十一+彎曲變形

1、CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第十一章第十一章 彎曲變形彎曲變形11.1 概概 述述11.3 疊加疊加法求彎曲變形法求彎曲變形11.4 簡單超靜定梁簡單超靜定梁11.5 提高梁彎曲剛度的措施提高梁彎曲剛度的措施11.2 撓曲線近似微分方程撓曲線近似微分方程、積分法求彎曲變形積分法求彎曲變形CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 在工程實踐中，對某些受彎構(gòu)件，除要求具有足夠的強度在工程實踐中，對某些受彎構(gòu)件，除要求具有足夠的強度外，還要求變形不能過大，即要求構(gòu)件有足夠的剛度，以保證外，還要求變形不能過

2、大，即要求構(gòu)件有足夠的剛度，以保證結(jié)構(gòu)或機器正常工作。結(jié)構(gòu)或機器正常工作。11.1 概概 述述一、工程中的彎曲實例一、工程中的彎曲實例CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 橋式起重機的橫梁變形過大橋式起重機的橫梁變形過大, ,則會使小車行走困難，出現(xiàn)則會使小車行走困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象。爬坡現(xiàn)象。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 但但在另外一些情況下，有時卻要求構(gòu)件具有較大的彈性在另外一些情況下，有時卻要求構(gòu)件具有較大的彈性變形，以滿足特定的工作需要。變形，以滿足特定的工作需要。 例如，例如，車輛上的疊

3、板彈簧，要求有足夠大的變形，以緩車輛上的疊板彈簧，要求有足夠大的變形，以緩解車輛受到的沖擊和振動作用。解車輛受到的沖擊和振動作用。P2P2PCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY二、計算彎曲變形的目的二、計算彎曲變形的目的1 1、對梁進行剛度計算；、對梁進行剛度計算；2 2、求解彎曲超靜定梁；、求解彎曲超靜定梁；3 3、為研究壓桿穩(wěn)定問題打好基礎(chǔ)。、為研究壓桿穩(wěn)定問題打好基礎(chǔ)。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY三、彎曲變形的基本概念三、彎曲變形的基本概念橫截面橫截面對稱軸對稱軸軸線軸線縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ

4、面1 1、撓曲線、撓曲線 直梁在發(fā)生對稱彎曲后，其軸線在載荷作用平面直梁在發(fā)生對稱彎曲后，其軸線在載荷作用平面( (即縱即縱向?qū)ΨQ面向?qū)ΨQ面) )內(nèi)由直線變成平面曲線，稱之為內(nèi)由直線變成平面曲線，稱之為 撓曲線撓曲線。數(shù)學(xué)方程：數(shù)學(xué)方程：連續(xù)且光滑。連續(xù)且光滑。特點：特點：y = f (x)，它是坐標，它是坐標 x 的連續(xù)函數(shù)。的連續(xù)函數(shù)。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY2.2.撓度撓度w和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角規(guī)定規(guī)定：向上的撓度為正；：向上的撓度為正； 逆時針的轉(zhuǎn)角為正。逆時針的轉(zhuǎn)角為正。xyxw撓曲線方程：撓曲線方程：( )w w x轉(zhuǎn)角方程：轉(zhuǎn)角方

5、程：ddwxtan-度量彎曲變形的兩個基本量。度量彎曲變形的兩個基本量。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY四、畫撓曲線的大致形狀四、畫撓曲線的大致形狀1 1、考慮支座的約束特點、考慮支座的約束特點固定端：固定端：w = 0,= 0, = 0= 0鉸支座：鉸支座：w A= 0,= 0,wB = 0= 0CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY2 2、考慮彎矩對撓曲線凹凸性的影響、考慮彎矩對撓曲線凹凸性的影響彎矩為正的梁段：凹曲線彎矩為正的梁段：凹曲線彎矩為負的梁段：凸曲線彎矩為負的梁段：凸曲線彎矩為彎矩為

6、O O的梁段：直線的梁段：直線彎矩為彎矩為 O O的點：的點： 拐點拐點AB2PPxMCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYP2PL2PL2PLMxMx22qa例：例：qqa22qa設(shè)梁的長度為設(shè)梁的長度為 L設(shè)梁的長度為設(shè)梁的長度為 2aCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY11.2 撓曲線近似微分方程撓曲線近似微分方程、 積分法求彎曲變形積分法求彎曲變形一、撓曲線近似微分方程一、撓曲線近似微分方程2 3/211 () ww1( )zM xEI平面曲線平面曲線( (撓曲線撓曲線) ) 上任意點的曲率公式。

7、上任意點的曲率公式。( )ww x純彎曲梁的純彎曲梁的中性層曲率中性層曲率公式公式 (見上一章公式推導(dǎo)見上一章公式推導(dǎo))( )M xwEI 對于小撓度情形有對于小撓度情形有21w即：撓曲線曲率即：撓曲線曲率CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY( )M xwEI ( )M xwEI 撓曲線的撓曲線的近似近似微分方程微分方程其其近似性近似性表現(xiàn)為：表現(xiàn)為：只考慮彎矩而忽略剪力對彎曲變形的影響；只考慮彎矩而忽略剪力對彎曲變形的影響；認為認為 (即小變形條件即小變形條件)。21wddwx220wddwx220wCHINA UNIVERSITY OF MIN

8、ING AND TECHNOLOGY二、積分法求彎曲變形二、積分法求彎曲變形( )dM xwxCEI( )M xwEI 由撓曲線近似微分方程由撓曲線近似微分方程 兩邊積分得：兩邊積分得：說明：說明：（1 1）若）若M (x)方程方程 或或 EI 有變化，則應(yīng)分段積分有變化，則應(yīng)分段積分;（2 2）C、D為積分常數(shù)，由為積分常數(shù)，由邊界條件邊界條件或或連續(xù)性條件連續(xù)性條件確定。確定。- 轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程再積分一次得：再積分一次得：( )ddM xwxCxDEI - 撓曲線方程撓曲線方程CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY固定端固定端：w = 0,=

9、0, = 0= 0確定積分常數(shù)：確定積分常數(shù)：（1 1）邊界條件邊界條件（2 2）連續(xù)性條件連續(xù)性條件鉸支座：鉸支座：w A= 0,= 0,wB = 0= 0 梁的撓曲線是連續(xù)、光滑的，所以在任意截面處梁的撓曲線是連續(xù)、光滑的，所以在任意截面處 及及 都必須是連續(xù)的。例如，當(dāng)彎矩方程需要分段建立時，都必須是連續(xù)的。例如，當(dāng)彎矩方程需要分段建立時，撓曲線微分方程也需要分段建立，兩段梁在分段處的撓度、撓曲線微分方程也需要分段建立，兩段梁在分段處的撓度、轉(zhuǎn)角也相等。轉(zhuǎn)角也相等。wwCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY再通過再通過剛度條件剛度條件：max

10、wwmax 這里這里 、 是規(guī)定的許可撓度和轉(zhuǎn)角。是規(guī)定的許可撓度和轉(zhuǎn)角。w進行剛度計算。進行剛度計算。得到梁的撓曲線方程、轉(zhuǎn)角方程后，便可求得得到梁的撓曲線方程、轉(zhuǎn)角方程后，便可求得最大撓度最大撓度 、最大轉(zhuǎn)角、最大轉(zhuǎn)角 。maxwmaxCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例例：已知梁的抗彎剛度為：已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡支梁在均布載荷。試求圖示簡支梁在均布載荷q作用下的作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定max和和wmax。xylqx222xqxqlwEI CxqxqlwEI3264DCxxqxqlEIw

11、432412由邊界條件由邊界條件：000wlxwx時，時，得：得：CqlD 3240,梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程為：梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程為：qEIlxxl2464233()2(24332lxlxEIqxw最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：EIqlBA243maxEIqlwwlx384542max解：解：222)(xqxqlxMABCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例例: : 已知梁的抗彎剛度為已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示懸臂梁在集中力。試求圖示懸臂梁在集中力P作用下的轉(zhuǎn)作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定角方程、撓曲線方

12、程，并確定max和和wmax。xylPABx解：解：M xP lx( )() lPxPwEI CxlPxPwEI22DCxxlPxPEIw2326由邊界條件由邊界條件: :0, 00wwx時，CD 0梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程為：梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程為：PxEIxl22()3(62lxEIxPw最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：max BPlEI22EIPlwwB33maxCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例: : 試求圖示簡支梁的彎曲變形（抗彎剛度試求圖示簡支梁的彎曲變形（抗彎剛度: :EIz）axyABblCP解：解：l

13、PbRA1.1.求支反力、寫出彎矩方程；求支反力、寫出彎矩方程；lPaRBACAC段：段：x11M1xlPbCBCB段：段：2M)(22axPxlPbax 10lxa22.2.列出撓曲線微分方程，并積分；列出撓曲線微分方程，并積分；ACAC段：段：11xlPbwEI xPbEIwEICl 2111121113116DxCxlPbEIwCBCB段：段：)(222axPxlPbwEI 22222222)(2CaxPxlPbEIwEI222323226)(6DxCaxPxlPbEIw3.3.列出邊界條件；列出邊界條件；,01時x01w,2時lx 02w4.4.連續(xù)性條件；連續(xù)性條件；,21時當(dāng)axx

14、21ww)(2121ww 由連續(xù)性條件，可求得由連續(xù)性條件，可求得21CC 21DD x21xRA)(22axPxRA由邊界條件，可求得由邊界條件，可求得)(62221bllPbCC021 DDCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY5.5.求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度axyABblCPRARBx1x2 對簡支梁受集中力，最大轉(zhuǎn)角一對簡支梁受集中力，最大轉(zhuǎn)角一般在兩端截面上般在兩端截面上: :110Axw)(622allEIPabwzlxB)(6bllEIPabz比較兩者，當(dāng)比較兩者，當(dāng) a b 時時: :)(6maxallEIPabzB撓

15、度最大值發(fā)生在撓度最大值發(fā)生在d()dwx00截面上，截面上，當(dāng)當(dāng) a b 時，發(fā)生在時，發(fā)生在AC AC 段：段：ddwx1100)3(62022xbllPb3220blx3221max)(390bllEIPbwwzxx 將積分常數(shù)代入，得到轉(zhuǎn)角方程將積分常數(shù)代入，得到轉(zhuǎn)角方程和和撓曲撓曲線方程線方程( (略略) )。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY討論：討論：（1 1）AC段：段：11xlPbwEI 121112CxlPbEIwEI1113116DxCxlPbEIwCB段：段：)(222axPxlPbwEI 22222222)(2CaxPx

16、lPbEIwEI6)(632322axPxlPbEIw222DxC（2 2）當(dāng)須分段表示彎矩方程時，需用連續(xù)性當(dāng)須分段表示彎矩方程時，需用連續(xù)性條件、邊界條件一起確定積分常數(shù)。條件、邊界條件一起確定積分常數(shù)。（3 3）3220blx截面截面最大撓度最大撓度很接近于梁中點撓度值很接近于梁中點撓度值故工程上常用中點的撓度代替最大撓度：故工程上常用中點的撓度代替最大撓度：(34)48lxzPblbEIf 222（4 4）當(dāng)當(dāng) b =l /2 時時zABEIPl162maxzlxEIPlwf48|22max（5 5）積分法適用于積分法適用于求任意截求任意截面的撓度和轉(zhuǎn)角面的撓度和轉(zhuǎn)角.axyABblC

17、PRARBx1x2CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例：例：已知梁的抗彎剛度為已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡支梁的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方。試求圖示簡支梁的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定程，并確定max和和wmax。yaqABCxaaaDEqaqax1x2解：解：由對稱性，只考慮半跨梁由對稱性，只考慮半跨梁ACD111)(qaxxM222211)(2axqqaxwEIqaxwEI 22222)(2)(axqqaxxM)0(1ax )2(2axa12112CxqawEI1113116DxCxqaEIw232222)(62CaxqxqawEI22242

18、322)(246DxCaxqxqaEIw由連續(xù)性條件：由連續(xù)性條件：212121,wwwwaxx時由邊界條件：由邊界條件：由對稱條件：由對稱條件：得CCDD12120,011wx時得 D100,222wax時得 Cqa23116 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：axaxaaxaxEIqwaxxxaEIqawaxaaaxaxEIqaxxaEIqa244)(4240)11(6211)(360)311(622342322131121233222212121最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：最大轉(zhuǎn)

19、角和最大撓度分別為：max AxqaEI1031116EIqawwax819422max2yaqABCxaaaDEqaqax1x2CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例：例：用積分法求圖示各梁的撓曲線方程，應(yīng)分為幾段？將出現(xiàn)幾個用積分法求圖示各梁的撓曲線方程，應(yīng)分為幾段？將出現(xiàn)幾個積分常數(shù)？并寫出各梁的邊界條件和連續(xù)條件。積分常數(shù)？并寫出各梁的邊界條件和連續(xù)條件。; 0, ; 0, 021BAwaxwx邊界條件邊界條件連續(xù)條件連續(xù)條件PqaaAB121212, ;BBxxa www邊界條件邊界條件; 0, 0, 01AAwx 連續(xù)條件連續(xù)條件;

20、,212121CCwwwaxx PaaCCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY邊界條件邊界條件連續(xù)條件連續(xù)條件; 0, ; 0, 0, 021BAAwlaxwx malABC;,2121Cwwwaxx邊界條件邊界條件1220,0; ,;2ABqlaqlaxwxl wEAEA qABlaCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY1.1.撓度和轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角規(guī)定規(guī)定：向上的撓度為正：向上的撓度為正 逆時針的轉(zhuǎn)角為正逆時針的轉(zhuǎn)角為正xyxw撓曲線方程：撓曲線方程：( )w f x轉(zhuǎn)角方程：轉(zhuǎn)角方程：ddwx 撓度和轉(zhuǎn)

21、角是度量彎曲變形撓度和轉(zhuǎn)角是度量彎曲變形的兩個基本量。的兩個基本量。內(nèi)容回顧：內(nèi)容回顧：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY( )M xwEI 撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程2.2.撓曲線近似微分方程撓曲線近似微分方程3.3.積分法求彎曲變形積分法求彎曲變形( )dM xwxCEIDCxxxxMEIwCxxMEIdd)(d)( 對于等截面直梁，有：對于等截面直梁，有：( )d dM xwxxCxDEI截面的轉(zhuǎn)角方程截面的轉(zhuǎn)角方程梁的撓曲線方程梁的撓曲線方程CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY說

22、明：說明：（1 1）若）若M (x)方程方程 或或 EI 有變化，則應(yīng)分段積分；有變化，則應(yīng)分段積分；（2 2）C C、D D為積分常數(shù)，由邊界條件或連續(xù)性條件確定。為積分常數(shù)，由邊界條件或連續(xù)性條件確定。22d( )dwM xxEI撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY一、疊加法適用范圍一、疊加法適用范圍 材料服從胡克定律材料服從胡克定律 小變形小變形二、第一類疊加法二、第一類疊加法載荷疊加法載荷疊加法 當(dāng)梁作用有若干載荷時，可分別求出每一種載荷單獨當(dāng)梁作用有若干載荷時，可分別求出每一種載荷單獨作用下的變形，

23、然后將各個載荷單獨引起的變形疊加，得作用下的變形，然后將各個載荷單獨引起的變形疊加，得這些載荷共同作用時的變形。這些載荷共同作用時的變形。各個載荷所引起的變形相各個載荷所引起的變形相互獨立、互不干擾?；オ毩ⅰ⒒ゲ桓蓴_。11.3 疊加法求彎曲變形疊加法求彎曲變形CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY用疊加法求：用疊加法求：BACw、例：例：解：解：Cw53844qlEIPlEI348mlEI216AqlEI324PlEI216mlEI3BqlEI324PlEI216EIlm6CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLO

24、GY例：例：解解:BPaEI 22EIam 2mPa40若圖示梁若圖示梁B端的轉(zhuǎn)角端的轉(zhuǎn)角B=0，則力偶矩，則力偶矩 等于多少？等于多少？mCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例：例：求圖示梁求圖示梁 B、D兩點的撓度兩點的撓度 wB、 wD。解：解： EIqaEIaqaEIaqwB3143)2(8)2(434 EIqaEIaqawwBD3848)2(2243CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYv 例：例：用疊加法確定圖示梁用疊加法確定圖示梁 C 截面的撓度截面的撓度 wC和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角C。解：解：vvv

25、418CqlwEI 316CqlEI 42128BqlwEI3248BqlEI422272384CBBlqlwwEI32248CBqlEI41241384CCCqlwwwEI 312748CCCqlEI 所以：所以：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY三、第二類疊加法三、第二類疊加法局部剛化法局部剛化法 當(dāng)梁上載荷復(fù)雜時，為了求解某些特殊截面的撓度、轉(zhuǎn)角，當(dāng)梁上載荷復(fù)雜時，為了求解某些特殊截面的撓度、轉(zhuǎn)角，可以分段考慮梁的彎曲變形。在研究某一段梁的變形時，將其可以分段考慮梁的彎曲變形。在研究某一段梁的變形時，將其余部分暫時看成剛體余部分暫時看成剛體

26、( (稱為稱為“剛化剛化”) )。計算出每段梁的變形在。計算出每段梁的變形在這些特殊截面引起的撓度和轉(zhuǎn)角，然后將它們疊加，這種計算這些特殊截面引起的撓度和轉(zhuǎn)角，然后將它們疊加，這種計算變形的方法稱為變形的方法稱為局部剛化法局部剛化法。vCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例：例：求外伸梁求外伸梁ABC的外伸端的外伸端A的撓度的撓度。解：解：用局部剛化法計算。用局部剛化法計算。2311236Bqalqa lwaaEIEI 428qawEI （2 2）將）將BC段剛化段剛化（1 1）將）將AB段剛化段剛化（3 3）最后結(jié)果）最后結(jié)果)34(246833

27、421alEIqaEIlqaEIqawwwlABaC CqABq2wABC Cqa1wqa2/2CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例：例：求外伸梁求外伸梁ABC的外伸端的外伸端A的撓度、轉(zhuǎn)角。的撓度、轉(zhuǎn)角。解：解：EIqaawB12542 EIqaw841（1 1）將）將BC段剛化。段剛化。（2 2）將）將AB段剛化。段剛化。（3 3）最后結(jié)果）最后結(jié)果EIqawww2413421ABq1wABaC CqP=qaaam=qa2DEIqa631 132512BBmBPBmqaEI312712qaEIqaABC C2wm=qa2/2P=qam=qa2

28、DCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例：例：求懸臂梁求懸臂梁ACB的自由端的自由端B的撓度和轉(zhuǎn)角。的撓度和轉(zhuǎn)角。解：解：EIqawwwPm127)()(4222EIqaw841 （1 1）將）將AC段剛化。段剛化。（2 2）將）將BC段剛化。段剛化。EIqa631 1w1BCABqaaCqam=qa2/2ABC2w3wEIqaaawmCPCC43)()( 32CqaEI123wwww注：注：局部剛化法局部剛化法主要用于求解外伸梁、受力比較特殊的懸臂主要用于求解外伸梁、受力比較特殊的懸臂 梁的彎曲變形。梁的彎曲變形。CHINA UNIVERSITY

29、 OF MINING AND TECHNOLOGY 兩根材料相同、抗彎剛度相同的懸臂梁兩根材料相同、抗彎剛度相同的懸臂梁、如圖示，如圖示，梁的最大撓度是梁的最大撓度是梁的多少倍？梁的多少倍？2llP2PPlEI33例：例：16倍倍CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例例：簡支梁在整個梁上受均布載荷簡支梁在整個梁上受均布載荷 q 作用，若其跨度增加作用，若其跨度增加一倍，則其最大撓度增加多少倍？一倍，則其最大撓度增加多少倍？lqIEl qw38454max16倍倍CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例

30、：圖示工字鋼梁，：圖示工字鋼梁， l =8m， Iz=2370cm4, Wz=237cm3，w = l500，E=200GPa，=100MPa. 試根據(jù)梁的剛度條件，確定梁的許可載荷試根據(jù)梁的剛度條件，確定梁的許可載荷 P 。解解：由剛度條件由剛度條件500483maxlwEIPlw248500EIPl 711.kN所以 .P 711kNCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYhbhb/2b hMOO hb2h2hooCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYmax() 12z6MMWbh 31()12zEbhEI2hb 2Mmax 222/2/212()/2 /6zMMMWbhb h12412)2(2)(332EbhhbEEIz2:1)( :)(2max1max 1:4)( :)(21zzEIEICHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYhb2h2hooCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 解除多余約束，代之以相應(yīng)的約束反力，解除多余約束，代之以相應(yīng)的約束反力，則靜不定梁轉(zhuǎn)化為形式上的靜定梁：則靜不定梁轉(zhuǎn)化為形式上的靜定梁：一、超靜定梁的概念一、超靜定梁的概念即不能由靜力平衡方程求出全部未知量的梁即不能由靜力平