高二拋物線的簡單幾何性質(zhì)習題一(附答案)參考word

1、拋物線的幾何性質(zhì)習題一、選擇題1.若A是定直線l外的一定點，則過A且與l相切圓的圓心軌跡是( )A.圓 B.橢圓 C.雙曲線一支 D.拋物線2.拋物線y2=10x的焦點到準線的距離是( )A.2.5B.5C.7.5D.103.已知原點為頂點，x軸為對稱軸的拋物線的焦點在直線2x-4y+11=0上，則此拋物線的方程是( )A.y2=11xB.y2=-11xC.y2=22xD.y2=-22x4.過拋物線y2=2px(p0)的焦點且垂直于x軸的弦AB，O為拋物線頂點，則AOB( )A.小于90B.等于90C.大于90D.不能確定5.以拋物線y2=2px(p0)的焦半徑PF為直徑的圓與y軸位置關(guān)系為(

2、 )A.相交B.相離C.相切D.不確定二、填空題6.圓心在拋物線y2=2x上，且與x軸和該拋物線的準線都相切的圓的方程是 .7.若以曲線+=1的中心為頂點，左準線為準線的拋物線與已知曲線右準線交于A、B兩點，則AB= .8.若頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線截直線y=2x+1所得的弦長為，則此拋物線的方程是 .三、解答題9.拋物線x2=4y的焦點為F，過點(0，-1)作直線l交拋物線A、B兩點，再以AF、BF為鄰邊作平行四邊形FABR，試求動點R的軌跡方程.10.是否存在正方形ABCD，它的對角線AC在直線x+y-2=0上，頂點B、D在拋物線y2=4x上?若存在，試求出正方形的邊長；若不存在，

3、試說明理由.一、選擇題1.經(jīng)過拋物線y2=2px(p0)的所有焦點弦中，弦長的最小值為( )A.pB.2pC.4pD.不確定推薦精選2.直線y=kx-2交拋物線y2=8x于A、B兩點，若AB的中點橫坐標為2，則AB為( )A.B.4C.2D.3.曲線2x2-5xy+2y2=1( )A.關(guān)于x軸對稱B.關(guān)于y軸對稱C.關(guān)于原點對稱，但不關(guān)于y=x對稱D.關(guān)于直線y=x對稱也關(guān)于直線y=-x對稱4.若拋物線y2=2px(p0)的弦PQ的中點為(x0,y0)(y0)，則弦PQ的斜率為( )A.-B.C.px-D.-px05.已知拋物線y2=2px(p0)的焦點弦AB的兩端點坐標分別為A(x1,y1)

4、，B(x2,y2)，則的值一定等于( )A.4B.-4C.p2D.-p2二、填空題6.拋物線y2=4x的弦AB垂直于x軸，若AB的長為4，則焦點到AB的距離為 .7.以橢圓+y2=1的右焦點F為焦點，以原點為頂點作拋物線，拋物線與橢圓的一個公共點是A，則AF= .8.若OAB為正三角形，O為坐標原點，A、B兩點在拋物線y2=2px上，則OAB的周長為 .三、解答題9.拋物線y=-與過點M(0，-1)的直線l相交于A、B兩點，O為坐標原點，若直線OA和OB斜率之和為1，求直線l的方程.10.已知半圓的直徑為2r，AB為直徑，半圓外的直線l與BA的延長線垂直，垂足為T，且TA=2a(2a),半圓上

5、有M、N兩點，它們與直線l的距離MP、NQ滿足條件MP=AM,NQ=AN，求證：AM+AN=AB.【素質(zhì)優(yōu)化訓練】推薦精選一、選擇題1.過點A(0，1)且與拋物線y2=4x有唯一公共點的直線的條數(shù)為( )A.1 B.2 C.3 D.42.設(shè)拋物線y=ax2(a0)與直線y=kx+b相交于兩點，它們的橫坐標為x1,x2,而x3是直線與x軸交點的橫坐標，那么x1、x2、x3的關(guān)系是( )A.x3=x1+x2B.x3=+C.x1x2=x2x3+x3x1D.x1x3=x2x3+x1x23.當0k時，關(guān)于x的方程=kx的實根的個數(shù)是( )A.0個 B.1個 C.2個 D.3個4.已知點A(1，2)，過點

6、(5，-2)的直線與拋物線y2=4x交于另外兩點B、C，則ABC是( )A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形 D.不確定5.將直線x-2y+b=0左移1個單位，再下移2個單位后，它與拋物線y2=4x僅有一個公共點，則實數(shù)b的值等于( )A.-1 B.1 C.7 D.9二、填空題6.拋物線y2=-8x被點P(-1，1)所平分的弦所在直線方程為 .7.已知拋物線y2=2x的弦過定點(-2，0)，則弦AB中點的軌跡方程是 .8.已知過拋物線y2=2px的焦點F的弦AB被F分成長度為m、n的兩部分，則+= .三、解答題9.已知圓C過定點A(0，p)(p0)，圓心C在拋物線x2=2py上運動，若

7、MN為圓C在x軸上截得的弦，設(shè)AM=m,AN=n，MAN=.(1)當點C運動時，MN是否變化?寫出并證明你的結(jié)論?(2)求+的最大值，并求取得最大值時的值和此時圓C的方程.10.已知拋物線y2=4ax(0a1)的焦點為F，以A(a+4,0)為圓心，AF為半徑在x軸上方作半圓交拋物線于不同的兩點M和N，設(shè)P為線段MN的中點，()求MF+NF的值；()是否存在這樣的a值，使MF、PF、NF成等差數(shù)列?如存在，求出a的值，若不存在，說明理由.【生活實際運用】1.已知點P(x0,y0)在拋物線含焦點的區(qū)域內(nèi)，求證以點P為中點的拋物線y2=2px(p0)的中點弦方程為推薦精選yy0-p(x+x0)=y2

8、0-2px0注：運用求中點弦的方法不難求出結(jié)論，這一結(jié)論和過拋物線y2=2px上點的切線方程有什么聯(lián)系?若P(x0,y0)為非對稱中心，將拋物線y2=2px換成橢圓+=1或雙曲線-=1，它們的中點弦存在的話，中點弦方程又將如何?證明你的結(jié)論.中點弦方程在高考中多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).2.公園要建造一個圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面安裝一個柱子OA，O恰在圓形水面中心，OA=1.25米.安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路經(jīng)落下，且在過OA的任一平面上拋物線路徑如圖所示，為使水流形狀較為漂亮，設(shè)計成水流在到OA距離1米處達到距水面最大高度2.25米.如

9、果不計其它因素，那么水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不致落到池外?分析 根據(jù)圖形的對稱性，設(shè)出并求出一邊的拋物線的方程，便可求出水池的半徑.以O(shè)A所在直線為y軸，過O點作oy軸的垂直線ox軸，建立直角坐標系如圖依題意A(0，1.25)，設(shè)右側(cè)拋物線頂點為則B(1，2.25)，拋物線與x軸正向交點為C，OC即圓型水池的半徑.設(shè)拋物線ABC的方程為(x-1)2=-2p(y-2.25)將A(0，1.25)代入求得p=拋物線方程為(x-1)2=-(y-2.25)令y=0，(x-1)2=1.52,x=2.5(米)即水池的半徑至少要2.5米，才能使噴出的水流不致落到池外.【知識驗證實驗】1.求函數(shù)

10、y=-的最大值.解：將函數(shù)變形為y=-，由幾何意義知，y可以看成在拋物線f(x)=x2上的點P(x,x2)到兩定點A(3，2)和B(0，1)的距離之差，PA-PBAB，當P、A、B三點共線，且P在B的左方時取等號，此時P點為AB與拋物線的交點，即P為(，)時，ymax=AB=.2.參與設(shè)計小花園的噴水池活動.推薦精選要求水流形狀美觀，水流不落池外.【知識探究學習】1.如圖，設(shè)F是拋物線的焦點，M是拋物線上任意一點，MT是拋物線在M的切線，MN是法線，ME是平行于拋物線的軸的直線.求證：法線MN必平分FME，即1=2.解：取坐標系如圖，這時拋物線方程為y2=2px.(p0)，因為ME平行x軸(拋

11、物線的軸)，1=2,只要證明1=3，也就是FMN的兩邊FM和FN相等.設(shè)點M的坐標為(x0,y0)，則法線MN的方程是y-y0=-(x-x0),令y=0，便得到法線與x軸的交點N的坐標(x0+p,0)，所以FN=x0+p-=x0+,又由拋物線的定義可知，MF=x0+,FN=FM,由此得到1=2=3，若M與頂點O重合，則法線為x軸，結(jié)論仍然成立.2.課本第124頁閱讀材料：圓錐曲線的光學性質(zhì)及其應(yīng)用參考答案【同步達綱練習】A級1.D 2.B 3.D 4.C 5.C 6.(x-)2+(y1)2=1 7. 8.y2=12x或y2=-4x9.解：設(shè)R(x,y),F(0,1),平行四邊形FARB的中心為

12、C(,),l:y=kx-1,代入拋物線方程，得x2-4kx+4=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=4k,x1x2=4，且=16k2-160，即|k|1 ，y1+y2=4k2-2,C為AB的中點.消去k得x2=4(y+3),由得，x4，故動點R的軌跡方程為x推薦精選2=4(y+3)(x4).10.解：設(shè)存在滿足題意的正方形.則BD：y=x+b,代入拋物線方程得x2+(2b-4)x+b2=0,=(2b-4)2-4b2=16-16b0,b1, ，設(shè)B(x1,y1),D(x2,y2),BD中點M(x0,y0),則x1+x2=4-2b,x0=2-b,y0=x0+b=2,M在AC直線

13、上，(2-b)+2-2=0，b=2與相矛盾，故不存在滿足要求的正方形.AA級1.B 2.C 3.D 4.B 5.B 6.2 7.9-18 8.12p9.解：設(shè)l:y=kx-1,代入y=-,得x2+2kx-2=0，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則x1+x2=-2k,x1x2=-2,又+=+=2k-=2k-=k=1，直線l的方程為y=x-1.10.證明：由MP=AM,NQ=AN知M、N在以l準，A為焦點的拋物線上，建立直角坐標系，設(shè)拋物線方程為y2=2px，又TA=2a=p,拋物線方程為y2=4ax，又圓的方程為(x-a-r)2+y2=r2，將兩方程相減可得：x2+2(a-r)x+a2+2

14、ar=0，設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)，則x1+x2=2r-2a,AM+AN=PM+QN=x1+x2+2a=2r,即AM+AN=AB【素質(zhì)優(yōu)化訓練】1.C 2.C 3.D 4.C 5.C 6.4x+y+3=0 7.y2=x+2(在已知拋物線內(nèi)部的部分) 8.9.解：(1)設(shè)圓心C(x0,y0),則x20=2py0，圓C的半徑CA=，其方程為(x-x0)2+(y-y0)2=x20+(y0-p)2,令y=0，并將x20=2py0，代入，得x2-2x0x+x20-p2=0，解得xm=x0-p,xN=x0+p,MN=xN-xM=2p(定值)(2)m=AM=,n=AN=,m2+n2=4p2+2x20,mn=，+=22，當且僅當y0=p時等號成立，x0=p，此時MCN為等腰直角三角形，且MCN=90，MAN=MCN=45，故當=45時，圓的方程為(x- p)2+(y-p)2=2p2或(x+p)2+(y-p)2=2p210.解：(1)由已知得F(a,0),半圓為x-(a+4)2+y2=16(y0)，設(shè)M(x1,y1