10--第十章排列、組合、二項式定理和概率、統(tǒng)計

1、十年高考分類解析與應試策略數(shù)學第十章 排列、組合、二項式定理和概率、統(tǒng)計考點闡釋本章從內容到方法都是比較獨特的，是進一步學習概率論的基礎知識其中分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理是本章的基礎，它是學習排列、組合、二項式定理和計算事件的概率的預備知識 在對應用題的考查中，經(jīng)常要運用分類計數(shù)原理或分步計數(shù)原 理對問題進行分類或分步分析求解，如何靈活利用這兩個原理對問題進行分類或分步往往是解應用題的關鍵從兩個原理上，完成一件事的“分類”和“分步”是有區(qū)別的，因此在應用上，要注意 將兩個原理區(qū)分開排列、組合也是本章的兩個主要概念定義中從n個不同元素中，任取 M （M 1）,以其中三個點為頂點的直角三角形的個數(shù)

2、為.2 1 532. （ 2001上海理，8）在代數(shù)式（4x - 2x 5） （1 + -）的展開式中，常數(shù)項為 .x33. （2001全國文，13） （ -x+ 1） 10的二項展開式中x3的系數(shù)為234. （2001上海春）在大小相同的 6個球中，2個紅球，4個白球若從中任意選取3個,則所選的3個球中至少有1個紅球的概率是 .（結果用分數(shù)表示）35. （2001廣東河南，13）已知甲、乙兩組各有 8人，現(xiàn)從每組抽取 4人進行計算機知識競賽，比賽人員的組成共有 種可能（用數(shù)字作答）.36. （2001江西、山西、天津理）一個袋子里裝有大小相同的3個紅球和2個黃球，從中同時取出2個，則其中含紅

3、球個數(shù)的數(shù)學期望是 .（用數(shù)字作答）37. （ 2001上海文）利用下列盈利表中的數(shù)據(jù)進行決策，應選擇的方案是.自然狀況-企利方秦 概事、AiA.3AaS0,255070-20986 30S52&53820.45261&78-1038. （2000上海春，4）若（ x +a） 5的展開式中的第四項是10a2 （a為大于零的常數(shù)）貝 y x=.39. （2000上海春，10）有n （n N*）件不同的產(chǎn)品排成一排，若其中 A、B兩件產(chǎn)品排在一起的不同排法有 48種，則n=.40. （2000京皖春理，17） （Jx 丄）10展開式中的常數(shù)項是 .Vx41. （2000全國文、理，3）乒乓球隊的1

4、0名隊員中有3名主力隊員，派5名參加比賽，3名主力隊員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊員選2名安排在第二、四位置，那么不同的出場安排共有 種（用數(shù)字作答）42. （ 2000年上海，9）在二項式（X 1） 11的展開式中，系數(shù)最小的項的系數(shù)為 （結果用數(shù)值表示）43. （2000上海，10）有紅、黃、藍三種顏色的旗幟各3面，在每種顏色的3面旗幟上分別標上號碼1、2和3;現(xiàn)任取3面，它們的顏色與號碼均不相同的概率是 .44. （2000兩省一市理，13）某廠生產(chǎn)電子元件，其產(chǎn)品的次品率為5%，現(xiàn)從一批產(chǎn)品中任意地連續(xù)取出 2件，其中次品數(shù)以E的概率分布是012P45. （1999全國，16）

5、在一塊并排10壟的田地中，選擇 2壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種植一壟為有利于作物生長， 要求A、B兩種作物的間隔不小于 6壟，則不同的選 壟方法共有種（用數(shù)字作答）.325546. （1999上海理，3 ）在（x + -） 展開式中，x項的系數(shù)為 .x47. （1999上海理，11）若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點數(shù)m、n作為點P的坐標，一 _ 2 2 則點P落在圓x +y =16內的概率是.48. （1998全國理，17） （x+2） 10 （x2 1）的展開式中x10的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）x149. （1998上海，9）設n是一個自然數(shù)，（1+）的展開式中x3的系數(shù)為 ，則n=.n

6、16a x950. （1997全國，16）已知（一 -i 一）9的展開式中x3的系數(shù)為一，常數(shù)a的值為.x 2451. （1997上海，11）若（3x+1）（n N ）的展開式中各項系數(shù)的和是256，則展開式中x2的系數(shù)是.52. （1997上海，16）從集合 0、1、2、3、5、7、11中任取3個元素分別作為直線方程Ax+By+C=0中的A、B、C,所得經(jīng)過坐標原點的直線有 條（結果用數(shù)值表示）.53. （1996全國，17）正六邊形的中心和頂點共7個點，以其中3個點為頂點的三角形共有個（用數(shù)字作答）.54. （1996上海，17）有8本互不相同的書，其中數(shù)學書3本，外文書2本，其他書 3本

7、，若將這些書排成一列放在書架上，則數(shù)學書恰好排在一起，外文書也恰好排在一起的排法共有種（結果用數(shù)字表示）.55. （1996上海理，14）在（1+x） 6 （ 1 x） 4的展開式中，x3的系數(shù)是 （結果用數(shù)值表示）.n n32*56. （1995 上海，13）若（x+1）= x + , + ax + bx + , + 1（n N）,且 a : b = 3 : 1,那么n=.57. （1995上海，19）從6臺原裝計算機和5臺組裝計算機中任意選取 5臺，其中至少有原裝與組裝計算機各2臺，則不同的選取法有 種.（結果用數(shù)值表示）.58. （1995全國，20）四個不同小球放入編號為1、2、3、4

8、的四個盒中，則恰有一個空盒的放法共有種（用數(shù)字作答）59. （1994全國，16）在（3-x）的展開式中，x5的系數(shù)是 （用數(shù)字作答）三、解答題60. （2002天津文20，理19）某單位6個員工借助互聯(lián)網(wǎng)開展工作， 每個員工上網(wǎng)的概 率都是0.5 （相互獨立）.（I）求至少3人同時上網(wǎng)的概率;（n）至少幾人同時上網(wǎng)的概率小于0.3 ?61. （2001 江西、山西、天津）如圖 101,用 a、b、c（恥）一rAnrrc三類不同的元件連接成兩個系統(tǒng)N1, N2.當元件A、B、C都正常工作時，系統(tǒng)N1正常工作；當元件A正常工作且元件 B、g）_口一一尸匚卜 C至少有一個正常工作時，系統(tǒng)N2正常工

9、作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次為0. 80、0. 90、0. 90.分別求系統(tǒng)圖10 1N1、N2正常工作的概率 P1、P2.62. （2001上海理）對任意一個非零復數(shù)z, mz= 3=z2n-1, n NM a .若在M a中任取兩個（1）設a是方程X+ 1 = . 2的一個根，試用列舉法表示集合X數(shù)，求其和為零的概率（2）設復數(shù)3 63. （2001 全國理，20）P.Mz，求證：M 已知i,二 Mz.m, n是正整數(shù)，且 1 v i 17）甲、乙二人參加普法知識競答,共有 10個不同的64. （2000江西、山西、天津理，題目，其中選擇題 6個，判斷題4個，甲、乙二人依次各抽

10、一題（1）甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率是多少？（2）甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？m x，（x 1）：八，（x m +1） 一，口 士“65. （2000上海，22）規(guī)定C x,其中x R, m是正整數(shù),m!且C x =1，這是組合數(shù) C n （ n、m是正整數(shù)，且 mW n的一種推廣）.（1）（文）求c3上的值；（理）求C5的值；3Cx（2）（文）設x 0，當x為何值時， r 取最小值？（Cx）（理，文2）組合數(shù)的兩個性質：mn -mmm -1m Cn =6 . 5 +5 = C n * 是否都能推廣到 c： （x R, m是正整數(shù)）的情形？若能推廣，請寫出推廣的形式，并

11、給出證明；若不能，則說明理由（3）（理）已知組合數(shù) C：是正整數(shù)，證明：當 x Z, m是正整數(shù)時， C： Z.66. （1996全國文24,理23）某地現(xiàn)有耕地10000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在 增加22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高 10%，如果人口年增長率為 1%，那么耕地平均每年 至多只能減少多少公頃（精確到 1公頃）？答案解析1. 答案：A解析：這是一個插空問題，應分兩類：第一類，新增的兩個節(jié)目連在一起；第二類，兩個新增節(jié)目不連在一起，而原來的5個節(jié)目可看做分出6個空位.第一類則有2X A6種不同2的插法，第二類則有 A 6種不同的插法應用分類計數(shù)原理，共有12+30=42種不

12、同的插法評述：該題是應用問題，內容貼近學生，有一定的綜合性、靈活性、考查分析，解決問 題及邏輯思維的能力同時應有周密的思維習慣2. 答案：D解析：見第1題.3. 答案：B解析:翻譯因為甲、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作因此，翻譯工作從余下的四名志愿者選一人有13A 4種，再從余下的5人中選3人從事導游、導購、保潔有A 513種因此 A4A 5 =240.4. 答案：B解析：A 4 =360.5. 答案：D11解析：二項式（一+X3） n展開式的通項為 Tr+1=C：（）_r（x3）r=C：xrn x3r=C：x4_nXx當展開式中有常數(shù)項時，有4 n=0,即存在n、r使方程有解.當展開式中有x

13、的一次項時，有4r n=1,即存在n、r使方程有解. 即分別存在n,使展開式有常數(shù)項和一次項.6. 答案：C解析：二項式（1 +x2） 6展開式的通項為：xr z 16 j z 2、rr 3r -6Tr+1=C6( ) (x )= CXx當 Tr+1 為 x3 項時，r=3 , Tr+1=C； x3=20 x32當 Tr+1 為常數(shù)項時，r=2 , Tr+1 = C6 =157. 答案：B解析：聯(lián)想以空間模型，注意到“有2個面不相鄰”，既可從相對平行的平面入手正面 構造，即C6 C；;也可從反面入手剔除 8個角上3個相鄰平面，即：c3 -c；.8. 答案：B解析：先把5本書中的兩本捆起來（Cl

14、 ），再分成四份（A 4 ）,分法種數(shù)為C2 -A 4 =240（種）.9. 答案：A解析：先分配4個人到第一個路口， 再分配4個人到第二個路口， 最后分配4個人到第444三個路口，即：C12 C8 C4.10.答案：DA 2n1nnn-11解析：原式=:A 2nA n -1(n 1)(n1)n +1nA2 n2nAnA n 12n：2(2n2)(2 n 1)2(2n 1)42A n 1n 1nn.C 2n1. I J -limjcn 142n 211答案：A解析：設該隊勝 x場，平y(tǒng)場，則負(15 x y)場，由題意得 3x+y=33 , y=33 3x0 x200x(x 1)/、 20,

15、x ( x- 1 ) 40, x 72至少應為7種素菜.31. 答案：2n (n- 1)解析：先在圓上找一點，2n個點因為是等分點， 所以過圓心的直徑應有 n,減去過這點 的直徑，剩下的直徑n-1個都可以與這個點形成直角三角形， 一個點可以形成 n- 1個直 角三角形，這樣的點有 2n個.一共為2n (n-1).32.答案：15解析：-0 55C511 0(2)(4x214)C51 (11-)-5 20 =15xx33.答案：15解析：C3 1 33110 98 110 ()-C10X =152868434. 答案:51 2 2 1解析：所選3球中至少有一個紅球的選法有C2 C4C2 C4 =

16、16（種）從6個球中任選3個球的選法有C 6 =20 （種）.故概率p=H / .205評述：本題主要考查對可能事件的概率計算，以及考生分析問題解決問題的能力古典概率是學習概率與統(tǒng)計的起點，而掌握古典概型的前提是能熟練地掌握排列組合的基本知識35. 答案：4900解析：完成這件事可分為兩步：第一步：從甲組8人中抽取4個，有C；種方法；4第二步：從乙組8人中抽取4人，有C8種方法.因此，比賽人員的組成共有44C8 C8 =4900 種可能.評述：本題考查分步計數(shù)原理、組合的概念以及組合數(shù)的運算，考查分析問題、 解決問題的能力.36. 答案：1.2解析：設其中含紅球個數(shù)為x,則x=1或x=2.而含

17、一個紅球的概率A1C510含兩個紅球的概率為31063含紅球個數(shù)的數(shù)學期望為1X +2 X =1.21010評述：本題考查數(shù)學期望的概念、概率的概念及它們的計算解析：A1的數(shù)學期望:37. 答案：A3A2的數(shù)學期望：E X2 =0.25 X 70+0.30 X 26+0.45 X 16=32.52A3的數(shù)學期望：E =0.25 X( - 20) +0.30 X 52+0.45 X 78=45.7A4的數(shù)學期望：E =0.25 X 98+0.30 X 82+0.45 X( - 10) =44.6Ex =0.25 X 50+0.30 X 65+0.45 X 26=43.7x1評述：本題考查概率與數(shù)

18、學期望，考查學生識表的能力對圖表的識別能力，是近年高考突出考查的熱點圖表語言與其數(shù)學語言的相互轉換，應成為數(shù)學學習的一個重點，應引 起高度重視 138. 答案：一a1i解析：T T4 = C5 (x2) 一 a 10 a x，二 x=.a39. 答案：5解析：由 2A n t = 48,得 A：； = 24,T A： = 24,. n= 5.40. 答案：2101130 _5r解析：Tr+1= C；0 (x2)10- ( _x)r =C；o (-1)r，令 30 - 5r=0，得 r=6.二常數(shù)項 T7 = c6。 (- 1) 6= 210.41. 答案：252解析：a3c2a 2 = 252

19、.42. 答案：462解法一：因為在(x 1) 11的展開式中，各項的二項式系數(shù)與系數(shù)相等或互為相反數(shù)，又展開式中二項式系數(shù)最大的項有兩項，分別為第六項c51x6 ( 1) 5第七項c61 x5 ( 1)6,所以得系數(shù)最小的項的系數(shù)為-C； = -462 解法二：展開式中第r+1項為。浪11(-1)，要使項的系數(shù)最小，則r為奇數(shù)，且使C； 為最大，由此得r=5，所以項的最小系數(shù)為 。；(-1)5 - -462 143. 答案：143解析：從9面旗幟中任取3面，共有C9 (種)取法.現(xiàn)取3面，顏色與號碼均不相同共有 C3 C： C1=6 (種)因此，所求概率為6 613C9841444. 答案:

20、0120, 90250. O&50, M2S解析：設次品數(shù)為E,則E (2, 0.05),其中p=0.05為次品率，貝U q=0.95為正品率, 于是由二項分布公式(列成表格)：0129k* * *P( A k)q即得所求結果45. 答案：12解析：先考慮A種植在左邊的情況，有三類：A種植在最左邊一壟上時，B有三種不同的種植方法；A種植在左邊第二壟上時，B有兩種不同的種植方法；A種植在左邊第三壟上時，B只有一種種植方法.又B在左邊種植的情況與 A時的相同，故共有 2X( 3 + 2 + 1)= 12種不同的選壟方法.評述：本題主要考查兩個基本原理、分類討論思想，對分析解決問題的能力有較高要求4

21、6. 答案：40解析：由通項公式 Tr+i = C； (X3) 5 r (電)r=C5 2r X15 5rX由題意，令 15 5r=5.得r=2.含x5項的系數(shù)為C： 22=40.47. 答案：29解析：擲兩次骰子分別得到的總數(shù)m、n作為P點的坐標共有A e A 6 =36 (種)可能結果，其中落在圓內的點有 8 個：(1 , 1)、(2, 2)、(1, 2)、(2, 1 )、(1, 3)、( 3, 1)、( 2,3)、(3, 2),則所求的概率為8 2369評述：本題考查點與圓的位置關系，概率概念等基礎知識以及運用數(shù)形結合的思想和分類討論的思想解決實際問題的能力.48. 答案：179解析：展

22、開式中x10的系數(shù)與(x+2) 10的展開式中x10的系數(shù)和x8的系數(shù)有關，由多項 式運算法則知所求系數(shù)為C00 ( 1)+ C：0 22 1 = 179.評述：本題考查在邏輯思維能力上的要求，兼考查分類討論的思想49. 答案：4x11解析：Tr +1 = C n ( )r，令r=3得x3的系數(shù)C3;，解得n=4.nn 1650. 答案：4rrrXr -99 -rr r9 -r解析：Tr+1= C9(1) (一)2( )=(一1) C 9 2 2 ax22 xr=9當 r _9 = 3，即 r=8 時，（-1）8C； 2 1 1 a ，解得 a=4.24評述：本題考查二項式定理的基礎知識，重點

23、考查通項公式和項的系數(shù)的概念，兼考運算能力51. 答案：54解析：令x=1得展開式各項系數(shù)之和 4n= 256解得n=4,所以x2的系數(shù)是C： 32= 54.52. 答案：30A、B 有 A解析：因過原點的直線常數(shù)項為0知c=0,從集合中任取兩個非零元素作系數(shù) 種，所以適合條件的直線有 A 6 = 30條.53. 答案：32解析：7個點任取3點的組合數(shù)C； = 35,其中三點在一線上不能組成三角形的有3個,故組成三角形的個數(shù)為35 - 3 = 32個.評述：本題是有限制條件的組合應用題，背景采用幾何圖形，對邏輯思維能力要求較高易出現(xiàn)不排除不構成三角形的情況的錯誤54. 答案：14405解析：將

24、數(shù)學書與外文書分別捆在一起與其他3本書一起排，有 A 5 = 120種排法，再 將3本數(shù)學書之間交換有 A 若1號盒空，3號盒放2個球，4號盒和2號盒各放一個球時仍有 CqCzC! = 12種放法. = 6種，2本外文書之間交換有 A 2 = 2種，故共有A ：A ；A 2 = 1440種排法.55. 答案：822422 4312解析：原式=(1 + X)(1 x ) =( 1 + 2x+ x ) (1 x)含 x 的項為 2x C4 ( x)解析：n3n _22a=CnCn,b=CnC n，=8x3，故x3的系數(shù)為一8.56.答案：11C：由已知有C：31n(1)(n2) 2 亠“11 .6

25、n(n -1)57.答案：350解析：選法是原裝取2臺組裝取3臺，原裝取3臺組裝取2臺故不同的選取法有2332一C6C5C6C5 = 350 種.58. 答案：144解法一：考慮用分配的數(shù)學模型來解.2 11若1號盒空，2號盒放2個球，3號盒和4號盒各放一個球有 C4C2C,= 12種放法.若1號盒空，4號盒放2個球，2號盒和3號盒各放一個球同樣有 C4C；C； = 12種放法.即1號盒空共有3 X 12 = 36種放法.同理2號盒空有36種放法，3號盒空有36種放法，4號盒空有36種放法.故按題中要求恰有一個空盒的放法共有4 X 36= 144種放法.解法二：先將4個球分成3組每組至少1個，

26、分法有6種然后再將這3組球放入4個盒子中每盒最多裝一組則恰有一個空盒的放法種數(shù)為6A 3 = 144種.評述：本題是一道排列組合綜合題，運用先分組，后排列的方法較好59. 答案： 189解析：Tr ： = C；(3)7( -x)r ,所以 r=5, x5 的系數(shù)為 C： 32 ( 1) 5= 189.評述：本題考查二項式定理，重點考查通項公式，兼考計算能力60. 解：(I)至少3人同時上網(wǎng)的概率等于 1減去至多2人同時上網(wǎng)的概率，即0 6 1 6 2 61 -C6(0.5)-C6(0.5)-C6(0.5)642132(n)至少4人同時上網(wǎng)的概率為至少5人同時上網(wǎng)的概率為:110.332C；(0

27、.5)67C6)(0.5)0.3.64 C6(0.5)6 C；(0.5)65(C60.3.因此，至少5人同時上網(wǎng)的概率小于61.解：分別記元件 A、B、C正常工作為事件 A、P (A)= 0. 80, P (B)= 0. 90, P ( C)= 0.C,由已知條件90.(I) 因為事件 A、B、C是相互獨立的，系統(tǒng) N1正常工作的概率P 1 = P (A B C)= P ( A) P ( B) P (C)= 0. 80X 0. 90X 0. 90= 0. 648. 故系統(tǒng)N1正常工作的概率為 0. 648 .(n)系統(tǒng) N2正常工作的概率P2 二 P( A) 1 - P(B C) = P(A)

28、 1 - P(B) P(C)./ P ( B )= 1 P ( B)= 1 0. 90= 0. 10.P ( C )= 1 P (C)= 1 0. 90= 0. 10. P2 = 0. 80X 1 0. 10X 0. 10= 0. 80X 0 . 99= 0 . 792. 故系統(tǒng)N2正常工作的概率為 0 . 792.1 l丿27 262.解：(1)解方程x+2得x=ix222n 1co = a 1U)2由in的周期性知:有四個值.n=1時,n=2時,n=3時,n=4時,n=1時,n=2時,門一3時,門一4時,不管22i-1+-1, 2- -.i 22、2i還是22i22丄2 -i22.22.i

29、2122n-12一(。2 ) a 22、22.i212、2、2 .i2I2r . 22i2222+i2242 V2a22iino 一i(-i)i丘.72. J2J2.M a =i,i，- - i,i 2 2 2 2 2 2 2 22 2 1P= _ _ 廠C463(2)v 3 Mz,貝U 3 =z2m1, m N2n 1任取 x M3,貝U x=3，n N而 3 =z. x= ( z ) =z( 2m- 1) (2n 1)為正奇數(shù).x Mz . M 3 - Mz評述：復數(shù)的運算是復數(shù)的基礎，本題考查復數(shù)的奇數(shù)次幕，由于in的周期性，因而a 2n- 1只有四個值，題目以集合的形式給出復數(shù)3，使復

30、數(shù)與集合有機的結合在一起，不僅考查復數(shù)還考查集合的表示方法而證明一個集合是另一個集合的子集在對集合的考查上又高了一個層次證明盡管不繁，但思維層次較高63.證明：(1)方法m (m 1) ： (m - i T)imA n n (n _ 1)(n - i T)iinn對于 mvn，. k = 1，2，,，亠 n k m k i-1有nmAA：；i 即 m A n n A mnm方法二一i典i一：n A n = n nn m (m 1) ( m 2) ,(m i+1)n個=mn-(mn n) (mn 2n) , mn n (i 1)同理 mi A = mn (mn m) (mn 2m) , mn m

31、 (i 1 門/ 1 v i w mv n，.mnn v mn m，mn2nvmn 2m，,，mnn (i 1) v mn m (i 1)聯(lián)系、可得n iAnmA v miAin.(2) 由二項式定理：(1 m)n 二 C0m0 Jm1 -C：mm00,11,.mm(1 n) -CmnCmnSni2 2 2 2Cnm C mn3333C nm C mnm mm mCn m CmnP00001111乂 C nm 二 Cm n ,Cnm 二 Cm n( 1 + m) n( 1 + n) m評述：此題體現(xiàn)了命題指導思想上有加強離散數(shù)學分量的趨勢164解：(1)甲從選擇題中抽到一題的可能結果有C6個,

32、乙從判斷題中抽到一題的可能結果有c4個，故甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的可能結果有1 1C6 C4個；又甲、乙依次抽1 1題的可能結果有C10C9個，所以甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率為：11C 6 C 411C 10 C 92449015(2)甲、乙二人依次都抽到判斷題的概率為:11C 4 C 311C 10 C 9故甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率為:1 1C 4 C 31- 11 1C10 C912901315或用以下解法:1 1 1 1C 6 C 5. C 6 C 41 1 1 1C 10C 9 C 10C 911C 4 C 61110 C 94+15134+=1515評述：本題

33、主要考查等可能事件的概率計算及分析和解決實際問題的能力65. (1)(文)解:(一15)(一16)(一17)= -680 .3!5(理)解：C 45(-15)(一16) ： 39 =11628 5!(2)(文)解:3Cx1 2(Cx)x(x -1)(x -2)26x12(x 3).6x當且僅當x= ,2時，等號成立LC3當x= 2時，于取得最小值（理，文3）解：性質不能推廣例如當x=.、2時，C1有定義，但無意義;、2v 2性質能推廣，它的推廣形式是mm 1mCx C x C x ., x R, m是正整數(shù)，事實上當 m=1 時，有 c： C： =x T.1 ,當m2時，jj x (x -1)(x - m 1)x (x1)(x - m 2)