高等數學課件D6習題課

1、習題課1. 定積分的應用定積分的應用幾何方面幾何方面 : 面積、 體積、弧長、 表面積 .物理方面物理方面 : 質量、作功、 側壓力、引力、2. 基本方法基本方法 : 元素法元素形狀 : 條、段、 帶、 片、扇、環(huán)、殼 等.定積分的應用 第六六章 表示為niiixfu10)(lim一、什么問題可以用定積分解決一、什么問題可以用定積分解決 ? 1) 所求量 u 是與區(qū)間a , b上的某分布 f (x) 有關的2) u 對區(qū)間 a , b 具有可加性 , 即可通過“大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, 取極限取極限”baxxfd)(niiixf10)(lim定積分定義一個整體量 ;二二

2、、如何應用定積分解決問題、如何應用定積分解決問題 ?第一步第一步 利用“化整為零 , 以常代變” 求出局部量的微分表達式xxfud)(d第二步第二步 利用“ 積零為整 , 無限累加 ” 求出整體量的積分表達式uxxfbad)(這種分析方法稱為元素法元素法 (或微元分析法微元分析法 )元素元素的幾何形狀常取為: 條, 帶, 段, 環(huán), 扇, 片, 殼 等近似值精確值一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積1. 直角坐標情形直角坐標情形設曲線)0()(xfy與直線)(,babxax及 x 軸所圍曲則xxfad)(dxxfabad)(邊梯形面積為 a ,oxbay)(xfy xxdx2. 極坐標情形極坐

3、標情形,0)(, ,)(c設求由曲線)(r及,射線圍成的曲邊扇形的面積 .)(r d在區(qū)間,上任取小區(qū)間d,則對應該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為d)(21d2a所求曲邊扇形的面積為d)(212a xo二、平面曲線的弧長二、平面曲線的弧長定義定義: 若在弧 ab 上任意作內接折線 ,0m1imimnm當折線段的最大邊長 0 時, 折線的長度趨向于一個確定的極限 ,此極限為曲線弧 ab 的弧長 , 即并稱此曲線弧為可求長的.iimm1ni 10lims則稱oabyxsdabyxo(1) 曲線弧由直角坐標方程給出:)()(bxaxfy)(xfy 弧長元素(弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧長

4、xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs(2) 曲線弧由參數方程給出:)()()(ttytx弧長元素(弧微分) :因此所求弧長tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs(3) 曲線弧由極坐標方程給出:)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧長d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr則得sd弧長元素(弧微分) :三三、已知平行截面面積函數的立體體積、已知平行截面面積函數的立體體積設所給立體垂直于x 軸的截面面積為a(x), ,)(baxa在則對應于小區(qū)間d,xxx的體積元素為xxavd)(d因此所求立體體積為xxavbad)(xabxxxd)(xa上連續(xù),例例1. 求拋物線21xy在(0,1) 內的一條切線, 與兩坐標軸和拋物線所圍圖形的面積最小.解解: 設拋物線上切點為)1 ,(2xxm則該點處的切線方程為)(2)1 (2xxxxy它與 x , y 軸的交點分別為, )0,(212xxa) 1,0(2xb所指面積)(xsxx2) 1(2122102d)1 (xx324) 1(22xx11mbayxo使它)(xs) 13() 1(22412xxx,33x0)( xs,33x0)( xs故為最小值點