第五章離散時間傅里葉變換

1、第五章第五章 離散時間傅立葉變換離散時間傅立葉變換本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容離散非周期信號的傅立葉變換；離散周期信號的傅立葉變換；傅立葉變換的性質(zhì)；系統(tǒng)的頻率響應(yīng)與頻域分析；ctft:連續(xù)時間傅立葉變換the continuous time fourier transformsdtft:離散時間傅立葉變換 the discrete time fourier transformscfs:連續(xù)時間傅立葉級數(shù) the continuous fourier seriesdfs:離散時間傅立葉級數(shù)the discrete fourier series常見英語縮寫常見英語縮寫5.1 5.1 非周期信號的表示

2、非周期信號的表示 -離散時間傅立葉變換離散時間傅立葉變換 主要內(nèi)容主要內(nèi)容從傅立葉級數(shù)到傅立葉變換從傅立葉級數(shù)到傅立葉變換常用離散時間信號的傅立葉變換常用離散時間信號的傅立葉變換離散時間傅立葉變換的收斂性離散時間傅立葉變換的收斂性一、從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換一、從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換 這里我們將采用與討論連續(xù)時間傅里葉變換相同的思路，來研究離散時間非周期信號的頻域分解問題。 nxnxn 從離散時間周期信號的傅里葉級數(shù)，分析得出離散時間傅里葉變換。 具體過程如下：周期信號非周期信號取出 中的一個周期作為 ，設(shè)該周期的非零項為nknnjkkeanx2nnnnjkkenxna21nnjknenxn

3、21離散周期信號的傅里葉級數(shù)：其中系數(shù)nx,21nnnnx定義定義:njnjenxex)(離散時間傅里葉變換離散時間傅里葉變換由上定義式),(01jkkexna 將其代入 的表達式，得nx則參考p255圖5.1nnjknnnkenxna2211注意：是一個周期性的函數(shù)。,dn20nk2當(dāng)當(dāng) 時，時，nnknjkjkeexn001)(nknjkkeanx0deexnxnxnjj221)(,dn20,nk2當(dāng)當(dāng) 時，時，00021nknjkjkeex)(n注意：積分區(qū)域為任意 間隔。2離散時間傅里葉逆變換離散時間傅里葉逆變換綜上，非周期序列的傅立葉變換對：離散時間傅立葉變換離散時間傅立葉變換離散時

4、間信號離散時間信號 的頻譜的頻譜nxnjnjenxex)(deexnxnjj221)( 上述變換對表明，離散時間傅里葉級數(shù)與傅里葉變換之間的關(guān)系，也就是，有限序列的傅里葉變換的等間隔樣本，就是周期信號的傅里葉系數(shù) 。)(01jkkexna 二、常用離散時間信號的傅立葉變換二、常用離散時間信號的傅立葉變換1|,anuanxn例例5.10nnjnjeaex)( 0)(nnjaejae11cos|(| )aaexj2112cos1sin)(1aatgexj求其傅里葉變換。解：解：由非周期序列的傅里葉變換公式：njnjenxex)()(| )(|jexjjeex時時,低通特性低通特性,時時,高通特性高

5、通特性,單調(diào)指數(shù)衰減單調(diào)指數(shù)衰減擺動指數(shù)衰減擺動指數(shù)衰減nuanxnnx01a10 a例例5.1 5.1 傅里葉變換的模和相位傅里葉變換的模和相位10 a01a1| ,|aanxnnnjnjeaex|)( 10)()(nnjnnjaeaejjjaeaeae111例例5.2求其傅里葉變換。解：解：由由njnjenxex)(22211aaacos10nnjnnnjneaea 實偶序列實偶序列 實偶函數(shù)實偶函數(shù)例例5.25.2中實偶離散信號和它的傅里葉變換中實偶離散信號和它的傅里葉變換實偶離散信號：1| ,|aanxn對應(yīng)的傅里葉變換22211aaaexjcos)(2sin)21sin()(111n

6、eexnnnnjj例例5.3 矩形脈沖矩形脈沖: nx1101nnnn 求其傅里葉變換。解：解：由由njnjenxex)(實偶序列實偶序列 實偶函數(shù)實偶函數(shù) 本例題的時域信號為實偶序列，對應(yīng)的傅里葉變換也是實偶函數(shù)，從而再次驗證了例5.2的結(jié)論：例例5.35.3中中n n1 12 2時的矩形脈沖序列及對應(yīng)的傅里葉變換時的矩形脈沖序列及對應(yīng)的傅里葉變換2sin)21sin()(111neexnnnnjj2sin)21sin()(111neexnnnnjj1sin(21)1,sinkknnankn21()jkknax en非周期矩形脈沖傅里葉變換的兩點比較非周期矩形脈沖傅里葉變換的兩點比較:1.

7、與對應(yīng)的離散周期性矩形脈沖頻譜系數(shù)相比較顯然有顯然有周期離散矩形脈沖的傅里葉級數(shù)系數(shù)：1001sin12sin2nkkn非周期離散矩形脈沖的傅里葉變換：11sin2()sin2jnx e連續(xù)時間非周期矩形脈沖傅里葉變換：2. 與對應(yīng)的連續(xù)時間矩形脈沖比較,0, 1)(tx11tttt12tjxsin)(11sin2()sin2jnx e離散時間矩形脈沖的傅里葉變換：三、離散時間傅立葉變換的收斂性三、離散時間傅立葉變換的收斂性njnjenxex)(這是一個無限項的求和，條件條件1： nnx|nnx2|條件條件2：例5.1，5.2是無限長序列其傅里葉變換存在。此時若上式成立，需要以下兩個收斂條件：

8、若上式成立，需要以下兩個收斂條件：;| ,|1aanxn1|,anuanxnnnx 1jj nnj nnx ex n en e例例5.4 離散時間非周期信號 解：解：求傅里葉變換。 ()1jnx e 5.2 5.2 周期信號的離散時間傅里葉變換周期信號的離散時間傅里葉變換 連續(xù)周期信號的傅里葉變換的求解思路:先構(gòu)造一個頻域沖激，然后求出對應(yīng)的時域信號。得到：002fjte 對離散周期信號采用同樣的思路。 00202122jl njnj nlx nledee 0()22 jlx el 若0022 fjnlel 即0022fjknlekl 積分的求解參考p265圖5.8的x（jw），在任意一個2p

9、i寬度有一個非零的沖激。 nknjkkeanx0 ()jx nx e的傅里葉變換為：由于周期信號的傅里葉級數(shù)為：0()2 (2 )jkknlx eakl 00 22fjknlekl 根據(jù)k取0n1時上式中的各項參考圖p263 fig5.9:0 ()2()jkkx eak 可知010102(2 ) 2(2 )212nlllalalanl 如果周期函數(shù)中包含連續(xù)相繼的n次諧波，則有：kkjknaex)2(2)( 可以看出，周期序列的傅里葉變換，可以直接從它的傅里葉系數(shù)得到。其形式與周期性連續(xù)時間傅里葉變換的形式是基本一樣的。0()2()kkx jak 周期連續(xù)時間信號的傅里周期連續(xù)時間信號的傅里葉

10、變換葉變換周期離散時間信號的傅里周期離散時間信號的傅里葉變換葉變換對比)()()( 00jex)(jex0220200002202如圖所示如圖所示:)(21cos000njnjeennx nnx0cos例例5.5解：，求傅里葉變換，求傅里葉變換 。 kkjnkaex)()(222111aa 這里這里nennenxnanjknnnnnjkk1110010kkkjknnnkaex)()()(2222nx1n0nn2n2nn2n2)(jexn20n4n4比較比較: :與連續(xù)時間情況下對應(yīng)的一致與連續(xù)時間情況下對應(yīng)的一致. . knnnxk例例5.6解：解：，求均勻脈沖串傅里葉變換。，求均勻脈沖串傅里

11、葉變換。 5.3 5.3 離散時間傅立葉變換的性質(zhì)離散時間傅立葉變換的性質(zhì)一一. 周期性周期性)(jex比較比較: :這是與連續(xù)時間傅里葉變換（這是與連續(xù)時間傅里葉變換（ ctftctft ）不同）不同)(),(2211jjexnxexnx二二. 線性線性jjexex2如果如果)()(2121jjebxeaxnbxnax則則是以是以為周期的。為周期的。2(2 )() ()jj njnx ex n ex e)(jexnx0)(0njjeexnnx三三. 時移與頻移性時移與頻移性)()(00jnjexnxe),(jexnx四四. 時間反轉(zhuǎn)時間反轉(zhuǎn):如果如果則有則有)(jexnx如果如果則則例：求例

12、：求02)21(knknnx的傅里葉變換。的傅里葉變換。 1njnennkjekn22時移性質(zhì)022)21()( kkjkjeex022)21(kkknnx解：解：利用時移性質(zhì)和線性性質(zhì)利用時移性質(zhì)和線性性質(zhì): :0)(0njjeexnnx又又2)21(11je由線性性質(zhì)由線性性質(zhì))(jexnx五五. 共軛對稱性共軛對稱性)(*jexnx)(*)( jjexex*nxnx1.1. 若若 是實序列，則是實序列，則nx如果則有兩邊同取共軛)(im)(im)(re)(re )()()()(jjjjjjjjexexexexexexexex因此)()(*jjexex* x nx nxn)()()( *j

13、jjexexex2.2. 若若nx是實偶信號是實偶信號, ,則則結(jié)論：結(jié)論： 是實偶函數(shù)，則是實偶函數(shù)，則 也是實偶信號。也是實偶信號。)(jex)(*jexnx由共軛對稱性知)( jexnx由于由時間反轉(zhuǎn)性質(zhì))( jexnxnx結(jié)論：結(jié)論： 是虛奇函數(shù)。是虛奇函數(shù)。*nxnxnx)()()(*jjjexexex3. 若是實奇信號,則nx于是有:)(jex4.4.若將實信號用實偶部來表示，即說明說明: :這些結(jié)論與連續(xù)時間情況下完全一致。這些結(jié)論與連續(xù)時間情況下完全一致。( )( )( )eox tx tx tjerejxxejeimjxjxo六六. 時域差分與求和時域差分與求和),(jexn

14、x)()1 ( 1jjexenxnxkjjjnkkexeexkx)2()(1)(0如果則有時域差分時域差分時域求和時域求和nkknun ,1例例: :kjkenu)( 211求的傅里葉變換。解：解：由積分時域求和性質(zhì)求解：七七. 時域與頻域的尺度變換時域與頻域的尺度變換0)(knxnxkn是k的整倍數(shù)，k為正整數(shù)其它nnnjkjkenxex)()()()(jkrrkjexerx )()(jkkexnx即信號的反轉(zhuǎn)性質(zhì)書書p268p268，圖，圖5.135.13則rrkjkrknerkx)(令例：由尺度變換)( -kjexnx1)()()(jkjkexex即rx八八. 頻域微分特性頻域微分特性)

15、,(jexnxdedxjnnxj)(如果則有九九. 帕斯瓦爾定理帕斯瓦爾定理若則信號的能量為：dexnxjn222| )(|21| |221| |nkknnanxn)(jexnx非周期信號能量非周期信號能量周期信號功率周期信號功率5.4 5.4 時域卷積性質(zhì)時域卷積性質(zhì)若若卷積特性是頻域分析卷積特性是頻域分析ltilti系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)。系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)。)()(jjehnhexnx)()(*jjehexnhnx則則)()(jjnkeuexkxkjjkeex)2(11)(kjjjkexeex)()()(21例例: :利用卷積性質(zhì)，證明單位階躍函數(shù)的傅里葉變換。*nunxkxnk證明：證明：已知累加

16、器可表示為：則由卷積性質(zhì)：1(2)1 jku nke 5.5 5.5 時域相乘性質(zhì)時域相乘性質(zhì)調(diào)制特性調(diào)制特性調(diào)制特性在信息傳輸中是極其重要的。調(diào)制特性在信息傳輸中是極其重要的。)()(jjexnxexnx111122121212121dexexexexnxnxjjjj)()( )()()(周期卷積周期卷積若若則則ncnxnyncnx, 1nnckjnjnkecenc)()( 221jjjexecey21)(例例: :由此可見，周期卷積可以轉(zhuǎn)化成非周期卷積來求解。由此可見，周期卷積可以轉(zhuǎn)化成非周期卷積來求解。見例題見例題5.155.15求求。)(jey解解: :dexecjj)()()(221

17、dexj20)()()(jjexdex 5.7 5.7 對偶性對偶性主要內(nèi)容主要內(nèi)容1. 離散時間傅里葉變換與離散時間離散時間傅里葉變換與離散時間傅立葉級傅立葉級 數(shù)的對偶性數(shù)的對偶性2. 離散時間傅里葉變換與連續(xù)時間傅里離散時間傅里葉變換與連續(xù)時間傅里 葉級數(shù)間的對偶葉級數(shù)間的對偶一、離散時間周期信號傅里葉變化與傅一、離散時間周期信號傅里葉變化與傅 里葉級數(shù)的對偶性里葉級數(shù)的對偶性kfsanx對離散周期序列對離散周期序列nnjknnenxnka21knjmnmmnemxn21令kxnnadfs1nnjknkekxnna21系數(shù)系數(shù) 也是周期性序列，記為也是周期性序列，記為 kaak令令,km

18、nk則上式可變?yōu)閯t上式可變?yōu)榧醇磁c離散信號的傅里葉與離散信號的傅里葉級數(shù)表示式相同級數(shù)表示式相同ka所以離散時間傅里葉級數(shù)有如下對偶關(guān)系：所以離散時間傅里葉級數(shù)有如下對偶關(guān)系： kxnaanxdfsnkdfs 1 kxnaanxdfsnkdfs1kmnjmnekxna21mkmnnjaenx2 例例: :利用傅立葉系數(shù)的對偶性，可以從時移利用傅立葉系數(shù)的對偶性，可以從時移 頻移，頻移， 過程如下：過程如下：利用時移性質(zhì)有利用時移性質(zhì)有: :由對偶性有由對偶性有: :即是即是頻移特性頻移特性mkmnnjanenxn112 kanx mkmnnjaenx2 p157p157傅里葉級數(shù)的時傅里葉級數(shù)

19、的時間反轉(zhuǎn)性質(zhì)間反轉(zhuǎn)性質(zhì)njnjenxex)(221dteexkxakjtjtk)(二、離散時間傅里葉變換與連續(xù)時間傅里葉級二、離散時間傅里葉變換與連續(xù)時間傅里葉級 數(shù)間的對偶數(shù)間的對偶是一個以是一個以 為周期的連為周期的連續(xù)函數(shù)續(xù)函數(shù)2離散時間信號離散時間信號 的傅里葉變換對：的傅里葉變換對：nxktjkkeatx0)(連續(xù)信號的傅里葉級數(shù)表示式：連續(xù)信號的傅里葉級數(shù)表示式：deexnxnjj221)(nnj nnxn e令 ktjkkktjkjteaekxex2222)(據(jù)此可以構(gòu)造如下周期性連續(xù)時間信號及其傅里葉系數(shù)：據(jù)此可以構(gòu)造如下周期性連續(xù)時間信號及其傅里葉系數(shù)： ttjkkdtet

20、xta01)( kxexexnxcfsjtjdtft 利用這一對偶關(guān)系利用這一對偶關(guān)系, ,可以將可以將dtftdtft的若干特性對偶到的若干特性對偶到cfscfs中去。中去。dtftdtft與與cfscfs的對偶的對偶 即可得到離散時間傅里葉變換和周期連續(xù)時間傅里葉級數(shù)之間，如下對偶關(guān)系： kcfskatjtxdtd2 )(22 () () tcfsjtdx ejkx kjk x kdtt這里例例: :從連續(xù)傅里葉級數(shù)的從連續(xù)傅里葉級數(shù)的時域微分時域微分到離散傅里葉變換的到離散傅里葉變換的頻頻域微分域微分。-cfs-cfs的時域微分特性的時域微分特性對偶性質(zhì)：對偶性質(zhì)：-dtft-dtft的

21、頻域微分特性的頻域微分特性 dtftjcfsjtx nx ex exk ()dtftjdjnx nx ed再由再由再由對偶性質(zhì)：再由對偶性質(zhì)：可以將對偶關(guān)系歸納圖如下表可以將對偶關(guān)系歸納圖如下表katx)()()()()(xjtxjxtx2)(jexnx)2(1ktjxtak)(12knjkexna)(jdtftexnx )(kxexcfsjt kxnaanxnk1連續(xù)連續(xù)周期周期離散離散非周期非周期連續(xù)時間傅里葉級數(shù)連續(xù)時間傅里葉級數(shù)cfscfs離散時間傅里葉級數(shù)離散時間傅里葉級數(shù)dfsdfs離散離散周期周期離散離散周期周期連續(xù)時間傅里葉變換連續(xù)時間傅里葉變換ctftctft連續(xù)連續(xù)非周期非

22、周期連續(xù)連續(xù)非周期非周期離散時間傅里葉變換離散時間傅里葉變換dtftdtft離散離散非周期非周期連續(xù)連續(xù)周期周期時域的離散性時域的離散性 頻域的周期性頻域的周期性 時域的連續(xù)性時域的連續(xù)性 頻域的非周期性頻域的非周期性非周期、連續(xù)非周期、連續(xù) 非周期、非周期、離散離散周期周期、 離散離散周期周期、 連續(xù)連續(xù)連續(xù)、非周期信號連續(xù)、非周期信號離散離散、非周期信號非周期信號連續(xù)、連續(xù)、周期周期信號信號時域的周期性時域的周期性 頻域的離散性頻域的離散性離散離散、周期周期信號信號時域的非周期性時域的非周期性 頻域的連續(xù)性頻域的連續(xù)性時域信號時域信號頻域頻譜頻域頻譜5.8 5.8 離散時間離散時間ltil

23、ti系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析一、一、ltilti系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析時域：時域：nhnxny)()()(jjjehexey頻域：頻域：ltinx)(jexnhny)(jeyjeh)()()(jjjexeyehmkknkkknxbknya00mkjjkknkjjkkexebeyea00)()(nkjkkmkjkkjjjeaebexeyeh00)()()(二、由線性常系數(shù)差分方程表征的系統(tǒng)二、由線性常系數(shù)差分方程表征的系統(tǒng)對如下線性常系數(shù)差分方程：對如下線性常系數(shù)差分方程：兩邊傅里葉變換，有差分和線性性質(zhì)得：兩邊傅里葉變換，有差分和線性性質(zhì)得：例：例：對對ltilti系統(tǒng)系統(tǒng))()(jjjjjeeeeeh4112112814312211 4( ) 2( ) 24nnh nu nu n2281 143nxnynyny對求其單位沖激響應(yīng)對求其單位沖激響應(yīng) 。nhnkjkkmkjkkjeaebeh00)(jjee41122114解解：由差分方程的頻率響應(yīng)的求解公式由差分方程的頻率響應(yīng)的求解公式 5.9 5.9 小結(jié)小結(jié)1.1.從離散時間傅里葉級數(shù)入手，推導(dǎo)出非周期離散時間的從離散時間傅里葉級數(shù)入手，推導(dǎo)出非周期離散時間的傅里葉變換，進而推導(dǎo)出周期性序列的傅