微積分 第六章 定積分 1-2-3節(jié)

1、第六章第六章定定 積積 分分 定積分和不定積分是積分學的兩個定積分和不定積分是積分學的兩個一種認識問題、分析問題、解決問題的一種認識問題、分析問題、解決問題的不定積分側(cè)重于基本積分法的訓練不定積分側(cè)重于基本積分法的訓練,而定積分則完整地體現(xiàn)了積分思想而定積分則完整地體現(xiàn)了積分思想 主要組成部分主要組成部分.思想方法思想方法. Page 2 二、定積分的概念二、定積分的概念一、引例一、引例三、定積分的存在定理三、定積分的存在定理四、定積分的幾何意義四、定積分的幾何意義五、定積分的五、定積分的性質(zhì)性質(zhì)要求：理解定積分的概念，掌握定積分的性質(zhì)要求：理解定積分的概念，掌握定積分的性質(zhì)及定積分中值定理及

2、定積分中值定理. . Page 3 (1) 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積在直角坐標系中在直角坐標系中,由由非負連續(xù)曲線非負連續(xù)曲線( ),yf x xb 及及x軸圍成的圖形軸圍成的圖形AabB稱為稱為曲邊梯形曲邊梯形.xyOab( )yf x AB?s ,xa 一、引例一、引例 定積分概念也是由大量的實際問題抽象出來的，定積分概念也是由大量的實際問題抽象出來的，現(xiàn)舉兩例現(xiàn)舉兩例. . Page 4 xyOabf x( )AB矩形面積矩形面積s = 底底高高分析分析:xyOabf x( )?s AB , a b在在上上連續(xù)連續(xù)( )yf x xyOabf x( )1xnx1 1ix ixAB以以

3、直直代代曲曲思想思想 Page 5 用用任意任意一組分點一組分點a 0 x1x2x 1nx nx, b 將曲邊將曲邊梯形梯形AabB 分成分成 n 個小曲邊梯形個小曲邊梯形,用用s 表示曲邊梯形表示曲邊梯形 AabB 的面積的面積,is 表示第表示第 i 個小曲邊梯形的面積個小曲邊梯形的面積,s 12nsss 1niis 則有則有:(1)(1)分割分割計算曲邊梯形面積的計算曲邊梯形面積的具體步驟：具體步驟：將區(qū)間將區(qū)間 , a b分成分成n個小區(qū)間個小區(qū)間:01,xx12,x x23,xx1,nnxx 區(qū)間長度為區(qū)間長度為: :1,iiixxx 1,2,in xyOabf x( )1xnx1

4、1ix ixis AB. . . . . Page 6 ix1ix xyOabf x( )在每個小區(qū)間在每個小區(qū)間1,iixx 上上任取任取一點一點1(),iiiixx 以以1,iixx 為底為底,if () 為高的小矩形的面積為高的小矩形的面積近似代近似代替替第第 個小曲邊梯形的面積個小曲邊梯形的面積in(1,2, ) i()iiisfx in(1,2, ) 作和作和1()nniiisfx 則則ns是是s的一個近似值的一個近似值,nss 1()niiifx (2)(2)近似求和近似求和ABi ()if is 思考：如何由近似值思考：如何由近似值sn得到得到精確值精確值s Page 7 說明：

5、說明：當分割當分割越細越細， sn越接近于越接近于s.abxyoabxyo（四個小矩形）（四個小矩形）（九個小矩形）（九個小矩形）1(lim)niiifxs 分分割割無無限限加加細細 Page 8 記記1max,ii nx 曲邊梯形曲邊梯形AabB 的面積的面積:s 10lim()niiifx (3)(3)求極限求極限xyOabf x( )1xnx1 1ix ixis AB. . . . . Page 9 (2) 變速直線運動的距離變速直線運動的距離勻速勻速直線運動直線運動:svt 12 ,T T內(nèi)行駛的距離內(nèi)行駛的距離s速度速度( )vv t 是時間是時間 t 的函數(shù)，的函數(shù)，( )v t1

6、T分析分析:變速變速直線運動：直線運動：求汽車在時間間隔求汽車在時間間隔？.tO 汽車在公路上行駛，汽車在公路上行駛，2T思想思想以不變代變以不變代變 Page 10 則則用用is 表示第表示第 i 個小時間段行駛的距離個小時間段行駛的距離,用用s 1niis (1)(1)分割分割用類似的方法解決如下：用類似的方法解決如下：10Tt t1t22ntT Ot1t21it itt并作和并作和:在每個時間段在每個時間段iitt1, 上任取一時刻上任取一時刻,i is ( )iivt in(1,2, ) ns 1()niiivt nss 1()niiivt 則有則有(2)(2)近似求和近似求和記記1,

7、maxii nt s 10lim()niiivt (3)(3)求極限求極限有：有： Page 11 S 01( )li.mniiifx 兩個引例中兩個引例中, 雖然問題的實際意義不同雖然問題的實際意義不同, 但都但都為具有相同結(jié)構(gòu)的一種為具有相同結(jié)構(gòu)的一種特定和式的極限特定和式的極限.歸結(jié)歸結(jié)(1)(1)分割分割(2)(2)近似求和近似求和(3)(3)求極限求極限步驟：步驟： Page 12 定義定義:設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f x( )在區(qū)間在區(qū)間a b , 上有界上有界,一組分點一組分點nnaxxxxb011, 將區(qū)將區(qū)間間a b , 分成分成 n 個小區(qū)間個小區(qū)間, 各小區(qū)間的長度為各小區(qū)間的長度為

8、:110,xxx 221,xxx ,1,nnnxxx 令令1max,ii nx 任取任取iiixx1, 作和作和: 1( ),niiifx 如果不管區(qū)間如果不管區(qū)間 , a b如何分法如何分法,也不管也不管i 如何取法如何取法,當當0 時時,和和 總有共同的極限總有共同的極限I,則稱則稱I為函數(shù)為函數(shù)f x( )在在a b , 上的上的定積分定積分,記為記為(d ,)baf xx 即即( )dbaf x x 01lim()niiiIfx 用任意用任意二、定積分的概念二、定積分的概念 Page 13 baxxfd)(iniixf10)(lim積分上限積分上限積分下限積分下限被積函數(shù)被積函數(shù)被積表

9、達式被積表達式積分和積分和,ba積分變量積分變量若若 f (x) 在區(qū)間在區(qū)間a, b上的定積分存在上的定積分存在, 則稱函數(shù)則稱函數(shù)f (x) 在區(qū)間在區(qū)間a, b上上可積可積.稱為積分區(qū)間稱為積分區(qū)間: 積分記號積分記號拉長的拉長的s (summation).: Page 14 11( ) , ,niiiiiSfxa bxx是與的分法及在,)(lim110iiiniixxbaxfI 的的分分法法及及在在是是與與 取取法法上上i 有關(guān)有關(guān); ;取取法法上上i 無關(guān)無關(guān). .注注()F xCf x dx 01( )m)dlinbaiiif xxxfI Page 15 即即:( )dbaf xx

10、 ( )dbaf tt 其積分值其積分值 I 僅與僅與變量變量f x( )和積分區(qū)間和積分區(qū)間 , a b有關(guān)有關(guān),函數(shù)函數(shù)被積被積無關(guān)無關(guān),的記號的記號而與積分而與積分如果如果 在在 上可積，上可積，( )f x , a b不定積分是不定積分是(Indefinite integral) 一組函數(shù)一組函數(shù)，定積分定積分 (Definite integral) 是是一個數(shù)一個數(shù). 注注 今后將經(jīng)常利用定積分與變量記號無關(guān)性今后將經(jīng)常利用定積分與變量記號無關(guān)性進行推理進行推理. Page 16 注注曲邊梯形曲邊梯形AabB 的面積的面積:s niiifx01lim() 用定積分解決實際問題：用定積

11、分解決實際問題：baf xx( )d 汽車在汽車在 時間段行駛的距離：時間段行駛的距離：12,T T21( )dTTv xx s 10lim()niiivt xyOab( )yf x AB?s niibiaIf xxxf01dlim( )( ) Page 17 定理定理1定理定理2( )f x若若 在在 上連續(xù)上連續(xù)，則，則 在在 上上可積可積.( )f x , a b , a b若若 在在 上上有界有界，( )f x , a b且只有且只有有限個有限個不連續(xù)不連續(xù)則則 f (x) 在在a, b 上可積上可積.1）對可積函數(shù)變動有限個點的值對可積函數(shù)變動有限個點的值,可積性不變可積性不變,積分

12、值不變積分值不變.2） 定理定理1、定理、定理2的條件是的條件是充分條件充分條件.注注點點,三、定積分的存在定理三、定積分的存在定理 Page 18 ( )yf x abOxy曲邊梯形面積曲邊梯形面積曲邊梯形面積的曲邊梯形面積的負值負值A(chǔ) baf xf xx,(0)d( ) ,( )d(0baf xxxf AA( )f xabAxyO四、定積分的幾何意義四、定積分的幾何意義 Page 19 abyx1A2A3A4A5A定積分的幾何意義定積分的幾何意義3245AAAA 各部分面積的各部分面積的代數(shù)和代數(shù)和( )dbaf xx 1AO Page 20 xyOAxyO2AxyO12AAA 求平面圖形

13、的面積求平面圖形的面積: :1A( )f x( )g x( )f x( )g x1( )dbaAf xx 2( )dbaAg xx Page 21 o1 xyni例例 利用定義計算定積分利用定義計算定積分.d102xx 解解: 將將 0,1 n 等分等分, 分點為分點為niix ),1 ,0(ni nix1 ,nii 取取),2,1(ni 2xy iiiixxf 2)( 則則32ni Page 22 o1 xyniiinixf )(1 niin1231)12)(1(6113 nnnn)12)(11(61nn iniixxx 120102limd nlim31 )12)(11(61nn 2xy

14、Page 23 注 利用,133) 1(233nnnn得得133) 1(233nnnn1) 1( 3) 1( 3) 1(233nnnn1131312233兩端分別相加兩端分別相加, 得得1) 1(3n)21 ( 3nn即即nnn3323nii12332) 1( nnnnii1261) 12)(1(nnn)21 ( 3222n Page 24 故故1202dxxx 利用定積分幾何意義計算積分利用定積分幾何意義計算積分22(1)1,xy 例例 1202dxxx 解解 令令22,yxx 22yxx 0y xy(1,0)A4 O. Page 25 例例 給定兩條曲線給定兩條曲線yf xyg x( ),

15、( ),xa b , 則這兩條曲線與直線則這兩條曲線與直線xa xb,所圍成的圖形所圍成的圖形的面積的面積.(A) ( )( ) dbaf xg xx (B)|( )( )| dbaf xg xx (C) ( )( ) dbag xf xx (D) ( )( ) dbaf xg xx 正確答案為正確答案為( )B( )g x( )f xadcbxyO( )g x Page 26 例例 設(shè)在設(shè)在a b , 上上f xfxfx( )0,( )0,( )0, 令令1( )d ,basf xx sf b ba2( )(), sf af bba31 ( )( )(),2 則則( )(A)sss123(B

16、)sss213(C)sss312(D)sss231 解解 2,abcess 長長方方形形3,abcdss 梯梯形形1abcdss 曲曲邊邊梯梯形形從而從而123.sss ByOx2s3scde1sba Page 27 對定積分的對定積分的補充規(guī)定補充規(guī)定,)1(時時當當ba baxxfd)(0,)2(時時當當ba baxxfd)( abxxfd)(在下面的性質(zhì)中在下面的性質(zhì)中, 假定定積分都存在假定定積分都存在, 且不考慮積分上下限的大小且不考慮積分上下限的大小五、定積分的性質(zhì)五、定積分的性質(zhì) Page 28 證證 baxxgxfd)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )

17、(lim10 iinixg )(lim10 baxxfd)( baxxgd)(此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況)性質(zhì)性質(zhì)1 1 baxxgxfd)()( babaxxgxxfd)(d)( Page 29 證證 baxxkfd)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 baxxfkd)(性質(zhì)性質(zhì)2 2性質(zhì)性質(zhì)1和性質(zhì)和性質(zhì)2稱為稱為線性性質(zhì)線性性質(zhì). . baxxkfd)( baxxfkd)()( 為為常常數(shù)數(shù)k Page 30 cba,例例 cba 若若 caxxfd)( baxxfd)( ba

18、xxfd)( caxxfd)( bccaxxfxxfd)(d)(定積分對于積分區(qū)間具有可加性定積分對于積分區(qū)間具有可加性)則則性質(zhì)性質(zhì)3 3 cbxxfd)( cbxxfd)(假設(shè)假設(shè)bca baxxfd)( axxfd)( bxxfd)(cc的相對位置如何的相對位置如何,上式總成立上式總成立.不論不論abcabc Page 31 證證0)( xf0)( if ni, 2 , 1 0 ix0)(1 iinixf ,max21nxxx iinixf )(lim10 baxxf0d)(性質(zhì)性質(zhì)4 4性質(zhì)性質(zhì)5 5 baxd1 baxdab 如果在區(qū)間如果在區(qū)間上上,ba, 0)( xf則則 bax

19、xf0d)()(ba Page 32 解解 令令xexfx )(0, 2 x0)( xf0d)(02 xxexxexd02 xxd02 于是于是xexd20 xxd20 比較積分值比較積分值xexd20 和和xxd20 的大小的大小.例例 Page 33 性質(zhì)性質(zhì)5 5的推論的推論1 1證證)()(xgxf 0)()( xfxg0d )()( xxfxgba0d)(d)( babaxxfxxg如果在區(qū)間如果在區(qū)間上上,ba),()(xgxf 則則 babaxxgxxfd)(d)()(ba 于是于是 babaxxgxxfd)(d)(性質(zhì)性質(zhì)5 5 如果在區(qū)間如果在區(qū)間上上,ba, 0)( xf則

20、則 baxxf0d)()(ba Page 34 )(ba 證證| )(|)(| )(|xfxfxf 說明說明性質(zhì)性質(zhì)5 5的推論的推論2 2性質(zhì)性質(zhì)5 5 如果在區(qū)間如果在區(qū)間上上,ba, 0)( xf則則 baxxf0d)()(ba babaxxfxxfd| )(|d)( babaxxfxxfd| )(|d)( baxd baxd baxd可積性是顯然的可積性是顯然的.上上的的在在,| )(|baxf由由推論推論1 1 Page 35 證證Mxfm )( bababaxMxxfxmdd)(d)(d)()(abMxxfabmba (此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范

21、圍)性質(zhì)性質(zhì)6 6mM和和設(shè)設(shè)分別是函數(shù)分別是函數(shù)上的上的在在,)(baxf最大值及最小值最大值及最小值.)(d)()(abMxxfabmba 則則 Page 36 解解xxf3sin31)( , 0 x1sin03 x31sin31413 xxxxxd31dsin31d410030 3dsin31403 xx估計積分估計積分.dsin3103的的值值xx 例例)(d)()(abMxxfabmba Page 37 解解xxxfsin)( 2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 0 2,4 x,2,4)( Cxf估計積分估計積分.dsin24的的值值xxx 例例上上在在 2,

22、4)( xf,22)4( fM,2)2( fm4 ab dxxx24sin 422 42 )(d)()(abMxxfabmba 22 21 Page 38 , ,)(baCxf 若若則至少存在一點則至少存在一點, ,ba 使使)(d)(abfxxfba 證證:,)(Mmbaxf別別為為上上的的最最小小值值與與最最大大值值分分在在設(shè)設(shè)則由則由性質(zhì)性質(zhì)6 可得可得Mxxfabmba d)(1根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理介值定理, ,上至少存在一上至少存在一在在,ba, ,ba 點點使使xxfabfbad)(1)( 因此定理成立因此定理成立. .性質(zhì)性質(zhì)7(7(定積分中值定理）定

23、積分中值定理） Page 39 oxbay)(xfy 說明: 可把可把)(d)( fabxxfba .,)(上的平均值上的平均值在在理解為理解為baxf故它是有限個數(shù)的平均值概念的推廣故它是有限個數(shù)的平均值概念的推廣.abxxfba d)(因因nabfabniin )(lim11 )(1lim1 niinfn Page 40 積分中值公式的幾何解釋積分中值公式的幾何解釋)(d)(abfxxfba )(ba 上上,ba至少存在一點至少存在一點 在區(qū)間在區(qū)間, 使得以區(qū)間使得以區(qū)間,ba為底邊為底邊,以曲線以曲線)(xfy 為曲邊的曲邊梯形的為曲邊的曲邊梯形的面積面積等于同一底邊而高為等于同一底邊

24、而高為)( f的一個矩形的面積的一個矩形的面積.)(xfy ab )( fOxy1202d4xxx 10dx x Page 41 Page 42 例例0dsinlim xxxannn求求證證證證 由由積分中值定理積分中值定理有有 xxxanndsinnnaxxxannndsinlim sinlima0 (a為常數(shù)為常數(shù))sin)()(d)(baabfxxfba )(nan Page 43 3. 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)(注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應用注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應用)4. 典型問題典型問題(1) 估計積分值估計積分值;(2) 不計算定積分，比較積分大小不計算定積分，比較積分大小.小結(jié)小結(jié)1. 定積分的實質(zhì)定積分的實質(zhì): 特殊和式的極限特殊和式的極限.2. 定積分的思想和方法定積分的思想和方法:以直代曲、以不變代變以直代曲、以