高中數(shù)學(xué)論文：一次課堂意外

1、一 次 課 堂 意 外 這是一節(jié)很普通的數(shù)學(xué)課，沒有人聽課，上課的內(nèi)容是新教材人教社a版數(shù)學(xué)必修5“3.4 基本不等式：”.1 課前準(zhǔn)備 在上這一節(jié)課的前一個星期我們高一備課組就聚在一起研究了教材，觀摩了一些優(yōu)秀案例.我們重點探討了在“卡西歐杯”全國中學(xué)青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動中獲得全國一等獎的杭州二中陳潔老師的“算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（第一課時）.我們備課組認(rèn)為陳老師創(chuàng)設(shè)了豐富的問題情境，揭示了知識的形成過程，非常符合新課標(biāo)的要求. 本著以學(xué)生發(fā)展為本的教學(xué)理念，結(jié)合本學(xué)校學(xué)生的實際情況，備課組統(tǒng)一設(shè)定了教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)重點、難點，教學(xué)基本過程.（由第24屆數(shù)學(xué)家大會圖標(biāo)探討出并證明；

2、由推出基本不等式，證明及幾何解釋；兩個不等式的再認(rèn)識及其應(yīng)用.）2 課堂教學(xué)過程實錄 師：大家知道國際數(shù)學(xué)家大會嗎？ 生：搖頭，不知道.（用多媒體打出第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，介紹一些相關(guān)內(nèi)容） 師：在這個會標(biāo)中你能發(fā)現(xiàn)那些相等和不等關(guān)系？ 生：四個全等三角形，勾股定理. 師：不等關(guān)系呢？（通過幾何畫板觀察） 生：四個三角形的面積和小于或等于正方形面積. a 師：如何用數(shù)學(xué)語言表示？ 生：設(shè)直角三角形的兩個直角邊為 b（在黑板上畫了一個直角三角形（圖1），標(biāo)上） 生： c a b （圖1） （板書：當(dāng) 時，）生：不對，還有 （修改板書：當(dāng) 時） 師：我們怎么證明呢？ 生：作差 當(dāng)時，等號成

3、立. 師：有什么范圍限制嗎？ 生：沒有，是任何實數(shù)都是符合這個不等關(guān)系的.（修改板書：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）（解釋“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義）（對于這個不等關(guān)系中對于范圍的問題，我個人認(rèn)為還是很成功的，在不斷的修改過程中體會知識的形成、完備的過程.可能是對這一部分內(nèi)容的處理比較順利，黑板上又有一個直角三角形，心想：為什么不就以這個直角三角形出發(fā)推導(dǎo)基本不等式呢？思路清晰而且又簡便！于是臨時改變了教學(xué)計劃.） 師：我們再來看這個直角三角形，如果我們作出斜邊上的高cd和中線ce，你又會發(fā)現(xiàn)什么不等關(guān)系呢？ a e b d c a b 生： 師：等號在什么條件下成立？ 生：三角形是等腰直角三角形的時候，等

4、號成立. 師：很好，大家觀察得很仔細(xì)！那么這個不等關(guān)系可以用表示嗎？（我本來的意圖是想通過中線長大于或等于高線長得出基本不等式，結(jié)果發(fā)現(xiàn)這個三角形設(shè)的是兩直角邊長分別為，“意外”就這樣發(fā)生了，我當(dāng)時想：壞了，不該是直角邊呀，怎么這種低級的錯誤都會發(fā)生？這種情況之前可沒有考慮到，萬一得到一個和這節(jié)課不相干的不等關(guān)系怎么辦？改已經(jīng)來不及了，學(xué)生已經(jīng)在下面算開了，我在腦海里也馬上算了算，還好，得出的竟然是，心開始平靜了下來，有點紅的臉也恢復(fù)了正常.） 師：同學(xué)們得到了什么不等式呀？ 生： 師：很好！我們用另一種幾何關(guān)系再次驗證了.（自己給自己打圓場） 師：這里的表示的是直角三角形的兩直角邊，如果分別

5、表示ad長和bd長呢？（學(xué)生們又開始積極地探討，接下來的教學(xué)任務(wù)也順利得完成了，也算是比較圓滿地結(jié)束了這節(jié)課。）3 課堂意外的反思3.1 本可避免的“意外” 沒有深入研究教材對本節(jié)知識的呈現(xiàn)體系，沒有讀懂編寫者的意圖是導(dǎo)致發(fā)生意外的主要原因.本節(jié)課結(jié)束以后，筆者再次研究了教材，發(fā)現(xiàn)教材是通過圖象觀察出這個不等關(guān)系，進(jìn)行代數(shù)證明，再由代數(shù)換元的思想得出基本不等式，用代數(shù)證明，再在幾何意義上對這種代數(shù)不等關(guān)系進(jìn)行解釋，體現(xiàn)了由形到數(shù)，再由數(shù)到形的理念，將數(shù)形結(jié)合的思想方法展現(xiàn)得淋漓盡致.沒有體會到這種編寫意圖的我為了直觀、方便改變了教學(xué)流程導(dǎo)致意外的發(fā)生.進(jìn)一步反思發(fā)現(xiàn)改變教學(xué)流程以后弱化了從數(shù)到

6、形的過程，不利于學(xué)生數(shù)形結(jié)合思維的培養(yǎng)；教學(xué)課堂設(shè)計重復(fù)，不同的知識采用同樣的發(fā)現(xiàn)過程，缺乏創(chuàng)造性，很難再次抓住學(xué)生的眼球，讓學(xué)生產(chǎn)生思維疲勞，淡化學(xué)習(xí)興趣.可見在備課的過程中，要深入地鉆研教材教法，要不斷揣摩教材編者的意圖，不能放過任何一個看似不經(jīng)意的細(xì)節(jié)設(shè)計.3.2 本可升華的“意外” 數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是一個動態(tài)的場景，在這個動態(tài)的過程中，難免會出現(xiàn)這樣或那樣的意外.教師在這種精神高度集中的狀態(tài)下可能會產(chǎn)生靈感，導(dǎo)致課堂的意外；學(xué)生在積極主動參與課堂教學(xué)中時，當(dāng)思維充分活躍時，也會產(chǎn)生課堂意外.這些意外都不是什么壞事，關(guān)鍵是看教師怎樣處理，看教師隨機應(yīng)變的能力.處理得當(dāng)，教師的靈感可能變成數(shù)學(xué)中新的定理、公式、獨特的解題方法得以保存；學(xué)生思維的火花可能變成點燃他或她心中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的火把.筆者再次反思這次意外的結(jié)果時，真后悔為什么當(dāng)時沒有借題發(fā)揮呢？再次審視這兩個不等關(guān)系和，我們可以從數(shù)、式、形三個方面去刻畫. 數(shù)指函數(shù)，可以把這個不等關(guān)系轉(zhuǎn)換成函數(shù)的恒成立問題，從函數(shù)的角度認(rèn)識不等關(guān)系，體現(xiàn)了知識點之間的聯(lián)系，教師可根據(jù)學(xué)生實際能力情況給予引導(dǎo)；式指不等式，利用不等式的性質(zhì)對這兩個不等式變形后的其它不等關(guān)系進(jìn)行認(rèn)識，在之后的應(yīng)用中有涉及到；形也即它的幾何解釋，如果筆者能順著意外深入下去，讓學(xué)生產(chǎn)生更多的幾何聯(lián)想，構(gòu)造更多的幾何解釋，既有助于學(xué)生滲透