材料力學(xué)第三章剪切和扭轉(zhuǎn)

1、3 3 剪切和扭轉(zhuǎn)剪切和扭轉(zhuǎn)3 3 剪切和扭轉(zhuǎn)剪切和扭轉(zhuǎn)3.1 3.1 剪切剪切3.2 3.2 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn) 剪切虎克定律剪切虎克定律3.3 3.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力3.4 3.4 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形3.5 3.5 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能3.6 3.6 非圓截面等直桿的自由扭轉(zhuǎn)非圓截面等直桿的自由扭轉(zhuǎn)3.1 3.1 剪切剪切1.1.剪力和切應(yīng)力剪力和切應(yīng)力 螺栓連接螺栓連接 圖圖(a(a） 中，螺栓主要受剪切及擠壓（局部壓中，螺栓主要受剪切及擠壓（局部壓縮）。縮）。 連接件（螺栓、鉚釘、鍵等）以及構(gòu)件在與它們連

2、接處連接件（螺栓、鉚釘、鍵等）以及構(gòu)件在與它們連接處實(shí)際變形情況復(fù)雜。實(shí)際變形情況復(fù)雜。f/2nf/2nf3.1 3.1 剪切剪切 鍵連接鍵連接 圖圖(b(b） 中，鍵主要受剪切及擠壓。中，鍵主要受剪切及擠壓。3.1 3.1 剪切剪切剪切變形的受力和變形特點(diǎn)：剪切變形的受力和變形特點(diǎn)：作用在構(gòu)件兩側(cè)面上的外力的合力大小相等、方向相作用在構(gòu)件兩側(cè)面上的外力的合力大小相等、方向相反，作用線相隔很近，并使各自推動(dòng)的部分沿著與合反，作用線相隔很近，并使各自推動(dòng)的部分沿著與合力作用線平行的受剪面發(fā)生錯(cuò)動(dòng)。力作用線平行的受剪面發(fā)生錯(cuò)動(dòng)。受剪面上的內(nèi)力稱為受剪面上的內(nèi)力稱為剪力；剪力；受剪面上的應(yīng)力稱為受剪

3、面上的應(yīng)力稱為切應(yīng)力；切應(yīng)力；“假定計(jì)算法假定計(jì)算法”3.1 3.1 剪切剪切2. 2. 連接件中的剪切和擠壓強(qiáng)度計(jì)算連接件中的剪切和擠壓強(qiáng)度計(jì)算 圖圖a所示螺栓連接主要有三種所示螺栓連接主要有三種可能的破壞：可能的破壞： . . 螺栓被剪斷（參見圖螺栓被剪斷（參見圖b和圖和圖c）；）；. . 螺栓和鋼板因在接觸面上受壓螺栓和鋼板因在接觸面上受壓而發(fā)生擠壓破壞（螺栓被壓扁，鋼而發(fā)生擠壓破壞（螺栓被壓扁，鋼板在螺栓孔處被壓皺）（圖板在螺栓孔處被壓皺）（圖d）；）；. . 鋼板在螺栓孔削弱的截面處全鋼板在螺栓孔削弱的截面處全面發(fā)生塑性變形。面發(fā)生塑性變形。假定計(jì)算法假定計(jì)算法中便是針對(duì)這些可能的破

4、壞作近似計(jì)算的。中便是針對(duì)這些可能的破壞作近似計(jì)算的。3.1 3.1 剪切剪切(1) 鉚釘剪切強(qiáng)度計(jì)算鉚釘剪切強(qiáng)度計(jì)算 在假定計(jì)算中，認(rèn)為連接件的受剪面（圖b，c）上各點(diǎn)處切應(yīng)力相等，即受剪面上的名義切應(yīng)力為aq式中，q為受剪面上的剪力， a為受剪面的面積。ssaf其中的許用應(yīng)力則是通過同一材料的試件在類似變形情況下的試驗(yàn)（稱為直接試驗(yàn)）測得的破壞剪力也按名義切應(yīng)力算得極限切應(yīng)力除以安全因數(shù)確定。強(qiáng)度條件3.1 3.1 剪切剪切(2) (2) 擠壓強(qiáng)度計(jì)算擠壓強(qiáng)度計(jì)算 在假定計(jì)算中，連接件與被連接件之間的擠壓應(yīng)力是按某些假定進(jìn)行計(jì)算的。 對(duì)于螺栓連接和鉚釘連接，擠壓面是半個(gè)圓柱形面（圖b），擠

5、壓面上擠壓應(yīng)力沿半圓周的變化如圖c所示，而最大擠壓應(yīng)力sjy的值大致等于把擠壓力pjy除以實(shí)際擠壓面（接觸面）在直徑面上的投影。3.1 3.1 剪切剪切故取名義擠壓應(yīng)力為jyjyjyaps式中，ajy=td，t為擠壓面高度，d 為螺栓或鉚釘?shù)闹睆健D壓強(qiáng)度條件為jyjyss其中的許用擠壓應(yīng)力sjy也是通過直接試驗(yàn)，由擠壓破壞時(shí)的擠壓力按名義擠壓應(yīng)力的公式算得的極限擠壓應(yīng)力除以安全因數(shù)確定的。 應(yīng)該注意，擠壓應(yīng)力是連接件與被連接件之間的相互作用，因而當(dāng)兩者的材料不同時(shí)，應(yīng)校核許用擠壓應(yīng)力較低的連接件或被連接件。工程上為便于維修，常采用擠壓強(qiáng)度較低的材料制作連接件。3.1 3.1 剪切剪切3.1

6、3.1 剪切剪切(3) 連接板拉伸強(qiáng)度計(jì)算連接板拉伸強(qiáng)度計(jì)算 螺栓連接和鉚釘連接中，被連接件由于釘孔的削弱，其拉伸強(qiáng)度應(yīng)以釘孔中心所在橫截面為依據(jù)；在實(shí)用計(jì)算中并且不考慮釘孔引起的應(yīng)力集中。被連接件的拉伸強(qiáng)度條件為ssan式中：n為檢驗(yàn)強(qiáng)度的釘孔中心處橫截面上的軸力；a為同一橫截面的凈面積，圖示情況下a=(b d )t。pjyndbsst3.1 3.1 剪切剪切 當(dāng)連接中有多個(gè)鉚釘或螺栓時(shí)，最大拉應(yīng)力smax可能出現(xiàn)在軸力最大即fn= fn,max所在的橫截面上，也可能出現(xiàn)在凈面積最小的橫截面上。3.2 3.2 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn) 剪切虎克定律剪切虎克定律扭轉(zhuǎn)變形特點(diǎn)：扭轉(zhuǎn)變形特點(diǎn)：

7、 . 相鄰橫截面繞桿的軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)； . 桿表面的縱向線變成螺旋線；扭轉(zhuǎn)受力特點(diǎn)：扭轉(zhuǎn)受力特點(diǎn)： 圓截面直桿在與桿的軸線垂直平面內(nèi)的外力偶作用下發(fā)生扭轉(zhuǎn)。薄壁桿件也可以由其他外力引起扭轉(zhuǎn)。tt橫截面繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移稱為橫截面繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移稱為扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角；橫截面上的內(nèi)力是作用在該截面內(nèi)的力偶，稱為橫截面上的內(nèi)力是作用在該截面內(nèi)的力偶，稱為扭矩扭矩；3.2 3.2 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn) 剪切虎克定律剪切虎克定律通常指通常指 的圓筒，可假定其的圓筒，可假定其應(yīng)力沿壁厚方向均勻分布應(yīng)力沿壁厚方向均勻分布100rt 內(nèi)力偶矩內(nèi)力偶矩扭矩扭矩mttmt薄壁圓筒薄壁圓筒nntttlm

8、t tnntr03.2 3.2 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn) 剪切虎克定律剪切虎克定律圓筒兩端截面之間相對(duì)轉(zhuǎn)過的圓圓筒兩端截面之間相對(duì)轉(zhuǎn)過的圓心角心角j j相對(duì)扭轉(zhuǎn)角相對(duì)扭轉(zhuǎn)角 j j表面正方格子傾斜的角度表面正方格子傾斜的角度直角直角的改變量的改變量 切應(yīng)變切應(yīng)變 jlr即即lr /jjabdctt薄壁圓筒受扭時(shí)變形情況：薄壁圓筒受扭時(shí)變形情況：abc d b1a1d1 c1 dd1c1c3.2 3.2 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn) 剪切虎克定律剪切虎克定律tt圓周線只是繞圓筒軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，其形狀、大小、間距不變；圓周線只是繞圓筒軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，其形狀、大小、間距不變；表面變形特點(diǎn)及分析：表面變形特點(diǎn)

9、及分析：橫截面在變形前后都保持為形狀、大小未改變的平橫截面在變形前后都保持為形狀、大小未改變的平面，沒有正應(yīng)力產(chǎn)生面，沒有正應(yīng)力產(chǎn)生所有縱向線發(fā)生傾斜且傾斜程度相同。所有縱向線發(fā)生傾斜且傾斜程度相同。橫截面上有與圓軸相切的切應(yīng)力且沿圓筒周向均勻分橫截面上有與圓軸相切的切應(yīng)力且沿圓筒周向均勻分布布jabdc3.2 3.2 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn) 剪切虎克定律剪切虎克定律tt1.1.橫截面上無正應(yīng)力；橫截面上無正應(yīng)力；2.2.只有與圓周相切的切應(yīng)力，且沿圓只有與圓周相切的切應(yīng)力，且沿圓筒周向均勻分布；筒周向均勻分布； 薄壁圓筒橫截面上應(yīng)力的分布規(guī)律分析：薄壁圓筒橫截面上應(yīng)力的分布規(guī)律分析：j

10、abdcabc d b1a1d1 c1 dd1c1c nntr0 x 3.3.對(duì)于薄壁圓筒，可認(rèn)為切應(yīng)力沿對(duì)于薄壁圓筒，可認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚也均勻分布。壁厚也均勻分布。3.2 3.2 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn) 剪切虎克定律剪切虎克定律薄壁圓筒橫截面上切應(yīng)力的計(jì)算公式薄壁圓筒橫截面上切應(yīng)力的計(jì)算公式：atmra0darmt0靜力學(xué)條件靜力學(xué)條件因薄壁圓環(huán)橫截面上各點(diǎn)處的切應(yīng)因薄壁圓環(huán)橫截面上各點(diǎn)處的切應(yīng)力相等力相等tra02trmt202ararmat00d得得 danntr0 xtr03.2 3.2 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn) 剪切虎克定律剪切虎克定律剪切胡克定律剪切胡克定律trmt202

11、lr /0j由前述推導(dǎo)可知由前述推導(dǎo)可知薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)曲線薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)曲線ttjabdctm3.2 3.2 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn) 剪切虎克定律剪切虎克定律鋼材的切變模量值約為：鋼材的切變模量值約為：gpa80g時(shí)時(shí)即即pg這就是這就是剪切虎克定律剪切虎克定律其中：其中：g材料的材料的切變模量切變模量 p剪切比例極限剪切比例極限彈性模量彈性模量e、泊松比、泊松比 和切變模量和切變模量g 之間的關(guān)系之間的關(guān)系12eg3.2 3.2 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn) 剪切虎克定律剪切虎克定律3.3 3.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力1. .橫截面上的應(yīng)力橫截面上的應(yīng)力（1

12、 1）幾何方面）幾何方面 相鄰圓周線繞桿的軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，但圓周的大小、形狀、間相鄰圓周線繞桿的軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，但圓周的大小、形狀、間距都未變；距都未變；縱向線傾斜了同一個(gè)角度縱向線傾斜了同一個(gè)角度 ，表面上所有矩形均變成平行四，表面上所有矩形均變成平行四邊形。邊形。(a)tt(b)3.3 3.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力 桿的橫截面上只有垂直于半徑的切應(yīng)力，沒有正應(yīng)力桿的橫截面上只有垂直于半徑的切應(yīng)力，沒有正應(yīng)力產(chǎn)生。產(chǎn)生。平面假設(shè)平面假設(shè) 等直圓桿受扭轉(zhuǎn)時(shí)其橫截面如同剛性平面一樣繞桿的等直圓桿受扭轉(zhuǎn)時(shí)其橫截面如同剛性平面一樣繞桿的軸線轉(zhuǎn)動(dòng)。軸線轉(zhuǎn)動(dòng)。推論：推論：(a)tt(b)

13、3.3 3.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力eggg tanxddd)2/(jxddjtt djdggemtmto1o2ababdxdadjdggeo1o2dadxd橫截面上任一點(diǎn)處的切應(yīng)變隨點(diǎn)的位置的變化規(guī)律橫截面上任一點(diǎn)處的切應(yīng)變隨點(diǎn)的位置的變化規(guī)律3.3 3.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力即即xddjxddj相對(duì)扭轉(zhuǎn)角沿桿長的變化率，對(duì)于給定的橫相對(duì)扭轉(zhuǎn)角沿桿長的變化率，對(duì)于給定的橫截面為常量截面為常量djdggemtmto1o2ababdxdadjdggeo1o2dadxd3.3 3.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力剪切胡克定律剪切胡克定律gxgd

14、dj（2 2）物理方面）物理方面xddj（3 3）靜力學(xué)方面）靜力學(xué)方面adtmatamaxgddd2jaaid2ppddgimxtj稱為橫截面的稱為橫截面的極慣性矩極慣性矩da da ro令令得得mt3.3 3.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力od等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上切應(yīng)力計(jì)算公式等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上切應(yīng)力計(jì)算公式ppimgimgttxgddjpddgimxtjpimtmaxmaxmt3.3 3.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力發(fā)生在橫截面周邊上各點(diǎn)處。發(fā)生在橫截面周邊上各點(diǎn)處。rpmaxirmt稱為稱為扭轉(zhuǎn)截扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)面系數(shù)riwpp最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力rim

15、t/ppwmtmaxmax令令即即pmaxwmtodmt同樣適用于空心圓截面桿受扭的情形同樣適用于空心圓截面桿受扭的情形pimtpmaxwmtmaxmaxoddmt3.3 3.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力（4）圓截面的極慣性矩）圓截面的極慣性矩ip和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)wpaaid2p162/3ppddiw)d2(202d324dd2da2/04)4(2d實(shí)心圓截面：實(shí)心圓截面：odd3.3 3.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力223pd2ddi4344pp116162/dddddiw空心圓截面：空心圓截面：d2da4432dd 44132dddddod3.3

16、 3.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力注意：對(duì)于空心圓截面注意：對(duì)于空心圓截面33p16ddw44p32ddiddod3.3 3.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力傳動(dòng)軸的外力偶矩：傳動(dòng)軸的外力偶矩：傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速n ；某一輪上某一輪上所傳遞的功率所傳遞的功率nk (kw)作用在該輪上的外力偶矩作用在該輪上的外力偶矩t 。) j (10603kn已知：已知：一分鐘內(nèi)該輪所傳遞的功率等于其上外力偶矩所一分鐘內(nèi)該輪所傳遞的功率等于其上外力偶矩所作的功：作的功：m)(n2ntt1 t2 t3 n從動(dòng)輪主動(dòng)輪從動(dòng)輪3.3 3.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力

17、3.3 3.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力傳動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速傳動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速n 、功率、功率p 及其上的外力偶矩及其上的外力偶矩t 之之間的關(guān)系：間的關(guān)系： minr3kwmn26010nntk) j (10603knm)(n2nt minrkw310549. 9nnk3.3 3.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力強(qiáng)度條件：強(qiáng)度條件：max等直圓軸等直圓軸pmaxwmt材料的許用切應(yīng)力材料的許用切應(yīng)力三類強(qiáng)度問題計(jì)算三類強(qiáng)度問題計(jì)算: : (1)(1)強(qiáng)度校核；強(qiáng)度校核； (2)(2)截面設(shè)計(jì)；截面設(shè)計(jì)； (3)(3)計(jì)算許用扭轉(zhuǎn)荷載計(jì)算許用扭轉(zhuǎn)荷載 3.3 3.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)

18、時(shí)的應(yīng)力等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力例例1 實(shí)心圓截面軸實(shí)心圓截面軸和空心圓截面軸和空心圓截面軸 ( = d2/d2 =0.8)的材料、扭轉(zhuǎn)力偶矩的材料、扭轉(zhuǎn)力偶矩 t和長度和長度l 均相同。試求在兩圓軸均相同。試求在兩圓軸橫截面上最大切應(yīng)力相等的情況下，橫截面上最大切應(yīng)力相等的情況下，d2/d1之比以及兩軸之比以及兩軸的重量比。的重量比。(a) t t d1lt(b) t ld2d23.3 3.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力311p1p1max, 116dtwtwmt4322p2p2max, 2116dtwtwmt解：解：16311pdw4322p116dwmax, 2max1，314

19、321dd194. 18 . 0113412dd8 . 0已知已知得得兩軸的重量比兩軸的重量比1212aagg可見空心圓軸的自重比實(shí)心圓軸輕?？梢娍招膱A軸的自重比實(shí)心圓軸輕。21222212222144ddddd512. 08 . 01194. 122討論：討論：為什么說為什么說空心圓軸比實(shí)心圓軸更適合于做受扭構(gòu)空心圓軸比實(shí)心圓軸更適合于做受扭構(gòu)件？件？3.3 3.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力例例2 圖示階梯狀圓軸，圖示階梯狀圓軸，ab段直徑段直徑 d1=120mm，bc段段直徑直徑 d2=100mm 。扭轉(zhuǎn)力偶矩。扭轉(zhuǎn)力偶矩 ta=22 knm， tb=36 knm， tc=

20、14 knm。 材料的許用切應(yīng)力材料的許用切應(yīng)力 = 80mpa ，試校核該軸的強(qiáng)度。，試校核該軸的強(qiáng)度。解：解： （1）求內(nèi)力，作出軸的扭矩圖）求內(nèi)力，作出軸的扭矩圖2214mt圖（knm）ta tbtc acb3.3 3.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力bc段段mpa3 .71mm10016mmn1014362p2max, 2wmtab段段1p1max, 1wmt（2）計(jì)算軸橫截面上的最大切應(yīng)力并校核強(qiáng)度）計(jì)算軸橫截面上的最大切應(yīng)力并校核強(qiáng)度mpa8 .64mm12016mmn102236mpa80即該軸滿足強(qiáng)度條件。即該軸滿足強(qiáng)度條件。2214mt圖（knm）3.3 3.3

21、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力3.3 3.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力2. .斜截面上的應(yīng)力斜截面上的應(yīng)力 切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理此處為以橫截面、徑截面以及與表面平行的面此處為以橫截面、徑截面以及與表面平行的面從受扭的等直圓桿表面處截取一微小的正六面從受扭的等直圓桿表面處截取一微小的正六面體體單元體單元體zyddzxddmmxyzabocddxdydz0yf0zm自動(dòng)滿足自動(dòng)滿足0 xfyzxxzydddddd存在存在得得3.3 3.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力 單元體的兩個(gè)相互垂直的截單元體的兩個(gè)相互垂直的截面上，與該兩個(gè)面的交線垂直的面上，與

22、該兩個(gè)面的交線垂直的切應(yīng)力數(shù)值相等，且均指向切應(yīng)力數(shù)值相等，且均指向( (或或背離背離) ) 兩截面的交線。兩截面的交線。切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理 單元體在其兩對(duì)互相垂直單元體在其兩對(duì)互相垂直的平面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)的平面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力的狀態(tài)稱為力的狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)純剪切應(yīng)力狀態(tài)。dabcxyzabocddxdydz3.3 3.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力斜截面上的應(yīng)力：斜截面上的應(yīng)力：0f0f0cossindsincosddsaaa0sinsindcoscosddaaa假定斜截面假定斜截面ef 的面積為的面積為d aefdabcxnsfebx3.3 3.3

23、 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力討論：討論：045smax901.max452.smin此時(shí)切應(yīng)力均為零。此時(shí)切應(yīng)力均為零。解得解得s2sin2cosx4545smaxsmaxsminsminfebsx3.4 3.4 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形兩個(gè)橫截面的兩個(gè)橫截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角相對(duì)扭轉(zhuǎn)角j扭轉(zhuǎn)角沿桿長的變化率扭轉(zhuǎn)角沿桿長的變化率pddgimxtjxgimtddpj相距相距d x 的微段兩端截面間相對(duì)的微段兩端截面間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為扭轉(zhuǎn)角為ttjdjdmtto1o2ababdxda對(duì)于等直圓桿：對(duì)于等直圓桿：pgilmtj稱為等直圓桿的稱為等直圓桿的扭

24、轉(zhuǎn)剛度扭轉(zhuǎn)剛度相距相距l(xiāng) 的兩橫截面間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為的兩橫截面間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為ltlxgim0pddjjt t j(單位：單位：rad)3.4 3.4 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形剛度條件剛度條件: : max等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度條件：等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度條件：180pmaxmaxgitt對(duì)于精密機(jī)器的軸對(duì)于精密機(jī)器的軸對(duì)于一般的傳動(dòng)軸對(duì)于一般的傳動(dòng)軸m/30. 015. 0常用單位：常用單位： /mm/23.4 3.4 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形例例3 由由45號(hào)鋼制成的某空心圓截面軸，內(nèi)、外直徑號(hào)鋼制成的某空心圓截面軸，內(nèi)、外直徑之比之比 = 0.5。已知材料的許

25、用切應(yīng)力。已知材料的許用切應(yīng)力 = 40mpa ，切變模量切變模量g=80gpa 。軸的橫截面上最大扭矩為。軸的橫截面上最大扭矩為mtmax=9.56 knm ，軸的許可單位長度扭轉(zhuǎn)角，軸的許可單位長度扭轉(zhuǎn)角 =0.3 /m 。試選擇軸的直徑。試選擇軸的直徑。解：解：(1)按強(qiáng)度條件確定外直徑按強(qiáng)度條件確定外直徑d34max116tmdpmaxmaxwmt43max116dmt346mpa405 . 01mmn1056. 916mm1093.4 3.4 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形(2)由剛度條件確定所需外直徑由剛度條件確定所需外直徑d44max1180)-(132gmdt180p

26、maxmaxgimt180)1 (3244maxdgmtmm5 .125m/3 . 011805 . 01gpa80mmn1056. 932446mm5 .125dmm75.63 dd3、確定內(nèi)外直徑、確定內(nèi)外直徑3.4 3.4 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形3.5 3.5 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能jtwv21等直圓桿僅在兩端受外力偶矩等直圓桿僅在兩端受外力偶矩 t 作用且作用且 時(shí)時(shí)ppgitljp221giltp221gilmt2p21jlgiv 或或t t jjtt j當(dāng)?shù)戎眻A桿各段橫截面上的扭矩不同時(shí)當(dāng)?shù)戎眻A桿各段橫截面上的扭矩不同時(shí)niii tgilmv

27、1p22niiilgiv12p2j或或jabjcat1t3 bact2 dlablac3.5 3.5 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能3.6 3.6 非圓截面等直桿的自由扭轉(zhuǎn)非圓截面等直桿的自由扭轉(zhuǎn)等直非圓形截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形特點(diǎn)等直非圓形截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形特點(diǎn) 橫截面不再保持為平面而發(fā)生翹曲。平面假設(shè)不再成立。 自由扭轉(zhuǎn)(純扭轉(zhuǎn))等直桿，兩端受外力偶作用，端面可自由翹曲。由于各橫截面的翹曲程度完全相同，橫截面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力。 約束扭轉(zhuǎn)非等直桿，或非兩端受外力偶作用，或端面不能自由翹曲。由于各橫截面的翹曲程度不同，橫截面上除切應(yīng)力外還有附加的正應(yīng)力。3.6 3.6 非圓截面

28、等直桿的自由扭轉(zhuǎn)非圓截面等直桿的自由扭轉(zhuǎn)1.1.矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的彈性力學(xué)解矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的彈性力學(xué)解一般矩形截面等直桿3.6 3.6 非圓截面等直桿的自由扭轉(zhuǎn)非圓截面等直桿的自由扭轉(zhuǎn)橫截面上的最大切應(yīng)力在長邊中點(diǎn)處：wt扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，wt=bb3，b 為與m=h/b相關(guān)的因數(shù)(表3-1)。tmaxwmt橫截面上短邊中點(diǎn)處的切應(yīng)力： nmaxn 為與m=h/b相關(guān)的因數(shù)(表3.1)。單位長度扭轉(zhuǎn)角： it相當(dāng)極慣性矩， , 為與m = h/b 相關(guān)的因數(shù)(表3.1)。tgimt4tbi3.6 3.6 非圓截面等直桿的自由扭轉(zhuǎn)非圓截面等直桿的自由扭轉(zhuǎn)表表3.1 矩形截面桿在自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的

29、因數(shù)矩形截面桿在自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的因數(shù) ，b b 和和 n nm=h/b1.01.21.52.02.53.04.06.08.010.0 bn0.1400.2081.0000.1990.263_0.2940.3460.8580.4570.4930.7960.6220.645_0.7900.8010.7531.1231.1500.7451.7891.7890.7432.4562.4560.7433.1233.1230.7433.6 3.6 非圓截面等直桿的自由扭轉(zhuǎn)非圓截面等直桿的自由扭轉(zhuǎn) 思考：思考：如圖中所示，矩形截面桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)其橫截面上邊緣處的切應(yīng)力總是與周邊相切，而橫截面頂點(diǎn)處的切應(yīng)力總是等于零。

30、為什么？一般矩形截面等直桿3.6 3.6 非圓截面等直桿的自由扭轉(zhuǎn)非圓截面等直桿的自由扭轉(zhuǎn)2. 開口薄壁截面桿開口薄壁截面桿3.6 3.6 非圓截面等直桿的自由扭轉(zhuǎn)非圓截面等直桿的自由扭轉(zhuǎn) 2. 不考慮橫截面相鄰組成部分(矩形)在連接處的復(fù)雜應(yīng)力變化情況，認(rèn)為橫截面每一矩形部分的切應(yīng)力分布仍與狹長矩形截面等直桿橫截面上相同，即iii tii titimwm, t, tmax,jjjjjni21近似假設(shè)：近似假設(shè)： 1. 認(rèn)為橫截面由若干矩形組成，桿的各組成部分的單位長度扭轉(zhuǎn)角 相同，且就是桿的單位長度扭轉(zhuǎn)角j，即ij3.6 3.6 非圓截面等直桿的自由扭轉(zhuǎn)非圓截面等直桿的自由扭轉(zhuǎn)(1) 應(yīng)力及

31、變形的計(jì)算公式應(yīng)力及變形的計(jì)算公式由假設(shè)(1)有ttt2t21 t1gimgimgimgimgimtntnitittniiiniithii131tt31將上式中的前n 項(xiàng)的分子分母各自相加后有ttt2t1 t21gimiiiigmmmmtnitntitt代入后可知因 1nititmm式中，m t為桿的整個(gè)橫截面上的扭矩，it 為整個(gè)橫截面的相當(dāng)極慣性矩。3.6 3.6 非圓截面等直桿的自由扭轉(zhuǎn)非圓截面等直桿的自由扭轉(zhuǎn) 根據(jù)假設(shè)2并注意到 可知桿的每一組成部分橫截面上位于長邊中點(diǎn)處的最大切應(yīng)力為,ttiimmittiitiitiitiitimtimwmtttmaxntiittthtmtim13m

32、axmaxtmax31(2) 各組成部分橫截面上的最大切應(yīng)力各組成部分橫截面上的最大切應(yīng)力 max 而整個(gè)桿的橫截面上的最大切應(yīng)力max在厚度最大(tmax)的那個(gè)矩形的長邊中點(diǎn)處：3.6 3.6 非圓截面等直桿的自由扭轉(zhuǎn)非圓截面等直桿的自由扭轉(zhuǎn)niiithii13tt31tgimt(3) 桿的單位長度扭轉(zhuǎn)角桿的單位長度扭轉(zhuǎn)角根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果有： 角鋼截面 =1.00,槽鋼截面 =1.12,t形鋼截面 =1.15，工字鋼截面 =1.20。niiithi13t31式中， 。對(duì)于型鋼，由于其橫截面的翼緣部分是變厚度的，且橫截面邊緣處以及內(nèi)部連接處有圓角，增加了桿的剛度，故在計(jì)算扭轉(zhuǎn)角時(shí)應(yīng)采用乘以修正因

33、數(shù)后的相當(dāng)極慣性矩it：3.6 3.6 非圓截面等直桿的自由扭轉(zhuǎn)非圓截面等直桿的自由扭轉(zhuǎn) 近似假設(shè)：橫截面上各點(diǎn)處的切應(yīng)力的大小沿壁厚無變化，切應(yīng)力的方向與壁厚中線相切。3.3.閉口薄壁截面桿閉口薄壁截面桿3.6 3.6 非圓截面等直桿的自由扭轉(zhuǎn)非圓截面等直桿的自由扭轉(zhuǎn)應(yīng)力的計(jì)算公式應(yīng)力的計(jì)算公式 由相距dx的兩橫截面及任意兩個(gè)與壁厚中線正交的縱截面取出如圖所示的分離體。如果橫截面上c 和d兩點(diǎn)處的切應(yīng)力分別為1和2，則根據(jù)切應(yīng)力互等定理，上下兩縱截面上亦有切應(yīng)力1和2。3.6 3.6 非圓截面等直桿的自由扭轉(zhuǎn)非圓截面等直桿的自由扭轉(zhuǎn) 若c 和d 兩點(diǎn)處的壁厚分別為d1和d2，則由該分離體的平衡條件fx=0有 1d1d x=2d2d x 從而知亦即橫截面上沿周邊任一點(diǎn)處d 為常量。2211dd3.6 3.6 非圓截面等直桿的自由扭轉(zhuǎn)非圓截面等直桿的自由扭轉(zhuǎn)從而有(參見圖)：asrsrmsst2ddddd于是得閉口薄壁截面等