高中數(shù)學(xué)人教高階微分方程習(xí)題課PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1高中數(shù)學(xué)人教高階微分方程習(xí)題課高中數(shù)學(xué)人教高階微分方程習(xí)題課高階微分方程習(xí)題課一、內(nèi)容小結(jié)二、題型練習(xí)第1頁(yè)/共39頁(yè)高階微分方程習(xí)題課一、內(nèi)容小結(jié)二、題型練習(xí)第2頁(yè)/共39頁(yè)一、內(nèi)容小結(jié)(一) 可降階的高階微分方程(二) 線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)(三) 常系數(shù)線(xiàn)性齊次方程(四) 常系數(shù)線(xiàn)性非齊次方程第3頁(yè)/共39頁(yè)一、內(nèi)容小結(jié)(一) 可降階的高階微分方程(二) 線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)(三) 常系數(shù)線(xiàn)性齊次方程(四) 常系數(shù)線(xiàn)性非齊次方程第4頁(yè)/共39頁(yè))()(xfyn 型只含x的項(xiàng)逐次積分),(yxfy 型 缺少y的項(xiàng)設(shè))(xpy 則)(xpy 類(lèi)型特點(diǎn)解法降階方程 Cxxfynd)()1

2、(),(ddpxfxp ),(yyfy 型 缺少x的項(xiàng)設(shè))(xypy 則yppydd ),(ddpyfypp 基本思路通過(guò)變量代換化為低階微分方程l注對(duì)于初值問(wèn)題,應(yīng)邊降階邊確定常數(shù).第5頁(yè)/共39頁(yè)一、內(nèi)容小結(jié)(一) 可降階的高階微分方程(二) 線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)(三) 常系數(shù)線(xiàn)性齊次方程(四) 常系數(shù)線(xiàn)性非齊次方程第6頁(yè)/共39頁(yè)一、內(nèi)容小結(jié)(一) 可降階的高階微分方程(二) 線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)(三) 常系數(shù)線(xiàn)性齊次方程(四) 常系數(shù)線(xiàn)性非齊次方程第7頁(yè)/共39頁(yè)記yxayxayxayyLnnnn)()()()(1) 1(1)( 1.nyyy,21是線(xiàn)性齊次方程0)( yL的n個(gè)線(xiàn)性無(wú)

3、關(guān)的特解nnyCyCyC 2211是齊次方程的通解.2. y是線(xiàn)性非齊次方程)()(xfyL 的一個(gè)特解,Y是對(duì)應(yīng)齊次方程0)( yL的通解,Yy 是線(xiàn)性非齊次方程)()(xfyL 的通解.3.1y是方程)()(1xfyL 的特解,2y是方程)()(2xfyL 的特解,21yyy 是方程)()()(21xfxfyL 的解.4.21, yy是方程)()(xfyL 的兩個(gè)解,21yy 是對(duì)應(yīng)齊次方程0)( yL的解.第8頁(yè)/共39頁(yè)一、內(nèi)容小結(jié)(一) 可降階的高階微分方程(二) 線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)(三) 常系數(shù)線(xiàn)性齊次方程(四) 常系數(shù)線(xiàn)性非齊次方程第9頁(yè)/共39頁(yè)一、內(nèi)容小結(jié)(一) 可降階的高

4、階微分方程(二) 線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)(三) 常系數(shù)線(xiàn)性齊次方程(四) 常系數(shù)線(xiàn)性非齊次方程第10頁(yè)/共39頁(yè)二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次方程l方程形式0 qyypyl求解方法寫(xiě)出特征方程02 qprr解出特征根寫(xiě)出對(duì)應(yīng)通解l通解公式特征根通解形式21,rr二相異實(shí)根xrxreCeCY2121 r重根rxexCCY)(21 i 二共軛復(fù)根12(cossin)xYeCxCx 第11頁(yè)/共39頁(yè)n階常系數(shù)線(xiàn)性齊次方程l方程形式0)2(2)1(1)( ypypypynnnnl特征方程02211 nnnnprprpr若r為特征方程的k重實(shí)根,則通解中含有rxkkexCxCC)(121 若為特征方程的k重復(fù)根,則

5、通解中含有 i 111212()cos()sinxkkkkeCC xC xxDD xD xx 第12頁(yè)/共39頁(yè)一、內(nèi)容小結(jié)(一) 可降階的高階微分方程(二) 線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)(三) 常系數(shù)線(xiàn)性齊次方程(四) 常系數(shù)線(xiàn)性非齊次方程第13頁(yè)/共39頁(yè)一、內(nèi)容小結(jié)(一) 可降階的高階微分方程(二) 線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)(三) 常系數(shù)線(xiàn)性齊次方程(四) 常系數(shù)線(xiàn)性非齊次方程第14頁(yè)/共39頁(yè)二階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次方程l方程形式)(xfqyypy l求解步驟求出對(duì)應(yīng)齊次方程的通解;Y求出非齊次方程的一個(gè)特解; y寫(xiě)出非齊次方程的一個(gè)通解. yYyl特解求法待定系數(shù)法第15頁(yè)/共39頁(yè)l特解形式( )

6、( )cos( )sinxlnf xeP xxP xx (1)(2)( )cos( )sinkxmmyx eRxxRxx +i 不是特征方程的根k=0+i 是特征方程的根k=1(1)(2)( ),( )mmRxRx為m次多項(xiàng)式max , ml n ( )( )xmf xePx ( )kxmyx Qx e 不是特征方程的根k=0 是特征方程的單根k=1 是特征方程的重根k=2(1)(2)第16頁(yè)/共39頁(yè)高階微分方程習(xí)題課一、內(nèi)容小結(jié)二、題型練習(xí)第17頁(yè)/共39頁(yè)高階微分方程習(xí)題課一、內(nèi)容小結(jié)二、題型練習(xí)第18頁(yè)/共39頁(yè)二、題型練習(xí)（一）可降階的高階微分方程（二）高階線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)（三）

7、高階常系數(shù)線(xiàn)性方程的解（四）高階常系數(shù)線(xiàn)性方程的構(gòu)造（五）應(yīng)用題第19頁(yè)/共39頁(yè)二、題型練習(xí)（一）可降階的高階微分方程（二）高階線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)（三）高階常系數(shù)線(xiàn)性方程的解（四）高階常系數(shù)線(xiàn)性方程的構(gòu)造（五）應(yīng)用題第20頁(yè)/共39頁(yè)u例1(1)求下列微分方程的通解或特解yxyyx 2220122 yyy(2)1)0(, 1)0(,222 yyyyyy4)0(, 1)0(, 0)0(,1322 yyyyxxy(3)(4)第21頁(yè)/共39頁(yè)二、題型練習(xí)（一）可降階的高階微分方程（二）高階線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)（三）高階常系數(shù)線(xiàn)性方程的解（四）高階常系數(shù)線(xiàn)性方程的構(gòu)造（五）應(yīng)用題第22頁(yè)/共39

8、頁(yè)二、題型練習(xí)（一）可降階的高階微分方程（二）高階線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)（三）高階常系數(shù)線(xiàn)性方程的解（四）高階常系數(shù)線(xiàn)性方程的構(gòu)造（五）應(yīng)用題第23頁(yè)/共39頁(yè)u例2u例3u例4已知微分方程是否是023 xxx的三個(gè)特解為,2321tttextexex 問(wèn)ttteCteCeC22112 微分方程的通解(其中是C1,C2任意常數(shù))，為什么？ 已知textexttcos5,cos21 022 xxx是微分方程的兩個(gè)特解,問(wèn)teCteCxttcos5cos21 是否是方程的通解?則該方程的通解為:(A)設(shè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的函數(shù))(),(),(321xyxyxy均是二階線(xiàn)性)()()(xfyxqyxpy 322

9、11yyCyC 3212211)(yCCyCyC 3212211)1 (yCCyCyC 3212211)1 (yCCyCyC (B)(C)(D)非齊次方程的解,第24頁(yè)/共39頁(yè)二、題型練習(xí)（一）可降階的高階微分方程（二）高階線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)（三）高階常系數(shù)線(xiàn)性方程的解（四）高階常系數(shù)線(xiàn)性方程的構(gòu)造（五）應(yīng)用題第25頁(yè)/共39頁(yè)二、題型練習(xí)（一）可降階的高階微分方程（二）高階線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)（三）高階常系數(shù)線(xiàn)性方程的解（四）高階常系數(shù)線(xiàn)性方程的構(gòu)造（五）應(yīng)用題第26頁(yè)/共39頁(yè)u例5 寫(xiě)出下列方程的通解形式(不必求解)(1)1653 xxeyyy(2)xxxyyycossin65 (3

10、)2sin3(cos102xxeyyyx (4)xxxxyyycossin10672 u例6 設(shè))(xf為連續(xù)函數(shù),且滿(mǎn)足方程 xxttftxexf02d)()()(求).(xf第27頁(yè)/共39頁(yè)二、題型練習(xí)（一）可降階的高階微分方程（二）高階線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)（三）高階常系數(shù)線(xiàn)性方程的解（四）高階常系數(shù)線(xiàn)性方程的構(gòu)造（五）應(yīng)用題第28頁(yè)/共39頁(yè)二、題型練習(xí)（一）可降階的高階微分方程（二）高階線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)（三）高階常系數(shù)線(xiàn)性方程的解（四）高階常系數(shù)線(xiàn)性方程的構(gòu)造（五）應(yīng)用題第29頁(yè)/共39頁(yè)u例7u例8u例9設(shè)微分方程xcebyyay ,)1 (2xxexey cba,的值及通解.

11、的一個(gè)特解為求求具有特解xxxeyxeyey3,2,321 的三階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程.設(shè)xxxxxxxeexeyexeyexey 23221,是某二階求此方程.常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程的三個(gè)解,第30頁(yè)/共39頁(yè)二、題型練習(xí)（一）可降階的高階微分方程（二）高階線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)（三）高階常系數(shù)線(xiàn)性方程的解（四）高階常系數(shù)線(xiàn)性方程的構(gòu)造（五）應(yīng)用題第31頁(yè)/共39頁(yè)二、題型練習(xí)（一）可降階的高階微分方程（二）高階線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)（三）高階常系數(shù)線(xiàn)性方程的解（四）高階常系數(shù)線(xiàn)性方程的構(gòu)造（五）應(yīng)用題第32頁(yè)/共39頁(yè)（五）應(yīng)用題1幾何應(yīng)用2物理應(yīng)用第33頁(yè)/共39頁(yè)（五）應(yīng)用題1幾何應(yīng)用

12、2物理應(yīng)用第34頁(yè)/共39頁(yè)關(guān)鍵量曲率： 3221yy u例10 在上半平面內(nèi)求一條凹的曲線(xiàn)，其上任一點(diǎn)P(x,y)處的曲率等于此曲線(xiàn)在該點(diǎn)的法線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)度的倒數(shù)（Q是法線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)）且曲線(xiàn)在點(diǎn)(1,1)處的切線(xiàn)與x軸平行。u例11已知曲線(xiàn)y=y(x)(x0)過(guò)原點(diǎn)，位于x軸上方，且曲線(xiàn)上任一點(diǎn)M(x0,y0)處切線(xiàn)斜率數(shù)值上等于此曲線(xiàn)與x軸，直線(xiàn)x=x0所圍成的面積與該點(diǎn)橫坐標(biāo)的和，求此曲線(xiàn)方程。u例12 一曲線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，且曲線(xiàn)上任一點(diǎn)M(x,y)處的切線(xiàn)斜率在數(shù)值上等于從原點(diǎn)到點(diǎn)M的弧長(zhǎng)，求該曲線(xiàn)方程。第35頁(yè)/共39頁(yè)（五）應(yīng)用題1幾何應(yīng)用2物理應(yīng)用第36頁(yè)/共39頁(yè)（五）應(yīng)用題1幾何應(yīng)用2物理應(yīng)用第37頁(yè)/共39頁(yè)u例13 一鏈條