復數(shù)四則運算(共33張PPT)

1、復數(shù)的四則運算復數(shù)的四則運算知識回顧知識回顧(4) 復數(shù)的幾何意義是什么？復數(shù)的幾何意義是什么？類比實數(shù)的運算法則能否得到復數(shù)的運算法則？類比實數(shù)的運算法則能否得到復數(shù)的運算法則？(1) 虛數(shù)單位虛數(shù)單位i(2) 復數(shù)的分類？復數(shù)的分類？(3) 復數(shù)相等的等價條件？復數(shù)相等的等價條件？二、問題引入：二、問題引入：三、知識新授：三、知識新授：1.復數(shù)加減法的運算法則：復數(shù)加減法的運算法則： 運算法則運算法則: :設復數(shù)設復數(shù)z z1 1=a+bi,z=a+bi,z2 2=c+di,=c+di, 那么：那么：z z1 1+z+z2 2=(a+c)+(b+d)i=(a+c)+(b+d)i; ; z

2、z1 1-z-z2 2=(a-c)+(b-d)i=(a-c)+(b-d)i. .即即: : 兩個復數(shù)相加兩個復數(shù)相加( (減減) )就是實部與實部，就是實部與實部， 虛部與虛部分別相加虛部與虛部分別相加( (減減).).(2)(2)復數(shù)的加法滿足復數(shù)的加法滿足交換律交換律、結合律結合律, ,即對任何即對任何z z1 1,z,z2 2,z,z3 3C,C,有有: :z z1 1+z+z2 2=z=z2 2+z+z1 1, ,(z(z1 1+z+z2 2)+z)+z3 3=z=z1 1+(z+(z2 2+z+z3 3).).2.復數(shù)的乘法：復數(shù)的乘法：(1)(1)復數(shù)乘法的法則復數(shù)乘法的法則 復數(shù)

3、的乘法與多項式的乘法是類似復數(shù)的乘法與多項式的乘法是類似的的, ,但必須在所得的結果中把但必須在所得的結果中把i i2 2換成換成-1,-1,并且把實部合并并且把實部合并. .即即: :(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 2=(ac-bd)+(bc+ad)i.(2)(2)復數(shù)乘法的運算定理復數(shù)乘法的運算定理 復數(shù)的乘法滿足復數(shù)的乘法滿足交換律交換律、結合律結合律以及乘法以及乘法對加法的對加法的分配律分配律. . 即對任何即對任何z z1 1,z,z2 2,z,z3 3有：有： z z1 1z z2 2=z=z2 2z

4、z1 1; ; (z (z1 1z z2 2)z)z3 3=z=z1 1(z(z2 2z z3 3);); z z1 1(z(z2 2+z+z3 3)=z)=z1 1z z2 2+z+z1 1z z3 3. .四、例題應用：四、例題應用：例例1.1.計算計算 )43 ()2()65 (iii解解: :iiiii11)416()325()43()2()65()(1biabia）（22222)(2ibabiabia）（例例2 2：計算計算222ibabiabia22ba abiba222 復數(shù)的乘法與多項復數(shù)的乘法與多項式的乘法是類似的式的乘法是類似的. . 我們知道多項式的乘法用我們知道多項式的

5、乘法用乘法公式可迅速展開乘法公式可迅速展開, , 運算運算, ,類似地類似地, ,復數(shù)的乘法也可大膽復數(shù)的乘法也可大膽運用乘法公式來展開運算運用乘法公式來展開運算. .)2)(43)(21 (3iii）（iiiiii1520)2)(211()2)(43)(21 (注意注意 a+bi 與與 a- -bi 兩復數(shù)的特點兩復數(shù)的特點.一步到位一步到位! !(1)計算計算(a+bi)(a- -bi)思考：設思考：設z= =a+ +bi ( (a, ,bR ),R ),那么那么(1)定義定義: 實部相等實部相等, ,虛部互為相反數(shù)虛部互為相反數(shù)的兩個復數(shù)的兩個復數(shù)互為互為共軛復數(shù)共軛復數(shù). .復數(shù)復數(shù)

6、z= =a+ +bi 的共軛復數(shù)記作的共軛復數(shù)記作?zz, zzabi即即?zzzzzzzzzz12121212, 另外不難證明另外不難證明:3. 共軛復數(shù)的概念、性質(zhì)：共軛復數(shù)的概念、性質(zhì)：(2)共軛復數(shù)的性質(zhì)共軛復數(shù)的性質(zhì):.2-2bizzazz； 已知已知: : 求求: :iziz2,1212412121, () ,zzzzz練練 習：習： 實數(shù)集實數(shù)集R R中正整數(shù)指數(shù)的運算律中正整數(shù)指數(shù)的運算律, ,在復數(shù)集在復數(shù)集C C中仍然成立中仍然成立. .即對即對z z1 1,z,z2 2,z,z3 3CC及及m,nNm,nN* *有有: : z zm mz zn n=z=zm+nm+n,

7、, (z (zm m) )n n=z=zmnmn, , (z (z1 1z z2 2) )n n=z=z1 1n nz z2 2n n. .【探究】【探究】 i i 的指數(shù)變化規(guī)律的指數(shù)變化規(guī)律1,1,4321iiiiii_,_,_,_8765iiii你能發(fā)現(xiàn)規(guī)律嗎？有怎樣的規(guī)律？你能發(fā)現(xiàn)規(guī)律嗎？有怎樣的規(guī)律？ni414ni24ni34ni,1,i,1i)( , 03424144Nniiiinnnni1i1【例【例3】求值：求值：200932iiiiiiiiiiiiiiiiiii12009200820072006200587654320.）（）（）（解：原式常用結論：常用結論：2)1 (i;2

8、iii11i1; iii11; i. i例例4.4.設設,2321i求證：求證： ; 012. 13思考：思考： 在復數(shù)集在復數(shù)集C 內(nèi)，你能將內(nèi)，你能將 分解因式嗎？分解因式嗎？xy22( (x+yi)(x- -yi)五、課堂小結：五、課堂小結：1.復數(shù)加減法的運算法則：復數(shù)加減法的運算法則：(1)(1)運算法則運算法則: :設復數(shù)設復數(shù)z z1 1=a+bi,z=a+bi,z2 2=c+di,=c+di, 那么：那么：z z1 1+z+z2 2=(a+c)+(b+d)i; =(a+c)+(b+d)i; z z1 1-z-z2 2=(a-c)+(b-d)i.=(a-c)+(b-d)i.(2)

9、(2)復數(shù)的加法滿足復數(shù)的加法滿足交換律交換律、結合律結合律, ,即對即對任何任何z z1 1,z,z2 2,z,z3 3C,C,有有: :z z1 1+z+z2 2=z=z2 2+z+z1 1, ,(z(z1 1+z+z2 2)+z)+z3 3=z=z1 1+(z+(z2 2+z+z3 3).).2.復數(shù)的乘法：復數(shù)的乘法：(1)(1)復數(shù)乘法的法則復數(shù)乘法的法則(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 2=(ac-bd)+(bc+ad)i.(2)(2)復數(shù)乘法的運算律：復數(shù)乘法的運算律： 復數(shù)的乘法滿足復數(shù)的乘法滿足交換

10、律交換律、結合律結合律以及乘法以及乘法對加法的對加法的分配律分配律. . 即對任何即對任何z z1 1,z,z2 2,z,z3 3有：有： z z1 1z z2 2=z=z2 2z z1 1; ; (z (z1 1z z2 2)z)z3 3=z=z1 1(z(z2 2z z3 3);); z z1 1(z(z2 2+z+z3 3)=z)=z1 1z z2 2+z+z1 1z z3 3. .3. 共軛復數(shù)的概念、性質(zhì)：共軛復數(shù)的概念、性質(zhì)： 設設z= =a+ +bi ( (a, ,bR ),R ),那么那么定義定義: 實部相等實部相等, ,虛部互為相反數(shù)虛部互為相反數(shù)的兩個復數(shù)叫做互為的兩個復數(shù)

11、叫做互為共軛復數(shù)共軛復數(shù). .復數(shù)復數(shù) z= =a+ +bi 的共軛復數(shù)記作的共軛復數(shù)記作, zzabi即即zzzzzzzz12121212, .2-2bizzazz；4. i i的指數(shù)變化規(guī)律：的指數(shù)變化規(guī)律：ni414ni24ni34ni,1,i,1i)( , 03424144Nniiiinnnn二、問題引入：二、問題引入：2)1 (i;2iii11i1;2iiiii11;22)1)(1 ()1 (2iiiii.22)1)(1 ()1 (2iiiii目標目標: : 分母實數(shù)化分母實數(shù)化;手段手段: :.Rzz三、知識新授：三、知識新授： 定義定義: 把滿足把滿足(c+di)(x+yi) =

12、a+bi (c+di0) 的的復復 數(shù)數(shù) x+yi 叫做復數(shù)叫做復數(shù) a+bi 除以復數(shù)除以復數(shù) c+di 的的商商, 其中其中a,b,c, ,d,x,y都是實數(shù)都是實數(shù), 記為記為()().abiabicdicdi 或或222222()()()()() ()()abi cdicdi cdiabiabicdicdiacbdbcad iacbdbcadicdcdcd 由剛才的求商過程可以形式上寫成由剛才的求商過程可以形式上寫成( (體會其中的過程體會其中的過程):):分母實數(shù)化分母實數(shù)化四、例題應用：四、例題應用：先寫成分式形式先寫成分式形式 化簡成代數(shù)形式化簡成代數(shù)形式就得結果就得結果. 然后

13、然后分母實數(shù)化分母實數(shù)化即可運算即可運算.(一般分子一般分子分母同時乘以分母的分母同時乘以分母的共軛復數(shù)共軛復數(shù)).,34)21 (. 2ziziz求滿足復數(shù)例z=2+i.,2134iiz解：,25510)21)(21 ()21)(34(iiiiii拓展研究拓展研究:。兩兩個個虛虛數(shù)數(shù)的的差差還還是是虛虛數(shù)數(shù)虛虛數(shù)數(shù)兩兩個個純純虛虛數(shù)數(shù)的的差差還還是是純純。的的共共軛軛復復數(shù)數(shù)是是純純虛虛數(shù)數(shù)互互為為共共軛軛復復數(shù)數(shù)、是是實實數(shù)數(shù)，則則如如果果、下下列列命命題題中中正正確確的的是是例例)4()3(ZZ)2(ZZZZ)1(32121 (2)(2)互互為為共共軛軛復復數(shù)數(shù)。與與則則若若互互為為共共

14、軛軛復復數(shù)數(shù)。與與則則若若互互為為共共軛軛復復數(shù)數(shù)。與與則則若若互互為為共共軛軛復復數(shù)數(shù)。與與則則若若為為：、下下列列命命題題中中的的真真命命題題例例2121212121212121ZZ, 0ZZ)D(ZZ, 0ZZ)C(ZZ, 0ZZ)B(ZZ, 0ZZ)A(4 D D的值。求已知1,2150100zziz例例5:5:iiizzziziiz111)() 1() 1(1)()(1)(,2)1 (122521242542422原式解：例例6.、已知復數(shù)、已知復數(shù)z的平方根為的平方根為 3 + 4i ,求復數(shù)求復數(shù) z ;、求復數(shù)、求復數(shù) z =3 + 4i 的平方根的平方根.，由題意，知：2)43() 1 (iz.247i，設所求復數(shù)為)()2(RbRabia，則ibia43)(2，42322abba.-1-212baba，或解得：方程的所有根并求出的值角若方程有實數(shù)根，求銳的方程設關于例,)(0)2()(tan72Rixixx，解：設方程的實數(shù)根為tx ，且，則：0102tan0) 1()2tan(22tttittt.451tan1ot，.2121ixx，五、課堂小結：五、課堂小結：1、定義定義: 把滿足把滿足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di0) 的的復復 數(shù)數(shù) x+yi 叫做復數(shù)叫做復數(shù) a+bi 除以復數(shù)除以復數(shù) c+di 的的商商