樂高積木的幾何原理

1、樂高積木的幾何原理:P看到過很多同學(xué)剛剛設(shè)計(jì)機(jī)器入小車，砸們首先會(huì)選擇最 少許積木把小車搭好，興致勃勃地編寫好程序、下載，可是一松手，小車散了但這并不影響他們的熱情，他們會(huì)不停地改進(jìn)，直到小車能輕松跑完全程在這個(gè)過程中，他們已經(jīng)開始根據(jù)樂高積木的各種特點(diǎn)，運(yùn)用結(jié)構(gòu)、機(jī)械原理來完善模型的結(jié)構(gòu)，雖然他們 并不是很清楚樂高積木的何學(xué)原理，也沒有被指導(dǎo)過怎么做。樂高積木為什么能夠很緊密地接合在一起？能完美地實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)仿真？這不僅在于它有 兩千多個(gè)各種形狀的積木組件，有足夠的零件讓你完成你的設(shè)想，更重要的是，這些積木 組件都按同一標(biāo)準(zhǔn)嚴(yán)格設(shè)計(jì)、生產(chǎn)，所有積木都是可兼容的。它依據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)就是樂高單位， 而且積

2、木有嚴(yán)格的質(zhì)量保持，樂高積木模具公差僅為0.000005米。怎樣巧妙地利用樂高積 木的特點(diǎn)一一梁、塊、板和孔之間的關(guān)系一一完善你的結(jié)構(gòu)，完成你獨(dú)一無二的設(shè)計(jì)？本章包含的內(nèi)容：二尺寸和單位的表示習(xí)方形的樂高世界二垂直支撐二傾斜的樂高世界T斜支撐上水平方向的尺寸和單位的表示二鉸鏈的支撐1.1簡(jiǎn)介在你進(jìn)入樂高機(jī)器人世界之前，希望你能先掌握那些樂高積木中涉及的基本幾何學(xué)原 理。不用擔(dān)心，我們并不是要對(duì)你進(jìn)行復(fù)雜的方程式和三角法則的測(cè)試，僅討論一些非常 簡(jiǎn)單的概念和解釋一些常用的術(shù)語， 這樣，在入門階段就可以更容易地搭建出實(shí)際的模型。 在本章，你將會(huì)發(fā)現(xiàn)樂高愛好者使用什么單位來表示尺寸，如何來表示積木的

3、面積，如何 將積木從不同的方位連接組合起來。我們鼓勵(lì)你使用手里的樂高組件對(duì)照本章的例子自己搭建一遍。把機(jī)器人套裝放在手邊， 以便隨時(shí)挑選必要的積木，不過這一章節(jié)中的例子多數(shù)都只用到一些塊和板。如果由于某種原因，這部分材料對(duì)你來說過于復(fù)雜，你不必強(qiáng)求自己掌握，可以跳過這一 章直接進(jìn)入到其它部分。在你需要的時(shí)候，你都可以回過來將這一章節(jié)當(dāng)作術(shù)語表來使用。1.2尺寸和單位樂高愛好者通常按順序用3個(gè)數(shù)字表示樂高積木的尺寸：寬度、長度和厚度。使用樂 高積木的一般方法是：“嵌入式“，當(dāng)表示積木的尺寸時(shí)，都要考慮這種方位，不論是將積木顛倒還是在3維空間旋轉(zhuǎn)高度是識(shí)別積木的最基本的屬性，它是指積木的底部到頂部

4、之間的距離。寬度按照我 們習(xí)慣指的是水平方向上的兩個(gè)尺寸中較短的一個(gè)（長度就是另外一個(gè)）。長度和寬度的 表示單位是用“凸點(diǎn)”來表述的，也叫作“樂高單位”。這樣，我們可以描述絕大多數(shù)積木的尺寸。樂高單位在1949年第一次被使用，是一個(gè)2?的積木塊（如圖1所示）。也可以不用樂高單位來表示樂高積木的尺寸，而采用公制（米制）單位，兩個(gè)突點(diǎn)圓 心間的寬度相當(dāng)于8mm塊積木的厚度（不包括突點(diǎn)的高度）相當(dāng)于 9.6mm能否記住這 些數(shù)據(jù)并不重要一一重要的是要知道它們有不同的數(shù)值，也就是說你需要兩個(gè)不同的單位 來標(biāo)注高度和長度。它們之間的數(shù)值比就相當(dāng)重要了：9.6除8得1.2 （垂直方向的單位長度是水平方向的

5、單位長度的1.2倍。這個(gè)比值很容易記住，如果換算成整數(shù)比就是 6:5。 在下一章節(jié)我們將會(huì)研究這一比值的關(guān)聯(lián)。圖1.1 一塊樂高積木磚的尺寸圖1.2顯示的是最小的樂高積木磚，用樂高單位來表示是1?0實(shí)際上這個(gè)樂高 立方體” 根本不是立方體。圖1.2尺寸為111的樂高積木磚的比例關(guān)系在樂高組件中，有一類積木的厚度是塊狀積木厚度1/3。其中最重要的組件就是“板”， 這些板中大多數(shù)是矩形，少數(shù)具有特殊形狀。將 3塊板疊在一起，它的厚度就相當(dāng)于一塊 標(biāo)準(zhǔn)的積木塊的厚度（見圖1.3）0圖1.3三塊板的高度等于一塊磚的高度1.3方形的樂高世界：垂直的支撐我們?yōu)槭裁匆P(guān)心這些關(guān)系呢？要回答這個(gè)問題，就要追溯

6、到70多年前，樂高TECHNIC生產(chǎn)線剛剛誕生的時(shí)候。從那時(shí)起，就設(shè)計(jì)和使用樂高來搭建由水平層組成的物體：把積 木磚和板恰當(dāng)?shù)慕M合到一起。每個(gè)孩子都會(huì)很快知道3塊板的厚度等于1塊磚的厚度，這也是他們所需要知道的全部東西。但是在 1977年，樂高決定以年齡更大的顧客為對(duì)象，引 進(jìn)一系列新的生產(chǎn)線：LEGO TECHNIC它們共同的特點(diǎn)是帶孔的1蚇的積木塊，我們稱之 為TECHNICS木塊，或者叫作梁（圖1.4 ）。這些孔可以讓軸穿過，也可以通過銷子將梁 互相連接起來，這樣就創(chuàng)造了一個(gè)完美的樂高世界。圖 1.4 樂高 LEGO TECHNI梁假設(shè)你要在垂直位置裝一根梁，用來支撐兩層或者更多層的水平

7、位置的梁：這里我們 必須記住6： 5這個(gè)比值。梁上的孔與凸點(diǎn)一樣都以相同的間距排列，但它們與凸點(diǎn)是以半 個(gè)凸點(diǎn)間距交錯(cuò)排列的。這樣，當(dāng)我們把兩根梁嵌在一起，水平方向兩孔的間距不等于垂 直方向兩孔的間距，從而，不同層面上的孔就不能與之配合。換句話說，由于6:5的尺寸關(guān)系，一根垂直的梁上的孔不能夠與一疊嵌在一起的梁上的孔相配合。至少不是所有的孔 都能吻合。但讓我們仔細(xì)觀察一下：用 6的倍數(shù)（& 12、18、24、30）來計(jì)算垂直方 向的單位，并用5的倍數(shù)（5、10、15、20、25）來統(tǒng)計(jì)水平方向的單位。不要數(shù)開始 的積木和開始的孔，因?yàn)樗鼈兪悄愕膮⒄拯c(diǎn)；你測(cè)量的就是距離這個(gè)點(diǎn)的長度。當(dāng)你數(shù)到 5

8、個(gè)垂直單位的長度達(dá)到了 30,當(dāng)你數(shù)到6個(gè)水平方向單位，長度也達(dá)到了相同的數(shù)值（見 圖 1.5 ）o從中我們得到了一個(gè)定理：在疊嵌在一起的梁中，第5根梁的孔是和與之正交的垂直的梁上的孔重合的。圖1.5水平的梁與垂直的梁的配合現(xiàn)在你可以用梁搭建一堵墻，然后用一根長的梁來固定它，從而實(shí)際驗(yàn)證這個(gè)規(guī)則。 如果你把一根軸放進(jìn)第一個(gè)連通的孔中，然后試圖將第二根軸放進(jìn)接下去的孔里，你會(huì)發(fā) 現(xiàn)在開始的積木上加上5根梁和10根梁，交叉的梁上的孔才是連通的（見圖 1.6 ）。這種交叉的梁的技巧是非常重要的。它可以使我們搭建出堅(jiān)固的模型，垂直的梁將與之連接的兩根水平梁之間的積木鎖住。遺憾的是需要將6根梁搭建在一起

9、，才能用一根橫貫的梁將它們鎖住。是否可以采用其它更好的方法呢？記得垂直單位有一個(gè)子單位一一樂 高板的高度。3塊板組成一塊磚，我們可以這樣計(jì)算板的高度。高度以2個(gè)單位的倍數(shù)而不是6個(gè)單位（2是6的1/3 ）。高度的級(jí)數(shù)就變?yōu)?、4、6、8 10。5塊垂直的板的高度 就為10。這個(gè)高度值剛好等于水平方向上孔的間距，因此我們的最后得出的結(jié)論是：每5塊板的高度，垂直梁的孔剛好可以配合。圖1.6 5塊梁的高度剛好與孔配合不幸的是，板不能用于連接垂直梁，原因十分簡(jiǎn)單，板沒有孔！但是一根梁與3塊板的高度是一樣的，知道這些，我們就可以在計(jì)算上做如下規(guī)定：從梁的底部開始，每加一塊板 就增加一個(gè)單位，每加一塊梁增

10、加 3個(gè)單位，并要保證至少一根梁在頂部，如果結(jié)果是5的倍數(shù)，孔就能與垂直梁配合。最簡(jiǎn)潔的設(shè)計(jì)如圖1.17所示用一根垂直梁固定水平層：一根梁和兩塊板的高度相當(dāng)于5塊板。連接垂直梁的唯一方法就是使用 5塊板產(chǎn)生兩孔的距離。在樂高工程師設(shè)計(jì)的模型中 都使用這種方法。圖1.17最緊湊的固定結(jié)構(gòu)隨著連接距離的增加，連接的方式也增多了，下一步就是連接10塊板/4孔的間距，但連接同樣10塊板的高度，可以有許多方法。如圖 1.18圖1.8標(biāo)準(zhǔn)柵格結(jié)構(gòu)圖1.18 c中所示的連接是比較常用的，它是基于圖1.7中的設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的。因?yàn)樵谥虚g位置固 定了梁，當(dāng)你搭建模型時(shí)，1塊梁+2塊板+1塊梁+2塊板的連接方式可以讓你

11、搭建更牢固： 間隔一個(gè)孔連接，在Eric Brok的網(wǎng)站上稱它為標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)（見附錄 A），它可以使連接最優(yōu) 化。你一定要局限于使用這種連接方式嗎？不要約束自己的想象力！這只是一些小技巧，在許 多情況下，特別是當(dāng)你不知道如何去做時(shí)，這些技巧對(duì)你很有用。在很多應(yīng)用中我們使用 了不同的設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)，對(duì)你同樣也同樣有幫助。1.4傾斜樂高世界斜支撐樂高梁是不是只能垂直連接呢？樂高最大的特點(diǎn)是搭建方形的物體，但斜連接同樣可以，它可以使我們的世界更加豐富多彩，同時(shí)又提供了一個(gè)有力的解決問題的工具。你現(xiàn)在知道如何用一根垂直梁去連接一堆梁和板，而且你也知道了它們的數(shù)字關(guān)系。但如 何用一根斜梁支撐水平梁？這根斜梁看起來

12、就像直角三角形的斜邊。搭建一個(gè)如圖 1.9所 示的模型，現(xiàn)在測(cè)量它們的各邊，記住不要去計(jì)算第一個(gè)孔，因?yàn)槲覀兪歉鶕?jù)孔之間的距 離來測(cè)量長度的，三角形的底邊有 6個(gè)孔，高度有8個(gè)孔：記住在標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)中它們間的距 離為底部的梁到上面的梁兩孔間的距離(在圖中我們放置了一根垂直梁，幫助你計(jì)算孔的 數(shù)量。直角三角形的斜邊長度為10個(gè)孔)。在這里我們介紹一下由古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥加斯加創(chuàng)建的勾股定理，這是一個(gè)非 常著名的數(shù)學(xué)定理。定理證明了直角三角形的直角邊與斜邊的數(shù)學(xué)關(guān)系，假設(shè)組成直角的 兩邊稱為A、B，三角形斜邊為C。它們間的關(guān)系就是：A2+B2=C2現(xiàn)在我們將數(shù)字代入上面的公式得到：62+82=

13、102將上式展開：(6 x 6) + (8 x 8) = (10 x 10)36 + 64 = 100100=100圖1.9勾股定理的應(yīng)用值得肯定的是，這個(gè)例子不是偶然的，而是應(yīng)用了勾股定理，逆用這個(gè)定理，如果知道底 邊和高度的值，就可以算出斜邊的值。只有當(dāng)兩個(gè)數(shù)字的平方和剛好等于另一個(gè)數(shù)字的平 方時(shí)，公式才成立，如表1.1所示：?A(底邊)B (高)A*AB*BA2+B2說明56253661不成立3896473不成立3491625成立，25=5 515822564289也成立，雖然289=17X17，它可以 得出一個(gè)大的三角形988164145145不是整數(shù)的平方，但它接近144 (12x1

14、2)，因?yàn)榱旱呐浜显试S有1%的誤差，所以斜梁也可以配合。現(xiàn)在，你可能會(huì)問，在玩積木時(shí)，是否要在桌上放一個(gè)小計(jì)算器，而且還需要重心溫習(xí)一 下高中數(shù)學(xué)？其實(shí)你不必?fù)?dān)心。因?yàn)椋耗悴粫?huì)經(jīng)常使用斜梁。而最常用的三角形連接都是 基于3-4-5三條邊長的（如表1.1第三行），如果將三角形各邊長同時(shí)擴(kuò)大一個(gè)整數(shù)倍，又 會(huì)得到一個(gè)有效的3邊長。如擴(kuò)大2倍得到：6-8-10,擴(kuò)大3倍得到：9-12-15等等。這些 都是有用并且是很容易記住的邊長。我們?cè)诟戒汢中提供了包含許多實(shí)用的邊長列表，還有一些等式雖不成立但非常接近正確 的數(shù)值，可以配合得很好，而不會(huì)對(duì)積木塊引起任何的損壞。我們建議你花一些時(shí)間研究三角形，試著

15、使用一下使用不同邊長的連接方式來檢驗(yàn)它的剛 度。這些知識(shí)對(duì)你以后搭建復(fù)雜的模型是非常有用的。1.5水平尺寸和單位的表示到現(xiàn)在為止，我們一直都在討論垂直平面，因?yàn)槭褂么怪绷簛砉潭▽拥募夹g(shù)對(duì)搭建出 堅(jiān)固的模型是非常重要的，當(dāng)然堅(jiān)固的模型是塑料的。在水平方向上使用積木還有非常有 效的方法，那就是：連接凸點(diǎn)。前面介紹過，測(cè)量長度的單位是凸點(diǎn)，也就是說，只要數(shù)出積木的凸點(diǎn)數(shù)，就能計(jì)算 積木的長度。梁上的孔都以相同間距排列，實(shí)際上，3個(gè)凸點(diǎn)的長度與3個(gè)孔的長度是相等的。觀察梁，會(huì)注意到孔與凸點(diǎn)是交錯(cuò)排列的，每個(gè)梁上的孔總比凸點(diǎn)少一個(gè)。但也有 兩種例外：帶1孔的1X1梁，帶兩孔的12的梁（如圖1.10），機(jī)

16、器人套裝中沒有這兩種 積木，但它們是很有用的。圖1.11帶1孔的1X1梁和帶兩孔的1X2的梁在這些短梁中，孔剛好排列在凸點(diǎn)下，而不在它們之間，而且當(dāng)與標(biāo)準(zhǔn)梁一起使用時(shí)，可以得到半個(gè)孔的增量（如圖1.11）。在下一章講到齒輪時(shí)將會(huì)看到這兩種梁的實(shí)際應(yīng)用。圖1.11得到半個(gè)孔的間距還有一種可以實(shí)現(xiàn)同樣功能的積木，即帶一個(gè)凸點(diǎn)的1X2的板。在機(jī)器人套裝中也沒有這個(gè)積木塊，但也很容易找到。如圖1.12所示，調(diào)整半個(gè)凸點(diǎn)的距離時(shí)是很有用的。在 模型中，這有助于調(diào)整觸動(dòng)傳感器的位置，我們?cè)谶@本書中將會(huì)看到一些這方面的實(shí)例。圖1.12單凸點(diǎn)1X2的板1.6鉸鏈支撐在結(jié)束本章之前，我們?cè)倩氐饺切沃?，你現(xiàn)在

17、擁有了可以輕易解決問題的全部工 具了。這里也沒有新的內(nèi)容，只是前面理論的不同應(yīng)用。這項(xiàng)技術(shù)你可能用不到，但為了 完善起見，我們這里合仍介紹一下。首先需要介紹一個(gè)特殊的部件：鉸鏈（如圖1.13）。使用這種鉸鏈能搭建許多不同的三角形，但還是針對(duì)直角三角形的，因?yàn)樗鼈兪堑侥壳盀橹棺钣杏玫娜切芜B接部件。鉸鏈的兩端可以與板或梁的上下層連接，同時(shí)提供了許多與其它結(jié)構(gòu)整合的方法。圖1.13樂高鉸鏈樂高鉸鏈可以旋轉(zhuǎn)連接的梁，保證它們的內(nèi)角始終接觸。因此，使用3個(gè)鉸鏈，就能得到一個(gè)三角形，它的垂直邊集中在鉸鏈的旋轉(zhuǎn)中心上，內(nèi)部邊長就等于梁的長度（如圖1.14） 關(guān)于直角三角形，你已對(duì)勾股定理比較熟悉了，它也同樣可以應(yīng)用在這里，我們已經(jīng)看到 的相同的連接在這里也成立：3-4-5，6-8-10等等。？圖1.14使用鉸鏈組成直角三角形?小結(jié):你學(xué)過幾何學(xué)嗎？假如對(duì)基礎(chǔ)熟悉，學(xué)起來就不會(huì)困難了。首先，它有助于根據(jù)它們 之間的比例去確定積木塊，通過凸點(diǎn)計(jì)算它們的長