因式分解復(fù)習(xí)教案

1、回瀾閣教育 免費下載 天天更新 www.huilang155因式分解的復(fù)習(xí)新課指南1.知識與技能：掌握運用提公因式法、公式法、分組分解法分解因式，及形如x2+(p+q)x+pq的多項式因式分解，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用因式分解解決問題的能力.2.過程與方法：經(jīng)歷探索因式分解方法的過程，培養(yǎng)學(xué)生研討問題的方法，通過猜測、推理、驗證、歸納等步驟，得出因式分解的方法.3.情感態(tài)度與價值觀：通過因式分解的學(xué)習(xí)，使學(xué)生體會數(shù)學(xué)美，體會成功的自信和團結(jié)合作精神，并體會整體數(shù)學(xué)思想和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.4.重點與難點：重點是用提公因式法和公式法分解因式.難點是分組分解法和形如x2+(p+q)x+pq的多項式的因式分解.教材

2、解讀 精華要義數(shù)學(xué)與生活630能被哪些數(shù)整除？說說你是怎么想的.思考討論 在小學(xué)我們知道，要想解決這個問題，需要把630分解成質(zhì)數(shù)的乘積的形式，即630=23257.類似地，在整式的變形中，有時需要將一個多項式寫成幾個整式的乘積的形式，這種變形就是因式分解.那么如何進行因式分解呢？知識詳解知識點1 因式分解的定義把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.【說明】 (1)因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆的運算.例如：(2)因式分解是恒等變形，因此可以用整式乘法來檢驗.知識點2 提公因式法多項式ma+mb+mc中的各項都有一個公共的

3、因式m，我們把因式m叫做這個多項式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成兩個因式乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式m，另一個因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商，像這種分解因式的方法叫做提公因式法.例如：x2-x=x(x-1)，8a2b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1).探究交流下列變形是否是因式分解？為什么，(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)；(2)x2-2x+3=(x-1)2+2；(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；(4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.點撥 (1)不是因式分解，提公因式錯誤

4、，可以用整式乘法檢驗其真?zhèn)?(2)不是因式分解，不滿足因式分解的含義(3)不是因式分解，因為因式分解是恒等變形而本題不恒等.(4)不是因式分解，是整式乘法.知識點3 公式法(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).即兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這個數(shù)的差的積.例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).(2)完全平方公式：a22ab+b2=(ab)2.其中，a22ab+b2叫做完全平方式.即兩個數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和(或差)的平方.例如：4x2-12xy+9y2=(2x)2-22x3y+(3y)2=(2x-3y)2.探究交

5、流下列變形是否正確？為什么？(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y)；(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2；(3)x2-2x-1=(x-1)2.點撥 (1)不正確，目前在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解.(2)不正確，4x2-6xy+9y2不是完全平方式，不能進行分解.(3)不正確，x2-2x-1不是完全平方式，不能用完全平方公式進行分解，而且在有理數(shù)范圍內(nèi)也不能分解.知識點4 分組分解法(1)形如：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)(2)形如：x2-y2+2x+1=(x2+2x+1)-y2 =(x+1)2-y2 =(x

6、+y+1)(x-y+1).把多項式進行適當(dāng)?shù)姆纸M，分組后能夠有公因式或運用公式，這樣的因式分解方法叫做分組分解法.知識規(guī)律小結(jié) (1)分組分解法一般分組方式不惟一.例如：將am+an+bm+bn因式分解，方法有兩種：方法1：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).方法2：am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(m+n)(a+b).(2)分組除具有嘗試性外，還要具有目的性，或者分組后能出現(xiàn)公因式，或者分組后能運用公式.例如：am+an+bm+bn分組后有公因式；x2-y2+2x+1分組

7、后能運用公式.分組分解法是因式分解的基本方法，體現(xiàn)了化整體為局部，又統(tǒng)攬全局的思想，如何恰當(dāng)分組是解題的關(guān)鍵，常見的分組方法有：(1)按字母分組；(2)按次數(shù)分組；(3)按系數(shù)分組.例如：把下列各式因式分解.(1) am+bm+an+bn；(2)x2-y2+x+y；(3)2ax-5by+2ay-5bx.知識點5 關(guān)于x2+(p+q)x+pq型二次三項式的因式分解x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).事實上：x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q).x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).

8、利用這個公式，可以把二次三項式因式分解，當(dāng)p=q時，這個式子化成x2+2px+p2或x2+2qx+q2，是完全平方式，可以運用公式分解因式.例如：把x2+3x+2分解因式.(分析)因為二次三項式x2+3x+2的二次項系數(shù)是1，常數(shù)項2=12，一次項系數(shù)3=1+2，這是一個x2+(p+q)x+pq型式子.解：x2+3x+2=(x+1)(x+2)典例剖析 師生互動基礎(chǔ)知識應(yīng)用題本節(jié)基礎(chǔ)知識的應(yīng)用主要包括：(1)掌握用提公因式法、公式法、分組分解法分解因式；(2)會分解關(guān)于x2+(p+q)x+pq型的二次三項式.例1 用提公因式法將下列各式因式分解.(1)ax-ay； (2)6xyz-3xz2； (

9、3)-x3z+x4y；(4)36aby-12abx+6ab； (5)3x(a-b)+2y(b-a)；(6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m).(分析) (1)(4)題直接提取公因式分解即可，(5)題和(6)題首先要適當(dāng)?shù)淖冃?，其?5)題把b-a化成-(a-b)的，(6)題把(x-m)(y-m)化成(m-x)(m-y)，然后再提取公因式.解：(1)ax-ay=a(x-y)(2)6xyz-3xz2=3xz(2y-z).(3)-x3z+x4y=x3(-z+xy).(4)36aby-12abx+6ab=6ab(6y-2x+1).(5)3x(a-b)+2y(b-a)=3x(a-b)-2y(

10、a-b)=(a-b)(3x-2y).(6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)=x(m-x)(m-y)-m(m-x)(m-y)=(m-x)(m-y)(x-m)=-(m-x)2(m-y).小結(jié) 運用提公團式法分解因式時，要注意下列問題：(1)因式分解的結(jié)果每個括號內(nèi)如有同類項要合并，而且每個括號不能再分解.如：(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y)=(x+y)(7m-8n)-(3m-2n)=(x+y)(4m-6n).=2(x+y)(2m-3n).(2)如果出現(xiàn)像(5)(6)小題需統(tǒng)一時，首先統(tǒng)一，盡可能使統(tǒng)一的個數(shù)少，減少統(tǒng)一計算出現(xiàn)誤差的機率，這時注意到(a-b)n=(b

11、-a)n(n為偶數(shù)).例如：分解因式a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2.本題既可以把(x-y)統(tǒng)一成(y-x)，也可以把(y-x)統(tǒng)一成(x-y),但比較而言把(x-y)化成(y-x)比較簡便，因為(x-y)2=(y-x)2.a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2=a(y-x)2+b(y-x)3+c(y-x)2=(y-x)2a+b(y-x)+c=(y-x)2(a+by-bx+c).(3)因式分解最后如果有同底數(shù)冪，要寫成積的形式.例如：(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)=(a-2b)(7a-8b)+(a-8b)=(a-2b)(8a-16b)=8(a-2b)

12、(a-2b)=8(a-2b)2.學(xué)生做一做 把下列各式分解因式.(1)am+an；(2)(xy+ay-by)；(3)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b)；(4)3x(a-b)-2y(b-a)；(5)4p(1-q)3+2(q-1)2；(6)ab2(x-y)m+a2b(x-y)m+1.老師評一評 (1)原式=a(m+n)(2)原式=y(x+a-b)；(3)原式=2(2a+b)2；(4)原式=(a-b)(3x+2y)；(5)原式=(1-q)2(4p-4pq+2)；(6)原式=ab(x-y)m(b+ax-ay).例2 把下列各式分解因式.(1)m2+2m+1；(2)9x2-12x+4

13、；(3)1-10x+25x2；(4)(m+n)2-6(m+n)+9.(分析)本題旨在考查用完全平方公式分解因式.解：(1)m2+2m+1=(m+1)2.(2)9x2-12x+4=(3x-2)2.(3)1-10x+25x2=(1-5x)2.(4)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.學(xué)生做一做 把下列各式分解因式.(1)(x2+4)2-2(x2+4)+1；(2)(x+y)2-4(x+y-1).老師評一評 (1)原式=(x2+3)2；(2)原式=(x+y-2)2.例3 把下列各式分解因式.(1)x2+7x+10；(2)x2-2x-8；(3)y2-7y+10；(4)x2+7x-18.(分

14、析) 二次三項式x2+7x+10的二次項系數(shù)為1，常數(shù)項10=25，一次項系數(shù)7=2+5，所以這是一個x2+(p+q)x+pq型的式子，可以用x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)進行因式分解.解：(1)x2+7x+10=(x+2)(x+5).(2)x2-2x-8=(x-4)(x+2).(3)y2-7y+10=(y-2)(y-5).(4)x2+7x-18=(x+9)(x-2).小結(jié) 對于x2+(p+q)x+pq型二次三項式的因式分解，pq0，則p,q同號，若p+q0，則p0，q0；若q+p0，則p0，q0；若pq0，則p,q異號，若p+q0，則絕對值大的為正數(shù)，若p+q0,則絕對值大的

15、為負(fù)數(shù).學(xué)生做一做 把下列各式分解因式.(1)m2-7m+12；(2)x2y2-3xy-10；(3)(m-n)2-(m-n)-12；(4)x2-xy-2y2.老師評一評 (1)原式=(m-3)(m-4)；(2)原式=(xy-5)(xy+2)；(3)原式=(m-n-4)(m-n+3)；(4)原式=(x-2y)(x+y).綜合應(yīng)用題本節(jié)知識的綜合應(yīng)用主要包括：(1)用分組分解法分解因式；(2)與方程組的綜合應(yīng)用；(3)與幾何知識的綜合應(yīng)用；(4)幾種因式分解方法的綜合應(yīng)用.例4 分解因式.(1)x3-2x2+x；(2)(a+b)2-4a2；(3)x4-81x2y2；(4)x2(x-y)+y2(y-

16、x)；(5)(a+b+c)2-(a-b-c)2.(分析)本題旨在考查綜合運用提公因式法和公式法分解因式.解：(1)x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2.(2)(a+b)2-4a2=(a+b+2a)(a+b-2a)=(3a+b)(b-a).(3)x4-81x2y2=x2(x2-81y2)=x2(x+9y)(x-9y).(4)x2(x-y)+y2(y-x)=x2(x-y)-y2(x-y)=(x-y)(x2-y2)=(x-y)(x+y)(x-y)=(x+y)(x-y)2.(5)( a+b+c)2-(a-b-c)2=(a+b+c)(a-b-c)(a+b+c)-(a-b-c)=2a(2

17、b+2c)=4a(b+c).例5 利用分組分解法把下列各式分解因式.(1)a2-b2+a-b；(2)a2+b2-2ab-1；(3)(ax+by)2+(ay-bx)2；(4)a2-2ab+b2-c2-2c-1.(分析) 分組分解法一般是針對四項或四項以上多項式的因式分解，分組有兩個目的，一是分組后能出現(xiàn)公因式，二是分組后能應(yīng)用公式，其中(1)題分組后存在公因式，(3)題需去括號后重新分組，(2)和(4)題分組后能運用公式.解：(1)a2-b2+a-b=(a2-b2)+(a-b)=(a+b)(a-b)+(a-b)=(a-b)(a+b+1).(2)a2+b2-2ab-1=(a2-2ab+b2)-1=

18、(a-b)2-1=(a-b+1)(a-b-1).(3)(ax+by)2+(ay-bx)2=a2x2+2abxy+b2y2+a2y2-2abxy+b2x2=a2x2+b2y2+a2y2+b2x2=(a2x2+a2y2)+(b2y2+b2x2)=a2(x2+y2)+b2(x2+y2)=(a2+b2)(x2+y2).(4)a2-2ab+b2-c2-2c-1=(a2-2ab+b2)-(c2+2c+1)=(a-b)2-(c+1)2=(a-b)+(c+1)(a-b)-(c+1)=(a-b+c+1)(a-b-c-1).小結(jié) 解因式分解題時，首先考慮是否有公因式，如果有，先提公因式；如果沒有公因式或提取公因式

19、后，通常分下列幾種情況考慮：(1)如果是四項或四項以上，考慮用分組分解法；(2)如果是二次三項式或完全平方式，則考慮用x2+(p+q)x+pq型式子或完全平方公式分解因式；(3)如果是兩項，則考慮能否用平方差公式分解因式.最后，直到每一個因式都不能再分解為止.例6 解方程組(分析)本題是一個二元二次方程組，就目前的知識水平來說，用代入消元法或加減消元法來解是困難的.但是我們發(fā)現(xiàn)這個方程組有一個特點是方程x2-4y2=5可以通過因式分解為(x+2y)(x-2y)=5，再把x-2y=1代入方程(x+2y)(x-2y)=5中，即可得到x+2y=5由此原方程組就可以化成一個二元一次方程組而解出.解：由

20、得(x+2y)(x-2y)=5，把代入中得x+2y=5，原方程組化為+得2x=6，x=3.-得4y=4，y=1.原方程組的解為學(xué)生做一做 解方程組老師評一評 例7 若a，b，c是三角形的三邊，且滿足關(guān)系式a2+b2+c-ab-ac-bc=0，試判斷這個三角形的形狀.解：a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0.即(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ac+a2)=0，(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0.由平方的非負(fù)性可知，a=b=c.這個三角形是等邊三角形.例8 利用因式分解計算下列各題.(1)234265-234

21、65； (2)992+198+1.(分析)主要應(yīng)用提公因式法和公式法分解因式來計算.解：(1)234265-23465=234(265-65)=234200=46800.(2)992+198+1=992+2991+1=(99+1)2=1002=10000.學(xué)生做一做 利用因式分解計算下列各題.(1)7.6199.9+4.3199.9-1.9199.9；(2)20022-40062002+20032；(3)565211-435211；(4)(5)2-(2)2.老師評一評 (1)原式=1999； (2)原式=1；(3)原式=143000o； (4)原式=28.例9 若9x2+kxy+36y2是完全

22、平方式，則k= .(分析) 完全平方式是形如：a22ab+b2即兩數(shù)的平方和與這兩個數(shù)乘積的2倍的和(或差).9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2，kxy=23x6y=36xy.k=36.學(xué)生做一做 若x2+(k+3)x+9是完全平方式，則k= .老師評一評 k=3或k=-9.探索與創(chuàng)新題例10 計算.(分析) 本題旨在考查因式分解的靈活運用,即=a-b(a+b0).解:原式=+ =(1-2)+(3-4)+(5-6)+(2003-2004) =(-1)(20042) =-1002.例11 若x2+kx+20能在整數(shù)范圍內(nèi)因式分解，則k可取的整數(shù)值有( )a.2個b.3個c.

23、4個d.6個(分析) 若把x2+kx+20在整數(shù)范圍內(nèi)因式分解，由式子x2+(p+q)x+qq考慮把20分解因數(shù)，20可分解為：201，(-20)(-1)，102，(-10)(-2)，54，(-5)(-4)，所以k可能取的值有：20+1，(-20)+(-1),10+2，(-10)+(-2),5+4，(-5)+(-4),故k可能取的值有6個，所以正確答案為d項.例12 分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10.(分析)把x4+x2作為一個整體，用一個新字母代替，從而簡化式子的結(jié)構(gòu).解：令x4+x2=m，則原式可化為(m-4)(m+3)+10=m2-m-12+10=m2-m-2=(m-2

24、)(m+1)=(x4+x2-2)(x4+x2+1)=(x2+2)(x2-1)(x4+x2+1)=(x2+2)(x+1)(x-1)(x4+x2+1).學(xué)生做一做 求證：四個連續(xù)自然數(shù)的積再加上1，一定是一個完全平方數(shù).老師評一評 設(shè)這四個連續(xù)自然數(shù)依次為n，n+1，n+2，n+3，則n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n+1)2n(n+1)(n+2)(n+3)+1一定是一個完全平方數(shù).例13 若x2+7xy+my2-5x+43y-24可以分解成x,y的兩個一次因式的積，試確定m的值.(分析)用待定系數(shù)法，令

25、x2+7xy+my2-5x+43y-24=(x+ay+b)(x+cy+d),再對比系數(shù)求得m.解:設(shè)x2+7xy+my2-5x+43y-24=(x+ay+b)(x+cy+d)=x2+(a+c)xy+acy2+(b+d)x+(ad+bc)y+bd.對比多項式的系數(shù)得由，兩式可得b=-8，d=3，或b=3，d=-8.(1)當(dāng)b=-8，d=3時，得a=9，c=-2，(2)當(dāng)b=3，d=-8時，得a=-2，c=9.m=-18.學(xué)生做一做 已知多項式2x3-x2+m有一個因式(2x+1),求m的值.老師評一評 由已知條件可以設(shè)2x3-x2+m=(2x+1)(x2+ax+b),則2x3-x2+m=2x3+

26、(2a+1)x2+(a+2b)x+b.對比多項式系數(shù)可得中考展望 點擊中考中考命題總結(jié)與展望本章內(nèi)容在中考中多以填空、選擇題的形式出現(xiàn)，直接以分解因式單獨命題的并不多，但它與方程組、二元一次方程、二次函數(shù)及分式的運算的結(jié)合都是屢見不鮮的，應(yīng)在學(xué)習(xí)中引起充分的重視.中考試題預(yù)測例1 (1)分解因式：a2-25= ；(2)分解因式：xy2-x2y= ；(3)分解因式：x2-1= ；(4)分解因式：3x2-3= ；(5)分解因式：x2+2xy+y2-4= ；(6)分解因式：x3y2-4x= ；(7)分解因式：2x2-2= ；(8)分解因式：a3+2a2+a= ；(9)分解因式：x3y-4xy+4y=

27、 ；(10)分解因式：a2-2ab+b2-c2= .(分析) (1)直接運用平方差公式分解即可.(2)直接運用提取公因式法分解即可.(4)3x2-3=3(x2-1)=3(x+1)(x-1).(5)解決本題采用分組分解法，x2+2xy+y2-4=(x2+2xy+y2)-4=(x+y)2-4=(x+y+2)(x+y-2).(6)先提取公因式，再運用公式法分解因式.x3y2-4x=x(x2y2-4)=x(xy+2)(xy-2).答案：(1)(a+5)(a -5) (2)xy(y-x) (3)(x+1)(x-1) (4)3(x+1)(x-1) (5)(x+y+2)(x+y-2)(6)x(xy+2)(x

28、y-2) (7)2(x+1)(x-1) (8)a(a+1)2 (9)y(x-2)2 (10)(a-b+c)(a-b-c)例2 下列多項式中，能用提公因式法分解因式的是( )a.x2-yb.x2+2yc.x2+y2d.x2-xy+y2答案:b例3 將多項式a2-ab+ac-bc分解因式，分組的方法共有 種.(分析) 一種是：a2-ab+ac-bc=(a2-ab)+(ac-bc)；另一種是：a2-ab-ac-bc=(a2+ac)-(ab+bc)，分組方法共有2種.例4 x2-y2-x-y分解因式的結(jié)果是 .答案：(x+y)(x-y-1)例5 將下列式子因式分解：x-x2-y+y2= .答案：(x-

29、y)(1-x-y)例6 解方程組(分析)運用因式分解把二元二次方程組轉(zhuǎn)化成二元一次方程組.解：由得(x-2y)(x+y)=0，把代入中，得x-2y=0，原方程組化為-得3y=2，y=.把y=代入中，得x=.原方程組的解為例7 為使x2-7x+b在整數(shù)范圍內(nèi)可以分解因式，則b可能取的值為 .(任寫一個)(分析) 這是一個開放性試題，答案不惟一，依據(jù)的是式子x2+(p+q)x+pq.答案：-8例8 把多項式1-x2+2xy-y2分解因式的結(jié)果是( )a.(1-x-y)(1+x-y)b.(1+x-y)(1-x+y)c.(1-x-y)(1-x+y)d.(1+x-y)(1+x+y)(分析)解決本題采用分

30、組分解法.1-x2+2xy-y2=1-(x2-2xy+y2)=1-(x-y)2=(1+x-y)(1-x+y).故此，正確答案為b項.課堂小結(jié) 本節(jié)歸納1.本節(jié)主要學(xué)習(xí)了：用提公因式法分解因式；用公式法分解因式；用分組分解法分解因式；形如x2+(p+q)x+pq的二次三項式的因式分解.2.會運用因式分解解決計算問題.自我評價 知識鞏固1.若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，則m的值等于( )a.3b.-5c.7.d.7或-12.若(2x)n-81=(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，則n的值是( )a.2b.4c.6d.83.把(a+b)-4(a2-b2)+4(a-b)2分解因式的結(jié)果

31、是( )a.(3a-b)2b.(3b+a)2c.(3b-a)2d.(3a+b)24.把(5x-2y)2+(2x+5y)2分解因式為( )a.2(5x-2y)2b.-2(5x-2y)2c.29(x2+y2)d.以上都不對5.若多項式x2+pxy+qy2=(x-3y)(x+3y)，則p,q的值依次為( )a.-12,-9b.-6,9c.-9,-9d.0,-96.分解因式：4x2-9y2= .7.利用因式分解計算：= .8.若x=3.2，y=6.8，則x2+2xy+y2= .9.把多項式4-4(a-b)+(a-b)2分解因式的結(jié)果是 .10.計算：12-22+32-42+52-62+72-82+92-102= .11.分解因式.(1)(x+y)2-9y2；(2)a2-b2+a+b；(3)10b(x-y)2-5a(y-x)2；(4)(ab+b)2-(a+1)2；(5)(a2-x2)2-4ax(x-a)2；(6)(x+y+z)2-(x-y+z)2.12.已知x-y=1,xy=2，求x3y-2x2y2+xy3的值.13.已知x-y=2，x2-y2=6，求x