專題復(fù)習(xí)線段和差的最值

1、第1頁/共27頁 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.結(jié)合線段和最小的課本原型題的知識梳理及典型例題再探，能求出兩定一動、兩動一定、兩定兩動的線段和最小值。 2.通過對線段差最大課本原型知識點的梳理及例題再探，能求出兩點同側(cè)、兩點異側(cè)的線段差最大值。第2頁/共27頁常規(guī)積累 判斷線段之間關(guān)系的公理和定理有哪些？1.兩點之間線段最短。2.直線外一點與直線上所有點的連線段中，垂線段最短。3.三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊。第3頁/共27頁課本原型（八上85頁） 如圖所示，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊 飲馬，然后到B地。木馬人到河邊的什么地方飲馬，可是所走路徑最短？ABCAC 理論依據(jù)：兩點之間

2、，線段最短 用途：求兩條線段和的最小值l第4頁/共27頁 如圖，A.B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）bNAaAMMNB課本原型（八上86頁）N N N第5頁/共27頁 如圖，A.B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）AbNAaAMMB課本原型（八上86頁）N第6頁/共27頁應(yīng)用：求兩條線段和的最小值模型一：（兩點同側(cè)）：如圖1，點P在直線l上運動，畫出一點P使PA+PB取最小值。模型二：（兩點異側(cè)）：如

3、圖2，點P在直線l上運動，畫出一點P使PA+PB取最小值。BlCA圖1BABlC圖2第7頁/共27頁【典型例題】例1.（“兩定一動” ）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點A(3,4)，B(0,2)，點P為x軸上一動點，求當(dāng)PA +PB最小時點P的坐標(biāo)yxBAOP類型類型“兩點同側(cè)兩點同側(cè)”在x軸上確定一點P使PA+PB最小，因此先作B（A）關(guān)于x軸的對稱點B（ A） ，連接AB與與x軸的交點即為所軸的交點即為所求的點求的點P。由由B(0,2)，所以B(0,-2)，因為，因為 A(3,4)，所以易求直線A B：y=2x-2,所以點所以點P（1，0）B第8頁/共27頁變式訓(xùn)練如圖，MN 是O的直徑，MN=2

4、，點A 在O 上，AMN=30，B 為弧AN 的中點，P是直徑MN 上一動點，則PA+PB 的最小值為 ABONMPB第9頁/共27頁【典型例題】例2.（“兩動一定”）如圖，在銳角ABC中，AB= ，BAC=45，BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，請你求出BM+MN的最小值24ABCDNMNN解析：AD是角平分線，所以具有軸對稱，先作N與N關(guān)于AD對稱，所以M N=MN，要使BM+MN最小，即BM+MN=BM+MN最小，所以當(dāng)B，M， N在一條直線上時最小，此時為BN的長度，而BN最小時即為B N與AC垂直時最小，易求得BM+MN的最小值為4第10頁/共27頁變式訓(xùn)練

5、練習(xí)1，如圖，正方形ABCD的邊長為4，CDB的平分線DE交BC于點E，若點P,Q分別是DE和DC上的動點，則PQ+PC的最小值（ ） A.2 B. C.4 D. 2224ABCDQPE第11頁/共27頁【變式訓(xùn)練】練習(xí)2，如圖，AOB=45，P是AOB內(nèi)一點，OP=10，Q、R分別是OB、OA上的動點，求PQR周長的最小值BPAOP1P2 QR第12頁/共27頁【典型例題】例3.(“兩動兩定”)如圖，直線l1、l2交于O，A、B是兩直線間的兩點，從點A出發(fā)，先到l1上一點P，再從P點到l2上一點Q，再回到B點，求作P、Q兩點，使APPQ QB最小。Q QP PAB解析：由前面的知識積累可以得

6、知：先作出點A與 A關(guān)于直線l1對稱，則PA=P A，然后再作 B與B關(guān)于l2對稱，則QB=Q B連接AB交l1，l2于點P，Q，則AP+PQ+QB= P A+PQ+Q B，當(dāng)四點共線時， AP+PQ+QB最小。ABOl1l2第13頁/共27頁【變式訓(xùn)練】 已知,在平面直角坐標(biāo)系中，點A（1,3)、B(4,2)，請問在x軸上是否存在點C，在y軸上是否存在點D，使得圍成的四邊形ADCB周長最短. xyAOBADCB第14頁/共27頁課本原型 任意畫一個三角形ABC,從點B出發(fā)，沿三角形的變到點C有幾條線路路可已選擇？各條線路的長有什么關(guān)系？能證明你的結(jié)論嗎？BA C即：三角形任意兩邊之差小于第三

7、邊即：三角形任意兩邊之差小于第三邊AB-ACBC第15頁/共27頁應(yīng)用：求兩條線段差的最大值A(chǔ)、理論依據(jù)：三角形兩邊之差小于第三邊B、用途：求兩條線段差的最大值當(dāng)P在直線運動到D 時，（PBPC）取最大PB CD第16頁/共27頁【常見模型】模型一：兩點同側(cè)：如圖1，點P在直線l上運動。畫出一點P，使 |PAPB|取最大值；模型二：兩點異側(cè)：如圖2，點P在直線l上運動，畫出一點P,使|PAPB|取最大值；PBAlB BPAl圖1圖2ppA第17頁/共27頁例1 1：已知：點A(0,1)A(0,1)，B(3,4)B(3,4)，點P P在x x軸上運動時，當(dāng)|PA-PB|PA-PB|的值最大時，求

8、出此時點P P 的坐標(biāo)yxOABPP P分析：分析：“兩點同側(cè)兩點同側(cè)”當(dāng)點當(dāng)點P、A、B不在一條直線上時，不在一條直線上時，|PA-PB|AB，所以當(dāng)所以當(dāng)|PA-PB|的值最大時，此時的值最大時，此時點點p、A、B在一條直線上，即直線在一條直線上，即直線AB與與x軸的交點為軸的交點為P。解析：當(dāng)解析：當(dāng)|PA-PB|PA-PB|取最大時，此時點取最大時，此時點P P、A A、B B在一條在一條直線上，設(shè)直線直線上，設(shè)直線ABAB：y=kx+by=kx+b將將A(0,1)A(0,1) B(3,4)B(3,4)代入解代入解得得k=1,b=1k=1,b=1所以直線所以直線ABAB：y=x+1y=

9、x+1，又因為點，又因為點P P在在x x軸上，軸上，易求點易求點P P（-1-1，0 0）【典型例題】第18頁/共27頁例1 1：已知：點A(-3,-3)A(-3,-3)，B(-1,-1)B(-1,-1)，點P P在x x軸上運動時，當(dāng)|PA-PB|PA-PB|的值最大時，求出此時點P P 的坐標(biāo)yxOABPPP大顯身手第19頁/共27頁【典型例題】例2 2：已知：點A(0,1)A(0,1)，B(3,0)B(3,0)，點P P在直線x=2x=2上運動時，當(dāng)|PA-PB|PA-PB|的值最大時，求出此時點P P的坐標(biāo)yxOABx=2PB1 1P分析：分析：“兩點異側(cè)兩點異側(cè)”由題知：由題知：|

10、PA-PB|AB，所以當(dāng)，所以當(dāng)|PA-PB|的值最大時，先找出點的值最大時，先找出點B關(guān)于直線關(guān)于直線x=2的對稱點的對稱點Bl，連接，連接AB與直線與直線x=2的的交點即為所求點交點即為所求點P，此時滿足：此時滿足： |PA-PB|的值最大；的值最大；解析：點解析：點B B與點與點B Bl l關(guān)于直線關(guān)于直線x=2x=2對稱，對稱，B B（3,03,0），得），得B B（1 1，0 0）；易求直線）；易求直線ABAB ：y=-x+1,y=-x+1,因為點因為點P P在在x=2x=2上，所以聯(lián)立可解得：上，所以聯(lián)立可解得：P(2,-1)P(2,-1)第20頁/共27頁例2 2：已知：點A(0

11、,1)A(0,1)，B(3,0)B(3,0)，點P P在直線x=2x=2上運動時，當(dāng)|PA-PB|PA-PB|的值最大時，求出此時點P P的坐標(biāo)yxOABx=2PB1 1P大顯身手第21頁/共27頁 在平面幾何的動態(tài)問題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動，求線段和的最小值或線段差的最大值時： 1.思路：找點關(guān)于線的對稱點(作定點關(guān)于動點所在直線的對稱點，或動點關(guān)于動點所在直線的對稱點；同時要考慮點點、點線、線線之間的最短問題),實現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直” 。 2.方法： （1）應(yīng)用兩點間線段最短的公理（含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系）求最值； （2）應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值； （3）應(yīng)用軸對稱（折疊）、平移的性質(zhì)求最值。 反思總結(jié)第22頁/共27頁中考題哪里來？中考題哪里來？課本例題課本例題或常見題或常見題中考題中考題來來源源引申、條件變換、引申、條件變換、移植轉(zhuǎn)換、增加解移植轉(zhuǎn)換、增加解題層次性等題層次性等如何去解？轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化第23頁/共27頁第24頁/共27頁1.如圖1，等邊ABC的邊長為6，AD是邊BC上的中線，M是AD上的動點，E是邊AC上的一點，若AE=2，EM+CM的最小值為_。2.如圖2，菱形ABCD中，BAD=600，M是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，若PM+PB的最小值是