概率論與數理統(tǒng)計教程朱慶峰第6章參數估計6.6

1、6.6 區(qū)間估計一、區(qū)間估計基本概念一、區(qū)間估計基本概念二、正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計二、正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計三、小結三、小結 引言引言 前面，我們討論了參數點估計前面，我們討論了參數點估計. 它它是用樣本算得的一個值去估計未知參數是用樣本算得的一個值去估計未知參數. 但是，點估計值僅僅是未知參數的一個但是，點估計值僅僅是未知參數的一個近似值，它沒有反映出這個近似值的誤近似值，它沒有反映出這個近似值的誤差范圍，使用起來把握不大差范圍，使用起來把握不大. 區(qū)間估計區(qū)間估計正好彌補了點估計的這個缺陷正好彌補了點估計的這個缺陷 .10 01 |,p其其中中1 p即即 , 隨隨機機區(qū)區(qū)間間

2、的的置置信信區(qū)區(qū)間間 我們希望我們希望一、區(qū)間估計基本概念1. 置信區(qū)間的定義置信區(qū)間的定義121212( ; ),(01).,( , ) ( , )1nnnf xp 設總體 的概率函數含有一個未知參數對于給定值若由樣本確定的兩個統(tǒng)計量和使得 1, . 則稱隨機區(qū)間 ， 是參數 的置信水平為的（同等）置信區(qū)間和 分別稱為（雙側）置信區(qū)間的置信下限和置信上限2. 單側單側置信上（下）限的定義置信上（下）限的定義121212( ; ),(01).,( , ) ( , )11nnnf xpp 設總體 的概率函數含有一個未知參數對于給定值若由樣本確定的兩個統(tǒng)計量和使得 （） .則稱和 分別稱為單側置信

3、下限和置信上限關于定義的說明關于定義的說明 , , , . 被估計的參數 雖然未知 但它是一個常數沒有隨機性 而區(qū)間（ ，）是隨機的1 : p 因此定義中以下表達式的本質是, 1, 1 , . 隨機區(qū)間以的概率包含著參數 的真值 而不能說參數 以的概率落入隨機區(qū)間例如例如 , 1000 0.01, 次次反復抽樣反復抽樣若若 .10 1000 個個真真值值的的約約為為個個區(qū)區(qū)間間中中不不包包含含則則得得到到的的 一旦有了樣本，就把一旦有了樣本，就把 估計在區(qū)間估計在區(qū)間( , ) 內內.這里有兩個要求這里有兩個要求:由定義可見，由定義可見，112( ,.)n 對參數對參數 作區(qū)間估計，就是要設法

4、找出作區(qū)間估計，就是要設法找出兩個只依賴于樣本的界限兩個只依賴于樣本的界限(構造統(tǒng)計量構造統(tǒng)計量)212( ,.)n )(21 2. 估計的精度要盡可能的高估計的精度要盡可能的高. 如要求區(qū)間如要求區(qū)間21長度長度 盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準則它準則.( , ) 1. 要求要求 以很大的可能被包含在區(qū)間以很大的可能被包含在區(qū)間p內，就是說，概率內，就是說，概率 要盡可能大要盡可能大.即要求估計盡量可靠即要求估計盡量可靠. 可靠度與精度是一對矛盾，可靠度與精度是一對矛盾，一般是在保證可靠度的條件下一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度盡可能提高精度.3. 求置

5、信區(qū)間的一般步驟求置信區(qū)間的一般步驟( (共共3步步) )1212(1) ,:(,; ), ().nnzzz 尋求一個樣本的函數其中僅包含待估參數并且 的分布已知且不依賴于任何未知參數 包括12(2) 1, , (,; )1.na bp azb 對于給定的置信度決定出兩個常數使1212112212(3) ( ,; ) , ( ,),( ,), , 1 .nnnazb 若能從得到等價的不等式其中都是統(tǒng)計量 那么就是的一個置信度為的置信區(qū)間12221, , ( ,), ,.nns 設給定置信度為并設為總體的樣本分別是樣本均值和修正樣本方差二、正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計),(2 n ,)1(2為為

6、已已知知 1 的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個置信度為的一個置信度為 1/2.un 的置信區(qū)間的置信區(qū)間均值均值 1.i 單個總體單個總體的情況的情況 , 因為是的無偏估計 (0,1),/unn且(0,1)/nn是不依賴于任何未知參數的.推導過程如下推導過程如下:1/21, /pun 1/21/2 1,puunn 即1/21/2 1 ,.uunn于是得 的一個置信度為的置信區(qū)間這樣的置信區(qū)間常寫成這樣的置信區(qū)間常寫成1/2.un其置信區(qū)間的長度為其置信區(qū)間的長度為1/ 22 .un 包糖機某日開工包了包糖機某日開工包了1212包糖包糖, ,稱得重量稱得重量( (單單位位: :克克) )分別為分別為5

7、06,500,495,488,504,486,505,506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485. 513,521,520,512,485. 假設重量服從正態(tài)分布假設重量服從正態(tài)分布, ,解解,12,10 n ,92.502 x計算得計算得,10. 0)1(時時當當 1/20.95 uu查表得0.05). 0.10 ( 1 10, 和和分別取分別取置信區(qū)間置信區(qū)間的的試求糖包的平均重量試求糖包的平均重量且標準差為且標準差為,95. 021 ,645. 1例例11/2xun645. 1121092.502 ,67.507 1/2xun645.

8、1121092.502 ,17.498 90% 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為的置信度為的置信度為即即 (498.17, 507.67),05. 0)2(時時當當 ,975. 021 1/20.975uu 95% 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為的置信度為的置信度為同理可得同理可得 (497.26, 508.58).,1 ;,1 ,置置信信區(qū)區(qū)間間也也較較小小較較小小時時當當置置信信度度置置信信區(qū)區(qū)間間也也較較大大較較大大時時當當置置信信度度從從此此例例可可以以看看出出 ,96. 1查表得查表得例6.5.4 設總體為正態(tài)分布n(,1)，為得到 的置信水平為0.95的置信區(qū)間長度不超過1.2，樣本容量應為多大

9、？ ,)2(2為未知為未知 1/2 , , un由于區(qū)間中含有未知參數不能直接使用此區(qū)間 , , 222替換可用的無偏估計是但因為sss 1 的置信區(qū)間的置信區(qū)間的置信度為的置信度為 1/2(1) .stnn推導過程如下推導過程如下:1/21/2 (1)(1)1,ssptntnnn 即 1 的置信區(qū)間的置信區(qū)間的置信度為的置信度為于是得于是得 1/2(1) .stnn (1), /t nsn根據1/21/2(1)(1)1, /ptntnsn故解解 有一大批糖果有一大批糖果,現(xiàn)從中隨機地取現(xiàn)從中隨機地取16袋袋, 稱得重稱得重量量(克克)如下如下: 49650950250649649350551

10、4512497510504503499508506設袋裝糖果的重量服從正態(tài)分布設袋裝糖果的重量服從正態(tài)分布, 試求總體均值試求總體均值,151 0.05, n : )1( 分布表可知分布表可知查查 nt0.975(15)t,2022. 6,75.503 sx計算得 . 0.95 的置信區(qū)間的置信區(qū)間的置信度為的置信度為 ,1315. 2例例2 5%9 的置信區(qū)間的置信區(qū)間的置信度為的置信度為得得 1315. 2162022. 675.503(500.4,507.1).即就是說估計袋裝糖果重量的均值在就是說估計袋裝糖果重量的均值在500.4克與克與507.1克之間克之間, 這個估計的可信程度為這

11、個估計的可信程度為95%. ).( 61. 621315. 2162022. 6 克克其誤差不大于其誤差不大于 , 的近似值的近似值為為若依此區(qū)間內任一值作若依此區(qū)間內任一值作 這個誤差的可信度為這個誤差的可信度為95%.例6.5.5 假設輪胎的壽命服從正態(tài)分布。為估計某種輪胎的平均壽命，現(xiàn)隨機地抽12只輪胎試用，測得它們的壽命（單位：萬公里）如下：4.68 4.85 4.32 4.85 4.61 5.025.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.70 此處正態(tài)總體標準差未知，可使用t分布求均值的置信區(qū)間。經計算有 =4.7092，s2=0.0615。取 =0.05，查表知t0.9

12、75(11)=2.2010，于是平均壽命的0.95置信區(qū)間為（單位：萬公里）x4.70922.20100.0615 / 124.5516, 4.8668 在實際問題中，由于輪胎的壽命越長越好，因此可以只求平均壽命的置信下限，也即構造單邊的置信下限。由于 由不等式變形可知 的1-置信下限為 將t0.95(11)=1.7959代入計算可得平均壽命 的0.95置信下限為4.5806（萬公里）。 1()(1)1n xptns 1(1)xtnsn推導過程如下推導過程如下: , 22的無偏估計是因為s),1() 1(222nsn根據根據 1 2的置信區(qū)間的置信區(qū)間的置信度為的置信度為方差方差 22221-

13、 /2/2(1)(1),. (1)(1)nsnsnn . ,未知的情況未知的情況只介紹只介紹根據實際需要根據實際需要 2的置信區(qū)間的置信區(qū)間方差方差 2 1 2的置信區(qū)間的置信區(qū)間的置信度為的置信度為于是得方差于是得方差 222/21/22(1) (1)(1)1, nspnn 故222221- /2/2(1)(1) 1, (1)(1)nsnspnn 即22221- /2/2(1)(1),. (1)(1)nsnsnn 1 的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個置信度為的一個置信度為標準差標準差 221- /2/211,.(1)(1)nsnsnn進一步可得進一步可得:注意注意: 在密度函數不對稱時在密度函數不

14、對稱時, , 2分布分布分布和分布和如如f 習慣上仍取對稱的分位點來習慣上仍取對稱的分位點來確定置信區(qū)間確定置信區(qū)間(如圖如圖). (續(xù)例續(xù)例2) 求例求例2 2中總體標準差中總體標準差 的置信度為的置信度為0.950.95的置信區(qū)間的置信區(qū)間. .解解,151 0.975,21 0.025,2 n : )1( 2分布表可知分布表可知查查 n )15(2025. 0 ,2022. 6 s計算得 )15(2975. 0 代入公式得標準差的置信區(qū)間代入公式得標準差的置信區(qū)間4.58, 9.60 .（） ,488.27,262. 6例例5 在樣本容量充分大時，可以用漸近分布來構造近似的置信區(qū)間。一個

15、典型的例子是關于比例p 的置信區(qū)間。3.大樣本置信區(qū)間 設x1, xn是來自b(1, p)的樣本,有 對給定 ， ，通過變形，可得到置信區(qū)間為 其中記= u21-/2，實用中通常略去/n項，于是可將置信區(qū)間近似為(0,1)(1)/xpunppn121(1)xppuppn 22221(1)1(1),242411xxxxxxnnnnnnnn22(1)(1),xxxxxuxunn例6.5.7 對某事件a作120次觀察，a發(fā)生36次。試給出事件a發(fā)生概率p 的0.95置信區(qū)間。解：此處n=120， =36/120=0.3 而u0.975=1.96，于是p的0.95（雙側）置信下限和上限分別為 故所求的

16、置信區(qū)間為 0.218，0.382x0.3 0.70.3 1.960.218120lp0.3 0.70.31.960.382120upii 兩個正態(tài)總體下的置信區(qū)間 設x1 , , xm是來自n(1, 12)的樣本，y1 , , yn是來自n(2, 22)的樣本，且兩個樣本相互獨立。 與 分別是它們的樣本均值， 和 分別是它們的樣本方差。下面討論兩個均值差和兩個方差比的置信區(qū)間。 xy22111mxiisxxm22111nyiisyyn一、一、 1 - 2的置信區(qū)間的置信區(qū)間1、 12和 22已知時的兩樣本u區(qū)間 2、 12 = 22 = 2未知時的兩樣本t區(qū)間 222212121212,xy

17、uxyumnmn12122 ,2wwmnmnxys tmnxys tmnmnmn3、 22 / 12=c已知時的兩樣本t區(qū)間 12122 ,2wwmcnmcnxys tmnxys tmnmnmn4、當m和n都很大時的近似置信區(qū)間 5、一般情況下的近似置信區(qū)間 其中 22221212,yyxxssssxyuxyumnmn 0 120 12,xys tlxys tl2220/ ,xyssmsn40442211yxslssmmnn例6.6.9 為比較兩個小麥品種的產量，選擇18塊條件相似的試驗田，采用相同的耕作方法作試驗，結果播種甲品種的8塊試驗田的畝產量和播種乙品種的10塊試驗田的畝產量（單位：千

18、克/畝）分別為： 甲品種 628 583 510 554 612 523 530 615 乙品種 535 433 398 470 567 480 498 560 503 426 假定畝產量均服從正態(tài)分布，試求這兩個品種平均畝產量差的置信區(qū)間.( =0.05）。 解：以x1 , , x8記甲品種的畝產量，y1 , , y10記乙品種的畝產量，由樣本數據可計算得到 =569.3750，sx2 =2140.5536，m=8 =487.0000，sy2=3256.2222， n=10 下面分兩種情況討論。 xy(1) 若已知兩個品種畝產量的標準差相同，則可采用兩樣本t區(qū)間。此處 故1 -2的0.95置

19、信區(qū)間為22117 2110.55369 3256.222252.4880216xywmsnssmn 120.9752162.1199tmnt12111122.1199 52.488052.7797810wtmnsmn569.3750 487 52.7797, 9569.3750 487 52.7797 29.5953, 135.1547(2) 若兩個品種畝產量的方差不等，則可采用近 似 t 區(qū)間。此處 s02 =2140.5536/8+3256.2222/10=593.1914， s0 =24.3555 于是1-2的0.95近似置信區(qū)間為 31.74，134.0222222593.19141

20、5.99162140.55363256.222287109l 0 0.97524.3555 2.119951.64s tl 二、 12/ 22的置信區(qū)間 由于(m-1) sx2/ 12 2(m-1), (n-1) sy2/ 22 2(n-1)，且sx2與sy2相互獨立，故可仿照f變量構造如下樞 軸量 ,對給定的1-，由 經不等式變形即給出 12/ 22的如下的置信區(qū)間2212221,1xysff mns2222122211,11,11xysp fmnfmns 222212211,1,11,1xxyysssfmnsfmn例6.6.10 某車間有兩臺自動機床加工一類套筒，假設套筒直徑服從正態(tài)分布?，F(xiàn)在從兩個班次的產品中分別檢查了5個和6個套筒，得其直徑數據如下（單位：厘米）： 甲班：5.06 5.08 5.03 5.00 5.