例說不等式中恒成立問題的求解思路

1、例說不等式中恒成立問題的求解思路湖北通城縣第一中學(xué) 沈振華 不等式中恒成立問題是各類考試中的常見題型，其解法靈活。那么，如何求解呢？下面通過例題加以說明。 一、分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值例1 設(shè)f(x)是定義在(-，3上的減函數(shù)，已知f(a2-sinx)f(a+1+cos2x)對于xr恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。分析：應(yīng)在定義域和增減性的條件下去掉函數(shù)符號f，使a從f中解脫出來。解：原不等式等價于a+1+cos2xa2-sinx3對xr恒成立，即 a23+sinx, a2-a1+cos2x+sinx 對xr恒成立。 令t(x)=3+sinx,則對xr恒成立a2t(x)min=2. 令s(x)

2、=1+cos2x+sinx=-(sinx-)2+，則對xr恒成立a2-as(x)max=. 由、，可得所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是-。點(diǎn)拔：用這種方法求恒成立不等式中的變量取值范圍問題可分三步：第一步先分離參數(shù)，第二步求分離后有關(guān)函數(shù)的最值，第三步解關(guān)于參數(shù)的不等式。二、構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性例2 已知f(t)=log2t,t,8,若對f(t)值域內(nèi)的所有實(shí)數(shù)m，不等式x2+mx+42m+4x恒成立，求x的取值范圍。解：因t,8,故f(t),3,從而m,3。原問題轉(zhuǎn)化為m(x-2)+(x-2)20,m,3時恒成立，顯然x2,令g(m)=m(x-2)+(x-2)2,為m的一次函數(shù)，則應(yīng)當(dāng)g(m)在

3、m,3上恒正，故g()0,即 (x-2)+(x-2)20,解得x2或x0, 3(x-2)+(x-2)20x的取值范圍是(-，-1)(2，+)。點(diǎn)拔：根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)化為以參數(shù)為變元的不等式，構(gòu)造一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的單調(diào)性求解。例3：設(shè)f(x)是r上的奇函數(shù)，且對任意的實(shí)數(shù)a、b，當(dāng)a+b0時，都有f(a)+f(b)(a+b)0.如果不等式f()f()對一切nn*恒成立，求m的取值范圍。分析：要求m的范圍，需根據(jù)已知條件確定f(x)的單調(diào)性，再去掉函數(shù)符號f.解：不妨設(shè)ab，則a+(-b)0。由f(a)+f(-b)a+(-b)0,得f(a)+f(-b)0.又f(x)是奇函數(shù)，故f(a)-f(b)0,即f(a)f(b)，所以f(x)是r上的增函數(shù)。原問題等價于對一切nn*恒成立，也即-。設(shè)g(n)=-，則g(n)-g(n-1)=- -,即log22m-0.故log2m2.0m4,即為所求。三、數(shù)形結(jié)合，利用圖形的直觀性例4 已知x、y滿足x2+y2-2y=0,欲使不等式x+y+c0恒成立，求c的取值范圍。解：由x+y+c0,則-cx+y,即-c小于或等于x+y的最小值，于是問題轉(zhuǎn)化為在圓x2+y2-2y=0上求一點(diǎn)，使x+y有最小值。由圖可知：當(dāng)直線l平行于直線x+y=0且與圓x2