理學D微積分學基本定理計算PPT學習教案

1、會計學1理學理學D微積分學基本定理計算微積分學基本定理計算第一節(jié)、定積分概念第一節(jié)、定積分概念第三節(jié)、可積條件第三節(jié)、可積條件本章內容：本章內容：第二節(jié)、牛頓第二節(jié)、牛頓-萊布尼茲公式萊布尼茲公式第四節(jié)、定積分的性質第四節(jié)、定積分的性質 第五節(jié)、第五節(jié)、微積分學基本定理微積分學基本定理-定積分計算定積分計算 定積分*第六節(jié)、可積性理論補敘第六節(jié)、可積性理論補敘 第1頁/共38頁二、定積分的換元法二、定積分的換元法 一、變限積分與原函數的存在性一、變限積分與原函數的存在性微積分學基本定理定積分計算（續(xù)）三、定積分的分部積分法三、定積分的分部積分法四、泰勒公式的積分型余項四、泰勒公式的積分型余項

2、第2頁/共38頁)(tfy tbaoy)(xx一、變限函數與原函數的存在性，上可積在設,baf上可導，在,ba)(x則,)(上連續(xù)在若baxf,d)(xattf定理定理1. （2）.,上連續(xù)在ba（1）)(x變上限函數記)(x.,bax而且有).()()(xfdttfxddxxa第3頁/共38頁xaxxattfttfxxxd)(d)()()(證明：證明：, ,baxxxxxxttfd)(,x.,Mm,)(xf.,xxxxxx或)(可積若xf)(連續(xù)若xf（1）.0lim0 x，顯然.,上連續(xù)在ba)(x即第4頁/共38頁, 0, ,xbaxxx且則有xxxxttfxd)(1, )(fxxx)(

3、lim0)(lim0fx).(xf)(x(2) .,xxxxxx或xfttfxxxxxx)(d)()()(證畢證畢.第5頁/共38頁上可導，在,ba)(x則,)(上連續(xù)在若baxf定理定理1. (2) ,d)(xattf)(x.,bax而且有原函數的存在性定理).()()(xfdttfxddxxa第6頁/共38頁上的一個原在是連續(xù)函數設,)()(baxfxF)()(d)(aFbFxxfba證明證明:根據定理 1,)(d)(的一個原函數是xfttfxa故CttfxFxad)()(定理定理2.函數 , 則第7頁/共38頁證明證明:故的一個原函數是,)(d)(xfttfxaCttfxFxad)()(

4、,ax 令因此得, )(aFC )()(d)(aFxFttfxa,bx 再令得)()(d)(aFbFttfba記作)(xFab)(xFabxxfd)(證畢證畢.第8頁/共38頁u 微積分學基本定理u 微積分學基本公式小小 結結牛頓牛頓 萊布尼茲公式萊布尼茲公式原函數存在定理原函數存在定理)()(d)(aFbFxxfba.,d)()(baxttfxxa第9頁/共38頁?d)(dd)(xattfx、2xexxsin的原函數如何表示？兩函數第10頁/共38頁1) 定理 1 證明了連續(xù)函數的原函數是存在的.2) 變限積分求導:bxttfxd)(dd)(xf)(d)(ddxattfx)()(xxf)()

5、(d)(ddxxttfx)()()()(xxfxxf)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx第11頁/共38頁)sin(2cosxex0limxtextd1cos22x解解:原式0limx00 x2e21例例2. 確定常數 a , b , c 的值, 使).0(d)1ln(sinlim20ccttxxaxbx解解:,0sin0 xxax時,0c. 0 b00原式 =)1ln(coslim20 xxaxcxxax20coslim c 0 , 故. 1a又由221cos1xx, 得.21c第12頁/共38頁例例3(1)123)1ln(xtdtt)1ln(23xx(2)321xxtdtxxxx

6、21312232321213xxxx(3) 設函數)(xyy 是由方程xytdtyx022cos所確定求.y解：解：方程兩邊同時對x求導得：) 1)(cos212yxyyyyxyscxyy2)(01)(cos22第13頁/共38頁 .0 xFtdtfxxFx求解解 xtdtfxxF0 xtdtfx0 )(0 xtdtfxxF xtdtf0 xfx第14頁/共38頁 ttf txfxd)()(0,0)(,),0)(xfxf且內連續(xù)在設證明)(xFttf txd)(0ttfxd)(0在),0(內為單調遞增函數 . 證證:)(xF20d)(ttfxttfxfxxd)()(020d)(ttfxttfx

7、fxd)()(0)(tx0.)0)(內為單調增函數，（在xF只要證0)( xF 20d)(ttfxxfx)()( )(xf)0(x第15頁/共38頁定理定理2. （積分第二中值定理）設函數f1）若函數g在 上可積，,ba, 0g在 上單調減，且,ba則存在, ,ba使xxfagxxgxfabad)()(d)()(2）若函數g, 0g在 上單調增，且,ba則存在, ,ba使xxfbgxxgxfbbad)()(d)()(證略！證略！第16頁/共38頁推論推論. 設函數f若函數g在 上可積，,ba在 上單調，,ba則存在, ,ba使xxfagxxgxfabad)()(d)()(xxfbgbd)()(

8、證明：證明：不妨設函數g在 上單調減，令,ba)()()(bgxgxh則h為非負、遞減函數，由定理2-1）知，存在, ,ba使xxfahxxhxfabad)()(d)()(xxfbgagdxbgxgxfabad)()()()()()(即整理即得。第17頁/共38頁定理定理3. 設函數, ,)(baCxf函數)(tx滿足:1), ,)(1Ct 2) 在,上,)(bta;)(,)(batfxxfbadd)()(t)(t證證: 所證等式兩邊被積函數都連續(xù), 因此積分都存在 ,且它們的原函數也存在 .,)()(的一個原函數是設xfxF是的原函數 , 因此有則baxxfd)()()(aFbF)(F)(F

9、tfd)(t)(tF)(tf)(t)(t則第18頁/共38頁f1) 當 , 即區(qū)間換為，時,定理 1 仍成立 .2) 必需注意換元必換限換元必換限 , 原函數中的變量不必代回 .3) 換元公式也可反過來使用 , 即) )(tx令xxfbad)(或配元f)(t)(dt配元不換限tfd)(t)(ttfd)(t)(t4）如果定理條件中只假設為可積函數，但還要求是單調函數，則結論仍然成立。說明說明第19頁/共38頁).0(d022axxaa解解: 令,sintax 則,dcosdttax ;0,0tx時當.,2tax時 原式 =2attad)2cos1 (2202)2sin21(22tta0242a2

10、0ttdcos222xayxoyaS且第20頁/共38頁.d12240 xxx解解: 令, 12 xt則,dd,212ttxtx,0時當x,4時x.3t 原式 =ttttd231212ttd)3(21312)331(213tt 13322; 1t且 第21頁/共38頁21ln11edxxx21ln1) 1(lnexxdxln122e1) 13(2 換元必換限換元必換限不換元則不換限不換元則不換限第22頁/共38頁, ,)(aaCxf設證證:(1) 若, )()(xfxfaaaxxfxxf0d)(2d)(則xxfaad)(2) 若, )()(xfxf0d)(aaxxf則xxfad)(0 xxfa

11、d)(0ttfad)(0 xxfad)(0 xxfxfad )()(0,d)(20 xxfa時)()(xfxf時)()(xfxf,0偶倍奇零偶倍奇零tx令第23頁/共38頁xdxxxI222sin1cos. 1xdxxI222sin1xdxx222sin1cos解解xdxx220sin1cos2)narctan(si2x022xdxxI21. 2解解xdxxI11xdxx21xdx232105225x12) 124(52第24頁/共38頁定理定理4. , ,)(, )(1baCxvxu設則)()(d)()(xvxuxxvxubaabbaxxvxud)()(證證:)()()()( )()(xvx

12、uxvxuxvxu)()(xvxuabxxvxuxxvxubabad)()(d)()(baxxvxud)()()()(xvxuabbaxxvxud)()(上積分兩端在,ba第25頁/共38頁.darcsin210 xx解解: 原式 =xx arcsin021210 xxxd1212)1 (d)1 (212022121xx1221)1 (2x02112231第26頁/共38頁20dcosttn20dcosxxn20dsinxxInn證證: 令20dcosxxn,22143231nnnn n 為偶數, 13254231nnnn n 為奇數,2xt則20dsinxxn022d)(sinttn令,si

13、n1xun,sin xv 則,cossin) 1(2xxnunxvcossincos1xxInn022022dcossin) 1(xxxnn0第27頁/共38頁2022dcossin) 1(xxxnInn2022d)sin1 (sin) 1(xxxnn2) 1(nInnIn) 1( 由此得遞推公式21nnnnII于是mI2mm21212mI122mm而0I20dx,220dsinxxInn201dsinxxI1故所證結論成立 .0I1I22mI2232mm42mI214312mI1222mm32 mI3254第28頁/共38頁06sin xdx206sintdt解：解：26sin xdx第二項

14、用換元積分法：令dtdxtx2則26sin xdx206)2(sindtt206costdt206sinxdx206sin2xdx16522143652一般：一般：0sin xdxn20sin2xdxn第29頁/共38頁)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn1）佩亞諾）佩亞諾(Peano)型型 余項余項)()(0nnxxoxR四、泰勒公式的積分型余項四、泰勒公式的積分型余項2）拉格朗日）拉格朗日(Lagrange)型余項型余項10) 1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR第30頁/共38頁3）積分型余項）積分型余項1

15、)(nIxf內有區(qū)間若階的連續(xù)導數 ,dttxtfnxRnxxnn)( )(!1)(0)1(4）柯西）柯西(Cauchy)型余項型余項1)(nIxf內有區(qū)間若階的連續(xù)導數 ,1000)1()()1)(!1)(nnnnxxxxxfnxR第31頁/共38頁 基本積分法換元積分法分部積分法換元必換限配元不換限邊積邊代限思考與練習思考與練習1.提示提示: 令, txu_d)(sindd0100ttxxx則ttxxd)(sin0100ud0 xu100sinx100sin第32頁/共38頁,0) 1 (,)(1fCtf,lnd)(31xttfx).(ef求解法解法131d)(lnxttfx) 1 ()(

16、3fxf)(3xf,3xu 令3ln)(uuf得uln3131)(ef解法解法2 對已知等式兩邊求導,xxfx132)(3,3xu 令uuf31)(得) 1 (d)()(1fuufefeeuu1131d31思考思考:若改題為xttfxlnd)(313?)(ef提示提示: 兩邊求導, 得331)(xxfexxfef1d)()(得第33頁/共38頁, 1 ,0)(連續(xù)在xf ,3)2(, 1)0(ff且,5)2( f求.d)2(10 xxfx 解解: xxfxd)2(10)2(d2110 xfx10)2(21xfx xxfd)2(102510)2(41xf2(分部積分分部積分)第34頁/共38頁P229 3；4奇數題 ; 5； 6 ;7 第35頁/共38頁1. 證明 證：2dsin)(xxxxx