第一章3簡諧運動的圖像與公式

1、學案3簡諧運動的圖像和公式學習目標定位1.知道所有簡諧運動的圖像都是正弦(或余弦)曲線.2.會根據(jù)簡諧運動的圖像找出物體振動的周期和振幅，并能分析有關(guān)問題.3.理解簡諧運動的表達式，能從該表達式中獲取振幅、周期(頻率)、相位、初相等相關(guān)信息xt圖像是描述物體的位移與時間關(guān)系的圖像，由圖像可知任意時刻物體的位移某時刻物體的速度等于這一時刻圖像的斜率一、簡諧運動的圖像1坐標系的建立：以橫坐標表示時間，縱坐標表示位移，描繪出簡諧運動中振動物體離開平衡位置的位移x隨時間t變化的圖像，稱為簡諧運動的圖像(或稱振動圖像)2圖像形狀：嚴格的理論和實驗都證明所有簡諧運動的運動圖像都是正弦(或余弦)曲線二、簡諧

2、運動的表達式及相位1表達式：簡諧運動的表達式一般可以寫成xAsin_(t)，其中，f，綜合可得xAsin (t)Asin_(2ft)2各符號的意義：A表示振動的振幅，T和f分別表示物體振動的周期和頻率，“2ft”這個量叫做簡諧運動的相位，t0時的相位叫做初相位，簡稱初相三、簡諧運動的相位差概念：指兩者振動的相位之差在實際中常用到的是兩個具有相同頻率的簡諧運動的相位差，數(shù)值上恰好等于它們的初相之差一、簡諧運動的圖像問題設(shè)計1我們研究直線運動時，經(jīng)常使用xt圖像和vt圖像來描述物體的運動，對于簡諧運動也可以用運動圖像來描述它的運動情況甲、乙兩同學合作模擬簡諧運動的xt圖像如圖1所示，取一張白紙，在

3、正中間畫一條直線OO，將白紙平鋪在桌面上，甲同學用手使鉛筆尖從O點沿垂直于OO方向振動畫線，乙同學沿OO方向水平向右勻速拖動白紙圖1(1)白紙不動時，甲同學畫出的軌跡是怎樣的？(2)乙同學勻速向右拖動白紙時，甲同學畫出的軌跡又是怎樣的？答案(1)是一條垂直于OO的直線(2)軌跡如圖，類似于正弦曲線2繪制簡諧運動的xt圖像如圖2所示，使漏斗在豎直平面內(nèi)做小角度擺動，并垂直于擺動平面勻速拉動薄板，則細沙在薄板上形成曲線若以振子的平衡位置為坐標原點，沿著振動方向建立x軸，垂直于振動方向建立t軸，則這些曲線就是振子的位移時間圖像圖2(1)為什么這就是振子的位移時間圖像？(2)位移時間圖像與什么函數(shù)圖像

4、類似？答案(1)以單擺為例，當單擺擺動時，薄板從左向右勻速運動所以薄板運動的距離與時間成正比因此可用薄板運動的距離代表時間軸，圖像上每一個點的位置反映了不同時刻振子離開平衡位置的位移，即位移隨時間變化的規(guī)律(2)與正弦(或余弦)函數(shù)圖像類似要點提煉1如果質(zhì)點的位移與時間的關(guān)系遵從正弦函數(shù)的規(guī)律，即它的振動圖像(xt圖像)是一條正弦曲線，這樣的振動叫做簡諧運動，它是最簡單、最基本的振動彈簧振子的運動就是簡諧運動2圖像的應用(1)確定位移及變化從簡諧運動圖像可直接讀出不同時刻t的位移值，從最大位移處向平衡位置運動過程中位移減小，從平衡位置向最大位移處運動過程中位移增大(2)確定各時刻速度的大小和方

5、向方法一：切線斜率法切線斜率的絕對值表示速度大小，切線斜率的正負表示速度方向方法二：根據(jù)實際情況判斷速度的方向結(jié)合質(zhì)點的實際運動方向判斷速度的大小根據(jù)位移情況判斷：在平衡位置，質(zhì)點速度最大；在最大位移處，質(zhì)點速度為0.在從平衡位置向最大位移處運動的過程中，速度減小；在從最大位移處向平衡位置運動的過程中，速度增大二、簡諧運動的表達式及相位差問題設(shè)計1將兩個相同的單擺向同一方向拉開相同的角度，然后同時釋放兩個單擺的振動有什么特點？它們的相位差是多大？答案它們同時到達同側(cè)的最大位移處，也同時到達平衡位置，它們總是“步調(diào)一致”，相位相同，相位差為0.2將兩個擺長相同的單擺向相反方向拉開相同的角度，然后

6、同時釋放，觀察兩個單擺的振動有什么特點？它們的相位差是多大？答案它們各時刻的位移總是相反，相位差為.3正弦函數(shù)yAsin (t)的表達式中，A、分別表示什么意義？答案A代表簡諧運動的振幅；叫做簡諧運動的“圓頻率”，它與周期T、頻率f的關(guān)系為、2f；(t)代表簡諧運動的相位，是初相位要點提煉對表達式xAsin (t)的理解1式中x表示振動質(zhì)點相對于平衡位置的位移；t表示振動的時間2A表示振動質(zhì)點偏離平衡位置的最大距離，即振幅3稱做簡諧運動的圓頻率，它也表示簡諧運動振動的快慢，與周期T及頻率f的關(guān)系：2f.所以表達式也可寫成：xAsin 或xAsin (2ft)4t代表了做簡諧運動的質(zhì)點在t時刻處

7、在一個運動周期中的哪個狀態(tài)，所以t代表簡諧運動的相位；其中是t0時的相位，稱為初相位或初相相位是一個角度，單位是弧度或度5相位差若兩個簡諧運動的表達式為x1A1sin (t1)，x2A2sin (t2)，則相位差為(t2)(t1)21.當0時，兩振動質(zhì)點振動步調(diào)一致當時，兩振動質(zhì)點振動步調(diào)完全相反一、對簡諧運動的圖像的理解例1如圖3所示是某質(zhì)點做簡諧運動的振動圖像，根據(jù)圖像中的信息，回答下列問題：圖3(1)質(zhì)點離開平衡位置的最大距離是多少？(2)在1.5 s和2.5 s兩個時刻，質(zhì)點向哪個方向運動？(3)質(zhì)點在第2秒末的位移是多少？在前4秒內(nèi)的路程是多少？解析由題圖上的信息，結(jié)合質(zhì)點的振動過程

8、可知(1)質(zhì)點離開平衡位置的最大距離就是x的最大值，為10 cm；(2)在1.5 s后質(zhì)點位移逐漸減小，因此質(zhì)點是向平衡位置運動，在2.5 s后質(zhì)點位移逐漸增大，因此質(zhì)點是背離平衡位置運動；(3)第2秒末質(zhì)點在平衡位置，因此位移為零質(zhì)點在前4秒內(nèi)完成一個周期性運動，其路程為10 cm440 cm.答案見解析例2如圖4所示為某質(zhì)點做簡諧運動的圖像，下列說法中正確的是()圖4AA、B兩點速度方向相同BB、C兩點速度方向相同C從B至C速度先增大后減小D從B至C速度先減小后增大解析A、B在平衡位置同一側(cè)的同一位置，速度大小相等，方向相反，A項錯；B、C在平衡位置兩側(cè)，且距離平衡位置距離相等，質(zhì)點先經(jīng)過

9、B后經(jīng)過C，故B、C兩點速度大小、方向均相等，B項正確；質(zhì)點在平衡位置速度最大，故質(zhì)點從B至C的過程中，速度先增大后減小，C項正確，D項錯誤答案BC二、對簡諧運動的表達式的理解例3一個小球和輕質(zhì)彈簧組成的系統(tǒng)，按x15sin (8t) cm的規(guī)律振動(1)求該振動的周期、頻率、振幅和初相(2)另一簡諧運動表達式為x25sin (8t) cm，求它們的相位差解析(1)已知8 rad/s，由得T s，f4 Hz.A5 cm，1.(2)由(t2)(t1)21得.答案(1) s4 Hz5 cm(2)針對訓練有兩個振動，其表達式分別是x14sin (100t) cm，x25sin (100t) cm，下

10、列說法正確的是()A它們的振幅相同B它們的周期相同C它們的相位差恒定 D它們的振動步調(diào)一致答案BC解析它們的振幅分別是4 cm、5 cm，故不同；都是100 rad/s，所以周期(T)都是 s；由(100t)(100t)得相位差(為)恒定；0，即振動步調(diào)不一致1(對簡諧運動的圖像的理解)關(guān)于簡諧運動的圖像，下列說法中正確的是()A表示質(zhì)點振動的軌跡，是正弦或余弦曲線B由圖像可判斷任一時刻質(zhì)點相對平衡位置的位移方向C表示質(zhì)點的位移隨時間變化的規(guī)律D由圖像可判斷任一時刻質(zhì)點的速度方向答案BCD解析振動圖像表示質(zhì)點的位移隨時間的變化規(guī)律，不是運動軌跡，A錯，C對；由圖像可以判斷某時刻質(zhì)點的位移和速度

11、方向，B、D正確2. (對簡諧運動的圖像的理解)如圖5所示是某一質(zhì)點做簡諧運動的圖像，下列說法正確的是()圖5A在第1 s內(nèi)，質(zhì)點速度逐漸增大B在第1 s內(nèi)，質(zhì)點加速度逐漸增大C在第1 s內(nèi)，質(zhì)點的回復力逐漸增大D在第4 s內(nèi)質(zhì)點的動能逐漸增大E在第4 s內(nèi)質(zhì)點的勢能逐漸增大F在第4 s內(nèi)質(zhì)點的機械能逐漸增大答案BCD解析在第1 s內(nèi)，質(zhì)點由平衡位置向正向最大位移處運動，速度減小，位移增大，回復力和加速度都增大；在第4 s內(nèi)，質(zhì)點由負向最大位移處向平衡位置運動，速度增大，位移減小，動能增大，勢能減小，但機械能守恒3(簡諧運動的表達式)物體A做簡諧運動的振動位移xA3sin (100t) m，物

12、體B做簡諧運動的振動位移xB5sin (100t) m比較A、B的運動()A振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 mB周期是標量，A、B周期相等為100 sCA振動的頻率fA等于B振動的頻率fBDA的相位始終超前B的相位答案CD解析振幅是標量，A、B的振動范圍分別是6 m、10 m，但振幅分別為3 m、5 m，A錯；A、B的周期T s6.28102 s，B錯；因為TATB，故fAfB，C對；，D對4(簡諧運動的圖像與表達式)根據(jù)如圖6所示的某振子的振動圖像，完成下列各題：圖6(1)算出下列時刻振子相對平衡位置的位移t10.5 s；t21.5 s.(2)將位移隨時間的變化規(guī)律寫成xAsi

13、n (t)的形式并指出振動的初相位的大小答案(1)5 cm5 cm(2)x10sin cm解析(1)由題圖知，xAcos t10cos (t) cm10cos cm，則t10.5 s時，x15 cm；t21.5 s時，x25 cm.(2)x10sin(t) cm，初相位.題組一對簡諧運動圖像的理解1如圖1所示是某振子做簡諧運動的圖像，以下說法中正確的是()圖1A因為振動圖像可由實驗直接得到，所以圖像就是振子實際運動的軌跡B振動圖像反映的是振子位移隨時間變化的規(guī)律，并不是振子運動的實際軌跡C振子在B位置的位移就是曲線BC的長度D振子運動到B點時的速度方向即為該點的切線方向答案B解析振動圖像表示振

14、子位移隨時間變化的規(guī)律，并不是振子運動的實際軌跡，B對，A、C錯由于圖像不是質(zhì)點的運動軌跡，因此切線的方向并不表示速度的方向，D錯2.一質(zhì)點做簡諧運動，其位移x與時間t的關(guān)系圖像如圖2所示，由圖可知()圖2A質(zhì)點振動的頻率是4 HzB質(zhì)點振動的振幅是2 cmCt3 s時，質(zhì)點的速度最大D在t3 s時，質(zhì)點的振幅為零答案BC解析由題圖可以直接看出振幅為2 cm，周期為4 s，所以頻率為0.25 Hz，所以選項A錯誤，B正確t3 s時，質(zhì)點經(jīng)過平衡位置，速度最大，所以選項C正確振幅等于質(zhì)點偏離平衡位置的最大位移，與質(zhì)點的位移有著本質(zhì)的區(qū)別，t3 s時，質(zhì)點的位移為零，但振幅仍為2 cm，所以選項D

15、錯誤3.如圖3所示為某物體做簡諧運動的圖像，下列說法中正確的是()圖3A由PQ，位移在增大B由PQ，速度在增大C由MN，位移先減小后增大D由MN，位移始終減小答案AC解析由PQ，質(zhì)點遠離平衡位置運動，位移增大而速度減小，選項A正確，B錯誤；由MN，質(zhì)點先向著平衡位置運動，經(jīng)過平衡位置后又遠離平衡位置運動，因而位移先減小后增大，選項C正確，D錯誤4.如圖4所示為某質(zhì)點做簡諧運動的圖像，則下列說法正確的是()圖4A質(zhì)點在0.7 s時，正在遠離平衡位置B質(zhì)點在1.5 s時的位移最大C1.2 s到1.4 s，質(zhì)點的位移在增大D1.6 s到1.8 s，質(zhì)點的位移在增大答案BC解析由于位移是指由平衡位置指

16、向質(zhì)點所在位置的有向線段，故質(zhì)點在0.7 s時正在向平衡位置運動，所以A項錯誤；質(zhì)點在1.5 s時的位移到達最大，故B正確；質(zhì)點在1.2 s到1.4 s時間內(nèi)，正在遠離平衡位置，所以其位移在增大，故C正確；1.6 s到1.8 s時間內(nèi)，質(zhì)點正向平衡位置運動，所以其位移在減小，故D項錯誤5.一質(zhì)點做簡諧運動的振動圖像如圖5所示，則該質(zhì)點()圖5A在00.01 s內(nèi)，速度與加速度同向B在0.01 s0.02 s內(nèi)，速度與回復力同向C在0.025 s時，速度為正，加速度為正D在0.04 s時，速度最大，回復力為零答案AC解析F、a與x始終反向，所以由x的正負就能確定a的正負在xt圖像上，圖線各點切線

17、的斜率表示該點的速度，由斜率的正負又可確定v的正負，由此判斷A、C正確6一個彈簧振子沿x軸做簡諧運動，取平衡位置O為x軸坐標原點從某時刻開始計時，經(jīng)過四分之一周期，振子具有沿x軸正方向的最大加速度能正確反映振子位移x與時間t關(guān)系的圖像是() 答案A解析根據(jù)Fkx及牛頓第二定律得ax，當振子具有沿x軸正方向的最大加速度時，其具有沿x軸負方向的最大位移，故選項A正確，選項B、C、D錯誤7圖6甲所示為以O(shè)點為平衡位置，在A、B兩點間做簡諧運動的彈簧振子，圖乙為這個彈簧振子的振動圖像，由圖可知下列說法中正確的是()圖6A在t0.2 s時，彈簧振子可能運動到B位置B在t0.1 s與t0.3 s兩個時刻，

18、彈簧振子的速度相同C從t0到t0.2 s的時間內(nèi)，彈簧振子的動能持續(xù)地增加D在t0.2 s與t0.6 s兩個時刻，彈簧振子的加速度相同答案A8如圖7甲所示是一個彈簧振子的示意圖，O是它的平衡位置，振子在B、C之間做簡諧運動，規(guī)定向右為正方向圖乙是它的速度v隨時間t變化的圖像下列說法中正確的是()甲乙圖7At2 s時刻，它的位置在O點左側(cè)4 cm處Bt3 s時刻，它的速度方向向左，大小為2 m/sCt4 s時刻，它的加速度為方向向右的最大值D振子在一個周期內(nèi)通過的路程是16 cm答案C題組二簡諧運動表達式的應用9有一個彈簧振子，振幅為0.8 cm，周期為0.5 s，初始時具有負方向的最大加速度，

19、則它的振動方程是()Ax8103sin mBx8103sin mCx8101sin mDx8101sin m答案A解析4 rad/s，當t0時，具有負方向的最大加速度，則xA，所以初相，表達式為x8103sin m，A正確10某質(zhì)點做簡諧運動，其位移隨時間變化的關(guān)系式為xAsint，則質(zhì)點()A第1 s末與第3 s末的位移相同B第1 s末與第3s末的速度相同C3 s末至5 s末的位移方向都相同D3 s末至5 s末的速度方向都相同答案AD解析由表達式xAsint知，簡諧運動的周期T8 s表達式對應的振動圖像如圖所示質(zhì)點在1 s末的位移x1Asin(1)A質(zhì)點在3 s末的位移x3Asin(3)A，

20、故A正確由前面的計算可知t1 s和t3 s質(zhì)點連續(xù)通過同一位置，故兩時刻質(zhì)點速度大小相等，但方向相反，B錯誤；由xt圖像可知，3 s4 s內(nèi)質(zhì)點的位移為正值，4 s5 s內(nèi)質(zhì)點的位移為負值，C錯誤；同樣由xt圖像可知，在時間3 s5 s內(nèi)，質(zhì)點一直向負方向運動，D正確11做簡諧運動的小球按x0.05cos (2t/4) m的規(guī)律振動(1)求振動的圓頻率、周期、頻率、振幅和初相位；(2)當t10.5 s、t21 s時小球的位移分別是多少？答案(1)振幅A0.05 m，初相位0/4，圓頻率2 rad/s，周期T1 s，頻率f1Hz(2)0.025 m0.025 m解析(1)根據(jù)表達式可以直接判斷振

21、幅A0.05 m，初相位0，圓頻率2 rad/s，根據(jù)公式T1 s，頻率f1 Hz.(2)將t10.5 s、t21 s代入x0.05cos (2t/4) m得x10.05cos (5/4) m0.025 m，x20.05cos (9/4) m0.025 m.題組三綜合應用12如圖8甲所示是演示簡諧運動圖像的裝置，當漏斗下面的薄木板N被勻速地拉出時，振動著的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲線顯示出擺的位移隨時間變化的關(guān)系板上的直線OO1代表時間軸，圖乙中是兩個擺中的沙在各自板上形成的曲線，若板N1和板N2拉動的速度v1和v2的關(guān)系為v22v1，則板N1、N2上曲線所代表的周期T1和T2的關(guān)系為()圖

22、8AT2T1 BT22T1CT24T1 DT2T1答案D解析在木板上由擺動著的漏斗中漏出的沙形成的曲線顯示出擺的位移隨時間變化的規(guī)律，即沙擺的振動圖像由于拉動木板的速度不同，所以N1、N2上兩條曲線的時間軸(橫軸)的單位長度代表的時間不等如果確定了N1、N2上兩條曲線的時間軸的單位長度與時間的對應關(guān)系后，就可以確定各條曲線代表的沙擺完成一次全振動所需的時間，即振動周期，從而可以確定T1、T2的關(guān)系由題圖可知，薄木板被勻速拉出的距離相同，且v22v1，則木板N1上時間軸單位長度代表的時間t1是木板N2上時間軸單位長度代表的時間t2的兩倍，即t12t2.由題圖乙可知，T1t1，T2t2，從而得出T

23、14T2.正確選項為D.13(2014浙江17)一位游客在千島湖邊欲乘坐游船，當日風浪較大，游船上下浮動可把游船浮動簡化成豎直方向的簡諧運動，振幅為20 cm，周期為3.0 s當船上升到最高點時，甲板剛好與碼頭地面平齊地面與甲板的高度差不超過10 cm時，游客能舒服地登船在一個周期內(nèi)，游客能舒服登船的時間是()A0.5 s B0.75 sC1.0 s D1.5 s答案C解析由振動周期T3.0 s、A20 cm知，游船做簡諧運動的振動方程xAsin t20sin t(cm)在一個周期內(nèi)，當x10 cm時，解得t10.25 s，t21.25 s游客能舒服登船的時間tt2t11.0 s，選項C正確，選項A、B、D錯誤14如圖9所示為A、B兩個簡諧運動