第五章約束優(yōu)化方法

1、1 5.1 約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解 5.2 約束優(yōu)化問題極小點的條件約束優(yōu)化問題極小點的條件 5.3 常用的約束優(yōu)化方法常用的約束優(yōu)化方法 5.3.1 約束坐標輪換法約束坐標輪換法 5.3.2 約束隨機方向法約束隨機方向法5.3.3 復合形法復合形法5.3.5 懲罰函數(shù)法懲罰函數(shù)法2概述概述約束優(yōu)化問題約束優(yōu)化問題最優(yōu)解最優(yōu)解*12.TnXxxx*min()()F XF X最優(yōu)值最優(yōu)值最優(yōu)點最優(yōu)點約束最優(yōu)解和無約束最優(yōu)解無論是在數(shù)學模型上還是幾何約束最優(yōu)解和無約束最優(yōu)解無論是在數(shù)學模型上還是幾何意義上均是不同的概念意義上均是不同的概念3(2,0)等值線等值線族的中心1x( )

2、F x2x無約束最優(yōu)解解無約束最優(yōu)解解：等值線的共同中心：等值線的共同中心.2212112min()44TnF XxxxXxxR數(shù)學模型數(shù)學模型:4數(shù)學模型數(shù)學模型:1x( )F x2x可行域可行域約束最優(yōu)解約束最優(yōu)解51x2xo211()g X4()gX3()gX2()gX*1X*120TX 無約束最優(yōu)點無約束最優(yōu)點*2X*20.581.34TX 約束最優(yōu)點約束最優(yōu)點6約束優(yōu)化問題的類型約束優(yōu)化問題的類型 1. 不等式約束優(yōu)化問題不等式約束優(yōu)化問題(IP型型)2. 等式約束優(yōu)化問題等式約束優(yōu)化問題(EP型型)3. 一般約束優(yōu)化問題一般約束優(yōu)化問題(GP型型) 7約束優(yōu)化方法分類約束優(yōu)化方法分

3、類 直接法：直接法：設法使每一次迭代產(chǎn)生的新迭代點限制在可行域內(nèi)，設法使每一次迭代產(chǎn)生的新迭代點限制在可行域內(nèi)， 且一步一步的降低目標函數(shù)值，直至最后獲得一個且一步一步的降低目標函數(shù)值，直至最后獲得一個 可行域內(nèi)的約束最優(yōu)解?？尚杏騼?nèi)的約束最優(yōu)解。間接法間接法：將約束優(yōu)化問題通過一定形式的變換，轉(zhuǎn)化為無約將約束優(yōu)化問題通過一定形式的變換，轉(zhuǎn)化為無約 束優(yōu)化問題，然后采用約束優(yōu)化方法進行求解。束優(yōu)化問題，然后采用約束優(yōu)化方法進行求解。85.3.1 約束坐標輪換法約束坐標輪換法基本思想基本思想: 與無約束坐標輪換法類似與無約束坐標輪換法類似, 依此沿坐標軸依此沿坐標軸 方向?qū)?yōu)方向?qū)?yōu), 逐步逼近

4、最優(yōu)點。逐步逼近最優(yōu)點。1x2xo(0)X(1)1X(1)2X(1)3X(1)4X(1)X(2)1X(2)1X(2)2X(2)3X(2)X(3)X(4)X91x2xo(0)X(1)1X(1)2X(1)3X(1)4X(1)X任取一個初始點任取一個初始點 (0)XD取初始步長取初始步長0 0沿沿e1方向方向(1)(0)11XXe0檢查檢查可行性可行性:適用性適用性:(1)(0)1?F XF X(1)1?XD2(1)(0)21XXe檢查檢查 .加速步長加速步長(1)(0)31,2XXe(1)(0)41,2XXe檢查檢查可行性可行性:適用性適用性:(1)1)?(XD(1)(1)3XX101x2xo(0

5、)X(1)1X(1)2X(1)3X(1)4X(1)X(2)1X(2)1X(2)2X(2)3X(2)X沿沿e2方向方向(2)(1)12XXe0檢查檢查可行性可行性:適用性適用性:(2)(1)1?F XF X(2)1?XD (2)(0)22,2XXe檢查檢查可行性可行性:適用性適用性:(2)2?XD(2)(2)2XX檢查檢查可行性可行性:適用性適用性:(2)(1)1( )?F XF X(1)2?XD(2)(1)12XXe(2)(1)2?F XF X(2)(0)32,2XXe檢查檢查可行性可行性:適用性適用性:(2)3)?(XD111x2xo(0)X(1)1X(1)2X(1)3X(1)4X(1)X(

6、2)1X(2)1X(2)2X(2)3X(2)X(3)X沿沿e1方向方向(3)(2)11XXe0檢查檢查可行性可行性:適用性適用性:(3)2)?(XD2(4)(0)12XXe檢查檢查可行性可行性:適用性適用性:(3)(2)1?F XF X(3)1?XD(3)(2)21XXe(3)(3)1XX沿沿e2方向方向0檢查檢查可行性可行性:適用性適用性:(4)(3)1( )?F XF X(4)1?XD0 (4)(0)12XXe檢查檢查.121x2xo(0)X(1)1X(1)2X(1)3X(1)4X(1)X(2)1X(2)1X(2)2X(2)3X(2)X(3)X沿坐標軸方向找不到合適的點沿坐標軸方向找不到合

7、適的點: :縮減初始步長縮減初始步長 0 00.50.50 0 繼續(xù)迭代繼續(xù)迭代終止準則終止準則: 0 0約束坐標輪換法與無約束約束坐標輪換法與無約束坐標輪換法的區(qū)別：坐標輪換法的區(qū)別： 步長步長 無約束無約束: : 最優(yōu)步長最優(yōu)步長 約約 束束: : 加速步長加速步長 對每一個迭代點的檢查對每一個迭代點的檢查 無約束無約束: : 檢查適用性檢查適用性 約約 束束: : 檢查適用性和檢查適用性和可行性可行性 終止準則終止準則 無約束無約束: : 點距準則點距準則 約約 束束: : 步長準則步長準則13特點特點:1x2xo(0)X(1)1X(1)2X(1)3X(1)4X(1)X(2)1X(2)1

8、X(2)2X(2)3X(2)X(3)X約束坐標輪換法具有算法明約束坐標輪換法具有算法明了、迭代簡單、便于設計者了、迭代簡單、便于設計者掌握運用等優(yōu)點。掌握運用等優(yōu)點。但是，它的收斂速度較慢，但是，它的收斂速度較慢，對于維數(shù)較高的優(yōu)化問題對于維數(shù)較高的優(yōu)化問題( (例如例如1010維以上維以上) )很費機時。很費機時。另外，這種方法在某些情況另外，這種方法在某些情況下還會出現(xiàn)下還會出現(xiàn)“死點死點”的病態(tài)的病態(tài)，導致輸出，導致輸出偽最優(yōu)點偽最優(yōu)點。 避免輸出避免輸出偽最優(yōu)點偽最優(yōu)點的辦法的辦法: :1 1、輸入不同的初始點、輸入不同的初始點2 2、用不同的不長多次計算、用不同的不長多次計算14基本

9、原理基本原理：典型的：典型的“瞎子爬山瞎子爬山”式的數(shù)值選代解法。在可行式的數(shù)值選代解法。在可行域內(nèi)，任選初始點域內(nèi)，任選初始點 x x(0)(0)， 以給定的步長以給定的步長 a=aa=a0 0 ，沿按某方，沿按某方法產(chǎn)生的法產(chǎn)生的隨機方向隨機方向 S S(1)(1)取探索點取探索點 x = xx = x(0)(0) + a S + a S(1(1），若，若該點同時符合下降性（該點同時符合下降性（F(x)F(x F(x) F2 F3 X(H) X(L) 壞點壞點 好點好點先求出除壞點外，其余各點先求出除壞點外，其余各點構(gòu)成的圖形的構(gòu)成的圖形的形心點形心點X0再求壞點再求壞點X(H)相對于相對

10、于形心點形心點X0的的映射點映射點 X(R)1xo2x132X0X(R)22步驟：步驟：第一步：第一步：初始復合形的構(gòu)成初始復合形的構(gòu)成 第二步：第二步：對復合形進行對復合形進行調(diào)優(yōu)迭代計算調(diào)優(yōu)迭代計算 形心點形心點X0 映射點映射點 X(R) :反射系數(shù)，反射系數(shù)， 一般開始是取一般開始是取=1.31xo2x132()()00()RHXXXX()()00()RHXXXX檢查檢查可行性可行性:適用性適用性:()?RXD()()?RHF XF X新復合形新復合形4點的映射點的映射復合形的收縮復合形的收縮23二、初始復合形的構(gòu)成二、初始復合形的構(gòu)成 v方法一方法一: :試湊法試湊法v方法二方法二:

11、 :隨機產(chǎn)生隨機產(chǎn)生(1)(1)產(chǎn)生產(chǎn)生K個隨機點個隨機點隨機數(shù)隨機數(shù) ( (il，2，n) )0, 1i12.TnXxxx(1,2,. )iiiiixabain(2) (2) 將非可行點調(diào)入可行域?qū)⒎强尚悬c調(diào)入可行域 123424終止條件終止條件:12( )( )211()()KjLjf Xf XK25例例: : 用復合形法求解下例約束最優(yōu)化問題，迭代精度取用復合形法求解下例約束最優(yōu)化問題，迭代精度取 01. 0 2221) 3()(min2xxXfRx04)(2211xxXg 0)(22 xXg05 . 0)(13 xXg解：取復合形的頂點數(shù)解：取復合形的頂點數(shù): :4222 nK(1)(

12、1)獲得初始復合形獲得初始復合形: : 本例采用人為給定四個點本例采用人為給定四個點25 . 0)1(X21)2(X36 . 0)3(X6 . 29 . 0)4(X檢驗各點是否可行：將各點的坐標值代入以上三個約束方程，均滿檢驗各點是否可行：將各點的坐標值代入以上三個約束方程，均滿足約束要求，這四個點為可行點，用作初始復合形的四個頂點足約束要求，這四個點為可行點，用作初始復合形的四個頂點 26(2)(2)迭代計算獲得新復合形迭代計算獲得新復合形 計算復合形各頂點目標函數(shù)值，計算復合形各頂點目標函數(shù)值， 定出最壞點定出最壞點 最好點最好點 計算除壞點外其余各頂點的中心計算除壞點外其余各頂點的中心

13、25.10)()1(Xf8)()2(Xf76.14)()3(Xf17.11)()4(Xf)3()(XXH)2()(XXL2 . 28 . 06 . 29 . 02125 . 0141(11)4()2()1()(XXXKXC將將 代入諸約束條件均滿足，可知代入諸約束條件均滿足，可知 在可行城內(nèi)。在可行城內(nèi)。)(CX 取取 ，求壞點，求壞點 的映射點的映射點3 . 1a)(HX)(RX )()()()()(HcCRXXaXX16. 106. 1)36 . 02 . 28 . 0(3 . 12 . 28 . 0)(CX 在可行域內(nèi)在可行域內(nèi) )(RX27計算計算 并與并與 比較：比較：)()(RXf

14、)()(RXf 用用 替換替換 ，亦即替換構(gòu)成新的復合形：，亦即替換構(gòu)成新的復合形：)(1092. 5)()()(HRXfXf)(RX)(HX 比較各點目標函數(shù)值，定出最壞點比較各點目標函數(shù)值，定出最壞點: : 最好點最好點: : 6 . 29 . 0,16. 106. 1,21,25 . 0)4()3()2()1(XXXX)4()(XXH)3()(XXL2284. 4)1092. 517.11()1092. 51092. 5()1092. 58()1092. 525.10(41)()()()()()()(41)()(1212222212)3()4(2)3()3(2)3()2(2)3()1(1

15、212)()(XfXfXfXfXfXfXfXfXfXfKKjLj（3 3）檢驗迭代終止條件）檢驗迭代終止條件 2829復合形法的復合形法的特點特點: 對目標函數(shù)及約束函數(shù)無特殊要求，適應性強，對目標函數(shù)及約束函數(shù)無特殊要求，適應性強，計算量一般，收斂較快，適用中小型問題。是現(xiàn)計算量一般，收斂較快，適用中小型問題。是現(xiàn)有解不等式約束優(yōu)化問題的一種重要的直接法。有解不等式約束優(yōu)化問題的一種重要的直接法。305.3.5 懲罰函數(shù)法懲罰函數(shù)法將約束優(yōu)化問題通過一定形式的變換，轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題，將約束優(yōu)化問題通過一定形式的變換，轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題，然后采用約束優(yōu)化方法進行求解然后采用約束優(yōu)化方法進

16、行求解轉(zhuǎn)化必須滿足條件：轉(zhuǎn)化必須滿足條件：1、不破壞原約束問題的約束條件，、不破壞原約束問題的約束條件， 2、最優(yōu)解必須歸結(jié)到原約束問題的最優(yōu)解上去。、最優(yōu)解必須歸結(jié)到原約束問題的最優(yōu)解上去。約束優(yōu)化問題的間接法有約束優(yōu)化問題的間接法有: 消元法、拉格朗日乘子法、消元法、拉格朗日乘子法、 懲罰函數(shù)法等懲罰函數(shù)法等.31min(x，r(k)，m(k)(5.56)xRn式中，式中，(x，r(k)，m(k)為增廣函數(shù)，稱為懲罰函數(shù)，簡稱罰函數(shù)為增廣函數(shù)，稱為懲罰函數(shù)，簡稱罰函數(shù) 將一般將一般約束約束優(yōu)化問題數(shù)學模型優(yōu)化問題數(shù)學模型minF(x)xRn：gu(x)0， ul，2，phv(x)=0，v=

17、1，2，q轉(zhuǎn)化成為一個如下的轉(zhuǎn)化成為一個如下的無約束無約束優(yōu)化問題優(yōu)化問題構(gòu)造的新目標函數(shù)一般形式為構(gòu)造的新目標函數(shù)一般形式為懲罰函數(shù)法懲罰函數(shù)法懲罰項懲罰項32按照懲罰函數(shù)構(gòu)成的形式不同，懲罰函數(shù)法又分為三種：按照懲罰函數(shù)構(gòu)成的形式不同，懲罰函數(shù)法又分為三種：1、內(nèi)點懲罰函數(shù)法、內(nèi)點懲罰函數(shù)法2、外點懲罰函數(shù)法、外點懲罰函數(shù)法3、混合懲罰函數(shù)法、混合懲罰函數(shù)法33一、內(nèi)點懲罰函數(shù)法一、內(nèi)點懲罰函數(shù)法基本思想基本思想：將新目標函數(shù)定義于可行域內(nèi)，序列迭代點在可：將新目標函數(shù)定義于可行域內(nèi)，序列迭代點在可 行域內(nèi)逐步逼近原目標函數(shù)約束邊界上的最優(yōu)點。行域內(nèi)逐步逼近原目標函數(shù)約束邊界上的最優(yōu)點。將

18、將約束約束優(yōu)化問題：優(yōu)化問題： minF(x) x : gu(x)0 (u=1 2 m)轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為無約束無約束優(yōu)化問題優(yōu)化問題 其中：其中： r(1)r(2) r(3) r(k) 0 是一個遞減的正值數(shù)列：是一個遞減的正值數(shù)列： r(k)Cr(k-1)， 0C1 (k) =0 limkr34內(nèi)點懲罰函數(shù)法的內(nèi)點懲罰函數(shù)法的思路思路:當當X由可行域內(nèi)靠近任一約束邊界時由可行域內(nèi)靠近任一約束邊界時,懲罰項值趨于無窮大懲罰項值趨于無窮大,所所以它就像圍墻一樣阻止迭代點越出約束邊界以它就像圍墻一樣阻止迭代點越出約束邊界.1xo2x條件條件1：不破壞原約束問題的約束條件：不破壞原約束問題的約束條件35

19、的約束最優(yōu)解的最優(yōu)解就逼近原問題懲罰作用趨于消失的減小隨著),()(),(lim0)(1lim,)()()()(kkkukkkrXXfrXXgrrmin(x, r(k)=minF(x)+ r(k) （1/gu(x)）條件條件2：最優(yōu)解必須歸結(jié)到原約束問題的最優(yōu)解上去：最優(yōu)解必須歸結(jié)到原約束問題的最優(yōu)解上去36解：若用內(nèi)點法求解此約束最優(yōu)化問題，由式知懲罰函數(shù)為解：若用內(nèi)點法求解此約束最優(yōu)化問題，由式知懲罰函數(shù)為11),()()(xrxrXkK將函數(shù)將函數(shù) 對對 求導，得求導，得: :),()(krXx令令: : 解得解得 無約束極小值的點列為無約束極小值的點列為 :2)() 1(1xrdxdk

20、0dxd),()(krX)()(1*kKrX例例: : 用內(nèi)點法求解用內(nèi)點法求解 的約束最優(yōu)化問題。的約束最優(yōu)化問題。 )()()(21),*(KKkrrX無約束極小值點列相應的懲罰函數(shù)值為無約束極小值點列相應的懲罰函數(shù)值為 3738序列極小點都在可行域內(nèi)序列極小點都在可行域內(nèi)39初始點初始點x(0)的確定的確定 自定法自定法 : :搜索法搜索法 先任取一個設計點先任取一個設計點x(k)；計算計算x(k)點的諸約束函數(shù)值點的諸約束函數(shù)值gu(x(k)，u1，2，p 若：若：構(gòu)造：構(gòu)造：按照該數(shù)學模型解出的最優(yōu)點按照該數(shù)學模型解出的最優(yōu)點x x* *，至少比原設計點，至少比原設計點x x(k)(

21、k)多滿足多滿足一個約束條件一個約束條件 重復數(shù)次，直到所有的約束條件都得到滿足，最終可取得在可行域重復數(shù)次，直到所有的約束條件都得到滿足，最終可取得在可行域內(nèi)部的初始點內(nèi)部的初始點x x(0)(0)。40 關于幾個參數(shù)的選擇關于幾個參數(shù)的選擇(1) 初始罰因子初始罰因子r(0)的選取的選取一般可取初始罰因子一般可取初始罰因子r(0)150也有建議?。阂灿薪ㄗh?。?2) 遞減系數(shù)遞減系數(shù)C的選擇的選擇 通常建議取通常建議取C0.10.5 41內(nèi)點懲罰函數(shù)法的特點內(nèi)點懲罰函數(shù)法的特點:在給定一個可行初始方案后，能求出一系列逐步在給定一個可行初始方案后，能求出一系列逐步得到改進的可行的設計方案。得

22、到改進的可行的設計方案。但但只適用于解不等式約束優(yōu)化問題只適用于解不等式約束優(yōu)化問題，且初始點須，且初始點須在可行域內(nèi)。在可行域內(nèi)。42()()11(,)()()pKKuuX rf XrgX22( )121212121111(3)(4)()32.5kxxrxxxxxx= 1122123241:()30()2.50()0()0 Dg XxxgXxxgXxgXx2212min()(3)(4)F Xxx212TXxxDR已知約束優(yōu)化問題已知約束優(yōu)化問題: :試寫出內(nèi)點罰函數(shù)試寫出內(nèi)點罰函數(shù), ,并選出初始迭代點并選出初始迭代點. .內(nèi)點罰函數(shù)內(nèi)點罰函數(shù): :例：例：43例：例：桁架設計問題：桁架設計

23、問題： minF(x)=1.57xminF(x)=1.57x1 1 x=x x=x1 1 x x2 2 T T 225776x44設有不等式約束優(yōu)化問題設有不等式約束優(yōu)化問題：構(gòu)造外點法懲罰函數(shù)的常見形式如下：構(gòu)造外點法懲罰函數(shù)的常見形式如下：懲罰因子懲罰因子r(k)規(guī)定取正。且在優(yōu)化過程中規(guī)定取正。且在優(yōu)化過程中r(k)取為遞增數(shù)列取為遞增數(shù)列 r r(k)(k)=Cr=Cr(k-1)(k-1)， C1 則將保證則將保證 (k)=limkr二、外點懲罰函數(shù)法二、外點懲罰函數(shù)法基本思想基本思想：將新目標函數(shù)定義于可行域外，序列迭代點在可：將新目標函數(shù)定義于可行域外，序列迭代點在可 行域外逐步逼

24、近原目標函數(shù)約束邊界上的最優(yōu)點。行域外逐步逼近原目標函數(shù)約束邊界上的最優(yōu)點。45( )( )21min (,)min ()min 0,() mkkuuX rf XrgX22() ,()0min 0,() 0()0uuuugXgXgXgX若若若若式中式中:外點懲罰函數(shù)法的外點懲罰函數(shù)法的思路思路：可行域內(nèi)時可行域內(nèi)時, ,新目標函數(shù)就是原目標函數(shù)新目標函數(shù)就是原目標函數(shù), ,當當X X位于可行域位于可行域外時外時, ,懲罰項為正值懲罰項為正值, ,新目標函數(shù)值增大新目標函數(shù)值增大, , 就構(gòu)成了對不就構(gòu)成了對不滿足約束條件時的一種滿足約束條件時的一種”懲罰懲罰”. .且離可行域越遠且離可行域越遠

25、, ,懲罰懲罰就越嚴厲就越嚴厲. .當當r(k）不夠大時，罰不夠大時，罰函數(shù)（新目標函數(shù)）的極小值在可行函數(shù)（新目標函數(shù)）的極小值在可行域外，即懲罰不夠，可加大域外，即懲罰不夠，可加大r(k） ，隨著，隨著r(k）的增大，使新的增大，使新目標函數(shù)）的極小點越來越逼近原目標函數(shù)極小點。目標函數(shù)）的極小點越來越逼近原目標函數(shù)極小點。可行域外可行域外可行域內(nèi)可行域內(nèi)46對于解不等式約束優(yōu)化問題對于解不等式約束優(yōu)化問題min F(x)xx R1 ：g1(x)=x10用外點法構(gòu)造懲罰函數(shù)，具體用外點法構(gòu)造懲罰函數(shù)，具體構(gòu)造形式如下：構(gòu)造形式如下：寫成另一種形式寫成另一種形式例例( )( )2(,)min

26、 0,(1) kkX rxrx( )2( )(1)(1)(,)(1)kkxrxxX rxx47( )12(1)(1)1(1)krxxddxx ),()(krX令令: : 解得解得 無約束極小值的點列為無約束極小值的點列為 :0dxd( )( )1*12kkXr ( )( )( )2( )( )( )111(*,)(1)(11)1224kkkkkkXrrrrr 無約束極小值點列相應的懲罰函數(shù)值為無約束極小值點列相應的懲罰函數(shù)值為 求懲罰函數(shù)極小點求懲罰函數(shù)極小點: : 48)(*kX)(*kX*( )()kf X)(kr1*)(* XXk*( )( )(,)kkXr)(kr*X由此可見，當懲罰因

27、子為一遞增正值數(shù)列時，其極值點由此可見，當懲罰因子為一遞增正值數(shù)列時，其極值點 離約離約束最優(yōu)點束最優(yōu)點 愈來愈近，愈來愈近， 的差值與的差值與 愈來愈小。當愈來愈小。當 時，時， ， 亦即逼近于真正的約束最優(yōu)解。無約亦即逼近于真正的約束最優(yōu)解。無約束極值點列束極值點列 隨隨 值遞增從可行域外向最優(yōu)點收斂。值遞增從可行域外向最優(yōu)點收斂。 49對幾個問題的討論對幾個問題的討論初始點初始點x(0)的選取的選取:外點法的初始點外點法的初始點x(0)可以任選，即在可行域可以任選，即在可行域 與非可行域選取均可。與非可行域選取均可。(2) 初始罰因子初始罰因子r(0)和遞增系數(shù)和遞增系數(shù)C的選取的選取

28、初始罰因子初始罰因子r(0)選得是否恰當，對算法的成敗和計算速度仍有選得是否恰當，對算法的成敗和計算速度仍有著顯著的影響。因此，選取時要謹慎。著顯著的影響。因此，選取時要謹慎。遞增系數(shù)遞增系數(shù)C的取值，一般影響不太顯著，但也不宜取得過大。的取值，一般影響不太顯著，但也不宜取得過大。通常取通常取C510。(3) 約束容差帶約束容差帶 用外點法求解時，由于罰函數(shù)的無約束最優(yōu)點列是從可行域用外點法求解時，由于罰函數(shù)的無約束最優(yōu)點列是從可行域外部向約束最優(yōu)點逼近的，所以最終取得的最優(yōu)點一定是在外部向約束最優(yōu)點逼近的，所以最終取得的最優(yōu)點一定是在邊界的非可行域一側(cè)。嚴格地說，它是一個非可行點。這對邊界的

29、非可行域一側(cè)。嚴格地說，它是一個非可行點。這對某些工程問題可能是不允許的。為了解決這一問題?？稍诩s某些工程問題可能是不允許的。為了解決這一問題。可在約束邊界的可行域一側(cè)加一條容差帶，如圖束邊界的可行域一側(cè)加一條容差帶，如圖5.21。這就相當于將約束條件改為這就相當于將約束條件改為gu(x)u0，u=1，2，p式中的式中的u是容差量，一般可取是容差量，一般可取u=103104。 50約束容差帶。約束容差帶。51外點法不但可以解外點法不但可以解不等式不等式約束優(yōu)化問題，而且還可以解約束優(yōu)化問題，而且還可以解等式等式約束優(yōu)約束優(yōu)化問題化問題 用外點法求解二維等式約束優(yōu)化問題：用外點法求解二維等式約束

30、優(yōu)化問題：按外點法的基本思想，構(gòu)造懲罰函數(shù)按外點法的基本思想，構(gòu)造懲罰函數(shù)52 外點法的特點外點法的特點外點法既可解不等式約束優(yōu)化問題，也能解等式約束優(yōu)化問題，外點法既可解不等式約束優(yōu)化問題，也能解等式約束優(yōu)化問題， 且其初始點且其初始點x(0)可任選，即在可行域中或非可行域中均可。可任選，即在可行域中或非可行域中均可。其缺點是序列無約束最優(yōu)點是一系列的非可行點，對于工程設計其缺點是序列無約束最優(yōu)點是一系列的非可行點，對于工程設計 一般是不可取的。為使最終的迭代點能落入可行域，必須設置約一般是不可取的。為使最終的迭代點能落入可行域，必須設置約 束容差帶。束容差帶。532()()1(,)()mi

31、n0,()pKKuuX rF XrgX22( )21212(3)(4)min0,(3)kxxrxx2221212min0,(2.5)min0,min 0,xxxx1122123241:()30()2.50()0()0 Dg XxxgXxxgXxgXx2212min()(3)(4)F Xxx212TXxxDR例：已知約束優(yōu)化問題例：已知約束優(yōu)化問題: :試寫出外點罰函數(shù)試寫出外點罰函數(shù), ,并選出初始迭代點并選出初始迭代點. .外點罰函數(shù)外點罰函數(shù): :54三、混合法三、混合法用罰函數(shù)法解決有等式約束和不等式約束的一般約束用罰函數(shù)法解決有等式約束和不等式約束的一般約束（GP型）優(yōu)化問題的方法，把

32、它稱為混合懲罰函數(shù)法，型）優(yōu)化問題的方法，把它稱為混合懲罰函數(shù)法，簡稱混合法。簡稱混合法。一般約束優(yōu)化問題的數(shù)學模型一般約束優(yōu)化問題的數(shù)學模型 minf(x) x : gu(x)0 (u=1 2 p) hv(x)=0 (v=1 2 q, qn)55內(nèi)點形式的混合型懲罰函數(shù)法內(nèi)點形式的混合型懲罰函數(shù)法r(k) -遞減遞減m(k) -遞增遞增初始點必須是嚴格的內(nèi)點初始點必須是嚴格的內(nèi)點為了統(tǒng)一用一個內(nèi)點法懲罰因子為了統(tǒng)一用一個內(nèi)點法懲罰因子,上式也可寫成上式也可寫成:不等式約束部分按內(nèi)點法形式處理不等式約束部分按內(nèi)點法形式處理 r(k) -遞減遞減56r(k) -遞增遞增外點形式的混合型懲罰函數(shù)法

33、外點形式的混合型懲罰函數(shù)法不等式約束部分按外點法形式處理不等式約束部分按外點法形式處理 57如何判斷優(yōu)化結(jié)果的正確性如何判斷優(yōu)化結(jié)果的正確性:1、約束優(yōu)化問題，最優(yōu)點大多位于邊界上。、約束優(yōu)化問題，最優(yōu)點大多位于邊界上。2、輸入不同的初始點多次計算。、輸入不同的初始點多次計算。3、用不同的方法解。、用不同的方法解。上機：上機：第七周周一和周三晚上18:00-21：001、了解各種方法的基本思想和特點、了解各種方法的基本思想和特點2、 P130 題題 2 3 7應用實例v一、機械優(yōu)化設計的一般過程v 機械優(yōu)化設計的全過程一般可分為如下幾個步驟:v 1)建立優(yōu)化設計的數(shù)學模型。v 2)選擇適當?shù)膬?yōu)

34、化方法。v 3)編寫計算機程序。v 4)準備必要的初始數(shù)據(jù)并上機計算。v 5)對計算機求得的結(jié)果進行必要的分析。v其中建立優(yōu)化設計數(shù)學模型是首要的和關鍵的一步，它是取得正確結(jié)果的前提，v優(yōu)化方法的選擇取決于數(shù)學模型的特點，例如優(yōu)化問題規(guī)模的大小，目標函數(shù)和約束函數(shù)的性態(tài)以及計算精度等。在比較各種可供選用的優(yōu)化方法時，需要考慮的一個重要因素是計算機執(zhí)行這些程序所花費的時間和費用，也即計算效率。v正確地選擇優(yōu)化方法，至今還沒有一定的原則。通常認為，對于目標函數(shù)和約束函數(shù)均為顯函數(shù)且設計變量個數(shù)不太多的回題，懲罰函數(shù)法較好; 對函數(shù)易于求導的問題，以可利用導數(shù)信息的方法為好;對求導非常困難的問題則應

35、選用直接解法，例如復合形法;對于高度非線性的函數(shù)，則應選用計算穩(wěn)定性較好的方法，例如BFGS變尺度法和內(nèi)點懲罰函數(shù)法相結(jié)合的方法。v 編寫計算機程序?qū)τ谑褂谜邅碚f，已經(jīng)沒有多少工作要做了，因為已有許多成熟的優(yōu)化方法程序可供選擇。使用者只需要將數(shù)學模型按要求編寫成子程序嵌入已有的優(yōu)化程序即可。v 步驟4)和5)對機械設計工作者來說，通常不存在原則上的困難。建立數(shù)學模型的基本原則v建立數(shù)學模型的基本原則是優(yōu)化設計中的一個重要組成部分。優(yōu)化結(jié)果是否可用，主要取決于所建立數(shù)學模型是否能夠確切而又簡潔地反映工程問題的客觀實際。在建立數(shù)學模型時，片面地強調(diào)確切，往往會使數(shù)學模型十分冗長、復雜，增加求解問題

36、的困難程度，有時甚至會使問題無法求解;片面強調(diào)簡潔，則可能使數(shù)學模型過份失真，以致失去了求解的意義。合理的做法是在能夠確切反映工程實際問題的基礎上力求簡潔。設計變量、目標函數(shù)和約束條件是組成優(yōu)化設計數(shù)學模型的三要素，下面分別予以討論。1.設計變量的選擇v機械設計中的所有參數(shù)都是可變的，但是將所有的設計參數(shù)都列為設計變量不僅會使問題復雜化，而且是沒有必要的。例如材料的機械性能由材料的種類決定，在機械設計中常用材料的種類有限，通常可根據(jù)需要和經(jīng)驗事先選定，因此諸如彈性模量、泊松比、許用應力等參數(shù)按選定材料賦以常量更為合理;另一類狀態(tài)參數(shù)，如功率、溫度、應力、應變、撓度、壓力、速度、加速度等則通?？?/p>

37、由設計對象的尺寸、載荷以及各構(gòu)件間的運動關系等計算得出，多數(shù)情況下也沒有必要作為設計變量。因此，在充分了解設計要求的基礎上，應根據(jù)各設計參數(shù)對目標函數(shù)的影響程度認真分析其主次，盡量減少設計變量的數(shù)目，以簡化優(yōu)化設計問題。另外還應注意設計變量應當相互獨立，否則會使目標函數(shù)出現(xiàn)“山脊”或“溝谷”，給優(yōu)化帶來困難。2.目標函數(shù)的確定v 目標函數(shù)是一項設計所追求的指標的數(shù)學反映，因此對它最基本的要求是能夠用來評價設計的優(yōu)劣，同時必須是設計變量的可計算函數(shù)。選擇目標函數(shù)是整個優(yōu)化設計過程中最重要的決策之一。v有些問題存在著明顯的目標函數(shù)，例如一個沒有特殊要求的承受靜載的梁，自然希望它越輕越好，因此選擇其

38、自重作為目標函數(shù)是沒有異議的。但設計一臺復雜的機器，追求的目標往往較多，就目前使用較成熟的優(yōu)化方法來說，還不能把所有要追求的指標都列為目標函數(shù)，因為這樣做并不一定能有效地求解。因此應當對所追求的各項指標進行細致的分析，從中選擇最重要最具有代表性的指標作為設計追求的目標。v例如一架好的飛機，應該具有自重輕、凈載重量大，航程長，使用經(jīng)濟，價格便宜，跑道長度合理等性能，顯然這些都是設計時追求的指標。但并不需要把它們都列為目標函數(shù)，在這些指標中最重要的指標是飛機的自重。因為采用輕的零部件建造的自身重量最輕的飛機只會促進其它幾項指標，而不會損害其中任何一項。因此選擇飛機自重作為優(yōu)化設計的目標函數(shù)應該是最

39、合適的了。v若一項工程設計中追求的目標是相互矛盾的，這時常常取其中最主要的指標作為目標函數(shù)，而其余的指標列為約束條件。也就是說，不指望這些次要的指標都達到最優(yōu)，只要它們不致于過劣就可以了。v 在工程實際中，應根據(jù)不同的設計對象，不同的設計要求靈活地選擇某項指標作為目標函數(shù)。以下的意見可作為選擇時的參考。v對于一般的機械，可按重量最輕或體積最小的要求建立目標函數(shù);對應力集中現(xiàn)象尤其突出的構(gòu)件，則以應力集中系數(shù)最小作為追求的目標，對于精密儀器，應按其精度最高或誤差最小的要求建立目標函數(shù)。在機構(gòu)設計中，當對所設計的機構(gòu)的運動規(guī)律有明確的要求時，可針對其運動學參數(shù)建立目標函數(shù);若對機構(gòu)的動態(tài)特性有專門要求，則應針對其動力學參數(shù)建立目標函數(shù);而對于要求再現(xiàn)運動軌跡的機構(gòu)設計，則應根據(jù)機構(gòu)的軌跡誤差最小的要求建立目標函數(shù)。3.約束條件的確定v約束條件是就工程設計本身而提出的對設計變量取值范圍的限制條件。和目標函數(shù)一樣，它們也是設計變量的可計算函數(shù)。v 如前所述，約束條件可分為性能約束和邊界約束兩大類。性能約束通常與設計原理有關，有時非常簡單，如設計曲柄連桿機構(gòu)時，按曲柄存在條件而寫出的約束函數(shù)均為設計變量的線性顯函數(shù);有時卻相當復雜，如對一個復雜的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，要計算其中各構(gòu)件的應力和位移，常采用有限元法，這時相應的約束函數(shù)為設計變量的隱函數(shù)，計算這樣的約束函數(shù)往往要花費很大的計算量。3.