概率論與數(shù)理統(tǒng)計-第三節(jié)(2)

1、2021年10月19日星期二重慶郵電大學 數(shù)理學院-陳六新15.3.1 統(tǒng)計量與抽樣分布5.3 統(tǒng)計量及其分布當人們需要從樣本獲得對總體各種參數(shù)的認識時，最好的方法是構(gòu)造樣本的函數(shù)，不同的函數(shù)反映總體的不同特征。定義5.3.1 設(shè) x1, x2, , xn 為取自某總體的樣 本，若樣本函數(shù)T = T(x1, x2, , xn)中不含有任 何未知參數(shù)。則稱T為統(tǒng)計量。統(tǒng)計量的分布 稱為抽樣分布。2021年10月19日星期二重慶郵電大學 數(shù)理學院-陳六新2按照這一定義：若 x1, x2, , xn 為樣本，則 以及經(jīng)驗分布函數(shù)都是統(tǒng)計量。而當, 2 未知時，x1, x1/ 等均不是統(tǒng)計量。盡管統(tǒng)計

2、量不依賴于未知參數(shù)，但是它的分布一般是依賴于未知參數(shù)的。下面介紹一些常見的統(tǒng)計量及其抽樣分布。niiniixx121,2021年10月19日星期二重慶郵電大學 數(shù)理學院-陳六新35.3.2 樣本均值及其抽樣分布 思考：在分組樣本場合，樣本均值如何計算？ 二者結(jié)果相同嗎？ x= (x1+xn)/n定義5.3.2 設(shè) x1, x2, , xn為取自某總體的樣本，其算術(shù)平均值稱為樣本均值樣本均值，一般用 表示，即x見p263例5.3.12021年10月19日星期二重慶郵電大學 數(shù)理學院-陳六新4定理5.3.2 數(shù)據(jù)觀測值與均值的偏差平方和 最小，即在形如 (xic)2 的函數(shù)中，樣本均值的基本性質(zhì)：

3、定理5.3.1 若把樣本中的數(shù)據(jù)與樣本均值之差 稱為偏差，則樣本所有偏差之和為0，即 最小，其中c為任意給定常數(shù)。1()0.niixx2()ixx2021年10月19日星期二重慶郵電大學 數(shù)理學院-陳六新5樣本均值的抽樣分布：定理5.3.3 設(shè)x1, x2, , xn 是來自某個總體的樣本，x為樣本均值。(1) 若總體分布為N(, 2)，則xx的精確分布為N(, 2/n) ;(2) 若總體分布未知或不是正態(tài)分布， 但 E(x)=, Var(x)=2,則n 較大時 的漸近分 布為N(, 2/n) ,常記為 。xAN(, 2/n)這里漸近分布是指n 較大時的近似分布.見p264例5.3.2：202

4、1年10月19日星期二重慶郵電大學 數(shù)理學院-陳六新65.3.3 樣本方差與樣本標準差稱為樣本標差。s*= s*2定義5.3.3稱為樣本方差，其算術(shù)平方根在n 不大時，常用 作為樣本方差,其算術(shù)平方根也稱為樣本標準差。221*1()niisxxn2211()1niisxxn2021年10月19日星期二重慶郵電大學 數(shù)理學院-陳六新7在這個定義中， ( xi x )2n1稱為偏差平方和的自由度。其含義是：x在 確定后, n 個偏差x1x, x2x, , xnx能自由取值，因為只有n1個數(shù)據(jù)可以自由變動，而第n個則不 (xi x ) = 0 .稱為偏差平方和，中樣本偏差平方和有三個不同的表達式：(

5、 xix )2 = xi2 (xi)2/n = xi2 nx2它們都可用來計算樣本方差。思考：分組樣本如何計算樣本方差？2021年10月19日星期二重慶郵電大學 數(shù)理學院-陳六新8樣本均值的數(shù)學期望和方差，以及樣本方差的數(shù)學期望都不依賴于總體的分布形式。定理5.3.4 設(shè)總體 X 具有二階矩，即 E(x)= , Var(x)=2 x1, x2, , xn 為從該總體得到的樣本，x和s2 分別是樣本均值和樣本方差，則E( x )=, Var( x )=2 /n, E(s2) =2 2021年10月19日星期二重慶郵電大學 數(shù)理學院-陳六新95.3.4 樣本矩及其函數(shù) 樣本均值和樣本方差的更一般的

6、推廣是樣本矩，這是一類常見的統(tǒng)計量。定義5.3.4 ak = (xik)/n 稱為樣本 k 階原點矩， 特別，樣本一階原點矩就是樣本均值。 稱為樣本 k 階中心矩矩。 特別，樣本二階中心矩就是樣本方差。 bk = (xi x)k/n2021年10月19日星期二重慶郵電大學 數(shù)理學院-陳六新10 x樣本偏度1 反映了總體分布密度曲線的對稱性信息。樣本峰度2 反映了總體分布密度曲線在其峰值附近的陡峭程度。定義： 1 = b3/b23/2 稱為樣本偏度， 2 = b4/b22-3 稱為樣本峰度。x2021年10月19日星期二重慶郵電大學 數(shù)理學院-陳六新115.3.5 次序統(tǒng)計量及其分布 另一類常見

7、的統(tǒng)計量是次序統(tǒng)計量。一、定義5.3.7 設(shè) x1, x2, , xn 是取自總體X的樣本, x(i) 稱為該樣本的第i 個次序統(tǒng)計量，它的取值 是將樣本觀測值由小到大排列后得到的第 i 個 觀測值。其中x(1)=minx1, x2, xn稱為該樣本 的最小次序統(tǒng)計量，稱 x(n)=maxx1,x2,xn為 該樣本的最大次序統(tǒng)計量。2021年10月19日星期二重慶郵電大學 數(shù)理學院-陳六新12例5.3.6 設(shè)總體X 的分布為僅取0，1，2的離散 均勻分布，分布列為我們知道，在一個樣本中，x1, x2,xn 是獨立同分布的，而次序統(tǒng)計量 x(1), x(2), x(n) 則既不獨立，分布也不相同

8、，看下例。xp2021年10月19日星期二重慶郵電大學 數(shù)理學院-陳六新13 0 1 2 (1)xp1927727127(3)x7271927p127 0 1 2我們可以清楚地看到這三個次序統(tǒng)計量的分布是不相同的。(2)x1327727p727 0 1 22021年10月19日星期二重慶郵電大學 數(shù)理學院-陳六新14進一步，我們可以給出兩個次序統(tǒng)計量的聯(lián)合分布，如，x(1) 和x(2) 的聯(lián)合分布列為01207/279/273/27104/273/272001/27x(1)x(2)2021年10月19日星期二重慶郵電大學 數(shù)理學院-陳六新15因為 P(x(1) = 0, x(2) = 0) =

9、7/27 ，二者不等，由此可看出x(1) 和 x(2)是不獨立的。而 P( x(1) = 0)*P( x(2) = 0) = (19/27)*(7/27)，2021年10月19日星期二重慶郵電大學 數(shù)理學院-陳六新16二、單個次序統(tǒng)計量的分布定理5.3.5 設(shè)總體X的密度函數(shù)為p(x)，分布 函數(shù)為F(x)， x1, x2, xn為樣本，則第k個 次序統(tǒng)計量x(k)的密度函數(shù)為)()(1 ()()!()!1(!)(1xpxFxFknknxpknkk2021年10月19日星期二重慶郵電大學 數(shù)理學院-陳六新17例5.3.7 設(shè)總體密度函數(shù)為 p(x)=3x2, 0 x1. 從該總體抽得一個容量為

10、5的樣本， 試計算P(x(2)1/2)。解：從次序統(tǒng)計量密度函數(shù)出發(fā)。例5.3.8 設(shè)總體分布為U(0,1)， x1, x2, xn為樣 本，試求第 k 個次序統(tǒng)計量的分布。2021年10月19日星期二重慶郵電大學 數(shù)理學院-陳六新18三、多個次序統(tǒng)計量的聯(lián)合分布對任意多個次序統(tǒng)計量可給出其聯(lián)合分布，以兩個為例說明：定理5.3.6 在定理5.3.5的記號下，次序統(tǒng)計 量 (x(i), x(j), (i j) 的聯(lián)合分布密度函數(shù)為zyzpypzFyFzFyFjnijinzypjnijiij),()()(1 )()()()!()!1()!1(!),(112021年10月19日星期二重慶郵電大學 數(shù)

11、理學院-陳六新19次序統(tǒng)計量的函數(shù)在實際中經(jīng)常用到。如 樣本極差 Rn = x(n) x(1)， 樣本中程 x(n) x(1)/2。樣本極差是一個很常用的統(tǒng)計量，其分布只在很少幾種場合可用初等函數(shù)表示。2021年10月19日星期二重慶郵電大學 數(shù)理學院-陳六新20令 R = x(n) x(1) ，由 R 0, 可以推出0 x(1) =x(n)R1 R ，則例5.3.9 設(shè)總體分布為U(0,1)， x1, x2, xn 為 樣本，則(x(n),x(1)的聯(lián)合密度函數(shù)為p1,n(y,z)=n(n1)(zy)n-2, 0 y z 1這正是參數(shù)為(n1, 2)的貝塔分布。1220( )(1)()d(1

12、)(1)rnnRprn nyryyn nrr2021年10月19日星期二重慶郵電大學 數(shù)理學院-陳六新21樣本中位數(shù)也是一個很常見的統(tǒng)計量，它也是次序統(tǒng)計量的函數(shù)，通常如下定義：更一般地，樣本p分位數(shù)mp可如下定義： 120.5122,12nnnxnmxxn 為奇數(shù)，為偶數(shù)(1)()(1),1(2nppnpnpxnpmxxnp若不是整數(shù))， 若是整數(shù)2021年10月19日星期二重慶郵電大學 數(shù)理學院-陳六新22定理5.3.7 設(shè)總體密度函數(shù)為p(x)，xp為其p分 位數(shù)， p(x)在xp處連續(xù)且 p(xp) 0，則特別，對樣本中位數(shù)，當n時近似地有當n 時樣本 p 分位數(shù) mp 的漸近分布為2

13、(1),pppppmNxn p x0.50.520.51,4mNxn p x2021年10月19日星期二重慶郵電大學 數(shù)理學院-陳六新23例5.3.10 設(shè)總體為柯西分布，密度函數(shù)為x0.5x1, x2, xn m0.5 m0.5 AN(, 2/4n) .21( , ) 1 ( - ) p xxx 2021年10月19日星期二重慶郵電大學 數(shù)理學院-陳六新24次序統(tǒng)計量的應(yīng)用之一是五數(shù)概括與箱線圖。在得到有序樣本后，容易計算如下五個值：最小觀測值 xmin= x(1) , 最大觀測值 xmax=x(n) ,中位數(shù) m0.5 , 第一4分位數(shù) Q1 = m0.25, 第三4分位數(shù) Q3 = m0

14、.75.所謂五數(shù)概括就是指用這五個數(shù)：xmin , Q1 , m0.5 , Q3 , xmax來大致描述一批數(shù)據(jù)的輪廓。最小值最小值第一四分位數(shù)第一四分位數(shù)中位數(shù)中位數(shù)第三四分數(shù)第三四分數(shù)最大值最大值2021年10月19日星期二重慶郵電大學 數(shù)理學院-陳六新25箱線圖的作法如下：畫一水平數(shù)軸，畫一水平數(shù)軸，)1(.Max下側(cè)平行于數(shù)下側(cè)平行于數(shù)在數(shù)軸上方畫一個上、在數(shù)軸上方畫一個上、軸的矩形箱子，軸的矩形箱子，于于箱子的左右兩側(cè)分別位箱子的左右兩側(cè)分別位1Q，在軸上標上在軸上標上 Min，3Q，1Q，M3Q.的上方的上方.內(nèi)部內(nèi)部；線線自箱子左側(cè)引一條水平自箱子左側(cè)引一條水平Min)2(在同一

15、水平在同一水平高度自箱子右側(cè)引一條水平線直至最大值高度自箱子右側(cè)引一條水平線直至最大值. .段段點點的的上上方方畫畫一一條條垂垂直直線線在在M線段位于箱子線段位于箱子2021年10月19日星期二重慶郵電大學 數(shù)理學院-陳六新26例例5.3.11 量（以升計量（以升計.數(shù)據(jù)應(yīng)經(jīng)過排序）數(shù)據(jù)應(yīng)經(jīng)過排序）女子組女子組2.7 2.8 2.9 3.1 3.1 3.1 3.2 3.4 3.4男子組男子組4.1 4.1 4.3 4.3 4.5 4.6 4.7 4.8 4.8試分別畫出這兩組數(shù)據(jù)的箱線圖試分別畫出這兩組數(shù)據(jù)的箱線圖. 下面分別給出了下面分別給出了25個男子和個男子和25個女子的肺活個女子的肺活

16、3.4 3.4 3.4 3.5 3.5 3.5 3.6 3.7 3.73.7 3.8 3.8 4.0 4.1 4.2 4.25.1 5.3 5.3 5.3 5.4 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.8 6.0 6.1 6.3 6.7 6.72021年10月19日星期二重慶郵電大學 數(shù)理學院-陳六新27解解女子組女子組MinMaxMnp因因. 2 . 31 Qnp因因3Q男子組男子組np因因. 7 . 41 Qnp因因. 8 . 53 Q可以作出箱線圖可以作出箱線圖. 25. 052 ,25. 675. 052 ,75.18. 7 . 3 25. 052 ,25. 675. 052 ,

17、75.18 , 7 . 2 , 2 . 4 , 5 . 3, 1 . 4Min , 7 . 6Max , 3 . 5M 2021年10月19日星期二重慶郵電大學 數(shù)理學院-陳六新28 在數(shù)據(jù)集中，在數(shù)據(jù)集中，之間的距離：之間的距離：與第三四分數(shù)與第三四分數(shù)第一四分位數(shù)第一四分位數(shù)31QQIQRQQ 13稱為稱為四分位數(shù)間距四分位數(shù)間距.，或大于或大于若數(shù)據(jù)小于若數(shù)據(jù)小于IQRQIQRQ5 . 15 . 1 31 .則認為它是疑似異常值則認為它是疑似異常值某一個觀察值不尋常地大于或某一個觀察值不尋常地大于或小于該數(shù)據(jù)集中的其他數(shù)據(jù)，小于該數(shù)據(jù)集中的其他數(shù)據(jù)， 稱為稱為疑似異常值疑似異常值.疑似異常值疑似異常值2021年10月19日星期二重慶郵電大學 數(shù)理學院-陳六新29修