高中數(shù)學北師大版選修1-2學案：42 復數(shù)的四則運算 Word版含解析

1、 2 復數(shù)的四則運算 21 復數(shù)的加法與減法 22 復數(shù)的乘法與除法 1理解共軛復數(shù)的概念(重點) 2掌握復數(shù)的四則運算法則與運算律(重點、難點) 基礎 初探 教材整理 1 復數(shù)的加法與減法 閱讀教材 P77“例 1”以上部分，完成下列問題 1復數(shù)的加法 設 abi(a， bR)和 cdi(c， dR)是任意兩個復數(shù)， 定義復數(shù)的加法如下：(abi)(cdi)(ac)(bd)i. 2復數(shù)的減法 設 abi(a， bR)和 cdi(c， dR)是任意兩個復數(shù)， 定義復數(shù)的減法如下：(abi)(cdi)(ac)(bd)i. 復數(shù) z1212i，z2122i，則 z1z2等于( ) A0 B3252

2、i C.5252i D5232i 【解析】 z1z2212122 i5252i. 【答案】 C 教材整理 2 復數(shù)的乘法與除法 閱讀教材 P78“練習”以下P80，完成下列問題 1復數(shù)的乘法法則 設 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，則 z1 z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i. 2復數(shù)乘法的運算律 對任意復數(shù) z1，z2，z3C，有 交換律 z1 z2z2 z1 結合律 (z1 z2) z3z1 (z2 z3) 乘法對加法的分配律 z1(z2z3)z1z2z1z3 3.共軛復數(shù) 如果兩個復數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)，那么這樣的兩個復數(shù)叫作互為共軛復數(shù)復數(shù) z 的共

3、軛復數(shù)用 z 來表示，即 zabi，則 z abi. 4復數(shù)的除法法則 設 z1abi，z2cdi(cdi0)，則z1z2abicdiacbdc2d2bcadc2d2i. (1i)22i2i_. 【解析】 (1i)22i2i2i2i2535145i. 【答案】 35145i 質(zhì)疑 手記 預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問 1：_ 解惑：_ 疑問 2：_ 解惑：_ 疑問 3：_ 解惑：_ 小組合作型 復數(shù)的加法與減法運算 (1)1312i (2i)4332i _； (2)已知復數(shù) z 滿足 z13i52i，求 z； (3)已知復數(shù) z 滿足|z|z13i，求 z. 【

4、精彩點撥】 (1)根據(jù)復數(shù)的加法與減法法則計算 (2)設 zabi(a，bR)，根據(jù)復數(shù)相等計算或把等式看作 z 的方程，通過移項求解 (3)設 zxyi(x，yR)，則|z|x2y2，再根據(jù)復數(shù)相等求解 【自主解答】 (1)1312i (2i)4332i 1324312132i 1i. 【答案】 1i (2)法一：設 zxyi(x，yR)，因為 z13i52i，所以 xyi(13i)52i，即 x15 且 y32，解得 x4，y1，所以 z4i. 法二：因為 z13i52i，所以 z(52i)(13i)4i. (3)設 zxyi(x，yR)，則|z|x2y2，又|z|z13i，所以x2y2x

5、yi13i， 由復數(shù)相等得 x2y2x1，y3，解得 x4，y3，所以 z43i. 1復數(shù)加法與減法運算法則的記憶 (1)復數(shù)的實部與實部相加減，虛部與虛部相加減 (2)把 i 看作一個字母，類比多項式加、減法中的合并同類項 2當一個等式中同時含有|z|與 z 時，一般要用待定系數(shù)法，設 zabi(a，bR) 再練一題 1(1)復數(shù)(1i)(2i)3i 等于( ) A1i B1i Ci Di 【解析】 (1i)(2i)3i(12)(ii3i)1i.故選 A. 【答案】 A (2)已知|z|3，且 z3i 是純虛數(shù)，則 z_. 【解析】 設 zxyi(x，yR)，x2y23，且 z3ixyi3i

6、x(y3)i 是純虛數(shù)，則 x0，y30， 由可得 y3. z3i. 【答案】 3i 復數(shù)的乘法與除法運算 已知復數(shù) z11i，z232i.試計算： 【導學號：67720025】 (1)z1 z2和 z41； (2)z1 z2和 z22 z1. 【精彩點撥】 按照復數(shù)的乘法和除法法則進行 【自主解答】 (1)z1 z232i3i2i25i. z41(1i)22(2i)24i24. (2)z1 z21i32i1i32i32i32i15i13113513i. z22 z132i21i512i1i512i1i1i1i 717i272172i. 1實數(shù)中的乘法公式在復數(shù)范圍內(nèi)仍然成立 2復數(shù)的四則運算

7、次序同實數(shù)的四則運算一樣，都是先算乘除，再算加減 3常用公式 (1)1ii；(2)1i1ii；(3)1i1ii. 再練一題 2(1)滿足zizi(i 為虛數(shù)單位)的復數(shù) z( ) A.1212i B1212i C1212i D1212i (2)若復數(shù) z 滿足 z(1i)2i(i 為虛數(shù)單位)，則|z|( ) A1 B2 C. 2 D 3 【解析】 (1)zizi，zizi，iz(i1) zii1i1i1i1i1i21212i. (2)z(1i)2i，z2i1i2i1i21i， |z|1212 2. 【答案】 (1)B (2)C 探究共研型 共軛復數(shù)的應用 探究 1 兩個共軛復數(shù)的和一定是實數(shù)

8、嗎？兩個共軛復數(shù)的差一定是純虛數(shù)嗎？ 【提示】 若 zabi(a，bR)，則 z abi，則 z z 2aR.因此，和一定是實數(shù)；而 z z 2bi.當 b0 時，兩共軛復數(shù)的差是實數(shù)，而當 b0時，兩共軛復數(shù)的差是純虛數(shù) 探究 2 若 z1與 z2是共軛復數(shù)，則|z1|與|z2|之間有什么關系？ 【提示】 |z1|z2|. 已知 zC， z 為 z 的共軛復數(shù)，若 zz 3i z 13i，求 z. 【精彩點撥】 設 zabi(a，bR)，則 z abi.代入所給等式，利用復數(shù)的運算及復數(shù)相等的充要條件轉化為方程組求解 【自主解答】 設 zabi(a，bR)，則 z abi，(a，bR)， 由

9、題意得(abi)(abi)3i(abi)13i， 即 a2b23b3ai13i， 則有 a2b23b1，3a3，解得 a1，b0或 a1，b3. 所以 z1 或 z13i. 再練一題 3已知復數(shù) z1(1i)(1bi)，z2a2i1i，其中 a，bR.若 z1與 z2互為共軛復數(shù)，求 a，b 的值 【解】 z1(1i)(1bi)1biib(b1)(1b)i， z2a2i1ia2i1i1i1iaai2i22a22a22i， 由于 z1和 z2互為共軛復數(shù)，所以有 a22b1，a221b，解得 a2，b1. 構建 體系 1設 z12i，z215i，則|z1z2|為( ) A. 5 26 B5 C2

10、5 D 37 【解析】 |z1z2|(2i)(15i)| |34i|32425. 【答案】 B 2已知 i 是虛數(shù)單位，則(1i)(2i)( ) A3i B13i C33i D1i 【解析】 (1i)(2i)13i. 【答案】 B 3設復數(shù) z11i，z2x2i(xR)，若 z1z2R，則 x_. 【解析】 z11i，z2x2i(xR)， z1z2(1i)(x2i)(x2)(x2)i. z1z2R，x20，即 x2. 【答案】 2 4若21iabi(i 為虛數(shù)單位，a，bR)，則 ab_. 【解析】 因為21i21i1i1i1i，所以 1iabi，所以 a1，b1，所以 ab2. 【答案】 2

11、 5已知復數(shù) z 滿足|z| 5，且(12i)z 是實數(shù)，求 z . 【解】 設 zabi(a，bR)，則(12i)z(12i) (abi)(a2b)(b2a)i，又因為(12i)z 是實數(shù)，所以 b2a0，即 b2a，又|z| 5，所以 a2b25，解得 a 1，b 2， z12i 或12i， z 12i 或12i， z (12i) 我還有這些不足： (1)_ (2)_ 我的課下提升方案： (1)_ (2)_ 學業(yè)分層測評(十三) (建議用時：45 分鐘) 學業(yè)達標 一、選擇題 1實數(shù) x，y 滿足 z1yxi，z2yix，且 z1z22，則 xy 的值是( ) A1 B2 C2 D1 【解

12、析】 z1z2yxi(yix)xy(xy)i2， xy2，xy0，xy1. xy1. 【答案】 A 2已知復數(shù) z3i333i，則 z( ) A0 B6i C6 D66i 【解析】 z3i333i， z(33i)(3i3) 66i. 【答案】 D 3復數(shù) z32ai，aR，且 z21232i，則 a 的值為( ) A1 B2 C.12 D14 【解析】 由 z32ai，aR，得 z2322232ai(ai)234a23ai，因為 z21232i，所以 34a212， 3a32，解得 a12. 【答案】 C 4A，B 分別是復數(shù) z1，z2在復平面內(nèi)對應的點，O 是原點，若|z1z2|z1z2|

13、，則三角形 AOB 一定是( ) A等腰三角形 B直角三角形 C等邊三角形 D等腰直角三角形 【解析】 復數(shù) z1對應向量OA，復數(shù) z2對應向量OB. 則|z1z2|OAOB|，|z1z2|OAOB|， 依題意有|OAOB|OAOB|. 以OA，OB為鄰邊所作的平行四邊形是矩形 AOB 是直角三角形 【答案】 B 5已知復數(shù) z3i1 3i2， z 是 z 的共軛復數(shù)，則 zz 等于( ) A.14 B.12 C1 D2 【解析】 z3i1 3i2 3i2i1 3i2i1 3i1 3i2 i1 3ii1 3i434i4， z 34i4， zz 14. 【答案】 A 二、填空題 6復數(shù)12i2

14、34i的值是_ . 【解析】 12i234i34i34i1. 【答案】 1 7已知a2iibi(a，bR)，其中 i 為虛數(shù)單位，則 ab_. 【解析】 a2iibi， a2i(bi)i1bi， a1，b2， ab1. 【答案】 1 8已知復數(shù) z 滿足 z|z|28i，則復數(shù) z_. 【解】 法一：設 zabi(a，bR) 則|z|a2b2， 代入方程得 abia2b228i. aa2b22，b8，解得 a15，b8， z158i. 法二：原式可化為 z2|z|8i， |z|R，2|z|是 z 的實部， 于是|z|2|z|282， 即|z|2684|z|z|2，|z|17. 代入 z2|z|

15、8i，得 z158i. 【答案】 158i 三、解答題 9在復平面內(nèi) A，B，C 三點對應的復數(shù)分別為 1,2i，12i. (1)求AB，BC，AC對應的復數(shù)； (2)判斷ABC 的形狀； (3)求ABC 的面積 【解】 (1)AB對應的復數(shù)為 2i11i，BC對應的復數(shù)為12i(2i)3i，AC對應的復數(shù)為12i122i. (2)|AB| 2，|BC| 10，|AC| 82 2， |AB|2|AC|2|BC|2，ABC 為直角三角形 (3)SABC12 22 22. 10已知復數(shù) z 滿足 z(13i)(1i)4. (1)求復數(shù) z 的共軛復數(shù)； 【導學號：67720026】 (2)若 wz

16、ai，且復數(shù) w 對應向量的模不大于復數(shù) z 所對應向量的模，求實數(shù) a 的取值范圍 【解】 (1)z1i3i3424i， 所以復數(shù) z 的共軛復數(shù)為24i. (2)w2(4a)i，復數(shù) w 對應向量為(2,4a)，其模為 44a2208aa2. 又復數(shù) z 所對應向量為(2,4)，其模為 2 5.由復數(shù) w 對應向量的模不大于復數(shù) z 所對應向量的模，得 208aa220，a28a0，a(a8)0， 所以實數(shù) a 的取值范圍是8a0. 能力提升 1(2016 寧夏高二檢測)設 z1，z2是復數(shù)，則下列命題中的假命題是( ) A若|z1z2|0，則 z1 z2 B若 z1 z2，則 z1z2

17、C若|z1|z2|，則 z1z1z2z2 D若|z1|z2|，則 z21z22 【解析】 A，|z1z2|0z1z20z1z2 z1 z2，真命題； B，z1 z2 z1 z2z2，真命題； C，|z1|z2|z1|2|z2|2z1z1z2z2，真命題； D，當|z1|z2|時，可取 z11，z2i，顯然 z211，z221，即 z21z22，假命題 【答案】 D 2 復數(shù) zxyi(x， yR)滿足條件|z4i|z2|， 則 2x4y的最小值為( ) A2 B4 C4 2 D16 【解析】 由|z4i|z2|，得 |x(y4)i|x2yi|， x2(y4)2(x2)2y2， 即 x2y3， 2x4y2x22y22x2y2 234 2， 當且僅當 x2y32時，2x4y取得最小值