橢圓的定義與標準方程1

1、如何精確地設計、制作、建造出現(xiàn)實生活中這些橢圓形的如何精確地設計、制作、建造出現(xiàn)實生活中這些橢圓形的物件呢？物件呢？生生活活中中的的橢橢圓圓一一2圓的定義是什么？我們是怎么畫圓的？圓的定義是什么？我們是怎么畫圓的？1.兩點間的距離公式兩點間的距離公式,若設若設a(x1,y1) b(x2,y2)則則:|ab|=?212212|yyxxab在平面內(nèi)，到定點的距離等于定長的點的在平面內(nèi)，到定點的距離等于定長的點的軌跡軌跡。yxo),(yxpr設圓上任意一點設圓上任意一點p(x，y) 以圓心以圓心o為原點，建立直角坐標系為原點，建立直角坐標系 rop ryx 22兩邊平方，得兩邊平方，得 222ryx

2、3.如果將圓的定義中的一個定點變成兩個如果將圓的定義中的一個定點變成兩個定定 點點,動點到定點距離的定長變成動點到兩動點到定點距離的定長變成動點到兩定點的距離之和為定長定點的距離之和為定長.那么，將會形成什那么，將會形成什么樣么樣 的軌跡曲線呢？的軌跡曲線呢？ 4.動手作圖工 具： 紙板、細繩、圖釘作 法： 用圖釘穿過準備好的細繩兩端的套內(nèi)，并把圖釘固定在兩個定點（兩個定點間的距離小于繩長）上，然后用筆尖繃緊繩子，使筆尖慢慢移動，看畫出的是什么樣的一條曲線 平面內(nèi)與兩個定點f1、f2的距離之和等于常數(shù)（大于|f1f2|）的點的軌跡叫橢圓橢圓。兩個定點f1、f2稱為焦點焦點，兩焦點之間的距離稱為

3、焦距焦距，記為2c。若設m為橢圓上的任意一點，則|mf1|+|mf2|=2a注：定義中對“常數(shù)”加上了一個條件，即距離之和要大于|f1f2| (2a2c,ac0)f1f2m123化化 簡簡列列 式式設設 點點建建 系系f1f2xy 以以f1、f2 所在直線為所在直線為 x 軸，線段軸，線段 f1f2的垂直平分線為的垂直平分線為 y 軸建立直角坐標系軸建立直角坐標系p( x , y )設設 p( x，y )是橢圓上任意一點是橢圓上任意一點設設|f1f2|=2c，則有，則有f1(-c，0)、f2(c，0)- , 0c , 0cf1f2xyp( x , y )- , 0c , 0c 橢圓上的點滿足橢

4、圓上的點滿足|pf1 | + | pf2 |為定值，設為為定值，設為2a，則，則2a2c221|=+pfxcy222|=-+pfx cy則：則：2222+-+= 2xcyx cya2222+= 2 -+xcyax cy2222222+= 4-4-+-+xcyaax cyx cy222-c =-+axax cy22222222-+=-acxa yaac設設222-= 0acbb得得即：即：2222+=1 0 xyababo方程方程: :2222+= 1 0 xyabab是橢圓的是橢圓的標準標準方程方程xyof1f2p焦點為：焦點為：f1( -c , 0 )、f2( c , 0 ) 若以若以f1，

5、f2所在的直線為所在的直線為y軸，軸，線段線段 f1f2的垂直平分線為的垂直平分線為x 軸建立軸建立直角坐標系，推導出的方程又是怎直角坐標系，推導出的方程又是怎樣的呢？樣的呢？方程方程: :2222+= 1 0 xyabba也是橢圓的也是橢圓的標準標準方程方程焦點為：焦點為：f1( 0 , -c )、f2( 0 , c )注注：橢圓的焦點在坐標軸上，且兩焦：橢圓的焦點在坐標軸上，且兩焦 點的中點為坐標原點點的中點為坐標原點.oxyf1f2m(-c,0)(c,0)yoxf1f2m(0,-c)(0 , c)0(12222babyax)0(12222babxay橢圓的標準方程的再認識：（1）橢圓標準

6、方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1（2）橢圓的標準方程中三個參數(shù)a、b、c滿足a2=b2+c2。（3）由橢圓的標準方程可以求出三個參數(shù)a、b、c的值。（4）橢圓的標準方程中，x2與y2的分母哪一個大，則焦點在 哪一個軸上。2222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪個大，焦點就在哪個軸上分母哪個大，焦點就在哪個軸上222=+abc平面內(nèi)到兩個定點平面內(nèi)到兩個定點f1，f2的距離的和等的距離的和等于常數(shù)（大于于常數(shù)（大于f1f2）的點的軌跡）的點的軌跡12- , 0 , 0，fcfc120,-0,，fcfc標準方程標準方程不不 同同 點點相相 同同 點點圖圖

7、形形焦點坐標焦點坐標定定 義義a、b、c 的關系的關系焦點位置的判斷焦點位置的判斷4.根據(jù)所學知識完成下表根據(jù)所學知識完成下表xyf1 1f2 2poxyf1 1f2 2po22221.153xy ，則a ，b ；22222.146xy ，223.194xy ，則a ，b ；則a ，b ；則a ，b 224.137xy ，534632372.判定下列橢圓的焦點在什么軸上，寫出焦點坐標1162522yx答：在答：在 x 軸上軸上,（-3，0）和（）和（3，0）116914422yx答：在答：在 y 軸上軸上,（0，-5）和（）和（0，5）62322 yx答：在答：在y 軸上軸上,（0，-1）和（

8、）和（0，1）判斷橢圓標準方程的焦點在哪個軸上的準則：判斷橢圓標準方程的焦點在哪個軸上的準則：x x2 2與與y y2 2的分母哪一個大，則焦點在哪一個軸上。的分母哪一個大，則焦點在哪一個軸上。1162522yx(1)已知橢圓的方程為： ，則a=_，b=_，c=_，焦點坐標為：_焦距等于_;若cd為過左焦點f1的弦，則f2cd的周長為_543(3,0)、(-3,0)620f1f2cd15422yx(2)已知橢圓的方程為： ，則a=_，b=_，c=_，焦點坐標為：_焦距等于_;曲線上一點p到焦點f1的距離為3，則點p到另一個焦點f2的距離等于_，則f1pf2的周長為_21(0,-1)、(0,1)

9、252 532 52xyf1 1f2 2po動點p到兩定點f1(-4,0)，f2(4,0)的距離之和為8，則動點p的軌跡為-（ ） a.橢圓 b.線段f1f2 c.直線f1f2 d.不能確定b例例1：求適合下列條件的橢圓的標準方程：求適合下列條件的橢圓的標準方程：（1 1）兩個焦點的坐標分別是（）兩個焦點的坐標分別是（4 4，0 0）、（）、（4 4，0 0），），橢圓上的一點橢圓上的一點p p到兩焦點距離的和等于到兩焦點距離的和等于1010；解：解： 橢圓的焦點在橢圓的焦點在x軸上軸上 設它的標準方程為設它的標準方程為 所求的橢圓的標準方程為所求的橢圓的標準方程為22221(0)xya ba

10、b 2a=10， 2c=8 a=5， c=422222549bac 221259xy解：解： 橢圓的焦點在橢圓的焦點在y軸上，軸上，由橢圓的定義知，由橢圓的定義知，（2 2）兩個焦點的坐標分別是（）兩個焦點的坐標分別是（0 0，2 2）、（）、（0 0，2 2），），并且橢圓經(jīng)過點并且橢圓經(jīng)過點35,22 設它的標準方程為設它的標準方程為22221(0)yxabab222235352222222a2 1010a 又又 c=222210 4 6bac 所求的橢圓的標準方程為所求的橢圓的標準方程為221106yx求適合下列條件的橢圓的標準方程：求適合下列條件的橢圓的標準方程：(2)(2)焦點為焦點

11、為f f1 1(0,(0,3)3)，f f2 2(0,3),(0,3),且且a=5a=5；2212516yx2216xy(1)a= ,b=1,(1)a= ,b=1,焦點在焦點在x x軸上；軸上；(3)(3)兩個焦點分別是兩個焦點分別是f f1 1( (2,0)2,0)、f f2 2(2,0),(2,0),且過且過p( )p( )點；點； (4)(4)經(jīng)過點經(jīng)過點p(p(2,0)2,0)和和q(0,q(0,3).3).小結：求橢圓標準方程的步驟：小結：求橢圓標準方程的步驟：定位：確定焦點所在的坐標軸；定位：確定焦點所在的坐標軸；定量：求定量：求a, ba, b的值的值. .622194yx23,

12、25221106xy例例2.2.已知方程已知方程 表示焦點在表示焦點在x x軸上的橢圓，則軸上的橢圓，則m的取值范圍是的取值范圍是 . .22xy+=14m(0,4) 變變1 1：已知方程已知方程 表示焦點在表示焦點在y y軸上的軸上的 橢圓，則橢圓，則m的取值范圍是的取值范圍是 . .2 22 2x xy y+ += =1 1m m - -1 13 3 - - m m(1,2)變變2 2：方程：方程 , ,分別求方程滿足下列條分別求方程滿足下列條件的件的m m的取值范圍：的取值范圍：表示一個圓；表示一個圓； 表示一個橢圓；表示一個橢圓；表示焦點在表示焦點在x x軸上的橢圓。軸上的橢圓。22xy125 m16 mm=9/2-16m25-16m2c，即距離之和大于焦距時。當2a=2c時，即距離之和等于焦距時當2a 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪個大，焦點就在哪個軸上分母哪個大，焦點就在哪個軸上22