離散LSI系統的頻域分析

1、課程名稱 數字信號處理 實驗成績 指導教師 實 驗 報 告院系 信息工程學院 班級 13普本測控 學號 姓名 日期 2016.4.18 實驗3 離散lsi系統的頻域分析一、實驗目的：1、加深對離散系統變換域分析z變換的理解，掌握使用matlab進行z變換和逆z變換的常用函數的用法。2、了解離散系統的零極點與系統因果性和穩(wěn)定性的關系，熟悉使用matlab進行離散系統的零極點分析的常用函數的用法。3、加深對離散系統的頻率響應特性基本概念的理解，掌握使用matlab進行離散系統幅頻響應和相頻響應特性分析的常用方法。二、實驗原理1、z變換和逆z變換（1）用ztrans函數求無限長序列的z變換。該函數只

2、給出z變換的表達式，而沒有給出收斂域。另外，由于這一函數還不盡完善，有的序列的z變換還不能求出，逆z變換也存在同樣的問題。例7-1 求以下各序列的z變換 x1(n)=an x2(n)=n x3(n)=n(n-1)/2 x4(n)=ejon x5(n)=1/n(n-1)程序清單如下：syms w0 n z a; x1=0;x1=ztrans(x1)x2=sin(w0*n);x2=ztrans(x2)x3=exp(-a*n)*sin(w0*n);x3=ztrans(x3)程序運行結果如下：x1 =z/a/(z/a-1) x2 =z/(z-1)2x3 =1/2*z*(z+1)/(z-1)3-1/2*

3、z/(z-1)2x4 =z/exp(i*w0)/(z/exp(i*w0)-1)x5 =z/(z-1)-ztrans(1/n,n,z)（2）用iztrans函數求無限長序列的逆z變換。例3-2 求下列函數的逆z變換。 程序清單如下：syms n z a;x1=z/(z-a);x1=iztrans(x1)x2= z/(z-a)2;x2=iztrans(x2)x3=z/z-exp(j*w0);x3=iztrans(x3)x4=(1-z-3)/(1-z-1);x4=iztrans(x4)程序運行結果如下：x1 =1x2 =an*nx3 =1/2*n2-1/2*nx4 =iztrans(1-z(-n)/

4、(1-1/z),z,n)2、離散系統的零極點分析（系統極點位置對系統響應的影響）例3-3 研究z右半平面的實數極點對系統的影響。已知系統的零極點增益模型分別為：求這些系統的零極點分布圖以及系統的單位序列響應，判斷系統的穩(wěn)定性。程序清單如下：z1=0;p1=0.85;k=1;b1,a1=zp2tf(z1,p1,k);subplot(3,2,1);zplane(z1,p1);title(極點在單位圓內);subplot(3,2,2);impz(b1,a1,20);z2=0;p2=1;b2,a2=zp2tf(z2,p2,k);subplot(3,2,3);zplane(z2,p2);title(極點

5、在單位圓上);subplot(3,2,4);impz(b2,a2,20);z3=0;p3=1.5;b3,a3=zp2tf(z3,p3,k);subplot(3,2,5);zplane(z3,p3);title(極點在單位圓外);subplot(3,2,6);impz(b3,a3,20);程序運行結果如圖3-1所示。由圖可見，這三個系統的極點均為實數且處于z平面的右半平面。由圖可知，當極點位于單位圓內，系統的單位序列響應隨著頻率的增大而收斂；當極點位于單位圓上，系統的單位序列響應為等幅振蕩；當極點位于單位圓外，系統的單位序列響應隨著頻率的增大而發(fā)散。由此可知系統1、2為穩(wěn)定系統。圖3-1例3-4

6、 研究z左半平面的實數極點對系統的影響。已知系統的零極點增益模型分別為：求這些系統的零極點分布圖以及系統的單位序列響應，判斷系統的穩(wěn)定性。程序清單如下：z1=0;p1=-0.85;k=1;b1,a1=zp2tf(z1,p1,k);subplot(3,2,1);zplane(z1,p1);title(極點在單位圓內);subplot(3,2,2);impz(b1,a1,20);z2=0;p2=-1;b2,a2=zp2tf(z2,p2,k);subplot(3,2,3);zplane(z2,p2);title(極點在單位圓上);subplot(3,2,4);impz(b2,a2,20);z3=0;

7、p3=-1.5;b3,a3=zp2tf(z3,p3,k);subplot(3,2,5);zplane(z3,p3);title(極點在單位圓外);subplot(3,2,6);impz(b3,a3,20);程序運行結果如圖3-2所示。由圖可見，這三個系統的極點均為實數且處于z平面的左半平面。由圖可知，當極點位于單位圓內，系統的單位序列響應隨著頻率的增大而收斂；當極點位于單位圓上，系統的單位序列響應為等幅振蕩；當極點位于單位圓外，系統的單位序列響應隨著頻率的增大而發(fā)散。由此可知系統1、2為穩(wěn)定系統。圖3-2例3-5 研究z右半平面的復數極點對系統響應的影響已知系統的零極點增益模型分別為：求這些系

8、統的零極點分布圖以及系統的單位序列響應，判斷系統的穩(wěn)定性。程序清單如下：z1=0.3,0;p1=0.5+0.7j,0.5-0.7j;k=1;b1,a1=zp2tf(z1,p1,k);subplot(3,2,1);zplane(z1,p1);title(極點在單位圓內);subplot(3,2,2);impz(b1,a1,20);z2=0.3,0;p2=0.6+0.8j,0.6-0.8j;b2,a2=zp2tf(z2,p2,k);subplot(3,2,3);zplane(z2,p2);title(極點在單位圓上);subplot(3,2,4);impz(b2,a2,20);z3=0.3,0;p

9、3=1+j,1-j;b3,a3=zp2tf(z3,p3,k);subplot(3,2,5);zplane(z3,p3);title(極點在單位圓外);subplot(3,2,6);impz(b3,a3,20);程序運行結果如圖3-3所示。由圖可見，這三個系統的極點均為復數且處于z平面的右半平面。由圖可知，當極點位于單位圓內，系統的單位序列響應隨著頻率的增大而收斂；當極點位于單位圓上，系統的單位序列響應為等幅振蕩；當極點位于單位圓外，系統的單位序列響應隨著頻率的增大而發(fā)散。由此可知系統1、2為穩(wěn)定系統。圖3-3由以上三例可得結論：系統只有在極點處于單位圓內才是穩(wěn)定的。例3-6 已知某離散時間系統

10、的系統函數為求該系統的零極點及零極點分布圖，并判斷系統的因果穩(wěn)定性。程序清單如下：b=0.2,0.1,0.3,0.1,0.2;a=1,-1.1,1.5,-0.7,0.3;rz=roots(b)rp=roots(a)subplot(2,1,1);zplane(b,a);title(系統的零極點分布圖);subplot(2,1,2);impz(b,a,20);title(系統的單位序列響應);xlabel(n);ylabel(h(n);程序運行結果如下：rz = -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i 0.2500 + 0.9682i 0.2500 - 0.9682

11、irp = 0.2367 + 0.8915i 0.2367 - 0.8915i 0.3133 + 0.5045i 0.3133 - 0.5045i圖3-4由零極點分布圖可見，該系統的所有極點均在單位圓內，因此該系統是一個因果穩(wěn)定系統。3、離散系統的頻率響應（1）離散系統的頻率響應的基本概念已知穩(wěn)定系統傳遞函數的零極點增益模型為則系統的頻響函數為其中，系統的幅頻特性為系統的相頻特性為由以上各式可見，系統函數與頻率響應有著密切的聯系。適當地控制系統函數的零極點分布，可以改變離散系統的頻響特性： 在原點（z=0）處的零點或極點至單位圓的距離始終保持不變，其值|ej|=1，所以，對幅度響應不起作用；

12、單位圓附近的零點對系統幅度響應的谷值位置及深度有明顯影響； 單位圓內且靠近單位圓附近的極點對系統幅度的峰值位置及大小有明顯的影響。（2）系統的頻響特性分析例3-7 已知某離散時間系統的系統函數為求該系統在0頻率范圍內的相對幅頻響應與相頻響應。程序清單如下：b=0.1321,0,-0.3963,0,0.3963,0,-0.1321;a=1,0,0.34319,0,0.60439,0,0.20407;freqz(b,a);程序運行結果如圖3-5所示。該系統是一個iir數字帶通濾波器。其中幅頻特性采用歸一化的相對幅度值，以分貝（db）為單位。圖3-5例3-8 已知某離散時間系統的系統函數為求該系統在

13、0頻率范圍內的絕對幅頻響應與相頻響應。程序清單如下：b=0.2,0.1,0.3,0.1,0.2;a=1,-1.1,1.5,-0.7,0.3;n=(0:500)*pi/500;h,w=freqz(b,a,n);subplot(2,1,1);plot(n/pi,abs(h);grid;axis(0,1,1.1*min(abs(h),1.1*max(abs(h);xlabel(omega/pi);ylabel(幅度);subplot(2,1,2);plot(n/pi,angle(h);grid;axis(0,1,1.1*min(angle(h),1.1*max(angle(h);xlabel(ome

14、ga/pi);ylabel(相位);程序運行結果如圖3-6所示。該系統為一低通濾波器。圖3-6例3-9 已知某離散時間系統的系統函數為求該系統在0頻率范圍內的絕對幅頻響應與相頻響應、相對幅頻響應與相頻響應及零極點分布圖。程序清單如下：b=0.1,-0.4,0.4,-0.1;a=1,0.3,0.55,0.2;n=(0:500)*pi/500;h,w=freqz(b,a,n);db=20*log10(abs(h);subplot(2,2,1);plot(w/pi,abs(h);grid;axis(0,1,1.1*min(abs(h),1.1*max(abs(h);title(幅頻特性（v）);xl

15、abel(omega/pi);ylabel(幅度(v);subplot(2,2,2);plot(w/pi,angle(h);grid;axis(0,1,1.1*min(angle(h),1.1*max(angle(h);xlabel(omega/pi);ylabel(相位);title(相頻特性);subplot(2,2,3);plot(w/pi,db);gridaxis(0,1,-100,5);title(幅頻特性（db）);subplot(2,2,4);zplane(b,a);title(零極點分布);程序運行結果如圖3-7所示：圖3-7（3） 一個求解頻率響應的實用函數。在實際使用fre

16、qz進行離散系統頻響特性分析時。通常需要求解幅頻響應、相頻響應、群時延，幅頻響應又分為絕對幅頻和相對幅頻兩種表示方法。下面定義函數freqz_m，利用該函數，可方便求出上述各項。freqz_m函數定義如下：functiondb,mag,pha,grd，w=freqz_m(b,a);h,w=freqz(b,a,1000,whole);h=(h(1:501);w=(w(1:501);mag=abs(h);db=20*log10(mag+eps)/max(mag);pha=angle(h);grd=grpdelay(b,a,w);例3-10 已知某離散時間系統的系統函數為求該系統在0頻率范圍內的絕對

17、幅頻響應與相頻響應、相對幅頻響應與相頻響應及群時延。程序清單如下：b=0.1321,0,0.3963,0,0.3963,0,0.1321;a=1,0,-0.34319,0,0.60439,0,-0.20407;db,mag,pha,grd,w=freqz_m(b,a);subplot(2,2,1);plot(w/pi,mag);gridaxis(0,1,1.1*min(mag),1.1*max(mag);title(幅頻特性（v）);xlabel(omega/pi);ylabel(幅度(v);subplot(2,2,2);plot(w/pi,pha);grid;axis(0,1,1.1*min

18、(pha),1.1*max(pha);xlabel(omega/pi);ylabel(相位);title(相頻特性);subplot(2,2,3);plot(w/pi,db);gridaxis(0,1,-100,5);title(幅頻特性（db）);subplot(2,2,4);plot(w/pi,grd);gridaxis(0,1,0,10)title(群時延);程序運行結果如圖3-8所示：圖3-8三、實驗內容：2、求下列各序列的z變換：程序：syms w0 n z a;x1=n*power(a,n);x1=ztrans(x1)x2=sin(w0*n);x2=ztrans(x2)x3=exp

19、(-a*n)*sin(w0*n);x3=ztrans(x3)運行結果：x1 =z/(a*(z/a - 1)2)x2 =(z*sin(w0)/(z2 - 2*cos(w0)*z + 1)x3 =(z*exp(a)*sin(w0)/(exp(2*a)*z2 - 2*exp(a)*cos(w0)*z + 1)3、求下列函數的逆z變換程序：syms w0 n z a;x1=z/(z-a);x1=iztrans(x1)x2=z/(z-a)2;x2=iztrans(x2)x3=z/(z-exp(j*w0);x3=iztrans(x3)x4=(1-z-3)/(1-z-1);x4=iztrans(x4)運行結

20、果：x1 =piecewise(a 0, a*(an/a - kroneckerdelta(n, 0)/a) + kroneckerdelta(n, 0)x2 =piecewise(a 0, a*(kroneckerdelta(n, 0)/a2 + (an*(n - 1)/a2) + an/a - kroneckerdelta(n, 0)/a)x3 =exp(i*w0)*(exp(i*w0)n/exp(i*w0) - kroneckerdelta(n, 0)/exp(i*w0) + kroneckerdelta(n, 0)x4 =kroneckerdelta(n - 1, 0) + krone

21、ckerdelta(n - 2, 0) + kroneckerdelta(n, 0)4、求下列系統函數所描述的離散系統的零極點分布圖，并判斷系統的穩(wěn)定性（1）z1=0.3,0;p1=-1+j,-1-j;k=1;b1,a1=zp2tf(z1,p1,k);subplot(1,2,1);zplane(z1,p1);subplot(1,2,2);impz(b1,a1,20);極點處于單位圓內，故系統是穩(wěn)定的。（2）b=4,-1.6,-1.6,4;a=1,0.4,0.35,-0.4;rz=roots(b)rp=roots(a)subplot(2,1,1);zplane(b,a);title(系統的零極點

22、分布圖);subplot(2,1,2);impz(b,a,20);title(系統的單位序列響應);xlabel(n);ylabel(h(n);運行結果：rz = -1.0000 0.7000 + 0.7141i 0.7000 - 0.7141irp = -0.4500 + 0.7730i -0.4500 - 0.7730i 0.5000 由零極點分布圖可見，該系統的所有極點均在單位圓內，因此該系統是一個因果穩(wěn)定系統。5、已知某離散時間系統的系統函數為求該系統在0頻率范圍內的絕對幅頻響應與相頻響應、相對幅頻響應與相頻響應及群時延。b=0.187632,0,-0.241242,0,0.241242,0,-0.187632;a=1,0,0.602012,0,0.495684,0,0.035924;db,mag,pha,grd,w=freqz_m(b,a);subplot(2,2,1);plot(w/pi,mag);gridaxis(0,1,1.1*min(mag),1.1*max(mag);title(幅頻特性（v）);xlabel(omega/pi);ylabel(幅度(v);subplot(2,2,2);plot(w/pi,pha);grid;axis(0,1,1.1*min(pha)