利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題

1、3b_ch8(1)3b_ch8(2)8.1利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題a全等三角形全等三角形目錄目錄b相似三角形相似三角形c等腰三角形等腰三角形3b_ch8(3)三角形不等式三角形不等式a三角形中特殊線的關係三角形中特殊線的關係b目錄目錄8.3 三角形中各線之間的關係三角形中各線之間的關係3b_ch8(4)f 目錄目錄 8.1 目錄目錄f 例題演示例題演示8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題根據全等三角形、 相似三角形和等腰三角形的性質或判定條件，我們可以運用演繹法去證明及推論出更多的幾何結果。 a)全等三角形全等三角形3b_ch8(5)在四

2、邊形 oabc 中，oa = oc 及 ab = bc。 證明 oab = ocb。 目錄目錄連接 ob，得 oab 和 ocb，如圖所示。oa = oc已知已知ab = cb已知已知ob = ob公共邊公共邊 oab ocbsss oab = ocb全等全等 的對應角的對應角習題目標習題目標v 涉及全等三角形的證明。8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題f 重點理解重點理解 8.1.13b_ch8(6)在圖中，an ob，bm oa，bm 和 an 相交於 p 。如果 om = on，證明 目錄目錄8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題利用演繹

3、法解決與三角形有關的幾何問題(a) oan obm，(b) am = bn。3b_ch8(7)f 返回問題返回問題 目錄目錄(a) 在 oan 和 obm中，8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題ano = bmo = 90已知已知on = om已知已知aon = bom公共角公共角 oan obmasaam = oa ombn = ob on am = bn(b) oan obm在在 (a) 已證已證 oa = ob全等全等 的對應邊的對應邊 又om = on已知已知習題目標習題目標v 涉及全等三角形的證明。f 重點理解重點理解 8.1.13b_ch

4、8(8)在 acd，bd ac。e 是bd 上的一點，且 ae = dc 及 be = bc。 目錄目錄8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題(a) 證明 ba = bd。(b) 證明 dae = bcd 45。(a) 在 abe 和 dbc中，abe = dbc = 90已知已知ae = dc已知已知 abe dbcrhs ba = bd全等全等 的對應邊的對應邊be = bc已知已知3b_ch8(9)f 返回問題返回問題 目錄目錄(a) 在右圖所示，設未知角 x 和 z。在 abd 中，8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題利用演繹法解決與三

5、角形有關的幾何問題 ba = bd在在 (a) 已證已證x = z 等腰等腰. 底角底角 bcd = bea全等全等 的等應角的等應角x + z = 90 外角外角 x = z = 45 dbc abe在在 (a) 已證已證= z + dae 外角外角= 45 + dae即 dae = bcd 45習題目標習題目標v 涉及全等三角形的證明。f 重點理解重點理解 8.1.13b_ch8(10)目錄目錄根據相似三角形的性質及判定條件（aaa，三邊成比例，兩邊成比例且夾角相等）我們以演繹法作簡單證明及推論出更多的幾何結果。f 例題演示例題演示b)相似三角形相似三角形8.1 利用演繹法解決與三角形有關

6、的幾何問題利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題f 目錄目錄 8.1 3b_ch8(11)在圖中，aec 和 bed 都是直線。若 ab = 4，bc = 6，cd = 9，ac = 8 和 bd = 12，證明(a) abc bcd，(b) abc = bcd。目錄目錄8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題3b_ch8(12)f 返回問題返回問題 目錄目錄(a) 考慮 abc 和 bcd。8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題三邊成比例三邊成比例 abc bcd4263abbc82123acbd6293bccd

7、abacbcbcbdcd3b_ch8(13)f 返回問題返回問題 目錄目錄(b) abc bcd8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題 abc = bcd在在 (a) 已證已證相似相似 的對應角的對應角習題目標習題目標v 涉及相似三角形的證明。3b_ch8(14)在圖中，bcd 是一條直線。若 ab = 24 cm，bc = 18 cm，cd = 14 cm 及 ac = 21 cm，目錄目錄8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題(a) 證明 abc dba；(b) 求 ad 的長度。3b_ch8(15)f 返

8、回問題返回問題 目錄目錄8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題公共角公共角兩邊成比例且夾角相等兩邊成比例且夾角相等(a) 在 abc 和 dba 中，abdb24 cm(18 14) cm243234bcba18 cm24 cm34abbcdbbaabc = dba abc dba3b_ch8(16)f 返回問題返回問題 目錄目錄8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題(b) abc dba321 cm4adabacdbda421cm3ad 28 cm習題目標習題目標v 涉及相似三角形的證明及求未知量。在在 (a

9、) 已證已證在相似在相似的對應邊的對應邊3b_ch8(17)目錄目錄8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題在圖中，m 和 n 分別是 ab 和 ac 的中點。 mc 和 nb 相交於g 點。 證明(a) amn abc；(b) gmn gcb；(c)1.2mgngcgbg3b_ch8(18)f 返回問題返回問題 目錄目錄8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題(a) 在 amn 和 abc 中，已知已知m 是 ab 的中點。 即12amab已知已知n 是 ac 的中點。 即12anacamanabac公共角公共角

10、 兩邊成比例且夾角相等兩邊成比例且夾角相等man = bac amn abc3b_ch8(19)f 返回問題返回問題 目錄目錄8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題(b) amn abc相似相似 的對應角的對應角 amn = abc mn / bc在 gmn 和 gcb中，aaa gmn gcb在在 (a) 已證已證同位角相等同位角相等 mgn = cgb對頂角對頂角gmn = gcb內錯角，內錯角，mn / bcgnm = gbc內錯角，內錯角，mn / bc 3b_ch8(20)f 返回問題返回問題 目錄目錄8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何

11、問題利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題(c) amn abc相似相似 的對應邊的對應邊 在在 (a) 已證已證mnambcab12 gmn gcb在在 (b) 已證已證mgngmncgbgcb即12mgngcgbg相似相似 的對應邊的對應邊習題目標習題目標v 涉及相似三角形的證明。f 重點理解重點理解 8.1.23b_ch8(21)目錄目錄f 例題演示例題演示c)等腰三角形等腰三角形f 目錄目錄 8.1 8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題根據等腰三角形的性質或判定條件：i. 等腰三角形的兩個底角相等，ii. 若一個三角形有兩個角相等，則這兩角的對

12、邊亦相等，即該三角形是等腰三角形，我們可以運用演繹法去證明及推論出更多的幾何結果。3b_ch8(22)在 abc 中，ab = ac。d 是 ac 上的一點，使 bd ac。 證明 bac = 2dbc。目錄目錄8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題即 acb = 90 x設 dbc = x。bda = 90已知已知在 bcd 中，dcb + x = 90 外角外角dcb = 90 x3b_ch8(23)f 返回問題返回問題 目錄目錄8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題在 abc 中，ab = ac已知已知

13、abc = acb bac = 2dbc等腰等腰 底角底角即 abc = 90 x bac + abc + acb = 180 內角和內角和bac + (90 x) + (90 x) = 180即 bac = 2x習題目標習題目標v 涉及等腰三角形的證明。3b_ch8(24)目錄目錄8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題在圖中，d 是 ab 上的一點，ad = 12.5 cm， db = 10 cm 及 bc = 15 cm。(a) 證明 abc cbd 。(b) 若cbd = cdb，證明 abc 是等腰三角形。3b_ch8(25)f 返回問題返回問

14、題 目錄目錄8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題(a) 考慮 abc 和 cbd 。abcb(10 12.5) cm15 cm22.5151.5bcbd15 cm10 cm1.5abbccbbdabc = cbd 公共角公共角 abc cbd兩邊成比例且夾角相等兩邊成比例且夾角相等3b_ch8(26)f 返回問題返回問題 目錄目錄8.1 利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題利用演繹法解決與三角形有關的幾何問題(b) 在 cbd 中，cbd = cdb已知已知 cb = cd 等角對邊相等等角對邊相等 abc cbd在在 (a) 已證已證abaccbc

15、d相似相似 的對應邊的對應邊即 ab = ac abc 是等腰三角形。習題目標習題目標v 涉及等腰三角形的證明。f 重點理解重點理解 8.1.33b_ch8(27)目錄目錄參看各圖中的 abc：三角形內一些特殊的線三角形內一些特殊的線8.2 三角形內一些特殊的線三角形內一些特殊的線i. 角平分線角平分線 是將一個內角平分的線段。 例如：圖中的 ad 是a 的角平分線。 3b_ch8(28)目錄目錄三角形內一些特殊的線三角形內一些特殊的線8.2 三角形內一些特殊的線三角形內一些特殊的線ii.垂直平分線垂直平分線 是垂直且平分一條邊的直線。 例如：圖中的 de 是 ac 的垂直平分線。 iii.

16、中線中線 是連接頂點與它對邊中點的線段。 例如：圖中的 bd 是一條中線。 3b_ch8(29)目錄目錄三角形內一些特殊的線三角形內一些特殊的線8.2 三角形內一些特殊的線三角形內一些特殊的線f 例題演示例題演示iv. 頂垂線頂垂線是從頂點向它對邊所作的垂直線段。 例如：圖中的 bd 是一條頂垂線。 3b_ch8(30)目錄目錄8.2 三角形內一些特殊的線三角形內一些特殊的線如圖中，p、q、r 分別是 abc 中 ab、bc、ca 上的點。已知 pq = pr，且 pq bc 及 pr ca，證明 cp 是 bca 的角平分線。 3b_ch8(31)f 返回問題返回問題 目錄目錄在 cpq 和

17、 cpr 中，pq = pr已知已知pqc = prc = 90全等全等 的對應角的對應角習題目標習題目標v 涉及三角形內特殊線的證明。8.2 三角形內一些特殊的線三角形內一些特殊的線即 cp 是 bca 的角平分線。 已知已知pc = pc公共邊公共邊 cpq cprrhs qcp = rcp3b_ch8(32)在圖中，ac 與 bd 相交於 e，且 ab = bc = cd。若 be 是abc 的角平分線，證明 e 是 bd 的中點。 目錄目錄8.2 三角形內一些特殊的線三角形內一些特殊的線已知已知在 bac 中，ab = bc即 bac 是等腰三角形。 be 是abc 的角平分線。 be

18、 ac等腰等腰 性質性質已知已知3b_ch8(33)f 返回問題返回問題 目錄目錄在 cbd 中，bc = cd已知已知即 cbd 是等腰三角形。 習題目標習題目標v 涉及三角形內特殊線的證明。8.2 三角形內一些特殊的線三角形內一些特殊的線 bec = 90即 ce 是由 c 至 bd 的頂垂線。 ce 是由 c 至 bd 的中線。 等腰等腰 性質性質即 e 是 bd 的中點。 f 重點理解重點理解 8.2.13b_ch8(34)f 目錄目錄 8.3目錄目錄f 例題演示例題演示a)三角形不等式三角形不等式在三角形中，任何兩邊長度之和必大於第三條邊的長度。 例如：在圖中，a + b c,b +

19、 c a,c + a b.8.3 三角形中各線之間的關係三角形中各線之間的關係3b_ch8(35)已知三條分別長 3、4 及 5 單位的線段，這些線段可以構成一個三角形嗎？目錄目錄由於 3 + 4 5，4 + 5 3 和 5 + 3 4， 所以這三條線段可以構成一個三角形。8.3 三角形中各線之間的關係三角形中各線之間的關係3b_ch8(36)已知三條分別長15、4 及 7 單位的線段，這些線段可以構成一個三角形嗎？目錄目錄由於 15 + 4 7，15 + 7 4，但 4 + 7 15， 所以這三條線段不可以構成三角形。 f 重點理解重點理解 8.3.18.3 三角形中各線之間的關係三角形中各線之間的關係3b_ch8(37)目錄目錄b)三角形中特殊線的關係三角形中特