平面向量的坐標運算及共線坐標表示

1、2.3.3 平面向量的坐標運算平面向量的坐標運算2.3.4 平面向量共線的坐標表示平面向量共線的坐標表示復習引入復習引入 如果如果 是同一平面內的是同一平面內的兩個不共線向量兩個不共線向量,那么那么對這一平面內的任一向量對這一平面內的任一向量 ,有且只有一對實數(shù)有且只有一對實數(shù) , 使使1 12 2aee12, 12,e e a對于確定的一組基底對于確定的一組基底, ,平面內的任一向量會和平面內的任一向量會和一對實數(shù)對應一對實數(shù)對應平面向量基本定理平面向量基本定理平面向量的坐標表示平面向量的坐標表示oxy平面內的任一向量平面內的任一向量 ,有且只有一對實數(shù)有且只有一對實數(shù)x,y,使使 成立，成

2、立，aaxiy j則稱（則稱（x，y）是向量）是向量 的坐標。的坐標。aji 如圖如圖,在平面直角坐標系中在平面直角坐標系中,分別取與分別取與x軸、軸、y軸正方向軸正方向同向的兩個同向的兩個單位向量單位向量 作基底作基底.i j 、記作：記作：( , )ax yaaa(4)如圖以原點如圖以原點o為起點作為起點作 ，點，點a的位置的位置 被被 唯一確定唯一確定.aoa a oxy1212abxxyy且平面向量的坐標表示平面向量的坐標表示aaji(x, y)a此時點此時點a的坐標即為的坐標即為 的坐標的坐標a（5）區(qū)別點的坐標和向量坐標）區(qū)別點的坐標和向量坐標相等向量的坐標是相同的相等向量的坐標是

3、相同的,但起點、終點的坐標可以不同但起點、終點的坐標可以不同(2)0(1,0)0(0,1)0(0,0)iijjij （1）與）與 相等的向量的坐標均為（相等的向量的坐標均為（x, y)a注意：注意：（3）兩個向量）兩個向量 相等的充要條件：相等的充要條件：1122( ,),(,)ax ybxy(6)22axy 平面向量的坐標運算平面向量的坐標運算解：解：兩個向量的和（差）的坐標兩個向量的和（差）的坐標分別等于這兩向量相應坐分別等于這兩向量相應坐標的和（差）標的和（差）1.已知已知 ， ，求，求 ,11( , )ax y22( ,)bx yabab1122()()abx iy jx iy j12

4、12()()xx iyyj1212(,)abxxyy 1212(,)abxxyy同理可得：例例3已知已知 求求),(),(2211yxbyxa，ab ),(11yxa),(22yxbxyo解：解：aboboa 2211(,)( ,)xyx y),(1212yyxx 一個向量的坐標等于一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐表示此向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標標減去起點坐標 實數(shù)與向量的積的坐標等于實數(shù)與向量的積的坐標等于這個實數(shù)乘以原來向量的這個實數(shù)乘以原來向量的相應坐標相應坐標(,)xya3( , ),.ax yra、已知 =和求平面向量的坐標運算平面向量的坐標運算(2,1),(

5、 3,4),34abab abab 1.已知求的坐標。例（-1，5）平面向量坐標運算法則應用平面向量坐標運算法則應用（5，-3）（-6，19）思考思考1 1已知已知 abcdabcd的三個頂點的三個頂點a a、b b、c c的坐的坐標分別為標分別為( (2 2，1 1) )、( (1 1，3 3) )、( (3 3，4 4) )，求頂點求頂點d d的坐標。的坐標。12345xy5012341122345c ca ab bd d66思考思考1 1已知已知 abcdabcd的三個頂點的三個頂點a a、b b、c c的坐的坐標分別為標分別為( (2 2，1 1) )、( (1 1，3 3) )、(

6、(3 3，4 4) )，求頂點求頂點d d的坐標。的坐標。abcdxyo解：解：設點設點d的坐標為（的坐標為（x,y）( 1,3)( 2,1)(1,2)(3,4)( , )(3,4) abdcx yxyabdc 且且(1,2) (3,4)xy1324 xy解得解得 x=2,y=2所以頂點所以頂點d的坐標為（的坐標為（2，2）思考思考1 1已知已知 abcdabcd的三個頂點的三個頂點a a、b b、c c的坐的坐標分別為標分別為( (2 2，1 1) )、( (1 1，3 3) )、( (3 3，4 4) )，求頂點求頂點d d的坐標。的坐標。思考思考1 1已知已知 abcdabcd的三個頂點

7、的三個頂點a a、b b、c c的坐的坐標分別為標分別為( (2 2，1 1) )、( (1 1，3 3) )、( (3 3，4 4) )，求頂點求頂點d d的坐標。的坐標。abcdxyo另解：另解：由平行四邊形法則可得由平行四邊形法則可得( 2( 1),1 3)(3 ( 1),4 3)(3, 1) bdbabc 而而( 1,3)(3, 1)(2,2) odobbd 所以頂點所以頂點d的坐標為（的坐標為（2，2）請回顧本堂課的教學過程，你能說說你學了哪些知識嗎？1.平面向量坐標的加.減運算法則 =( x1 , y1) + (x2 , y2)= (x1+x2 , y1+y2)=( x1 , y1

8、) - (x2 , y2)= (x1- x2 , y1-y2)2.平面向量坐標實數(shù)與向量相乘的運算法則3.平面向量坐標若a(x1 , y1) , b(x2 , y2)則 =(x2 - x1 , y2 y1 ) aba b a b ( , )(,)ax yxy =( x1 , y1) + (x2 , y2)= (x1+x2 , y1+y2)a b a=(x1 ,y1)，b=(x2 ,y2)4、 其中其中 ,a0 有且只有一個實數(shù)有且只有一個實數(shù)，使得，使得ab=即：即：（x2 , y2) =(x1 , y1) =(x1 , y1)所以所以x2=x1y2=y1消去消去得：得： x1y2- x2 y

9、1=0a=(x1 ,y1)，b=(x2 ,y2)其中其中x1y2- x2 y1=0abab(0)a 平面向量平面向量共線共線的坐標表示的坐標表示向量共線的充要條件向量共線的充要條件的兩種表示形式的兩種表示形式:x1y2- x2 y1=0(2)a b(a0) a=(x1 ,y1)，b=(x2 ,y2)有且只有一個實數(shù)有且只有一個實數(shù),使得使得ab=(1)a b(a0) 例例6 6 已知已知 a = =（4 4，2 2）,b=,b=（6 6，y y） 且且a b b，求，求y y的值的值. .解：解： a b b 4y-2 4y-26=06=0 解得解得y=3y=3典型例題典型例題), 1(xa)

10、2 ,( xb例例7 已知點已知點a(1，3)， b(3，13)，c(6，28) 求證：求證：a、b、c三點共線三點共線.證明：證明：ab=(3-1,13-3)=(2,10)ab=(3-1,13-3)=(2,10) bc=(6-3,28-13)=(3,15) bc=(6-3,28-13)=(3,15) 2 225=525=51010 abbc abbc 又又 直線直線abab、直線、直線bcbc有公共點有公共點b b a a、b b、c c三點共線三點共線 典型例題典型例題例例8:設點設點p是線段是線段p1p2上的一點，上的一點，p1、p2的坐標分別是的坐標分別是 。（1）當點）當點p是線段是

11、線段p1p2的中點時，求點的中點時，求點p的坐標；的坐標；（2）當點）當點p是線段是線段p1p2的一個三等分點時，求點的一個三等分點時，求點p的坐標。的坐標。1122( ,),(,)x yxyxyop1p2p(1)(1)m1212121()2(,)22 opopopxxyy 解解: (1)所以，點所以，點p的坐標為的坐標為1212(,)22xxyyxyop1p2p(2)(2)xyop1p2p例例3:設點設點p是線段是線段p1p2上的一點，上的一點，p1、p2的坐標分別是的坐標分別是 。（1）當點）當點p是線段是線段p1p2的中點時，求點的中點時，求點p的坐標的坐標；（2）當點）當點p是線段是線

12、段p1p2的一個三等分點時，求點的一個三等分點時，求點p的坐標的坐標。1122( ,),(,)x yxyxyop1p2pxyop1p2p. 221153 . 22212121ppppppppppp或有兩種情況，即，的一個三等分點時，是線段，當點）如圖（xyop1p2p32,323132)(3131212121211212111121yyxxopopopopopppopppopoppppp，那么如果），的坐標是（即點32322121yyxxp 設設 ， ，p分分 所成的比為所成的比為 ，如何，如何求求p點的坐標呢？點的坐標呢？ ),(111yxp),(222yxp 21pp),(111yyxxpp ),(),(2211yyxxyyxx ),(222yyxxpp 21pppp )()(2121yyyyxxxx 112121yyyxxx 112121yyyxxx有向線段有向線段 的的定比分