高考導(dǎo)數(shù)壓軸題型歸類總結(jié)

1、導(dǎo)數(shù)壓軸題型歸類總結(jié)目錄一、導(dǎo)數(shù)單調(diào)性、極值、最值的直接應(yīng)用 （1）二、交點(diǎn)與根的分布（23）三、不等式證明（31）（一）作差證明不等式（二）變形構(gòu)造函數(shù)證明不等式（三）替換構(gòu)造不等式證明不等式四、不等式恒成立求字母范圍（51）（一）恒成立之最值的直接應(yīng)用（二）恒成立之分離常數(shù)（三）恒成立之討論字母范圍五、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用（70）六、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題（84）七、導(dǎo)數(shù)結(jié)合三角函數(shù)（85）書中常用結(jié)論，變形即為，其幾何意義為上的的點(diǎn)與原點(diǎn)連線斜率小于1.一、導(dǎo)數(shù)單調(diào)性、極值、最值的直接應(yīng)用1. （切線）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線為，與軸交于點(diǎn)求證：.

2、解：(1)時(shí)，由，解得. 的變化情況如下表：01-0+0極小值0 所以當(dāng)時(shí)，有最小值.(2)證明：曲線在點(diǎn)處的切線斜率 曲線在點(diǎn)P處的切線方程為. 令，得， ，即. 又， 所以.2. （2009天津理20，極值比較討論）已知函數(shù)其中當(dāng)時(shí)，求曲線處的切線的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.解：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及分類討論的思想方法。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 以下分兩種情況討論：，則.當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：+00+極大值極小值 w.w.w.k.s.5.u.c

3、.o.m ，則，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：+00+極大值極小值 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3. 已知函數(shù)設(shè)兩曲線有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線相同，若，試建立 關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求的最大值；若在(0,4)上為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍。4. （最值，按區(qū)間端點(diǎn)討論）已知函數(shù)f(x)=lnx.(1)當(dāng)a0時(shí)，判斷f(x)在定義域上的單調(diào)性；(2)若f(x)在1,e上的最小值為，求a的值.解：(1)由題得f(x)的定義域?yàn)?0,)，且 f (x).a0，f (x)0，故f(x)在(0,)上是單調(diào)遞增函數(shù).(2)由(1)可知：f (x)，若a1，則xa0，即f (x)0在1,e上恒成立，

4、此時(shí)f(x)在1,e上為增函數(shù)，f(x)minf(1)a，a (舍去).若ae，則xa0，即f (x)0在1,e上恒成立，此時(shí)f(x)在1,e上為減函數(shù)，f(x)minf(e)1，a(舍去).若ea1，令f (x)0，得xa.當(dāng)1xa時(shí)，f (x)0，f(x)在(1,a)上為減函數(shù)；當(dāng)ax0，f(x)在(a,e)上為增函數(shù)，f(x)minf(a)ln(a)1a.綜上可知：a.5. （最值直接應(yīng)用）已知函數(shù)，其中.（）若是的極值點(diǎn)，求的值；（）求的單調(diào)區(qū)間；（）若在上的最大值是，求的取值范圍.解：（）.依題意，令，解得 . 經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，符合題意. （）解： 當(dāng)時(shí)，.故的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是

5、. 當(dāng)時(shí)，令，得，或.當(dāng)時(shí)，與的情況如下：所以，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是和.當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間是. 當(dāng)時(shí)，與的情況如下：所以，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是和. 當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是.綜上，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，減區(qū)間是和；當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是；減區(qū)間是和.（）由（）知 時(shí)，在上單調(diào)遞增，由，知不合題意.當(dāng)時(shí)，在的最大值是，由，知不合題意.當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，可得在上的最大值是，符合題意. 所以，在上的最大值是時(shí)，的取值范圍是.6. （2010北京理數(shù)18）已知函數(shù)=ln(1+)-+(0).()當(dāng)=2時(shí)，求曲線=在點(diǎn)(1,(1)處的切線方程；

6、()求的單調(diào)區(qū)間.解：（I）當(dāng)時(shí)，由于，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為 即（II），.當(dāng)時(shí)，.所以，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，. 故得單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.當(dāng)時(shí)，由，得，所以，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故得單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.當(dāng)時(shí)， 故得單調(diào)遞增區(qū)間是.當(dāng)時(shí)，得，.所以沒(méi)在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故得單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是7. （2010山東文21，單調(diào)性）已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性.解：因?yàn)?， 所以 ， 令 8. (是一道設(shè)計(jì)巧妙的好題，同時(shí)用到e底指、對(duì)數(shù)，需要構(gòu)造函數(shù)，證存在且唯一時(shí)結(jié)合零點(diǎn)存在性定理不好想，聯(lián)系緊密)已知函數(shù)若函數(shù)

7、(x) = f (x)，求函數(shù) (x)的單調(diào)區(qū)間；設(shè)直線l為函數(shù)f (x)的圖象上一點(diǎn)A(x0，f (x0)處的切線，證明：在區(qū)間(1,+)上存在唯一的x0，使得直線l與曲線y=g(x)相切解：（） ，且，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 （） ， 切線的方程為, 即, 設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，,. 直線也為， 即， 由得 ， 下證：在區(qū)間（1,+）上存在且唯一.由（）可知，在區(qū)間上遞增又，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，說(shuō)明方程必在區(qū)間上有唯一的根，這個(gè)根就是所求的唯一，故結(jié)論成立9. （最值應(yīng)用，轉(zhuǎn)換變量）設(shè)函數(shù)(1)討論函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，減區(qū)間為

8、，當(dāng)時(shí)，減區(qū)間為當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，減區(qū)間為，由知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，即恒成立，即，又，10. （最值應(yīng)用）已知二次函數(shù)對(duì)都滿足且，設(shè)函數(shù)（，）（）求的表達(dá)式；（）若，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （）設(shè)，求證：對(duì)于，恒有 解：（）設(shè)，于是所以 又，則所以 3分 （）當(dāng)m0時(shí)，由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，f（x）的值域?yàn)镽；4分當(dāng)m=0時(shí)，對(duì)，恒成立； 5分 當(dāng)m0時(shí)，在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，4）上單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為又，函數(shù)在區(qū)間0，4上的值域是，即又在區(qū)間0，4上是增函數(shù)，且它在區(qū)間0，4上的值域是.，存在使得成立只須5+ln2 x=0時(shí)在0，3上最小值=5+ln2.若在區(qū)間

9、0，m上單調(diào)，有兩種可能令0得b2x，在0，m上恒成立 而y=2x在0，m上單調(diào)遞增，最大值為2m，b2m.令0 得b2x，而 y=2x在0，m單增，最小為y=，b.故b2m或b時(shí)在0，m上單調(diào).23. （單調(diào)性，用到二階導(dǎo)數(shù)的技巧）已知函數(shù)若，求的極大值；若在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求滿足此條件的實(shí)數(shù)k的取值范圍.解：定義域?yàn)?令 由由即上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減時(shí)，F(xiàn)(x)取得極大值 的定義域?yàn)?0，+)，由G (x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減知：在(0，+)內(nèi)恒成立令，則 由當(dāng)時(shí)為增函數(shù)當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)當(dāng)x = e時(shí)，H(x)取最大值故只需恒成立，又當(dāng)時(shí)，只有一點(diǎn)x = e使得不影響其單調(diào)性 二、交點(diǎn)與根

10、的分布24. （2008四川22，交點(diǎn)個(gè)數(shù)與根的分布）已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)求；求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；若直線與函數(shù)的圖像有個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍解：，是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，由， 令，得，和隨的變化情況如下：1300增極大值減極小值增的增區(qū)間是，；減區(qū)間是(1,3)由知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又時(shí)，；時(shí)，；可據(jù)此畫出函數(shù)的草圖（圖略），由圖可知，當(dāng)直線與函數(shù)的圖像有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為25. 已知函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)（1）求的值； （2）若1是其中一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；（3）若，試問(wèn)過(guò)點(diǎn)（2，5）可作多少條直線與曲線y=g(x)相切？請(qǐng)說(shuō)明理由.=

11、2x+lnx，設(shè)過(guò)點(diǎn)（2，5）與曲線g (x)的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，即 ，令h(x)=，=0，h(x)在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，）上單調(diào)遞增又，h(2)=ln2-10，h(x)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)（2，5）可作2條曲線y=g(x)的切線.26. （交點(diǎn)個(gè)數(shù)與根的分布）已知函數(shù)求在區(qū)間上的最大值是否存在實(shí)數(shù)使得的圖像與的圖像有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由。解：當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)即時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，綜上函數(shù)的圖像與的圖像有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即函數(shù)的圖像與軸的正半軸有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)或時(shí)

12、，當(dāng)充分接近0時(shí)，當(dāng)充分大時(shí)，要使的圖像與軸正半軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，必須且只須即存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)與的圖像有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，的取值范圍為27. （交點(diǎn)個(gè)數(shù)與根的分布）已知函數(shù)求f(x)在0,1上的極值；若對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；若關(guān)于x的方程在0，1上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.解：，令（舍去）單調(diào)遞增；當(dāng)遞減. 上的極大值.由得設(shè)，依題意知上恒成立， 上單增，要使不等式成立，當(dāng)且僅當(dāng) 由令，當(dāng)上遞增；上遞減，而，恰有兩個(gè)不同實(shí)根等價(jià)于 28. (2009寧夏，利用根的分布)已知函數(shù)如，求的單調(diào)區(qū)間；若在單調(diào)增加，在單調(diào)減少，證明：6. w.w.w.k.s.5.u.c

13、.o.m 解：時(shí)，故w.w.w.k.s.5.u.c.o.m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 當(dāng)當(dāng)從而單調(diào)減少.由條件得從而因?yàn)樗詫⒂疫呎归_(kāi)，與左邊比較系數(shù)得，故又由此可得于是 w.w 29. （2009天津文，利用根的分布討論）設(shè)函數(shù)，其中當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線的斜率求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值已知函數(shù)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)，且，若對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍.解：當(dāng)所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為1.，令，得到因?yàn)?，?dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：+00+極小值極大值在和內(nèi)減函數(shù)，在內(nèi)增函數(shù)。函數(shù)在處取得極大值，且=函數(shù)在處取得極小值，且=由題設(shè)所以方程=0由兩個(gè)相異的實(shí)根，故，且，解得因?yàn)椋y

14、點(diǎn)）若，而，不合題意；若則對(duì)任意的有則，又，所以函數(shù)在的最小值為0，于是對(duì)任意的，恒成立的充要條件是,解得，綜上，m的取值范圍是30. （2007全國(guó)II理22，轉(zhuǎn)換變量后為根的分布）已知函數(shù)（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)，如果過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，證明：解：（1）在點(diǎn)處的切線方程為，即（2）如果有一條切線過(guò)點(diǎn)，則存在，使若過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，則方程有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根記，則當(dāng)變化時(shí)，變化情況如下表：000極大值極小值如果過(guò)可作曲線三條切線，即有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則即31. 已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為求函數(shù)的解析式；若對(duì)于區(qū)間上任意兩個(gè)自變量的值都有，求實(shí)數(shù)的最小值；若過(guò)點(diǎn)可作曲線

15、的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：2分根據(jù)題意，得即解得3分所以4分令，即得12+增極大值減極小值增2因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，6分則對(duì)于區(qū)間上任意兩個(gè)自變量的值，都有，所以所以的最小值為48分因?yàn)辄c(diǎn)不在曲線上，所以可設(shè)切點(diǎn)為則因?yàn)?，所以切線的斜率為9分則=，11分即因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，所以方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解所以函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)則令，則或02+增極大值減極小值增則 ，即，解得32. （2011省模，利用的結(jié)論，轉(zhuǎn)化成根的分布分題）已知，函數(shù)（其中）（I）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（II）是否存在實(shí)數(shù)，使曲線在點(diǎn)處的切線與y軸垂直？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。33. 已知函數(shù)，函數(shù)

16、是區(qū)間-1，1上的減函數(shù). （I）求的最大值； （II）若上恒成立，求t的取值范圍； （）討論關(guān)于x的方程的根的個(gè)數(shù)解：（I），上單調(diào)遞減，在-1，1上恒成立，故的最大值為（II）由題意（其中），恒成立，令，則，恒成立，（）由令當(dāng)來(lái)源上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)；當(dāng)來(lái)源:學(xué)*科*網(wǎng)而方程無(wú)解；當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)根.三、不等式證明作差證明不等式34. （2010湖南，最值、作差構(gòu)造函數(shù)）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若，求證：x解：(1)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?1，+),，由 得：，x0,f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，+).(2)證明：由(1)得x(1，0)時(shí)，當(dāng)

17、x(0，+)時(shí)，且x1時(shí)，f (x)f (0)，0，x 令，則，1x0時(shí)，x0時(shí)，且x1時(shí)，g (x)g (0)，即0，x1時(shí)，x35. （2007湖北20，轉(zhuǎn)換變量，作差構(gòu)造函數(shù)，較容易）已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，其中設(shè)兩曲線，有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同用表示，并求的最大值；求證：當(dāng)時(shí)，解：設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同，由題意，即由得：，或（舍去）即有令，則于是當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，于是在的最大值為設(shè)，則故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，于是函數(shù)在上的最小值是故當(dāng)時(shí)，有，即當(dāng)時(shí)，36. （2009全國(guó)II理21，字母替換，構(gòu)造函數(shù)）設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且求的取值范圍，并討

18、論的單調(diào)性；證明：.解: 令，其對(duì)稱軸為。由題意知是方程的兩個(gè)均大于的不相等的實(shí)根，其充要條件為，得當(dāng)時(shí)，在內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)為增函數(shù)；由知，由得，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減。所以，故 變形構(gòu)造函數(shù)證明不等式37. （變形構(gòu)造新函數(shù)，一次）已知函數(shù)試討論在定義域內(nèi)的單調(diào)性；當(dāng)1時(shí)，證明：，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，增區(qū)間為，減區(qū)間為；當(dāng)0時(shí)，增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，減區(qū)間為當(dāng)0時(shí)，在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，則，等價(jià)于，即構(gòu)造，則0在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，即，即又當(dāng)0時(shí)，在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，即38. （2011遼寧理21，變形

19、構(gòu)造函數(shù)，二次）已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性；設(shè)，如果對(duì)任意，求的取值范圍.解：的定義域?yàn)椋?，+）. .當(dāng)時(shí)，0，故在（0，+）單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)，0，故在（0，+）單調(diào)減少；當(dāng)10時(shí)，令=0，解得.則當(dāng)時(shí)，0；時(shí)，0.故在單調(diào)增加，在單調(diào)減少.不妨假設(shè)，而1，由知在（0，+）單調(diào)減少，從而 ，等價(jià)于， 令，則等價(jià)于在（0，+）單調(diào)減少，即.從而,設(shè)并設(shè)，故a的取值范圍為（，2.39. （2010遼寧文21，構(gòu)造變形，二次）已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性； KS*5U.C#設(shè)，證明：對(duì)任意，.解： f(x)的定義域?yàn)?0,+)，.當(dāng)a0時(shí)，0，故f(x)在(0,+)單調(diào)增加；當(dāng)a1時(shí)，0, 故f(x)

20、在(0,+)單調(diào)減少；當(dāng)1a0時(shí)，令0,解得x=.當(dāng)x(0, )時(shí), 0；x(，+)時(shí)，0, 故f(x)在（0, ）單調(diào)增加，在（，+）單調(diào)減少.不妨假設(shè)x1x2.由于a2,故f(x)在（0，+）單調(diào)減少.所以等價(jià)于4x14x2,即f(x2)+ 4x2f(x1)+ 4x1.令g(x)=f(x)+4x,則+4.設(shè)，1，對(duì)稱軸為，結(jié)合圖象知0，于是0.從而g(x)在（0,+）單調(diào)減少，故g(x1) g(x2)，即f(x1)+ 4x1f(x2)+ 4x2，故對(duì)任意x1,x2(0,+) ，40. （遼寧，變形構(gòu)造，二次）已知函數(shù)f(x)=x2ax+(a1)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；w.w.w.k.s

21、.5.u.c.o.m （2）證明：若，則對(duì)任意x,x，xx，有.解：(1)的定義域?yàn)?若即,則，故在單調(diào)增加。若,而,故,則當(dāng)時(shí)，;當(dāng)及時(shí)，故在單調(diào)減少，在單調(diào)增加。若,即,同理在單調(diào)減少，在單調(diào)增加.考慮函數(shù) 則（另一種處理）由于1a5,故，即g(x)在(4, +)單調(diào)增加，從而當(dāng)時(shí)有，即，故，當(dāng)時(shí)，有.（另一種處理），結(jié)合二次函數(shù)圖象設(shè)041. 已知函數(shù)（1）確定函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對(duì)任意，且，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。42. （變形構(gòu)造）已知二次函數(shù)和“偽二次函數(shù)”（、），(I)證明：只要，無(wú)論取何值，函數(shù)在定義域內(nèi)不可能總為增函數(shù)；(II)在二次函數(shù)圖象上任意取不同兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫

22、坐標(biāo)為，記直線的斜率為， (i)求證：；(ii)對(duì)于“偽二次函數(shù)”，是否有同樣的性質(zhì)?證明你的結(jié)論. 解：（I）如果為增函數(shù),則(1)恒成立, 當(dāng)時(shí)恒成立, (2) 由二次函數(shù)的性質(zhì), (2)不可能恒成立.則函數(shù)不可能總為增函數(shù). 3分（II）（i） =.由, 則-5分（ii）不妨設(shè),對(duì)于“偽二次函數(shù)”: =, (3) 7分由()中(1),如果有()的性質(zhì)，則 , (4) 比較(3)( 4)兩式得，即：，(4) -10分不妨令， (5)設(shè)，則， 在上遞增， . (5)式不可能成立,（4）式不可能成立,. “偽二次函數(shù)”不具有()的性質(zhì). -12分43. (變形構(gòu)造，第2問(wèn)用到均值不等式)已知定

23、義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)x24ax1，g(x)6a2lnx2b1，其中a0.設(shè)兩曲線yf(x)，yg(x)有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同，用a表示b，并求b的最大值；設(shè)h(x)f(x)g(x)8x，證明：若a1，則h(x)在(0,)上單調(diào)遞增；設(shè)F(x)f(x)g(x)，求證：對(duì)任意x1,x2(0,)，x1x2有8.解：設(shè)f(x)與g(x)交于點(diǎn)P(x0，y0)，則有f(x0)g(x0)，即x4ax016a2lnx02b1.又由題意知f(x0)g(x0)，即2x04a.由解得x0a或x03a(舍去)將x0a代入整理得ba23a2lna.令s(a)a23a2lna，則s(a)2a(13lna

24、)，a(0,)時(shí)，s(a)遞增，a(,)時(shí)，s(a)遞減，所以s(a)s()，即b，b的最大值為.h(x)f(x)g(x)8x，h(x)2x4a8，因?yàn)閍1，所以h(x)2x4a84a4a84(1)(1)80，即h(x)在(0,)內(nèi)單調(diào)遞增由知x1x2時(shí)，h(x1)h(x2)，即F(x1)8x1F(x2)8x2.因?yàn)閤1x2，所以8.44. 已知函數(shù)，a為正常數(shù)若，且a，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；在中當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象上任意不同的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，記直線的斜率為，試證明：若，且對(duì)任意的，都有，求a的取值范圍解：a，令得或,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.證明：當(dāng)時(shí), ,又不妨設(shè) ， 要比較與的大小，即比較與的大

25、小，又， 即比較與的大小 令,則,在上位增函數(shù)又， ，即 ， 由題意得在區(qū)間上是減函數(shù) 當(dāng)， 由在恒成立設(shè)，則在上為增函數(shù)，. 當(dāng)， 由在恒成立設(shè)，為增函數(shù),綜上：a的取值范圍為.45. 已知函數(shù)（）（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）記函數(shù)的圖象為曲線設(shè)點(diǎn),是曲線上的不同兩點(diǎn)如果在曲線上存在點(diǎn)，使得：；曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線，則稱函數(shù)存在“中值相依切線”試問(wèn)：函數(shù)是否存在“中值相依切線”，請(qǐng)說(shuō)明理由解：（）易知函數(shù)的定義域是，1分 當(dāng)時(shí)，即時(shí), 令,解得或;令,解得2分 所以，函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減 當(dāng)時(shí)，即時(shí), 顯然，函數(shù)在上單調(diào)遞增；3分 當(dāng)時(shí)，即時(shí), 令,解得或; 令,解得4分 所

26、以，函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減綜上所述，當(dāng)時(shí),函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減5分（）假設(shè)函數(shù)存在“中值相依切線”設(shè),是曲線上的不同兩點(diǎn)，且，則 7分曲線在點(diǎn)處的切線斜率，8分依題意得：化簡(jiǎn)可得： ，即= 10分 設(shè) （），上式化為：, 即 12分 令, 因?yàn)?顯然，所以在上遞增,顯然有恒成立 所以在內(nèi)不存在,使得成立綜上所述，假設(shè)不成立所以，函數(shù)不存在“中值相依切線”14分46. 已知函數(shù).（1）若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，若，求證解：（1）,，即在上恒成立設(shè),，時(shí)，單調(diào)減，單調(diào)增，所以時(shí)，有最

27、大值.，所以.（2）當(dāng)時(shí)，,所以在上是增函數(shù)，上是減函數(shù).因?yàn)?，所以?同理.所以又因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)，取等號(hào).又，,所以,所以，所以：.47. 已知(1) 求函數(shù)在上的最小值；(2) 對(duì)一切，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3) 證明: 對(duì)一切，都有成立解： (1) ，當(dāng)，單調(diào)遞減，當(dāng)，單調(diào)遞增 ，t無(wú)解； ，即時(shí)，； ，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，；所以 (2)，則，設(shè)，則，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以.因?yàn)閷?duì)一切，恒成立，所以；（3） 問(wèn)題等價(jià)于證明，由可知的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，設(shè)，則，易得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，從而對(duì)一切，都有成立48. （2011陜西21，變形構(gòu)造，反比例）設(shè)函數(shù)定義在上，導(dǎo)函數(shù)

28、，（1）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；（2）討論與的大小關(guān)系；（3）是否存在，使得對(duì)任意成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：（1），（為常數(shù)），又，所以，即，；，令，即，解得，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，故是函數(shù)的減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，故是函數(shù)的增區(qū)間；所以是的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)，所以的最小值是（2），設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，因此函數(shù)在內(nèi)遞減，當(dāng)時(shí)，=0，；當(dāng)時(shí)，=0， （3）滿足條件的不存在證明如下：證法一 假設(shè)存在，使對(duì)任意成立，即對(duì)任意有 但對(duì)上述的，取時(shí)，有，這與左邊的不等式矛盾，因此不存在，使對(duì)任意成立證法二 假設(shè)存在，使對(duì)任意成立，由（1）知，的最小值是，又，

29、而時(shí)，的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，從而可以取一個(gè)值，使，即,，這與假設(shè)矛盾不存在，使對(duì)任意成立49. 已知函數(shù)，（）求的極值（）若在上恒成立，求的取值范圍（）已知，且，求證解：（1），令得 ，為增函數(shù)，為減函數(shù)有極大值 4分（2）欲使在上恒成立， 只需 在上恒成立設(shè)，為增函數(shù),，為減函數(shù)時(shí)，是最大值 只需，即8分 （3）由（2）可知在上單調(diào)增， ，那，同理相加得 ， 得： .50. 已知函數(shù)的圖象為曲線, 函數(shù)的圖象為直線.() 當(dāng)時(shí), 求的最大值;() 設(shè)直線與曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為, 且, 求證: .解：（1） 單調(diào)遞增，單調(diào)遞減， （2）不妨設(shè)，要證只需證 ，即，令，只需證， 令 在單調(diào)

30、遞增。 ，在單調(diào)遞增。，所以51. 已知函數(shù)，其中常數(shù)若處取得極值，求a的值；求的單調(diào)遞增區(qū)間；已知若，且滿足，試比較的大小，并加以證明。替換構(gòu)造不等式證明不等式52. （第3問(wèn)用第2問(wèn)）已知，直線與函數(shù)的圖像都相切，且與函數(shù)的圖像的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1。 （I）求直線的方程及m的值； （II）若，求函數(shù)的最大值。 （III）當(dāng)時(shí)，求證：解：（I）的斜率為1，且與函數(shù)的圖像的切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），的方程為又與函數(shù)的圖象相切，有一解。由上述方程消去y，并整理得依題意，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，解之，得m=4或m=-2， （II）由（I）可知，單調(diào)，當(dāng)時(shí)，單減。，取最大值，其最大值為2。 （III）證明

31、，當(dāng)時(shí)，53. 已知函數(shù)、（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若為正常數(shù)，設(shè)，求函數(shù)的最小值；（）若，證明：、解:（），解，得；解，得.的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是. 3（），定義域是.5由，得，由，得 函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增7故函數(shù)的最小值是：. 8（）， 在（）中取，可得，即.10，.即.1254. （替換構(gòu)造不等式）已知函數(shù)在點(diǎn)的切線方程為.求函數(shù)的解析式；設(shè)，求證：在上恒成立；（反比例，變形構(gòu)造）已知，求證：.（替換構(gòu)造）解：將代入切線方程得.，化簡(jiǎn)得.，解得. .由已知得在上恒成立化簡(jiǎn)，即在上恒成立設(shè)，. ，即在上單調(diào)遞增，在上恒成立 .，由知有， 整理得當(dāng)時(shí)，.55. （替換證明

32、）已知函數(shù)（1）試判斷函數(shù)的單調(diào)性； （2）設(shè)，求在上的最大值；（3）試證明：對(duì)任意，不等式都成立（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）解：（1）函數(shù)的定義域是由已知令，得因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）由（1）可知當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)，即時(shí)，綜上所述，（3）由（1）知當(dāng)時(shí)所以在時(shí)恒有，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立因此對(duì)任意恒有因?yàn)椋?，即因此?duì)任意，不等式56. （2010湖北，利用結(jié)論構(gòu)造）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.（反比例，作差構(gòu)造）.（替換構(gòu)造）解：本題主要考察函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)，同事考察綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理論證的能

33、力和分類討論的思想。，則有，解得.由知，令， 則 ，當(dāng) ， 若 ，則，是減函數(shù)，所以 ，故在上恒不成立。時(shí)， 若，故當(dāng)時(shí)，。 綜上所述，所求的取值范圍為由知：當(dāng)時(shí)，有.令，有當(dāng)時(shí)，令，有 即 ，將上述個(gè)不等式依次相加得,整理得.57. 已知的圖像在點(diǎn)處的切線與直線平行.（1）求a，b滿足的關(guān)系式；（2）若上恒成立，求a的取值范圍；（3）證明： （nN*）解：（），根據(jù)題意，即.（）由（）知，令，則，=當(dāng)時(shí)， ，若，則，在減函數(shù)，所以，即在上恒不成立時(shí)，當(dāng)時(shí)，在增函數(shù)，又，所以綜上所述，所求的取值范圍是.（）由（）知當(dāng)時(shí)，在上恒成立取得令，得，即,所以上式中n=1，2，3，n，然后n個(gè)不等式相加

34、得58. 已知函數(shù)（1）求函數(shù)的極值點(diǎn)。（2）若恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍。（3）證明：.解：(1)的定義域?yàn)椋?，+），.當(dāng)時(shí)，則在（1，+）上是增函數(shù)。在（1，+）上無(wú)極值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，令，則.所以當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)， 當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)。時(shí)，取得極大值。綜上可知，當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有唯一極值點(diǎn).(2)由(1)可知，當(dāng)時(shí)，不成立.故只需考慮.由(1)知，若恒成立，只需即可，化簡(jiǎn)得：,所以的取值范圍是1，+）.(3)由(2)知，. 59. (替換構(gòu)造)已知函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；若0恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；（一次，作差構(gòu)造）證明：當(dāng)時(shí)，；.解：函數(shù)的定義域?yàn)橹校?當(dāng)0時(shí)，則在上是增函數(shù).當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).由知，當(dāng)0時(shí)，在上是增函數(shù).而，0不成立.當(dāng)時(shí)，由知，要使0恒成立，則0，解得1.由知當(dāng)時(shí)，有在上恒成立，且在是減函數(shù).又，當(dāng)時(shí)，即.令則即，從而.成立.60. （2011浙江理22,替換構(gòu)造）已知函數(shù).求的單調(diào)區(qū)間和極值；求證：.解：定義域?yàn)?. 令，令 故的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為 的極大值為 證明：要證 即證， 即證 即證 令，由