向量地極化恒等式與等和線地應(yīng)用學(xué)生版

1、實用標準極化恒等式引例：平行四邊形是表 示向量加法和減法的幾 何模型。 你能用向量方法證明： 平行四邊形的對角線的 平方和等于兩條鄰邊平方和的 兩倍 .證明：不妨設(shè) AB a,AD b,AC22 ACa2 ba22abb2222DBDBaba2abb則 AC a b，DB a b，21）2）222ACDB2ab1 ）（ 2）兩式相加得：22 ABAD2結(jié)論：平行四邊形對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍 思考 1 ：如果將上面（ 1）（2 ）兩式相減，能得到什么結(jié)論呢？22a b 1 a b a b 極化恒等式4對于上述恒等式， 用向量運算顯然容易證明。 那么基于上面的引例， 你覺得極化恒等

2、式 的幾何意義是什么？和對角線”與 “差幾何意義： 向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的1對角線”平方差的 1 .4即： a b2DB （平行四邊形模式）思考：在圖 1 的三角形 ABD 中（M 為 BD 的中點），此恒等式如何表示呢？2 1 2 因為 AC 2AM ，所以 a b AM 2 DB 2 （三角形模式）4uuur uuur 例 1.（2012 年浙江文 15）在 ABC中，M 是 BC的中點， AM 3,BC 10，則 AB AC文案大全實用標準文案大全實用標準目標檢測（2012 北京文 13 改編 ）已知正方形 ABCD 的邊長為 1， 點 E是AB 邊上的動點

3、，則DE DA的值為 .例2（. 自編）已知正三角形 ABC內(nèi)接于半徑為 2的圓 O，點P是圓O上的一個動點， 則 PA PB的取值范圍是 .目標檢測22（2010福建文 11）若點O和點F分別為橢圓 xy 1的中心和左焦點，點 P為橢圓上的任意一點， 則OP FP的最大值為 （）A.2B.3C.6 D.81 AB ，且對于邊 AB4例3.(2013 浙江理 7)在 ABC中, P0是邊 AB上一定點，滿足 P0B uuur uuur uuur uuur上任一點 P ，恒有 PB PC P0B P0C 。則 ()A. ABC 90oB. BAC 90o C. AB AC D.AC BC文案大全

4、實用標準例 4.（2017 全國 2 理科 12） 已知ABC是邊長為 2 的等邊三角形，P 為平面 ABC 內(nèi)一點，uuur uuur uuur則 PA (PB PC) 的最小是( )A. 23 B.24 C.3D. 1課后檢測1.在 ABC 中，BAC 60o若 AB 2， BC3，D 在線段 AC上運動， DB DA的最小值為2.已知 AB是圓O的直徑 ,AB長為 2,C是圓 O上異于 A, B的一點 ,P是圓 O所在平面上任uuur uuur uuur意一點 ,則 PA PB PC 的最小值為 3在 ABC中， AB 3， AC 4， BAC 60o ，若 P是 ABC所在平面內(nèi)一點，

5、且 uuur uuurAP 2，則 PB PC 的最大值為文案大全實用標準2x24 若點O和點 F( 2,0) 分別是雙曲線 2 y2 1(a 0)的中心和左焦點， 點P為雙曲線 auuur uuur5 在 Rt ABC ， AC右支上任意一點則 OP FP 的取值范圍是 .BC 2，已知點 P是 ABC內(nèi)一點，則 PC (PA PB) 的最小值是 .6.已知 A、B 是單位圓上的兩點，O為圓心，且AOB 120o , MN 是圓 O的一條直徑，點 C 在圓內(nèi)，且滿足OC OA(1 )OB(01) ，則CM CN 的取值范圍是()1A 12,1 B1,13 C 34 ,0 D1,07.正 AB

6、C 邊長等于3 ，點P 在其外接圓上運動，則AP PB 的取值范圍是( )A. 3, 32,2B.3,12,2C.1,3 D.2,2文案大全實用標準8在銳角 ABC中，已知 B 3 ，uuur uuurAB ACuuur uuur2 ，則 AB AC 的取值范圍是(2008浙江理9)已知a,b是平面內(nèi)2個互相垂直的單位向量 ，若向量 c滿足9. (a c) (b c) 0,則 c的最大值是 ( )A.1 B.2C. 2 D. 22文案大全實用標準平面向量基本定理系數(shù)的等和線適用題型】 平面向量基本定理的表達式中， 研究兩系數(shù)的和差及線性表達式的范圍與最值?；径ɡ怼恳唬?平面向量共線定理uuu

7、ruuuruuur已知 OAOBOC ，若1，則 A,B,C 三點共線；反之亦然二） 等和線uuur uuur平面內(nèi)一組基底 OA, OB 及任一向量uuruOP，uuurOPuuurOAuuur OB( ,R），若點 P在直線AB 上或者在平行于 AB 的直線上，則定值），反之也成立，我們把直線 AB 以及與直線AB 平行的直線稱為等和線。1）當(dāng)?shù)群途€恰為直線 AB 時，k12）當(dāng)?shù)群途€在 O點和直線 AB 之間時，k (0,1)3）當(dāng)直線 AB 在點 O 和等和線之間時，k (1,）；4）當(dāng)?shù)群途€過 O 點時， k 0；5）若兩等和線關(guān)于 O 點對稱，則定值 k 互為相反數(shù)；解題步驟及說明

8、】1 、確定等值線為 1 的線；2 、平移（旋轉(zhuǎn)或伸縮）該線，結(jié)合動點的可行域，分析何處取得最大值和最小值；3、 從長度比或者點的位置兩個角度，計算最大值和最小值；說明：平面向量共線定理的表達式中的三個向量的起點務(wù)必一致，若不一致，本著少數(shù)服從多數(shù)的原則，優(yōu)先平移固定的向量；若需要研究的兩系數(shù)的線性關(guān)系，則需要通過變換基底向量，使得需要研究的代數(shù)式為基底的系數(shù)和?！镜湫屠}】文案大全實用標準uuur uuru例 1、給定兩個長度為 1 的平面向量 OA和OB ，它們的夾角為1200 ，如圖所示，點 C 在以 O為圓心的圓弧 ?AB 上變動。uuur uuur uuuruuur uuurAB A

9、C ，則若 OC xOA yOB ，其中 x,y R ，則 x y 的最大值1 uuur 跟蹤練習(xí)：已知 O為 ABC的外心，若 cos ABC ， AO3最大值為 例 2 、在平面直角坐標系中，O為坐標原點，兩定點uuur uuurA,B滿足 |OA| |OB |uuur uuurOA OB2，uuur uuur 則 點 集 P|OP OAuuurOB,| | | | 1,R 所 表 示的區(qū)域面積為例 3、如圖，在扇形 OAB 中，AOB 600， C 為弧 AB 上不與 A, B重合的一個動點，uuur uuur uuurOC xOA yOB ，若 u x y (0) 存在最大值，則的取值

10、范圍為文案大全實用標準跟蹤練習(xí)：在正方形ABCD中， E為 BC中點， P為以 AB為直徑的半圓弧上任意一點，uuur uuur 設(shè) AE xADuuuryAP ，則 2x y 的最小值為 .【強化訓(xùn)練】 uuur uuur uuur1、在正六邊形 ABCDEF中，P是三角形 CDE內(nèi)（包括邊界）的動點，設(shè)AP xAB yAF ，則 x y 的取值范圍 S為 AM , BN的交點， Puuuur uuurxAM yBN ，則 x yPB2 、如圖，在平行四邊形 ABCD中， M ,N為CD邊的三等份點，uuur 為邊 AB上的一動點， Q為 SMN內(nèi)一點（含邊界） ，若 PQ的取值范圍 .文案

11、大全實用標準123、 設(shè) D,E 分 別 是 ABC 的 邊 AB ， BC 上 的 點 ， AD AB ， BE BC ， 若23 uuur uuur uuurDE 1AB 2 AC （ 1, 2為實數(shù)），則 1 2的值為 .4、梯形 ABCD 中， ADAB， AD DC 1， AB 3， P為三角形 BCD內(nèi)一點（包uuur uuur 括邊界）， AP xABuuuryAD ，則 x y 的取值范圍uuur uuur uuur uuur 05、已知 |OA| 1,|OB | 3 ， OA OB 0 ，點 C 在 AOB 內(nèi)，且 AOC 300 ，設(shè) uuur uuur uuur mOC

12、mOA nOB ，則 的值為 .n6、在正方形 ABCD 中， E 為 AB 中點，P 為以 A 為圓心，AB 為半徑的圓弧上的任意文案大全實用標準uuur 點，設(shè) ACuuur uuurxDE yAP ，則 x y的最小值為uuuur uuur7、已知 |OM | |ON |uuur1， OPuuuur uuurxOM yON （ x, y為實數(shù)）。若 PMN 為以 M 為直角頂點的直角三角形，則x y 取值的集合為 uuur uuur uuur uuur uuur 0 uuur uuur 08、平面內(nèi)有三個向量 OA,OB,OC，其中OA,OB夾角為 1200 ， OA, OC的夾角為 300，且uuur uuur uuur uuur uuur uuur|OA| |OB| 1，|OC| 2 3，若OC mOA nOB ，則m n的值為 。_9、如圖， A, B,C是圓O上的三點， CO的延長線與線段 BA的延長線交于圓 O外的點 D，uuu