專題22 導數(shù)解決函數(shù)零點交點和方程根的問題(解析版)

1、專題22 導數(shù)解決函數(shù)零點交點和方程根的問題一、單選題 1已知關(guān)于的方程有三個不等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】B【分析】參變分離后可根據(jù)直線與函數(shù)的圖象有3個不同的交點可得實數(shù)的取值范圍.【詳解】問題等價于又三個不等的實數(shù)根，令，當時，當時，當時，所以在和上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，又，且極小值為，的圖象如圖所示：因此與的圖象有三個不同的交點時，.故選：B.【點睛】方法點睛：對于導數(shù)背景下的函數(shù)零點問題，我們可以針對不同的題型采取不同的策略：（1）填空題或選擇題類：可以采用參變分離的方法把參數(shù)的范圍問題歸結(jié)為動直線與不含參數(shù)的函數(shù)的圖象的交點問題，后者可以利用導數(shù)來刻畫圖象

2、；（2）解題類：一般不可以利用參變分離的方法來處理，因為函數(shù)的圖象可能有漸近線，一般地利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并結(jié)合零點存在定理來判斷.2已知函數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）A是奇函數(shù)B若，則是增函數(shù)C當時，函數(shù)恰有三個零點D當時，函數(shù)恰有兩個極值點【答案】C【分析】對A,根據(jù)奇函數(shù)的定義判定即可. 由條件可得，則，,所以在上單調(diào)遞增,且,所以當時，當時，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則,將的值代入分別計算分析，可判斷選項B，C，D【詳解】對A, 的定義域為,且.故A正確.由條件可得，則，所以在上單調(diào)遞增,且所以當時，當時，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則對B, 當時，所以是增函數(shù)，故B正確.

3、對C,當時，由上可知, ，所以是增函數(shù),故不可能有3個零點.故C錯誤.對D,當時，由上可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則，所以存在，使得，成立則在上，在上，在上，.所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在的單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.所以函數(shù)恰有兩個極值點，故D正確.故選：C【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性從而得出函數(shù)的零點和極值情況，解答本題的關(guān)鍵是對原函數(shù)的單調(diào)性分析，由條件可得，則，所以在上單調(diào)遞增,且，所以當時，當時，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則，經(jīng)過多次求導分析出單調(diào)性，屬于中檔題.3已知函數(shù)（）與（）的圖象有且僅有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】A【分析】將問

4、題轉(zhuǎn)化為的圖象與有兩個公共點，即有兩解，再構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性和取值分析的取值即可得到結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以兩個圖象的公共點在上，所以的圖象與有兩個公共點，即有兩解，即有兩解，即有兩解，令，所以，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，大致圖象如下圖所示：所以，所以，故選：A.【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)圖象的交點個數(shù)、方程根的數(shù)目、函數(shù)的零點個數(shù)之間的關(guān)系：已知，則有的零點個數(shù)方程根的數(shù)目函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點個數(shù).4已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）A存在、，函數(shù)沒有零點B任意，存在，函數(shù)恰有個零點C任意，存在，函數(shù)恰有個零點D任意，存在，函數(shù)恰有個零點【答案】B【分析】利用

5、零點存在定理可判斷A選項的正誤；分析出，討論當時，利用函數(shù)的單調(diào)性與零點存在定理可判斷B選項的正誤；由B選項可判斷C選項的正誤；令，可知當函數(shù)恰有個零點，函數(shù)必有兩個極值點，利用導數(shù)求得的極大值為負數(shù)，進而可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，當時，當時，時，所以，對任意的、，函數(shù)必有零點，A選項錯誤；對于B選項，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，存在使得.當時，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當時，此時函數(shù)單調(diào)遞增.所以，.當時，對任意的，此時函數(shù)單調(diào)遞增，由A選項可知，函數(shù)有唯一的零點，B選項正確；對于C選項，任意，由B選項可知，當時，對任意的，此時函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)至多有個零點，C選項錯誤；對于D選項，令

6、，則函數(shù)的零點個數(shù)等價于直線與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)，若函數(shù)有三個零點，則函數(shù)必有兩個極值點、，且滿足，由題意可得，且，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，當或時，當時，.所以，令，則，由B選項可知，令，可得使得，則，可得.當時，此時函數(shù)單調(diào)遞增；當時，此時函數(shù)單調(diào)遞減.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，所以，.所以，因此，當時，不存在使得函數(shù)有個零點，D選項錯誤.故選：B.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)

7、化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.5函數(shù)有且只有一個零點，則的值為（ ）ABC2D【答案】B【分析】分離參數(shù)有一個交點，設(shè)，利用導數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間，若有且只有1個零點，所以，代入函數(shù)求解即可.【詳解】函數(shù)有且只有一個零點，有一個交點，設(shè)，則，則，所以單調(diào)遞增.而，所以存在使得，即，且當時，；當時，.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.又因為且時，時，且有且只有1個零點，所以.由（）可得，即，兩邊同時取自然對數(shù)得，整理得；又，所以，所以，故選：B.【點睛

8、】關(guān)鍵點點睛：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的零點，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求的單調(diào)區(qū)間，考查了轉(zhuǎn)化為與劃歸的思想.6已知函數(shù)，若函數(shù)與函數(shù)的圖象有且僅有三個交點，則的取值范圍是（ ）A）BCD【答案】C【分析】的圖象是直線，的圖象是的圖象及關(guān)于軸對稱的圖象，直線與的圖象要有三個交點，可求出直線與的圖象相切時的斜率，然后結(jié)合圖象利用分類討論思想可得結(jié)論【詳解】易知函數(shù)的圖象是過定點，斜率為的直線，設(shè)為；利用偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱的性質(zhì)，作出的圖象如圖所示（左右兩支），其中，結(jié)合圖形易知函數(shù)與函數(shù)的圖象有且僅有三個交點時，直線與左支有兩個交點或與右支有兩個交點.當時，直線與圖象的右支相切于點為臨界狀態(tài)，且

9、.設(shè)，則有，解得，所以；當時，由于函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，所以.故選：C.【點睛】方法點睛：本題考查直線與函數(shù)圖象交點個數(shù)問題，解題方法是數(shù)形結(jié)合思想，即作出函數(shù)圖象與直線，觀察它們交點個數(shù)，求出臨界點的直線斜率，然后得出結(jié)論7已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【分析】函數(shù)有兩個不同的零點等價于方程有兩個不同的根，即可得答案；【詳解】函數(shù)有兩個不同的零點等價于方程有兩個不同的根，令，在遞增，在遞減，且令，令，則，當，在遞增，在遞減，且， 所以直線與有兩個交點，可得的取值范圍為：.故選：D.【點睛】利用參變?nèi)蛛x，再結(jié)合導數(shù)研究函數(shù)的圖象特征，從而得到參數(shù)

10、的取值范圍，是常用的方法；本題若是采用半分離，圖象不好作出，容易犯錯.8已知函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD【答案】D【分析】求出的導數(shù)，可得時函數(shù)單調(diào)遞增，不滿足題意，時，利用可得.【詳解】可知的定義域為，當時，恒成立，單調(diào)遞增，則不可能有兩個零點；當時，時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減，則在處取得極大值即最大值，要滿足有兩個零點，則，解得，綜上，.故選：D.【點睛】方法點睛：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點，根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)，一般如下步驟：（1）求出函數(shù)的定義域，求出函數(shù)的導數(shù)；（2）先討論參數(shù)范圍（以明顯使得導數(shù)為正或負為參數(shù)界點討論）；（3）利用導數(shù)正負討論函數(shù)單調(diào)性，得出極

11、值或最值；（4）以極值或最值列出滿足條件的等式或不等式，即可求出.9已知函數(shù)，若恰有3個互不相同的實數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD或【答案】D【分析】根據(jù)題意，令，得到函數(shù)與直線共有三個不同的交點；根據(jù)導數(shù)的方法，分別判斷和時，函數(shù)的單調(diào)性，以及最值，結(jié)合題中條件，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，令，由題意，函數(shù)與直線共有三個不同的交點；當時，則，由解得；所以時，即函數(shù)單調(diào)遞減；時，即函數(shù)單調(diào)遞增；所以，又，所以與直線有且僅有兩個不同的交點；當時，則，由得，所以當時，則函數(shù)單調(diào)遞增；當時，則函數(shù)單調(diào)遞減；所以，又當時，；當時，；當時，所以為使與直線只有一個交點，只需或，即或.故選：D.

12、【點睛】本題主要考查由方程根的個數(shù)求參數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點個數(shù)問題求解即可，屬于?？碱}型.10已知函數(shù)恰有三個零點，則（ ）ABCD【答案】A【分析】由函數(shù)式確定函數(shù)有一個零點1，然后變形為：兩個零點是方程的兩根確定的單調(diào)性，同時求出時，的極限為，從而作出函數(shù)的圖象，作直線，由圖象可得時直線與的圖象才可能有兩交點【詳解】，顯然是函數(shù)的一個零點，因此另兩個零點是方程的兩根即函數(shù)且的圖象與直線有兩個交點，直線過點，設(shè)，則，時，遞減，時，遞增，且時，在和上都是增函數(shù)，又，因此定義，這樣新函數(shù)在上是增函數(shù)，作出函數(shù)的圖象，作直線，顯然只有，它們才可能有兩個交點故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題關(guān)鍵是把

13、零點轉(zhuǎn)化為方程的解，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線的交點，通過導數(shù)研究出新函數(shù)的性質(zhì)，作出大致圖象，可得直線與函數(shù)圖象交點個數(shù)情況，從而得解11已知函數(shù)有兩個零點，則的取值范圍（ ）ABCD【答案】D【分析】求導，分類討論，當時，函數(shù)在上為增函數(shù)，最多只有一個零點，不符合題意；當時，在上遞增，在上遞減，取得最大值，由解得結(jié)果即可得解.【詳解】的定義域為，當時，函數(shù)在上為增函數(shù)，最多只有一個零點，不符合題意；當時，由得，由得，所以在上遞增，在上遞減，所以當時，取得最大值，因為趨近于時，趨近于負無窮大，趨近于正無窮大時，趨近于負無窮大，所以要使有兩個零點，只需，因為，所以，所以.故選：D【點睛】方法點睛：

14、已知函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的極值與最值，根據(jù)函數(shù)變化趨勢作出大致圖象，通過圖象直觀分析解決問題.12若函數(shù)恰有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)題意，得到方程有兩不等實根，構(gòu)造函數(shù)，對其求導，判定函數(shù)單調(diào)性，求出極值，畫出函數(shù)大致圖像，結(jié)合圖像，即可得出結(jié)果.【詳解】顯然，不是函數(shù)的零點，令，得，構(gòu)造函數(shù)，則，令得到，令得到且，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以函數(shù)有極小值；畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖像可知，當時，直線與的圖象不可能有兩個交點，當，只需，的圖象與直線即有兩個不同的

15、交點，即函數(shù)恰有兩個不同的零點，的取值范圍為.故選：B.【點睛】本題主要考查導數(shù)的方法研究函數(shù)的零點，利用數(shù)形結(jié)合的方法即可求解，屬于?？碱}型.二、多選題13函數(shù)在上有唯一零點，則（ ）ABCD【答案】ABC【分析】由，可得出，令，利用導數(shù)得出函數(shù)在上為增函數(shù)，再令，其中，利用導數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，可求得，可判斷ACD選項的正誤，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項的正誤.【詳解】由，可得，即，令，其中，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，令，其中，.當時，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當時，此時函數(shù)單調(diào)遞增.所以，.若函數(shù)在上有唯一零點，則.所以，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，即，所以，ABC選項正確，D選項錯誤

16、.故選：ABC.【點睛】利用導數(shù)求解函數(shù)的零點個數(shù)問題，一般利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)，并借助函數(shù)圖象，根據(jù)零點或圖象的交點情況，建立含參數(shù)的方程（或不等式）組求解，實現(xiàn)形與數(shù)的和諧統(tǒng)一.14已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論，其中正確的是（ ）A曲線在處的切線方程為B恰有2個零點C既有最大值，又有最小值D若且，則【答案】BD【分析】本題首先可根據(jù)以及判斷出A錯誤，然后根據(jù)當時的函數(shù)單調(diào)性、當時的函數(shù)單調(diào)性、以及判斷出B正確和C錯誤，最后根據(jù)得出，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可證得，D正確.【詳解】函數(shù)的定義域為，當時，；當時，A項：，則曲線在處的切線方程為，即，A錯誤；B項：當時，函數(shù)是減函數(shù)，當時，

17、函數(shù)是減函數(shù)，因為，所以函數(shù)恰有2個零點，B正確；C項：由函數(shù)的單調(diào)性易知，C錯誤；D項：當、時，因為，所以，因為在上為減函數(shù)，所以，同理可證得當、時命題也成立，D正確，故選：BD.【點睛】本題考查函數(shù)在某點處的切線求法以及函數(shù)單調(diào)性的應用，考查根據(jù)導函數(shù)求函數(shù)在某點處的切線以及函數(shù)單調(diào)性，導函數(shù)值即切線斜率，若導函數(shù)值大于，則函數(shù)是增函數(shù)，若導函數(shù)值小于，則函數(shù)是減函數(shù)，考查函數(shù)方程思想，考查運算能力，是難題.15已知函數(shù)，則下列說法正確的有（ ）A直線y=0為曲線y=f(x)的一條切線Bf(x)的極值點個數(shù)為3Cf(x)的零點個數(shù)為4D若f()=f()()，則+=0【答案】ABD【分析】求

18、導，令，即，令，在同一坐標系中作出兩函數(shù)的圖像，得出導函數(shù)取得正負的區(qū)間，從而可得出原函數(shù)的單調(diào)性，再求出，可作出函數(shù)的圖象，從而可得出選項.【詳解】因為，所以，令，即，令，在同一坐標系中作出兩函數(shù)的圖像，由圖像得：當和時，所以此時，所以在和 上單調(diào)遞增；當和時，所以此時，所以在和上單調(diào)遞減；且，作出函數(shù)的圖象如下圖所示： 對于A選項：根據(jù)函數(shù)的圖象，知A選項正確；對于B：由圖象得有3個不同的解，有3個極值點，故B正確；對于C：當或時，所以函數(shù)有2個零點，故C不正確；對于D：因為，所以函數(shù)是偶函數(shù)，所以函數(shù)關(guān)于y軸對稱，若，則，所以，即，故D正確.故選：ABD.【點睛】本題考查運用導函數(shù)求函數(shù)

19、的切線方程，運用導函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，零點，關(guān)鍵在于由導函數(shù)的正負，得出原函數(shù)所對應的單調(diào)性，從而得出原函數(shù)的圖象趨勢，運用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中檔題.16已知函數(shù)有兩個零點、，且，則下列結(jié)論不正確的是（ ）AB的值隨的增大而減小CD【答案】ABD【分析】由得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可判斷ACD選項的正誤；任取、，且，設(shè)，其中；設(shè)，其中，利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合不等式的基本性質(zhì)得出，可判斷B選項的正誤.【詳解】令，可得，構(gòu)造函數(shù)，定義域為，.當時， ，此時函數(shù)單調(diào)遞增；當時，此時函數(shù)單調(diào)遞減.所以，如下圖所示：由圖象可知，當時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交

20、點，A選項正確；當時，由圖象可得，C選項錯誤，D選項正確；任取、，且，設(shè)，其中；設(shè)，其中.由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，；函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，.由不等式的基本性質(zhì)可得，則.所以，的值隨的增大而減小，B選項正確.故選：ABD.【點睛】在利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題個數(shù)中，可轉(zhuǎn)化為判定有兩個實根時實數(shù)應滿足的條件，并注意的單調(diào)性、奇偶性、最值的靈活應用另外還可作出函數(shù)的大致圖象，直觀判定曲線交點個數(shù)，但應注意嚴謹性，進行必要的論證三、解答題17已知函數(shù)，（1）討論函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）求函數(shù)在上的零點個數(shù)【答案】（1）函數(shù)在上的單調(diào)遞減；（2）有且只有一個零點【分析】（1）由題設(shè)得，求導，可

21、判斷，故函數(shù)在上的單調(diào)遞減（2）由題設(shè)，求，可判斷，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，可知函數(shù)在上有且只有一個零點【詳解】（1），則當時， ，即，故函數(shù)在上的單調(diào)遞減（2），則，時，又，且，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，因此，函數(shù)在上有且只有一個零點【點睛】方法點睛：本題考查判斷函數(shù)單調(diào)性，及求函數(shù)零點個數(shù)，求函數(shù)零點個數(shù)常用的方法：（1）方程法：令，如果能求出解，有幾個解就有幾個零點（2）零點存在性定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數(shù)有多少個零點或零點值所具有的性質(zhì)（3）數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖像的交點個數(shù)

22、問題先畫出兩個函數(shù)的圖像，看其交點的個數(shù)，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點18已知函數(shù)（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)只有1個零點，求實數(shù)的取值范圍【答案】（1）的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間；（2）.【分析】（1）由得到，求得，然后由求解.（2） 由得到，令，將問題轉(zhuǎn)化為與函數(shù)的圖象有且只有一個交點，利用導數(shù)法畫出的大致圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【詳解】（1）的定義域是，當時，易知單調(diào)遞增，且當時，所以當時，當時，因此的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間（2）由，得，令，若函數(shù)只有一個零點，則直線與函數(shù)的圖象有且只有一個交點，令，則，所以在上單調(diào)遞減，易知，所以存在，使

23、得，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減易知當時，；當時，作出直線與函數(shù)的大致圖象如圖所示，由圖可知，若，則直線與函數(shù)的圖象有且只有一個交點若，則當直線與函數(shù)的圖象相切時，有且只有一個交點，設(shè)切點為，則，得，故實數(shù)的取值范圍是【點睛】方法點睛：函數(shù)零點或函數(shù)圖象交點問題的求解，一般利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)，并借助函數(shù)圖象，根據(jù)零點或圖象的交點情況，建立含參數(shù)的方程(或不等式)組求解，實現(xiàn)形與數(shù)的和諧統(tǒng)一19已知函數(shù)，（1）求的最值；（2）若，求關(guān)于的方程（）的實數(shù)根的個數(shù)【答案】（1）最小值為，無最大值；（2）當時，關(guān)于的方程（）的實數(shù)根的個數(shù)為2；當時，關(guān)于的方程（）的實數(shù)根的個數(shù)為1

24、【分析】（1）求出得出的單調(diào)區(qū)間，從而得出其最值.（2）將問題轉(zhuǎn)化為（）的圖象與射線（）的交點個數(shù)，求出得出的單調(diào)區(qū)間，分析其交點情況，得出答案.【詳解】（1）因為（），所以令，解得，當時，；當時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增故，當 時，所以的最小值為，無最大值（2）因為（），所以（），關(guān)于的方程（）的實數(shù)根的個數(shù)等價于函數(shù)（）的圖象與射線（）的交點個數(shù)因為（），令（），則，所以在上單調(diào)遞增，又，故存在唯一的，使得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，因為當時，所以當時，因為，所以，當時，函數(shù)的圖象與射線（）有兩個交點，當時，函數(shù)的圖象與射線（）有一個交點綜上，當時，關(guān)于的方程（）的實數(shù)

25、根的個數(shù)為2；當時，關(guān)于的方程（）的實數(shù)根的個數(shù)為1【點睛】方法點睛：根據(jù)方程的根的個數(shù)（或零點個數(shù)）求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解20已知函數(shù)（1）若是奇函數(shù)，且有三個零點，求的取值范圍；（2）若在處有極大值，求當時的值域【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先由函數(shù)奇偶性，得到，得出，對其求導，分別討論和兩種情況，根據(jù)導數(shù)的方法判定函數(shù)單調(diào)性，

26、結(jié)合零點個數(shù)，即可求出結(jié)果；（2）先對函數(shù)求導，根據(jù)極大值求出，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，即可求出值域.【詳解】（1）是定義域為的奇函數(shù)，所以，且，當時，此時在上單調(diào)遞減，在上只有一個零點，不合題意當時，解得，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上有三個零點，且，即，即，而恒成立，所以實數(shù)的取值范圍為（2），由已知可得，且，解得或當，時，令，即，解得，令，即，解得或，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以是的極小值點，與題意不符當，時，令，即，解得；令，即，解得或，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以是的極大值點，符合題意，故，又，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又，所以在上的值域為

27、【點睛】思路點睛：導數(shù)的方法求函數(shù)零點的一般步驟：先對函數(shù)求導，由導數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間，根據(jù)函數(shù)極值的定義，求出函數(shù)的的極值，再根據(jù)函數(shù)函數(shù)的零點個數(shù)，確定極值的取值情況，進而可得出結(jié)果.21設(shè)函數(shù)（1）當時，討論在內(nèi)的單調(diào)性；（2）當時，證明：有且僅有兩個零點【答案】（1）在或上單調(diào)遞減，在或上單調(diào)遞增；（2）證明見解析.【分析】（1）先求導，根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出單調(diào)區(qū)間；（2）先判斷出函數(shù)為偶函數(shù)，則問題轉(zhuǎn)化為在有且只有一個零點，再利用導數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及函數(shù)零點存在定理即可求出【詳解】（1）當時，令，解得或，當時，解得或，當時，解得或，在，

28、或，上單調(diào)遞減，在或上單調(diào)遞增；（2）的定義域為，為偶函數(shù)，有且僅有兩個零點等價于在有且只有一個零點，當時，恒成立，在上單調(diào)遞減，在上有且只有一個零點，當時，令，即，可知存在唯一，使得，當或時，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，由，可得，當，在上有且只有一個零點，綜上所述，當時，有且僅有兩個零點【點睛】方法點睛：1、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準確判定導數(shù)的符號，當f(x)含參數(shù)時，需依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進行分類討論；若可導函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為f(x)0(或f(x)0)恒成立問題，從而構(gòu)建不等式，要注意“”是否可以取到2、用導數(shù)研

29、究函數(shù)的零點，一方面用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點存在性定理判斷；另一方面，也可將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合來解決.22已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）當時，求證：函數(shù)在上恰有一個零點；（2）若函數(shù)有兩個極值點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）法一：利用導數(shù)的性質(zhì)進行求證即可；法二：利用函數(shù)的性質(zhì)直接判斷即可求證；（2）對求導，得，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)的性質(zhì)求出參數(shù)的范圍即可【詳解】（1）法一：易得：，令，令，在上單調(diào)遞減，且；在上單調(diào)遞增且有，故命題獲證.法二：易得：，恒成立，有唯一零點.（2）易得，令得，在上單調(diào)遞減且；在上單調(diào)遞增

30、且有，函數(shù)有兩個極值點，.【點睛】關(guān)鍵點睛：解題的關(guān)鍵在于求導得到后，構(gòu)造函數(shù)，并通過對通過求導得到奇函數(shù)的極值點，進而求出的范圍，難度屬于中檔題23已知函數(shù)，a為非零常數(shù).（1）求單調(diào)遞減區(qū)間；（2）討論方程的根的個數(shù).【答案】（1）當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）當時，原方程有且僅有一個解；當時，原方程有兩個解.【分析】（1）求導，對分類討論，利用可解得結(jié)果；（2）轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象的交點的個數(shù)，利用導數(shù)可求得結(jié)果.【詳解】（1），由得，若時，由得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；若時，由得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述，當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）

31、因為方程等價于，令，所以方程的根的個數(shù)等于函數(shù)與的圖象的交點的個數(shù)，因為，由，得，當，時，在上單調(diào)遞增；當時，所以在，上單調(diào)遞減，又，所以當時，；當時，；當時，. 所以，當時，原方程有且僅有一個解；當時，原方程有兩個解.【點睛】方法點睛：討論函數(shù)零點或方程根的個數(shù)的常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，可得方程根的個數(shù)；（2）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解24已知函數(shù)，（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)無零點，求實數(shù)的取值范圍【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；（2）【分析】（1

32、）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的正負即可判斷單調(diào)區(qū)間；（2）可轉(zhuǎn)化為在無零點，可得，討論的范圍結(jié)合的單調(diào)性和零點存在性定理求解.【詳解】（1）依題意，令，解得，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，由，得，單調(diào)減區(qū)間是（2）原方程可化為，即令，則是增函數(shù)，時， ()當時，恒成立在上是增函數(shù)，故原方程在內(nèi)無零點()當時，由得，時，當時，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增又，在區(qū)間上恒小于0，下面討論的正負；令，則，令是的導函數(shù)，則，在上增函數(shù)即，又由零點存在性定理知，原方程在上有零點即在上有零點綜上所述，所求實數(shù)的取值范圍是【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查利用導數(shù)討論函數(shù)的零點問題，解題的關(guān)鍵是將題轉(zhuǎn)化為在無零點，可以

33、通過導數(shù)研究的單調(diào)性，注意討論參數(shù)的范圍結(jié)合零點存在性定理進行判斷.25設(shè)為實數(shù)，已知函數(shù).（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，若有兩個不同的零點，求的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.【分析】（1）由得，對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的方法，即可求出單調(diào)區(qū)間；（2）先對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的方法判定函數(shù)單調(diào)性，得到，為使有兩個不同的零點，首先，解得，再判斷和時，函數(shù)都有零點，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）當時，則，令，則，所以當時，所以單調(diào)遞減；當時，所以單調(diào)遞增；即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）因為，所以，因為，由得；由得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；因

34、此，要使有兩個不同的零點，則首先，即，所以，解得；當時，令，則，由得；由得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因此在上單調(diào)遞增，因此，即在上恒成立，所以當時，此時；當時，令，可得；取且知，故滿足在和各有一個零點；綜上，的取值范圍為.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：1.直接法：先對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)畫出圖像，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與軸交點問題，突出導數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的思想；2.構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)的圖像的交點問題；3.分離參變量法：即由分離參變量，得，研究直線與的圖像

35、的交點問題.26設(shè)函數(shù).(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)已知函數(shù)存在兩個不同零點，求滿足條件的最小正整數(shù)的值.【答案】（1）；（2）3.【分析】（1）由得，利用參變分離法得到，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)分析實數(shù)的取值范圍（2）求導得到，對進行分類討論，然后，利用數(shù)形結(jié)合進行分析，即可求出最小正整數(shù)的值【詳解】(1)由得又所以所以令所以所以函數(shù)在上單調(diào)遞增所以所以，即實數(shù)的取值范圍為(2)因為所以若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)之多一個零點所以若函數(shù)有兩個兩點，則當時，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增得的最小值，因此函數(shù)有兩個零點則又所以令，顯然在上為增函數(shù)且，所以存在，當時，當時，所以滿足條件的最小正整

36、數(shù)又當時，所以時，有兩個零點綜上所述，滿足條件的最小正整數(shù)的值為【點睛】關(guān)鍵點睛：解題的關(guān)鍵在于：（1）利用參變分離法，得到，然后構(gòu)造函數(shù)，求導進行數(shù)形結(jié)合的分析求解；（2）對求導，然后對分類為：和，尤其在時，得到，進而構(gòu)造函數(shù)，利用零點存在定理進行數(shù)形結(jié)合的分析來求解，本題難度屬于困難27若函數(shù)在時，函數(shù)值的取值區(qū)間恰為，則稱為的一個“倍倒域區(qū)間”.定義在上的奇函數(shù)，當時.（1）求的解析式；（2）求在內(nèi)的“倍倒域區(qū)間”； （3）若在定義域內(nèi)存在“ 倍倒域區(qū)間”，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）當時，,求出，再根據(jù)求出可得解；（2）設(shè)，根據(jù)在上單調(diào)遞減，得解得結(jié)果即

37、可得解；（3）設(shè)在定義域內(nèi)的倍倒域區(qū)間為，則或，當時，根據(jù)在上的最大值推出，根據(jù)在為遞減函數(shù)可得，可得方程在區(qū)間上有兩個不等的實數(shù)解，再構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)可解得的范圍，同理可求得當時，的范圍.【詳解】（1）因為為定義在上的奇函數(shù)，所以當時，因為，所以，所以.（2）因為在內(nèi)的“倍倒域區(qū)間”，設(shè)，因為在上單調(diào)遞減，所以，整理得，解得，所以在內(nèi)的“倍倒域區(qū)間”為.（3）設(shè)在定義域內(nèi)的倍倒域區(qū)間為，則函數(shù)值的取值區(qū)間為，所以或，當時，因為在上的最大值為，所以，又，所以，因為在上遞減，所以在上遞減，所以，即，所以，所以方程在區(qū)間上有兩個不等的實數(shù)解，令，則，令，得，令，得，所以在上遞減，在上遞增，因為，所

38、以要使方程在區(qū)間上有兩個不等的實數(shù)解，只需，即，解得，所以.同理可得當時，.綜上所述：的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第（3）問中當時，根據(jù)函數(shù)上的最大值和函數(shù)在上函數(shù)值的取值區(qū)間推出是解題關(guān)鍵.28已知函數(shù).（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）對任意，滿足的圖象與直線恒有且僅有一個公共點，求k的取值范圍.【答案】（1）當時，在單調(diào)遞增；當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2）或.【分析】（1）首先求函數(shù)的導數(shù)，分和兩千情況討論導數(shù)的正負，確定函數(shù)的單調(diào)性；（2）由方程，轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用二階導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并分情況討論最小值的正負，并結(jié)合零點存在性定理，確定函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)有唯一解，確定的取值范圍.【詳解】（1）當時，恒有，所以在單調(diào)遞增；當時，令，則，則 ，（舍去），當時，在單調(diào)遞增；當時，在單調(diào)遞減.綜上所述，當時，在單調(diào)遞增；當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）原命題等價于對任意， 有且僅有一解，即； 令 則，令得 所以在上遞減，在上遞增，當時，所以在R上單調(diào)遞增，又當時，所以；當時，所