第十章 變形及剛度計(jì)算

1、2第十章第十章 變形與剛度計(jì)算變形與剛度計(jì)算10-1 軸向拉伸與壓縮的變形軸向拉伸與壓縮的變形10-2 圓軸扭轉(zhuǎn)變形及剛度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)變形及剛度計(jì)算10-3 彎曲變形與剛度計(jì)算彎曲變形與剛度計(jì)算10-4 能量法簡(jiǎn)介能量法簡(jiǎn)介10-5 簡(jiǎn)單靜不定問(wèn)題的求解簡(jiǎn)單靜不定問(wèn)題的求解32-6 軸向拉伸與壓縮的變形軸向拉伸與壓縮的變形一一 縱向變形縱向變形FFbhh1b1ll1E為彈性摸量為彈性摸量1lll ll l l E lE NFA NF lEA EA為抗拉剛度為抗拉剛度4FFbhh1b1ll1二二 橫向變形橫向變形 bbb 1bbb bb 泊松比泊松比: : 橫向應(yīng)變橫向應(yīng)變: :鋼材的鋼材的E

2、約為約為200 GPa， 約為約為0.250.335i) )多力桿多力桿：1nN iiiiFllEA( )( )NlFx dxlEA xii)ii)對(duì)于對(duì)于N沿桿長(zhǎng)連續(xù)變化的情況沿桿長(zhǎng)連續(xù)變化的情況， 即即FN=FN(x)：NFllE A 的應(yīng)用推廣的應(yīng)用推廣：20kN60kN40kN200200FNx40kN20kNFNxFN (x)6討論題討論題 在板狀試件的表面上，沿縱向和橫向粘帖兩個(gè)應(yīng)變片在板狀試件的表面上，沿縱向和橫向粘帖兩個(gè)應(yīng)變片 1 1和和 2，在在F力作用下，若測(cè)得力作用下，若測(cè)得 1 1120120106， 2=40106 ，則該試件，則該試件材料的泊松比是材料的泊松比是 。

3、 1 2FF(A) 33；(B) 33；(C) 1/31/3； (D) 1/31/3；C72F3FFl / 2l / 2EA2EA討論題討論題 圖示階梯形桿總變形圖示階梯形桿總變形l= 。 ( ) 0A( )2FlBEA( )FlCEA3( )2FlDEAA8討論題討論題. 抗拉（壓）剛度為抗拉（壓）剛度為EA的等直桿受力如圖所示，試問(wèn)：的等直桿受力如圖所示，試問(wèn)： EALPEALPL2211 （1）總伸長(zhǎng)是否為總伸長(zhǎng)是否為 ？如有錯(cuò)誤，正確的算式是什么？如有錯(cuò)誤，正確的算式是什么？P2P1L2L11122NNFLFLLEAEA EALPEALPP22121)( FNxP1 - P2P29 例

4、例10-1、階梯桿所受載荷及尺寸如圖示，、階梯桿所受載荷及尺寸如圖示，E=200GPa, =170MPa。試求：桿的總變形量。試求：桿的總變形量。FNx20kN40kN40kN60kN20kN200200A1=200mm2A2 =250mm2 解：軸力圖如圖所示解：軸力圖如圖所示12202000.1200200kNmmlmmGPamm 120 06lll.mm kNmmlmmGPamm 22402000.1620025010解：解：1) 計(jì)算軸向應(yīng)變計(jì)算軸向應(yīng)變2) 計(jì)算橫截面應(yīng)力計(jì)算橫截面應(yīng)力 已知已知： d1=15.3mm, L=54mm, E=200GPa, 試計(jì)算橫截面上的正應(yīng)力及橫向

5、變形量。試計(jì)算橫截面上的正應(yīng)力及橫向變形量。0 04L.mm 0.3 例題例題10-2、,3) 計(jì)算橫向應(yīng)變計(jì)算橫向應(yīng)變 4) 計(jì)算橫向變形計(jì)算橫向變形d壓緊力：壓緊力：LL 0 0454. 6741 10 E 148 2().MPa 6222 10 1d 0 0034().mm F A 54 5 . kN 1110-2 圓軸扭轉(zhuǎn)變形及剛度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)變形及剛度計(jì)算1 1、變形計(jì)算變形計(jì)算dd x 或或PTddxGI 由右圖可知由右圖可知，表示相距為表示相距為dx的兩的兩d個(gè)橫截面之間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。個(gè)橫截面之間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。表示的是扭轉(zhuǎn)角沿長(zhǎng)度方向的變化率表示的是扭轉(zhuǎn)角沿長(zhǎng)度方向的變化率ddx

6、PTGI 12距離為距離為L(zhǎng)的兩個(gè)橫截面之間的相對(duì)轉(zhuǎn)角則為：的兩個(gè)橫截面之間的相對(duì)轉(zhuǎn)角則為：L0PTdxGI 若兩截面之間扭矩的值不變，且軸為等直桿若兩截面之間扭矩的值不變，且軸為等直桿若兩截面之間扭矩的值發(fā)生變化，或者軸為階梯桿若兩截面之間扭矩的值發(fā)生變化，或者軸為階梯桿(單位單位：rad)niii 1iPiT LG I (單位單位：rad)PTLGI 相對(duì)扭轉(zhuǎn)角相對(duì)扭轉(zhuǎn)角 GIP 稱作抗扭剛度稱作抗扭剛度 132 2、剛度計(jì)算剛度計(jì)算maxmaxmax PdTdxGI(rad/m)maxmax180 PTGI(/m)或或注意區(qū)分兩截面之間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角與單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角注意區(qū)分兩截面之間的相對(duì)

7、扭轉(zhuǎn)角與單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角14例例10103 3 d=110mm，若各輪之間距離均為若各輪之間距離均為 l=2m， G=80GPa， =0.5/m，(1)(1)試校核軸的剛度；試校核軸的剛度；(2)(2)計(jì)計(jì)算相鄰兩輪之間的扭轉(zhuǎn)角和軸兩端截面之間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)算相鄰兩輪之間的扭轉(zhuǎn)角和軸兩端截面之間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。角。 解：解：max Tmax=9560N.m1 1、 剛度計(jì)算剛度計(jì)算maxPTGI180 0.48 所以剛度符合要求。所以剛度符合要求。MA=15.9kN.m MB=MC=4.78kN.m152 2、變形計(jì)算、變形計(jì)算計(jì)算變形時(shí)，扭矩計(jì)算變形時(shí)，扭矩T 應(yīng)取代數(shù)值應(yīng)取代數(shù)值。BC BCT18

8、0 0 477. BCl PG I 1800 954CACACAPTl.G I 1800 635ADADADPTl.G I 軸兩端截面之間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為：軸兩端截面之間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為：BD BCCAAD0 805. 16ABFC500300f f 2020510例例10-4、已知、已知F=60kN，E=200GPa，G=0.4E，不考慮，不考慮AB桿的變形，桿的變形，求求B截面的垂直位移。截面的垂直位移。解：解：Bw 300AC PTLGI 32 05 10.m 300 17 1、撓度、撓度一、基本概念一、基本概念橫截面形心橫截面形心 C (即軸線上的點(diǎn)即軸線上的點(diǎn))在垂直于在垂直于 x 軸方

9、向的線位移軸方向的線位移,稱為該截面的撓度。用稱為該截面的撓度。用w表示。表示。撓度：向上為正撓度：向上為正,向下為負(fù)向下為負(fù).AB w xBw撓度撓度CC10-3 彎曲變形與剛度計(jì)算彎曲變形與剛度計(jì)算182、轉(zhuǎn)角、轉(zhuǎn)角AB w xCCw撓度撓度B轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 橫截面變形前后的夾角稱為該截面的轉(zhuǎn)角。橫截面變形前后的夾角稱為該截面的轉(zhuǎn)角。 用用 表示表示自自x 轉(zhuǎn)至切線方向轉(zhuǎn)至切線方向,逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正,順時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)。順時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)。19AB w xCCw撓度撓度B轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 3 3、撓曲線、撓曲線撓曲線撓曲線式中式中, x 為梁變形前軸線上任一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為梁變形前軸線上任一點(diǎn)的橫坐標(biāo),w 為該

10、點(diǎn)的撓度。為該點(diǎn)的撓度。撓曲線方程為撓曲線方程為( )wf x梁變形后的軸線稱為撓曲線梁變形后的軸線稱為撓曲線。204 4、撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系、撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系A(chǔ)B w xCCw撓度撓度B轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 撓曲線撓曲線 tg w ( )w x 21二、用積分法求彎曲變形二、用積分法求彎曲變形推導(dǎo)純彎曲正應(yīng)力公式時(shí)，得到：推導(dǎo)純彎曲正應(yīng)力公式時(shí)，得到：1 橫力彎曲時(shí)忽略剪力對(duì)變形的影響：橫力彎曲時(shí)忽略剪力對(duì)變形的影響：1( )( )zM xxEI 由數(shù)學(xué)知識(shí)可知：由數(shù)學(xué)知識(shí)可知：222 311() d wdxdwdx 略去高階小量略去高階小量221d wdx 22( )zd wM xdxEI zMEI22

11、在規(guī)定的坐標(biāo)系中在規(guī)定的坐標(biāo)系中, x 軸水平向右軸水平向右為正為正, w 軸豎直向上為正軸豎直向上為正.曲線凸向上時(shí)：曲線凸向上時(shí)：OxwxOw00 wM因此因此,w與與M的正負(fù)號(hào)相同的正負(fù)號(hào)相同0M 曲線凹向上時(shí)曲線凹向上時(shí):00 wM 0w MMMM0M 0w23由于彎矩的符號(hào)與撓曲線的二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)一致，所以撓曲線由于彎矩的符號(hào)與撓曲線的二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)一致，所以撓曲線的近似微分方程為：的近似微分方程為：22( )zd wM xdxEI 由上式進(jìn)行積分，就可以求出梁橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度。由上式進(jìn)行積分，就可以求出梁橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度。2w近似原因近似原因 : (1) 略去了剪力的影響略去了剪力

12、的影響 ; (2) 略去了略去了 項(xiàng)項(xiàng);22( )zd wM xdxEI2422( )zd wM xdxEI 積分一次得轉(zhuǎn)角方程為：積分一次得轉(zhuǎn)角方程為：zdwEIdx22( )zd wEIM xdx 再積分一次得撓度方程為：再積分一次得撓度方程為：zEI wzEI ( )M x dx ( )M x dxdx Cx D C 25積分常數(shù)積分常數(shù)C、D 由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)條件由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)條件確定。確定。0Aw 0Aw 0 A Aw 位移邊界條件位移邊界條件光滑連續(xù)條件光滑連續(xù)條件ALARwwARAL ALARww 彈簧變形彈簧變形 AAAAAA26剛度條件剛度條件數(shù)學(xué)表

13、達(dá)式數(shù)學(xué)表達(dá)式剛度條件的應(yīng)用剛度條件的應(yīng)用(1)校核剛度校核剛度(2)設(shè)計(jì)截面尺寸設(shè)計(jì)截面尺寸(3)求許可載荷求許可載荷wwmax max 27例例10-5、已知、已知EIz為常數(shù)，為常數(shù)，M0，L，求，求 A A， B B，及中點(diǎn)的撓度；，及中點(diǎn)的撓度；若若 ，試校核剛度。，試校核剛度。 24zMLwEI 22( )zd wEIM xdx ABM0wLx解：解： 1、外力分析、外力分析FAFB0ABMFFLx( )M x 0 xL0MxL撓曲線、轉(zhuǎn)角、撓度方程撓曲線、轉(zhuǎn)角、撓度方程202zMEIxCL 306zMEI wxCxDL 22( )zd wEIM xdx 0MxL 3、變形分析、變

14、形分析0MxL2、內(nèi)力分析、內(nèi)力分析28ABM0wLx202zMEIxCL 306zMEI wxCxDL 確定積分常數(shù)確定積分常數(shù)0 x (0)w 0 xL ( )w L 00D 得：得：06M LC 所以所以20026zMM LEIxL 30066zMM LEI wxxL 0(0)6AZM LEI0( )3 BZM LLEI求求 A， B，wL/2( )( )294、剛度計(jì)算、剛度計(jì)算0w 200026MM LxL 3Lxmaxw 所以，剛度滿足要求。所以，剛度滿足要求。30011()()()26262zMM LLEI wLLL 20()()216zM LLwEI 20026zMM LEIx

15、L 校核剛度校核剛度 24zMLwEI (0) 30066zMM LEI wxxL 209 3ZM LEI w 301 1、疊加法原理（力的獨(dú)立性原理）、疊加法原理（力的獨(dú)立性原理） 在小變形前提下，當(dāng)構(gòu)件或結(jié)構(gòu)同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，在小變形前提下，當(dāng)構(gòu)件或結(jié)構(gòu)同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，如果各載荷與其產(chǎn)生的效果如果各載荷與其產(chǎn)生的效果(支反力，內(nèi)力，應(yīng)力和位移、支反力，內(nèi)力，應(yīng)力和位移、變形等變形等)成線性關(guān)系成線性關(guān)系,則則各載荷與其產(chǎn)生的效果各載荷與其產(chǎn)生的效果互不影響，互不影響，各自獨(dú)立，它們同時(shí)作用所產(chǎn)生的總效果等于各載荷單各自獨(dú)立，它們同時(shí)作用所產(chǎn)生的總效果等于各載荷單獨(dú)作用時(shí)所產(chǎn)生的效果之

16、和。獨(dú)作用時(shí)所產(chǎn)生的效果之和。2 2、求梁的彎曲變形的疊加法、求梁的彎曲變形的疊加法分別求出各載荷單獨(dú)作用時(shí)的變形，然后把各載荷在同分別求出各載荷單獨(dú)作用時(shí)的變形，然后把各載荷在同一處引起的變形進(jìn)行疊加一處引起的變形進(jìn)行疊加( (代數(shù)疊加代數(shù)疊加) )。三、用疊加法求梁的彎曲變形三、用疊加法求梁的彎曲變形31例例106、一抗彎剛度為、一抗彎剛度為 EI 的簡(jiǎn)支梁受荷載如圖的簡(jiǎn)支梁受荷載如圖 所示。試按疊所示。試按疊加原理求梁跨中點(diǎn)的撓度加原理求梁跨中點(diǎn)的撓度 wC 和支座處橫截面的轉(zhuǎn)角和支座處橫截面的轉(zhuǎn)角 A , B 。qABmABqmlAB Aq AmwCqwCm Bm Bq解：解： 將荷載

17、分為兩項(xiàng)簡(jiǎn)單荷載將荷載分為兩項(xiàng)簡(jiǎn)單荷載Cw ( )45384qlEI 216mlEI CqCmww A AqAm 324qlEI ( ) 3mlEI B BqBm 324qlEI 6mlEI ( )32討論：如何分解載荷？討論：如何分解載荷？BAlqFMBAlqBAlFBAlM分解原則：分解后每根分解原則：分解后每根梁只作用單個(gè)載荷。梁只作用單個(gè)載荷。33q討論：如何分解載荷？討論：如何分解載荷？BqAaaCAaaCBAaaCBq如何求如何求B B截面的撓度及轉(zhuǎn)角？截面的撓度及轉(zhuǎn)角？34AaaCBqCwC BCABwBw CwBqEICAaaCa qAaaCBAaaCBq如何用另一種方法求如何

18、用另一種方法求C C截面及截面及B B截面的撓度及轉(zhuǎn)角？截面的撓度及轉(zhuǎn)角？35使用疊加法計(jì)算撓度和轉(zhuǎn)角時(shí)，根據(jù)不同的載荷情況使用疊加法計(jì)算撓度和轉(zhuǎn)角時(shí)，根據(jù)不同的載荷情況和梁的變形形式，可采取兩種處理方式：和梁的變形形式，可采取兩種處理方式：(1) (1) 載荷疊加載荷疊加：將載荷分解為幾種基本載荷，梁某處：將載荷分解為幾種基本載荷，梁某處的總變形等于各基本載荷作用下在該處產(chǎn)生變形的代的總變形等于各基本載荷作用下在該處產(chǎn)生變形的代數(shù)和。數(shù)和。( (2) 2) 變形疊加變形疊加：將梁分解成以一定方式連接的幾種受：將梁分解成以一定方式連接的幾種受基本載荷作用的簡(jiǎn)單梁，利用變形積累的原理，求梁基本載

19、荷作用的簡(jiǎn)單梁，利用變形積累的原理，求梁某處的變形。在將梁分解成簡(jiǎn)單梁時(shí)，要求各簡(jiǎn)單梁某處的變形。在將梁分解成簡(jiǎn)單梁時(shí)，要求各簡(jiǎn)單梁的的內(nèi)力與原梁的內(nèi)力內(nèi)力與原梁的內(nèi)力完全相同，只是端部的約束條件完全相同，只是端部的約束條件可以不同。可以不同。逐段剛化逐段剛化法法內(nèi)力疊加內(nèi)力疊加法法36例例10-7、試用疊加法試用疊加法( (變形疊加變形疊加) )求求C 截面截面的撓度。的撓度。BqEICAaaBqCAaBCAaaBqACACMBCMACM ACM0 BCM BCM0 AC段段BC段段第第1根根0BCM第第2根根ACM037例例10-8、試用疊加法試用疊加法( (變形疊加變形疊加) )求求C

20、截面截面的撓度。的撓度。解：解： （1) )BC段變形，段變形，AC段剛化段剛化BqEICAaaBqCAa(1)Cw ( (2) )AC段變形，段變形，BC段剛化段剛化qBCAaa22qam F = qaCFw Cmw (2)Cw ( (3) )總變形總變形Cw 043qaEI () 44qaEI () CFCmww 4712qaEI () 12CCww 4712qaEI () 思考題：求思考題：求wB B38例例10-9、用疊加法用疊加法( (變形疊加變形疊加) )求求B截面截面的撓度。的撓度。解：解： （1) )BC段變形，段變形，AC段剛化段剛化BqEICAaaBqCAa(1)Bw (

21、(2) )AC段變形，段變形，BC段剛化段剛化qBCAaa22qam F = qaCF Cm 48qaEI 32qaEI Cw 4712qaEI () ( )() 32qaEI ( )C 3qaEI ( )(2)Bw CwCFCm Ca 41912qaEI () 39( (3) )總變形總變形Bw 12BBww 43124qaEI () (1)Bw 48qaEI () (2)Bw 41912qaEI () 40ABFC500300f f 2020510例例10-10、已知、已知F=60N，E=210GPa，G=0.4E，求，求B截面的垂直位移。截面的垂直位移。解：解： 1） AC段剛化段剛化A

22、BF1Bw 33ABFLEI 36 17 10.m 2）AB段剛化段剛化2Bw 300AC PTLGI 32 05 10.m 12BBBwww 8 22().mm 300 41ABFC500300f f 2020510例例10-11、已知、已知F=60N，E=200GPa，G=0.4E，求，求B截面的垂直位移。截面的垂直位移。解：解： 1） AC段剛化段剛化ABF1Bw 33ABFLEI 2）AB段剛化段剛化2Bw 300AC 12BBBwww CAFAw42降低梁的最大彎矩值降低梁的最大彎矩值1、合理地布置梁的荷載合理地布置梁的荷載四、提高梁的承載能力措施四、提高梁的承載能力措施lFFl/4

23、Fl/4l/4l/2Fl/8432 2、合理地設(shè)置支座位置、合理地設(shè)置支座位置qllqaaql2/80.0214ql2當(dāng)兩端支座分別向跨中移動(dòng)當(dāng)兩端支座分別向跨中移動(dòng)a=0.207l 時(shí)時(shí)44增大增大Wz1 1、合理選擇截面形狀、合理選擇截面形狀在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面31132zDW 2211(2)4Da ,aD / 2321() 1.1866zzbhRWW 221111 224Da ,aD 321314 1 6766zzabhW.W 45工字形截面與框形截面類似工字形截面與框形截面類似.1222222105. 1,6 . 18 . 0

24、24 DaaaD 1457. 4zzWW )(= 3 . 2SmmaxfAF 0.8a2a21.6a22a2z2 2、合理的放置、合理的放置bh126bhWbh226hbWFbhWW 2146普遍形式的莫爾積分普遍形式的莫爾積分注意：上式中注意：上式中應(yīng)看成廣義位移，把單位力看成與廣義位移相對(duì)應(yīng)看成廣義位移，把單位力看成與廣義位移相對(duì)應(yīng)的廣義力應(yīng)的廣義力.NNp( )( )( ) ( )( )( )dddlllFx FxT x T xM x M xxxxEAGIEI 10-4 能量法簡(jiǎn)介能量法簡(jiǎn)介 能量法能量法利用與功和能有關(guān)的一些定理（利用與功和能有關(guān)的一些定理（能量原理能量原理）求解可變形

25、固體的位移、變形等的方法求解可變形固體的位移、變形等的方法.47( ) ( )dlPT x T xxGI ( )( )dlM x M xxEI 彎曲：彎曲：拉壓：拉壓：扭轉(zhuǎn)：扭轉(zhuǎn)：NN( )( )dlFx FxxEA NN1nii iiF F lEA 桁架：桁架：48利用莫爾積分求構(gòu)件任意點(diǎn)沿任一方向的位移的步驟：利用莫爾積分求構(gòu)件任意點(diǎn)沿任一方向的位移的步驟：1、去掉原載荷，在所求位移點(diǎn)，沿所求位移方向加單位、去掉原載荷，在所求位移點(diǎn)，沿所求位移方向加單位載荷載荷3、利用莫爾積分求位移、利用莫爾積分求位移2、分別寫出對(duì)應(yīng)于原載荷及單位載荷的內(nèi)力方程、分別寫出對(duì)應(yīng)于原載荷及單位載荷的內(nèi)力方程(

26、 ) ( )dlPT x T xxGI ( )( )dlM x M xxEI彎曲彎曲拉伸拉伸扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn) 位移等于原載荷的內(nèi)力乘以單位載荷的內(nèi)力除以剛位移等于原載荷的內(nèi)力乘以單位載荷的內(nèi)力除以剛度后乘以長(zhǎng)度的微量再積分度后乘以長(zhǎng)度的微量再積分NN( )( )dlFx FxxEA 49A例題例題1012 抗彎剛度為抗彎剛度為EI的等截面簡(jiǎn)支梁受均布荷載作用，用的等截面簡(jiǎn)支梁受均布荷載作用，用莫爾定理求梁中點(diǎn)的撓度莫爾定理求梁中點(diǎn)的撓度 fc 和支座和支座A截面的轉(zhuǎn)角。截面的轉(zhuǎn)角。qBCll/2ql/2ql/2解：解：2、分別寫出對(duì)應(yīng)于實(shí)際載荷及單位力的彎矩方程、分別寫出對(duì)應(yīng)于實(shí)際載荷及單位力的彎矩方

27、程)(0lx 一、一、 求求C 截面的撓度截面的撓度1、去掉實(shí)際載荷，在、去掉實(shí)際載荷，在C點(diǎn)加垂直方向的單位力，點(diǎn)加垂直方向的單位力，11/21/2BACxx)2(0lx 503、求位移、求位移51ql/2AAB11/l1/lx二、二、 求求A截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角1、去掉實(shí)際載荷，在、去掉實(shí)際載荷，在 A 截面加一單位力偶截面加一單位力偶2、相應(yīng)的彎矩為、相應(yīng)的彎矩為)(0lx qCll/2（順時(shí)針）（順時(shí)針）ql/23、求位移、求位移52例例1013、剛架的自由端、剛架的自由端A作用集中力作用集中力F。剛架各段的抗彎剛度已于圖中標(biāo)出。剛架各段的抗彎剛度已于圖中標(biāo)出。 不不計(jì)剪力和軸力對(duì)位移

28、的影響計(jì)剪力和軸力對(duì)位移的影響. 計(jì)算計(jì)算A點(diǎn)的點(diǎn)的垂直位移及垂直位移及B截面的轉(zhuǎn)角。截面的轉(zhuǎn)角。解：一、解：一、 計(jì)算計(jì)算A點(diǎn)的垂直位移點(diǎn)的垂直位移1、 去掉實(shí)際載荷，在去掉實(shí)際載荷，在A點(diǎn)加垂點(diǎn)加垂直向下的單位力直向下的單位力2、 寫出相應(yīng)的彎矩方程寫出相應(yīng)的彎矩方程AB:( )M x BC:aABCFlEI1EI2ABCEI1EI21xxFx ( )M x x ( )M x Fa ( )M x a 533、求位移、求位移y 02( )( )dlM x M xxEI 001211()()d()()dalFxxxFaaxEIEI3212()3PaPa lEIEIAB:FxxM )(BC:Fa

29、xM )(xxM )(axM )(54二、二、 計(jì)算計(jì)算B截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角AB:BC:B （ ）2、寫出相應(yīng)的彎矩方程、寫出相應(yīng)的彎矩方程3、求位移、求位移02( )( )dlM x M xxEI 0012211()(0)d()(1)dalFxxFaxEIEIFalEI 1、在、在B上加一單位力偶矩上加一單位力偶矩ABCEI1EI21( )M x Fx ( )M x 0( )M x Fa ( )M x 155例例1014、由三桿組成的剛架，、由三桿組成的剛架，B，C為剛性節(jié)點(diǎn)，三桿的抗彎為剛性節(jié)點(diǎn)，三桿的抗彎剛度都是剛度都是EI，試用莫爾定理求，試用莫爾定理求A1，A2兩點(diǎn)的相對(duì)位移。兩點(diǎn)

30、的相對(duì)位移。A1A2lFFBCl56x解：解：1、附加單位載荷、附加單位載荷 2、列出相應(yīng)的彎矩方程、列出相應(yīng)的彎矩方程.A1B：xx( )M x A1A2BCllFFxxxA1A2BCll11Fx ( )M x x BC：( )M x Fl ( )M x l CA2：( )M x Fx ( )M x x 3、求位移、求位移AB ()Fx ()x EIdx0l 2()Fl () l EIdx0l 353FlEI ( ) 571、附加單位載荷、附加單位載荷 2、列出相應(yīng)的彎矩方程、列出相應(yīng)的彎矩方程.A1A2BCllFFxA1A2BCllxx11xxxA1B：( )M x Fx ( )M x 1

31、 BC：( )M x Fl ( )M x 1 CA2：( )M x Fx ( )M x 1 3、求位移、求位移AB ()Fx (1) EIdx0l 2()Fl (1) EIdx0l 22FlEI 58xx解解法一法一：（莫爾積分）：（莫爾積分）BC:( )M x ( )M x ABCFabxxAB:( )M x ( )M x ( )T x ( )T x ABCab在在 C點(diǎn)加點(diǎn)加垂直方向垂直方向單位力單位力Fx x Fx x Fb b 例例1015、圖示為一水平面內(nèi)的曲桿，、圖示為一水平面內(nèi)的曲桿，B 處為一剛性節(jié)點(diǎn)處為一剛性節(jié)點(diǎn), 角角ABC=90在在 C 處承受豎直力處承受豎直力 F，設(shè)兩

32、桿的抗彎剛度和抗扭，設(shè)兩桿的抗彎剛度和抗扭剛度分別是剛度分別是 EI 和和GIp ，求，求 C 點(diǎn)垂直方向的位移。點(diǎn)垂直方向的位移。59ABCFCV 0011()()d()()dabFxxxFxxxEIEI 01()()dapFbbxGI 233()3pFFababEIGI )( BC:FxxM )(xxM )(AB:FxxM )(xxM )(FbxT )(bxT )( )( )dlM x M xxEI ( ) ( )dlPT x T xxGI 6010-5 簡(jiǎn)單靜不定問(wèn)題的求解簡(jiǎn)單靜不定問(wèn)題的求解 靜定問(wèn)題：靜定問(wèn)題： 未知力個(gè)數(shù)未知力個(gè)數(shù) 獨(dú)立的靜平衡方程個(gè)數(shù)獨(dú)立的靜平衡方程個(gè)數(shù)靜不定問(wèn)題

33、：靜不定問(wèn)題：未知力個(gè)數(shù)未知力個(gè)數(shù) 獨(dú)立的靜平衡方程個(gè)數(shù)獨(dú)立的靜平衡方程個(gè)數(shù)靜定靜定靜不定靜不定靜不定靜不定靜不定次數(shù)靜不定次數(shù) = = 未知力個(gè)數(shù)靜力平衡方程的個(gè)數(shù)未知力個(gè)數(shù)靜力平衡方程的個(gè)數(shù)1 1、靜不定問(wèn)題的定義：、靜不定問(wèn)題的定義：ABC12FABC12F3ABCF612 2、靜不定問(wèn)題的一般解法、靜不定問(wèn)題的一般解法（1 1）靜力平衡方程靜力平衡方程（2 2）變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程（3 3）物理關(guān)系方程物理關(guān)系方程（4）補(bǔ)充方程補(bǔ)充方程聯(lián)立聯(lián)立求解求解3 3、超靜定問(wèn)題解法舉例、超靜定問(wèn)題解法舉例（變形比較法）（變形比較法）62例題例題10-16、設(shè)設(shè) 1、2、3 三桿用絞鏈連結(jié)，

34、如圖所示三桿用絞鏈連結(jié)，如圖所示, ,l1 = l2 = l，A1 = A2 = A, E1 = E2 = E ,3桿的長(zhǎng)度桿的長(zhǎng)度 l3 , ,橫截面積橫截面積 A3 , ,彈性模量彈性模量E3。試求在沿鉛垂方向的外力試求在沿鉛垂方向的外力F 作用下各桿的軸力作用下各桿的軸力. . ABC12F3a aa a解：解：（1 1）研究節(jié)點(diǎn)）研究節(jié)點(diǎn)A，列平衡方程列平衡方程AFFN1FN 2FN 30ixF 0iyF N1N2FF N1N2N30FcosFcosFFa aa a （2 2）變形協(xié)調(diào)方程）變形協(xié)調(diào)方程由于問(wèn)題在幾何，物理及受力方面都是對(duì)由于問(wèn)題在幾何，物理及受力方面都是對(duì)稱，所以變形

35、后稱，所以變形后A點(diǎn)將沿鉛垂方向下移。點(diǎn)將沿鉛垂方向下移。變形協(xié)調(diào)條件是變形后三桿仍絞結(jié)在一起變形協(xié)調(diào)條件是變形后三桿仍絞結(jié)在一起A63ABC123a aa aAa aa aA3 3la aa a變形協(xié)調(diào)方程為變形協(xié)調(diào)方程為13ll cosa a N11F llEA N3 3333F l coslE Aa a (3)(3)補(bǔ)充方程補(bǔ)充方程2N1N333EAFFcosE Aa a 物理關(guān)系方程為物理關(guān)系方程為A1 1l64(4)(4)聯(lián)立平衡方程與補(bǔ)充方程求解聯(lián)立平衡方程與補(bǔ)充方程求解N1N2FF N1N2N30FcosFcosFFa aa a 2N1N333EAFFcosE Aa a N333

36、312FFEAcosE Aa a N1N23322FFFE AcosE A cosa aa a 65例例10-17、圖示等直桿圖示等直桿 AB 的兩端分別與剛性支承連結(jié)的兩端分別與剛性支承連結(jié). .設(shè)兩支承設(shè)兩支承的距離（即桿長(zhǎng)）為的距離（即桿長(zhǎng)）為 l，桿的橫截面面積為桿的橫截面面積為 A，材料的彈性模量為材料的彈性模量為 E，線膨脹系數(shù)為線膨脹系數(shù)為 a a .試求溫度升高試求溫度升高 T時(shí)桿內(nèi)的時(shí)桿內(nèi)的溫度應(yīng)力溫度應(yīng)力.ABl66解解: :ABl變形相容條件是變形相容條件是0 0 l桿的總長(zhǎng)度不變，桿的總長(zhǎng)度不變， 即即AB lTABBFRB lF變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程0TFlll 1

37、、外力分析、外力分析ABFRBFRANRBFF 靜力平衡方程：靜力平衡方程：2、內(nèi)力分析、內(nèi)力分析67Fl TtlT la a 物理關(guān)系方程物理關(guān)系方程補(bǔ)充方程補(bǔ)充方程解得：解得：RBtFlT lEAa a NRBtFFEATa a NFETA a a 0TFlll RBFlE A3、應(yīng)力分析（計(jì)算溫度應(yīng)力）、應(yīng)力分析（計(jì)算溫度應(yīng)力）68DlABC123a aa a A 圖示桿系，若圖示桿系，若3桿尺寸有微小誤差，則桿尺寸有微小誤差，則在桿系裝配好后，各桿將處于圖中位置，在桿系裝配好后，各桿將處于圖中位置，因而產(chǎn)生軸力因而產(chǎn)生軸力. 3桿的軸力為拉力，桿的軸力為拉力，1，2桿的軸力為壓力桿的軸力為壓力. 這種附加的內(nèi)力就稱為這種附加的內(nèi)力就稱為裝配內(nèi)力裝配內(nèi)力.與之相對(duì)應(yīng)的應(yīng)力稱為與之相對(duì)應(yīng)的應(yīng)力稱為裝配裝配應(yīng)力應(yīng)力.1、外力分析（略）、外力分析（略）解解：2、內(nèi)力分析（求軸力）、內(nèi)力分析（求軸力）a a a aFN3FN2FN1靜力平衡方程靜力平