即可。還可看出,式(5.1.4)中除去一個(gè)與樣本無(wú)關(guān)的因子,其主體是總體方差2的兩個(gè)估計(jì)之比,其中 分母:s2對(duì)任何總體方差2都是很好的估計(jì),不依賴(lài)于正態(tài)性假設(shè)是否為真。 分子:由于 依賴(lài)于諸mi,所以?xún)H在正態(tài)性假設(shè)為真時(shí) 才能成為正態(tài)總體2的估計(jì)。)(1121ininiiixmm1,21)(2nQxQSxnii1ni 11125.1.1 夏皮洛威爾克檢驗(yàn)可見(jiàn),在正態(tài)性假設(shè)為真時(shí),2的這兩個(gè)估計(jì)之間應(yīng)該相差不大。而當(dāng)正態(tài)性假設(shè)不成立時(shí),它們之間的相差就會(huì)增大。這種增大的趨勢(shì)有利于我們識(shí)別正態(tài)性假設(shè)是否成立。這就是我們從2的估計(jì)量的角度來(lái)看r2所得到的啟示。5

6、.1.1 夏皮洛威爾克檢驗(yàn)(3)為了進(jìn)一步擴(kuò)大這個(gè)差異。夏皮洛和威爾克把 1換為的最小方差線(xiàn)性無(wú)偏估計(jì) 2(BLUE),由例2.5.2知,正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)差的BLUE為: （5.1.5）其中系數(shù)為 c=(c1,c2,cn)= (5.1.6) )(12xxccinii，c，mvmvm115.1.1 夏皮洛威爾克檢驗(yàn)假如說(shuō)前面的 僅依賴(lài)于一階矩向量m,那么如今的 還依賴(lài)于協(xié)方差陣V,所以, 比 更強(qiáng)烈地依賴(lài)于正態(tài)性假設(shè)。倘若正態(tài)性假設(shè)不成立, 和s2之間的差異就會(huì)更大一些,這種差異的增大,對(duì)檢驗(yàn)正態(tài)性假設(shè)更為有利一些。將r2中的 換為 ,所得到的式子記為 。顯然, 已不再是n個(gè)數(shù)對(duì)(x(1),m1),(x

7、(n),mn)之間的相關(guān)系數(shù)的平方。夏皮洛和威爾克為了仍保持相關(guān)系數(shù)的特性,對(duì) 的系數(shù)又作了規(guī)范化處理,即令 (5.1.7) 122121212r)(13xdxainii5.1.1 夏皮洛威爾克檢驗(yàn)ccni 15.1.1 夏皮洛威爾克檢驗(yàn)(4)W檢驗(yàn)的拒絕域。由于W是n個(gè)數(shù)對(duì)(x(1),a1),(x(n),an)之間的相關(guān)系數(shù)的平方,所以W僅在0,1上取值。5.1.1 夏皮洛威爾克檢驗(yàn)例5.1.1 在一臺(tái)磨損試驗(yàn)設(shè)備上對(duì)某種材料進(jìn)行磨損試驗(yàn),獲得15個(gè)數(shù)據(jù)列于表5.1.1(已排序)。5.1.1 夏皮洛威爾克檢驗(yàn)愛(ài)潑斯普利檢驗(yàn)簡(jiǎn)稱(chēng)EP檢驗(yàn)。這個(gè)檢驗(yàn)對(duì)n 8都可以使用，它是利用樣本的特征函數(shù)與正態(tài)

8、分布特征函數(shù)之差的模的平方產(chǎn)生的一個(gè)加權(quán)積分形成的,詳細(xì)請(qǐng)見(jiàn)參考文獻(xiàn)26,這里只給出EP檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其拒絕域。EP檢驗(yàn)的原假設(shè)是H0:總體是正態(tài)分布設(shè)樣本的觀察值為x1,x2,xn,樣本均值為 ,記 m2= (xi- )25.1.2 愛(ài)潑斯普利檢驗(yàn)nin11x則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為: 5.1.2 愛(ài)潑斯普利檢驗(yàn)njnkkjEPmjmkjnnTxxxx122211224exp22exp2315.1.2 愛(ài)潑斯普利檢驗(yàn)對(duì)給定的顯著性水平,拒絕域?yàn)閃=TEPTEP,1-(n),臨界值可以在附表11中查到。由于n=200時(shí),統(tǒng)計(jì)量TEP的分位數(shù)已非常接近n=的分位數(shù)。故n200時(shí),TEP的分位數(shù)可以用n=20

9、0時(shí)的分位數(shù)代替。例5.1.2 上海中心氣象臺(tái)測(cè)定的上海市18841982年間的年降雨量數(shù)據(jù)(單位:mm)如下:試在=0.05水平上檢驗(yàn)?zāi)杲涤炅渴欠穹恼龖B(tài)分布。5.1.2 愛(ài)潑斯普利檢驗(yàn)1184.41113.41203.91170.7975.41462.3947.81416.0709.21147.5935.01016.31031.61105.7849.91233.41008.61063.81004.91086.21022.51330.91439.41236.51088.11288.71115.81217.51320.71078.11203.41480.01269.01049.21318.31

10、171.21161.7791.21143.81602.0986.1794.71318.41192.01016.01508.21159.61021.3951.41003.2840.41061.4985.01025.21265.01196.51120.71659.394271123.3910.21398.51208.61305.51242.31572.31416.91256.11285.9984.81390.31062.21287.31477.01017.91217.71197.11143.01018.81243.7909.31030.31124.4811.4820.91184.11107.599

11、1.4901.71176.51113.51272.91200.31508.7772.3813.01392.31006.21108.8 *5.2 指數(shù)分布的檢驗(yàn)特定分布的檢驗(yàn)方法常稱(chēng)為“特效藥”。譬如5.1節(jié)中的W檢驗(yàn)和EP檢驗(yàn)都是正態(tài)分布的“特效藥”。這里將對(duì)指數(shù)分布exp()給出兩種“特效藥”,它們是 2檢驗(yàn) 格列堅(jiān)科檢驗(yàn)這兩個(gè)檢驗(yàn)不僅對(duì)完全樣本適用,而且對(duì)截尾樣本也適用。對(duì)樣本量為n的樣本,若只能獲得前r個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量x(1)x(2)x(r)(rn)的觀察值,則x(1),x(2),x(r)就稱(chēng)為截尾樣本,r稱(chēng)為截尾數(shù),常事先給定,當(dāng)r=n時(shí),就得完全樣本。在壽命試驗(yàn)中為減少試驗(yàn)時(shí)間的經(jīng)費(fèi),常

12、事先規(guī)定一個(gè)截尾數(shù)r(如r/n70%)。當(dāng)r個(gè)產(chǎn)品失效時(shí)就停止試驗(yàn)。定理5.2.1在H0為真和上述符號(hào)下,令y1=n(x(1)-x0),x0=0y2=(n-1)(x(2)-x(1)(5.2.2)yr=(n-r+1)(x(r)-x(r-1)則y1,y2,yr是相互獨(dú)立同分布隨機(jī)變量,共同分布為exp()。5.2.1 2檢驗(yàn)這個(gè)定理是指數(shù)分布無(wú)記憶性的另一種表現(xiàn),因?yàn)闊o(wú)記憶性,其相鄰兩個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量的差才可能相互獨(dú)立,但還不是同分布,乘以不同常數(shù)后才能得到同分布隨機(jī)變量。無(wú)記憶性是連續(xù)分布中指數(shù)分布所特有的,這對(duì)人們區(qū)分指數(shù)分布與其他連續(xù)分布是有幫助的。5.2.1 2檢驗(yàn)定理5.2.2在定理5.2.

13、1條件下,令zi= yj yj,j=1,2,r-1 zr= yj(5.2.3)則z1,z2,zr-1是來(lái)自均勻分布U(0,1)的容量為 r-1的次序統(tǒng)計(jì)量,且與zr獨(dú)立。5.2.1 2檢驗(yàn)i1jr1jr1j例5.2.1容量為12的樣本中前6個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量的觀察值為:4669192149039126110試問(wèn)這批數(shù)據(jù)是否來(lái)自指數(shù)分布?5.2.1 2檢驗(yàn)基于定理5.2.1的結(jié)果還可構(gòu)造另一個(gè)檢驗(yàn)指數(shù)分布的統(tǒng)計(jì)量,它比前面的2統(tǒng)計(jì)量計(jì)算上簡(jiǎn)便一些,區(qū)分指數(shù)分布與非指數(shù)分布的能力也較高。這個(gè)檢驗(yàn)是由蘇聯(lián)統(tǒng)計(jì)學(xué)家格列堅(jiān)科提出的,故稱(chēng)為格列堅(jiān)科檢驗(yàn)。從某總體x任取n個(gè)樣品做截尾試驗(yàn),得到前r個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量觀察

14、值x(1)x(2)x(r)對(duì)這個(gè)截尾樣本作如下變換yi=(n-i+1)(x(i)-x(i-1),i=1,2,r其中x0=0,如今要檢驗(yàn)的原假設(shè)為:H0:該截尾樣本來(lái)自指數(shù)分布exp()5.2.2 格列堅(jiān)科檢驗(yàn)由定理5.2.1知,在原假設(shè)H0為真下,諸y1,y2,yr相互獨(dú)立同分布,共同分布為指數(shù)分布exp(),從而2yi2(2)。然后把r個(gè)yi等分為兩個(gè)子組,如取r1=r/2,r2=r-r1,則統(tǒng)計(jì)量F= F(2r1,2r2),r1+r2=r5.2.2 格列堅(jiān)科檢驗(yàn)riiiirrryry121111在H0為真下,F值不宜過(guò)小,也不宜過(guò)大,否則與諸yi獨(dú)立同分布性質(zhì)矛盾,從而應(yīng)拒絕H0,對(duì)給定的

15、顯著性水平(01),利用F分布分位數(shù)可給出如下拒絕域。W=FF/2(2r1,2r2)或FF1-/2(2r1,2r2)這就給出格列堅(jiān)科檢驗(yàn),他的構(gòu)思簡(jiǎn)明,特別在截尾數(shù)r較大時(shí),計(jì)算簡(jiǎn)便。5.2.2 格列堅(jiān)科檢驗(yàn)例5.2.2某公司研制新的電子器件,已試生產(chǎn)一批產(chǎn)品,從中隨機(jī)抽取376只進(jìn)行壽命試驗(yàn),約定有5%器件失效就停止試驗(yàn),得一個(gè)截尾樣本。試問(wèn)這些數(shù)據(jù)能否說(shuō)明該器件壽命(單位:小時(shí))服從指數(shù)分布。5.2.2 格列堅(jiān)科檢驗(yàn)5.58.51011.515253244454867.570951091161601781965.3 柯莫哥洛夫檢驗(yàn)柯莫哥洛夫獲得的兩個(gè)重要結(jié)果定理5.3.1設(shè)理論分布F0(x

16、)是連續(xù)分布函數(shù),則在原假設(shè)H0為真時(shí):P(Dn+ )= （5.3.4）其中 f(y1,yn)= 例5.3.1問(wèn)在水平0.10下,是否可以認(rèn)為下列10個(gè)數(shù) 0.034 0.437 0.863 0.964 0.336 0.469 0.637 0.623 0.804 0.261是來(lái)自于(0,1)區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)數(shù)。5.4 2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)是著名英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家老皮爾遜(K.Pearson,18571936年)于1900年結(jié)合檢驗(yàn)分類(lèi)數(shù)據(jù)的需要而提出的,然后又用于分布的擬合檢驗(yàn)與列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)上去,這些將在這一節(jié)內(nèi)逐一敘述。2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)又簡(jiǎn)稱(chēng)2檢驗(yàn),但它與第4章中的正態(tài)方差2的2檢

17、驗(yàn)是不同的,雖然它們都是用2分布去確定各自的拒絕域,但所用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是不同的,在正態(tài)方差檢驗(yàn)中主要用樣本方差s2構(gòu)成檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,在這里將主要用觀察頻數(shù)Oi與期望頻數(shù)Ei之差的平方(Oi-Ei)2構(gòu)成檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。5.4.1總體可分為有限類(lèi),但其分布不含未知參數(shù)顯然O1+O2+O3+O4=n。由于隨機(jī)性的存在,諸觀察數(shù)Oi不會(huì)恰好呈9 3 3 1的比例,因此就需要根據(jù)這些觀察數(shù)據(jù)對(duì)孟德?tīng)柕倪z傳學(xué)說(shuō)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn),孟德?tīng)柕膶?shí)踐向統(tǒng)計(jì)學(xué)家提出一個(gè)很有意義的問(wèn)題:一組實(shí)際數(shù)據(jù)與一個(gè)給定的多項(xiàng)分布的擬合程度。老皮爾遜研究了這個(gè)問(wèn)題,提出了2擬合優(yōu)度檢驗(yàn),解決了這類(lèi)問(wèn)題。后經(jīng)英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)希爾(R.A.Fi

18、sher,18901962年)推廣,把這個(gè)檢驗(yàn)更趨完善,就這樣統(tǒng)計(jì)學(xué)在實(shí)踐的基礎(chǔ)上逐漸得到發(fā)展,開(kāi)創(chuàng)了假設(shè)檢驗(yàn)的理論與實(shí)踐。5.4.1總體可分為有限類(lèi),但其分布不含未知參數(shù)上述分類(lèi)數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)問(wèn)題的一般提法如下。設(shè)總體X可以分為r類(lèi),記為A1,A2,Ar,如今要檢驗(yàn)的假設(shè)為:H0:P(Ai)=pi,i=1,2,r(5.4.1)其中各pi已知,且pi0, pi=1?，F(xiàn)對(duì)總體作了n次觀察,各類(lèi)出現(xiàn)的觀察頻數(shù)分別記為O1,O2,Or,且 Oi=n5.4.1總體可分為有限類(lèi),但其分布不含未知參數(shù)ri 1ri 1若H0為真,則各概率pi與頻率Oi/n應(yīng)相差不大,或各觀察頻數(shù)Oi對(duì)期望頻數(shù)Ei=npi的偏差

19、(Oi-Ei)不大。據(jù)此想法,英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家老皮爾遜提出了一個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 2= (5.4.2)其中取偏差平方是為了把偏差積累起來(lái),每項(xiàng)除以Ei是要求在期望頻數(shù)Ei較小時(shí),偏差平方(Oi-Ei)2更小才是合理的。5.4.1總體可分為有限類(lèi),但其分布不含未知參數(shù)riiEiiEO12定理5.4.1設(shè)某隨機(jī)試驗(yàn)有r個(gè)互不相容事件A1,A2,Ar之一發(fā)生,且pi=P(Ai)(i=1,2,r), pi=1。又設(shè)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件Ai的觀察頻數(shù)為Oi(i=1,2,r), Oi=n,若記事件Ai的期望頻數(shù)為Ei=npi,則 2=在n時(shí)的極限分布是自由度為r-1的2分布。 5.4.1總體可分為有限類(lèi),但其分

20、布不含未知參數(shù)ri 1ri 1riiEiiEO12由中心極限定理,上式最后的括號(hào)里應(yīng)為漸近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的變量,其平方為自由度是1的卡方變量,這就給出了r=2時(shí)的定理的證明。從2統(tǒng)計(jì)量(5.4.2)的結(jié)構(gòu)看,當(dāng)H0為真時(shí),和式中每一項(xiàng)的分子(Oi-Ei)2相對(duì)Ei都不應(yīng)太大,從而總和也不會(huì)太大。若2過(guò)大,人們就會(huì)認(rèn)為原假設(shè)H0不真?；诖讼敕?檢驗(yàn)的拒絕域應(yīng)有如下形式:W=2c(5.4.3)對(duì)于給定的顯著性水平,由分布2(r-1)可定出c= (r-1)。5.4.1總體可分為有限類(lèi),但其分布不含未知參數(shù)21 5.4.1總體可分為有限類(lèi),但其分布不含未知參數(shù)5.4.1總體可分為有限類(lèi),但其分布不含未

21、知參數(shù)412iiEiiEO21 295. 0例5.4.2在股票投資中有一個(gè)流行的說(shuō)法:盈利、持平和虧損的比例為1 2 7。2003年2月8日上海青年報(bào)第16版上發(fā)表了一個(gè)調(diào)查數(shù)據(jù),在1270位被調(diào)查的股民中盈利者273人,持平者240人,虧損者757人。這些調(diào)查數(shù)據(jù)能否認(rèn)可流行的說(shuō)法:盈 平 虧=1 2 7?5.4.1總體可分為有限類(lèi),但其分布不含未知參數(shù)對(duì)“擬合優(yōu)度”的一些說(shuō)明：“擬合優(yōu)度”是什么?簡(jiǎn)單的回答是:分布檢驗(yàn)中的p值就是“擬合優(yōu)度”。在分布檢驗(yàn)中常要問(wèn):(1)實(shí)際數(shù)據(jù)與理論分布是否符合?(2)若符合,符合程度如何?在分布檢驗(yàn)中對(duì)原假設(shè)H0(如式(5.4.1)所示)作判斷,只用“拒

22、絕”與“接受”(即非此即彼)作回答常顯得不夠,能否再提供一個(gè)(介于01之間的)數(shù)字作為符合程度的數(shù)量指標(biāo)。老皮爾遜研究了這個(gè)問(wèn)題,找到了這個(gè)數(shù)量指標(biāo),并稱(chēng)之為“擬合優(yōu)度”(goodness of fit)。5.4.1總體可分為有限類(lèi),但其分布不含未知參數(shù)擬合優(yōu)度(即p值)越大,表示實(shí)際數(shù)據(jù)與理論分布擬合得越好,該理論分布就獲得更多實(shí)際數(shù)據(jù)支持。而顯著性水平只是人們?cè)O(shè)置的一個(gè)門(mén)檻,當(dāng)擬合優(yōu)度低于時(shí)拒絕H0,擬合優(yōu)度越低,人們放棄H0越放心;當(dāng)擬合優(yōu)度高于時(shí),接受H0,若取=0.05,當(dāng)p=0.06或p=0.90時(shí)雖都接受H0,但后者使數(shù)據(jù)對(duì)理論分布的支持比前者強(qiáng)得多,前者勉強(qiáng)過(guò)關(guān),后者接近完美。5.4.1總體可分為有限類(lèi),但其分布不含未知參數(shù)5.4.2總體可分為有限類(lèi),但其分布含有未知參數(shù)例5.4.3在某交叉路口記錄每15秒鐘內(nèi)通過(guò)的汽車(chē)數(shù)量,共觀察了25分鐘,得100個(gè)記錄,經(jīng)整理得表5.4.4。在=0.05水平上檢驗(yàn)如下假設(shè):通過(guò)該交叉路口的汽車(chē)數(shù)量服從泊松分布P()。 表5.4.415秒內(nèi)通過(guò)某交叉路口的汽車(chē)數(shù)通過(guò)的汽通過(guò)的汽車(chē)數(shù)量車(chē)數(shù)量01234567891011頻數(shù)頻數(shù)Oi4215172611982312定理5.4.2設(shè)某個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有r個(gè)互不相容事件A1,A2,Ar之一發(fā)生。記p