文科一輪學(xué)案11.3幾何概型

1、第十一章 概率學(xué)案11.3 幾何概型自主預(yù)習(xí)案 自主復(fù)習(xí) 夯實(shí)基礎(chǔ)【雙基梳理】1幾何概型的定義事件A理解為區(qū)域的某一子區(qū)域A，A的概率只與子區(qū)域A的 成正比，而與A的位置 和 無關(guān)，滿足以上條件的試驗(yàn)稱為幾何概型2幾何概型的概率公式P(A)，其中表示區(qū)域的幾何度量，A表示子區(qū)域A的幾何度量【知識(shí)拓展】幾何概型的兩種類型(1)線型幾何概型：當(dāng)基本事件只受一個(gè)連續(xù)的變量控制時(shí)(2)面型幾何概型：當(dāng)基本事件受兩個(gè)連續(xù)的變量控制時(shí)，一般是把兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)在

2、一個(gè)正方形區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)的概率是零()(2)幾何概型中，每一個(gè)基本事件就是從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)相等()(3)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形()(4)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率()(5)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān)()(6)從區(qū)間1,10內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，取到1的概率是P.()考點(diǎn)探究案 典例剖析 考點(diǎn)突破考點(diǎn)一 與長度、角度有關(guān)的幾何概型例1(1)(2015重慶)在區(qū)間0,5上隨機(jī)地選擇一個(gè)數(shù)p，則方程x22px3p20有兩個(gè)負(fù)根的概率為_(2)在區(qū)間，上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則cos x的值介于0到之間的概

3、率為_引申探究1本例(2)中，若將“cos x的值介于0到”改為“cos x的值介于0到”，則概率如何？2若本例(3)中“在BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M”改為“在線段BC上找一點(diǎn)M”，求BM1的概率變式訓(xùn)練：(1)如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在30角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在yOT內(nèi)的概率為_(2)已知集合Ax|1x5，B，在集合A中任取一個(gè)元素x，則事件“x(AB)”的概率是_ 考點(diǎn)二 與面積有關(guān)的幾何概型命題點(diǎn)1與平面圖形面積有關(guān)的問題例2(2015福建)如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)，且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)的圖象上若在矩形ABCD內(nèi)隨

4、機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于()A. B. C. D.命題點(diǎn)2與線性規(guī)劃知識(shí)交匯命題的問題例3(2014重慶)某校早上8：00開始上課，假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7：307：50之間到校，且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為_(用數(shù)字作答)變式訓(xùn)練：(1)在區(qū)間，內(nèi)隨機(jī)取出兩個(gè)數(shù)分別記為a，b，則函數(shù)f(x)x22axb22有零點(diǎn)的概率為()A1 B1C1 D1(2)(2014湖北)由不等式組確定的平面區(qū)域記為1，不等式組確定的平面區(qū)域?yàn)?，在1中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在2內(nèi)的概率為()A. B. C. D.考點(diǎn)三：與體積有關(guān)的幾何概型例4

5、在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCDA1B1C1D1 內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為_變式訓(xùn)練：如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，有一動(dòng)點(diǎn)在此長方體內(nèi)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，則此動(dòng)點(diǎn)在三棱錐AA1BD內(nèi)的概率為_當(dāng)堂達(dá)標(biāo)：1(教材改編)在線段0,3上任投一點(diǎn)，則此點(diǎn)坐標(biāo)小于1的概率為()A. B. C. D12(2015山東)在區(qū)間0,2上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，則事件“1log1”發(fā)生的概率為()A. B. C. D.3(2014遼寧)若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖所示的長方形ABCD中，其中AB2，BC1，則質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的

6、概率是()A. B. C. D.4(2014福建)如圖，在邊長為1的正方形中隨機(jī)撒1 000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計(jì)陰影部分的面積為_5(教材改編)如圖，圓中有一內(nèi)接等腰三角形假設(shè)你在圖中隨機(jī)撒一把黃豆，則它落在陰影部分的概率為_鞏固提高案 日積月累 提高自我1(2014湖南)在區(qū)間2,3上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)X，則X1的概率為()A. B. C. D.2在區(qū)間1,4內(nèi)取一個(gè)數(shù)x，則2xx2的概率是()A. B. C. D.3已知ABC中，ABC60，AB2，BC6，在BC上任取一點(diǎn)D，則使ABD為鈍角三角形的概率為()A. B. C. D.4設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)

7、隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是()A. B.C. D.5已知一只螞蟻在邊長分別為5,12,13的三角形的邊上隨機(jī)爬行，則其恰在離三個(gè)頂點(diǎn)的距離都大于1的地方的概率為()A. B.C. D.6有一個(gè)底面圓的半徑為1、高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為_7在區(qū)間1,5和2,4上分別各取一個(gè)數(shù)，記為m和n，則方程1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的概率是_8隨機(jī)地向半圓0y(a為正常數(shù))內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，則原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與x軸的夾角小于的概率為_9隨機(jī)向邊長為5,5,6的三角形中投一點(diǎn)P

8、，則點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都不小于1的概率是_10已知向量a(2,1)，b(x，y)(1)若x，y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時(shí)第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求滿足ab1的概率；(2)若x，y在連續(xù)區(qū)間1,6上取值，求滿足ab0的概率學(xué)案11.3 幾何概型自主預(yù)習(xí)案 自主復(fù)習(xí) 夯實(shí)基礎(chǔ)【雙基梳理】1幾何概型的定義事件A理解為區(qū)域的某一子區(qū)域A，A的概率只與子區(qū)域A的幾何度量(長度、面積或體積)成正比，而與A的位置和形狀無關(guān)，滿足以上條件的試驗(yàn)稱為幾何概型2幾何概型的概率公式P(A)，其中表示區(qū)域的幾何度量，A表示子區(qū)域A的幾何度量【知識(shí)拓

9、展】幾何概型的兩種類型(1)線型幾何概型：當(dāng)基本事件只受一個(gè)連續(xù)的變量控制時(shí)(2)面型幾何概型：當(dāng)基本事件受兩個(gè)連續(xù)的變量控制時(shí)，一般是把兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)在一個(gè)正方形區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)的概率是零()(2)幾何概型中，每一個(gè)基本事件就是從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)相等()(3)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形()(4)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率()(5)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形

10、的形狀有關(guān)()(6)從區(qū)間1,10內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，取到1的概率是P.()考點(diǎn)探究案 典例剖析 考點(diǎn)突破考點(diǎn)一 與長度、角度有關(guān)的幾何概型例1(1)(2015重慶)在區(qū)間0,5上隨機(jī)地選擇一個(gè)數(shù)p，則方程x22px3p20有兩個(gè)負(fù)根的概率為_(2)在區(qū)間，上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則cos x的值介于0到之間的概率為_答案(1)(2)解析(1)方程x22px3p20有兩個(gè)負(fù)根，則有即解得p2或p1，又p0,5，則所求概率為P.(2)當(dāng)x時(shí)，由0cos x，得x或x，根據(jù)幾何概型概率公式得所求概率為.(3)如圖所示，在ABC中，B60，C45，高AD，在BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，求BM1的概率解因?yàn)锽

11、60，C45，所以BAC75.在RtABD中，AD，B60，所以BD1，BAD30.記事件N為“在BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，使BM1”，則可得BAMBAD時(shí)事件N發(fā)生由幾何概型的概率公式，得：P(N).引申探究1本例(2)中，若將“cos x的值介于0到”改為“cos x的值介于0到”，則概率如何？解當(dāng)x時(shí)，由0cos x，得x或x，根據(jù)幾何概型概率公式得所求概率為.2若本例(3)中“在BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M”改為“在線段BC上找一點(diǎn)M”，求BM1的概率解依題意知BCBDDC1，P(BM1).變式訓(xùn)練：(1)如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在30角的終邊上，任作一條射線OA，則射

12、線OA落在yOT內(nèi)的概率為_(2)已知集合Ax|1x5，B，在集合A中任取一個(gè)元素x，則事件“x(AB)”的概率是_答案(1)(2)解析(1)如題圖，因?yàn)樯渚€OA在坐標(biāo)系內(nèi)是等可能分布的，所以O(shè)A落在yOT內(nèi)的概率為.(2)由題意得Ax|1x5，B，故ABx|2xn.如圖，由題意知，在矩形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)Q(m，n)，點(diǎn)Q落在陰影部分的概率即為所求的概率，易知直線mn恰好將矩形平分，所求的概率為P.8隨機(jī)地向半圓0y(a為正常數(shù))內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，則原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與x軸的夾角小于的概率為_答案解析半圓域如圖所示：設(shè)A表示事件“原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與x軸的夾角小于，由幾何概型的概率計(jì)算公式得P(A).9隨機(jī)向邊長為5,5,6的三角形中投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都不小于1的概率是_答案解析由題意作圖，如圖則點(diǎn)P應(yīng)落在深色陰影部分，S三角形612，三個(gè)小扇形可合并成一個(gè)半圓，故其面積為，故點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都不小于1的概率為.10已知向量a(2,1)，b(x，y)(1)若x，y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時(shí)第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求滿足ab1的概率；(2)若x，y在連續(xù)區(qū)間1,6上取值，求滿足ab0的概率解(1)將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次，