平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及共線坐標(biāo)表示

1、2.3.3 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算2.3.4 平面向量共線的坐標(biāo)表示平面向量共線的坐標(biāo)表示復(fù)習(xí)引入復(fù)習(xí)引入 如果如果 是同一平面內(nèi)的是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量?jī)蓚€(gè)不共線向量,那么那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量 ,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) , 使使1 12 2aee12, 12,e e a對(duì)于確定的一組基底對(duì)于確定的一組基底, ,平面內(nèi)的任一向量會(huì)和平面內(nèi)的任一向量會(huì)和一對(duì)實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)一對(duì)實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)平面向量基本定理平面向量基本定理平面向量的坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)表示oxy平面內(nèi)的任一向量平面內(nèi)的任一向量 ,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y,使使 成立，成

2、立，aaxiy j則稱（則稱（x，y）是向量）是向量 的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。aji 如圖如圖,在平面直角坐標(biāo)系中在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與分別取與x軸、軸、y軸正方向軸正方向同向的兩個(gè)同向的兩個(gè)單位向量單位向量 作基底作基底.i j 、記作：記作：( , )ax yaaa(4)如圖以原點(diǎn)如圖以原點(diǎn)o為起點(diǎn)作為起點(diǎn)作 ，點(diǎn)，點(diǎn)a的位置的位置 被被 唯一確定唯一確定.aoa a oxy1212abxxyy且平面向量的坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)表示aaji(x, y)a此時(shí)點(diǎn)此時(shí)點(diǎn)a的坐標(biāo)即為的坐標(biāo)即為 的坐標(biāo)的坐標(biāo)a（5）區(qū)別點(diǎn)的坐標(biāo)和向量坐標(biāo)）區(qū)別點(diǎn)的坐標(biāo)和向量坐標(biāo)相等向量的坐標(biāo)是相同的相等向量的坐標(biāo)是

3、相同的,但起點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)可以不同但起點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)可以不同(2)0(1,0)0(0,1)0(0,0)iijjij （1）與）與 相等的向量的坐標(biāo)均為（相等的向量的坐標(biāo)均為（x, y)a注意：注意：（3）兩個(gè)向量）兩個(gè)向量 相等的充要條件：相等的充要條件：1122( ,),(,)ax ybxy(6)22axy 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算解：解：兩個(gè)向量的和（差）的坐標(biāo)兩個(gè)向量的和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩向量相應(yīng)坐分別等于這兩向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）標(biāo)的和（差）1.已知已知 ， ，求，求 ,11( , )ax y22( ,)bx yabab1122()()abx iy jx iy j12

4、12()()xx iyyj1212(,)abxxyy 1212(,)abxxyy同理可得：例例3已知已知 求求),(),(2211yxbyxa，ab ),(11yxa),(22yxbxyo解：解：aboboa 2211(,)( ,)xyx y),(1212yyxx 一個(gè)向量的坐標(biāo)等于一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo) 實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于這個(gè)實(shí)數(shù)乘以原來向量的這個(gè)實(shí)數(shù)乘以原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)相應(yīng)坐標(biāo)(,)xya3( , ),.ax yra、已知 =和求平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(2,1),(

5、 3,4),34abab abab 1.已知求的坐標(biāo)。例（-1，5）平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則應(yīng)用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則應(yīng)用（5，-3）（-6，19）思考思考1 1已知已知 abcdabcd的三個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)頂點(diǎn)a a、b b、c c的坐的坐標(biāo)分別為標(biāo)分別為( (2 2，1 1) )、( (1 1，3 3) )、( (3 3，4 4) )，求頂點(diǎn)求頂點(diǎn)d d的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。12345xy5012341122345c ca ab bd d66思考思考1 1已知已知 abcdabcd的三個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)頂點(diǎn)a a、b b、c c的坐的坐標(biāo)分別為標(biāo)分別為( (2 2，1 1) )、( (1 1，3 3) )、(

6、(3 3，4 4) )，求頂點(diǎn)求頂點(diǎn)d d的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。abcdxyo解：解：設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)d的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（x,y）( 1,3)( 2,1)(1,2)(3,4)( , )(3,4) abdcx yxyabdc 且且(1,2) (3,4)xy1324 xy解得解得 x=2,y=2所以頂點(diǎn)所以頂點(diǎn)d的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（2，2）思考思考1 1已知已知 abcdabcd的三個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)頂點(diǎn)a a、b b、c c的坐的坐標(biāo)分別為標(biāo)分別為( (2 2，1 1) )、( (1 1，3 3) )、( (3 3，4 4) )，求頂點(diǎn)求頂點(diǎn)d d的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。思考思考1 1已知已知 abcdabcd的三個(gè)頂點(diǎn)

7、的三個(gè)頂點(diǎn)a a、b b、c c的坐的坐標(biāo)分別為標(biāo)分別為( (2 2，1 1) )、( (1 1，3 3) )、( (3 3，4 4) )，求頂點(diǎn)求頂點(diǎn)d d的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。abcdxyo另解：另解：由平行四邊形法則可得由平行四邊形法則可得( 2( 1),1 3)(3 ( 1),4 3)(3, 1) bdbabc 而而( 1,3)(3, 1)(2,2) odobbd 所以頂點(diǎn)所以頂點(diǎn)d的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（2，2）請(qǐng)回顧本堂課的教學(xué)過程，你能說說你學(xué)了哪些知識(shí)嗎？1.平面向量坐標(biāo)的加.減運(yùn)算法則 =( x1 , y1) + (x2 , y2)= (x1+x2 , y1+y2)=( x1 , y1

8、) - (x2 , y2)= (x1- x2 , y1-y2)2.平面向量坐標(biāo)實(shí)數(shù)與向量相乘的運(yùn)算法則3.平面向量坐標(biāo)若a(x1 , y1) , b(x2 , y2)則 =(x2 - x1 , y2 y1 ) aba b a b ( , )(,)ax yxy =( x1 , y1) + (x2 , y2)= (x1+x2 , y1+y2)a b a=(x1 ,y1)，b=(x2 ,y2)4、 其中其中 ,a0 有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得，使得ab=即：即：（x2 , y2) =(x1 , y1) =(x1 , y1)所以所以x2=x1y2=y1消去消去得：得： x1y2- x2 y

9、1=0a=(x1 ,y1)，b=(x2 ,y2)其中其中x1y2- x2 y1=0abab(0)a 平面向量平面向量共線共線的坐標(biāo)表示的坐標(biāo)表示向量共線的充要條件向量共線的充要條件的兩種表示形式的兩種表示形式:x1y2- x2 y1=0(2)a b(a0) a=(x1 ,y1)，b=(x2 ,y2)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù),使得使得ab=(1)a b(a0) 例例6 6 已知已知 a = =（4 4，2 2）,b=,b=（6 6，y y） 且且a b b，求，求y y的值的值. .解：解： a b b 4y-2 4y-26=06=0 解得解得y=3y=3典型例題典型例題), 1(xa)

10、2 ,( xb例例7 已知點(diǎn)已知點(diǎn)a(1，3)， b(3，13)，c(6，28) 求證：求證：a、b、c三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線.證明：證明：ab=(3-1,13-3)=(2,10)ab=(3-1,13-3)=(2,10) bc=(6-3,28-13)=(3,15) bc=(6-3,28-13)=(3,15) 2 225=525=51010 abbc abbc 又又 直線直線abab、直線、直線bcbc有公共點(diǎn)有公共點(diǎn)b b a a、b b、c c三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線 典型例題典型例題例例8:設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)p是線段是線段p1p2上的一點(diǎn)，上的一點(diǎn)，p1、p2的坐標(biāo)分別是的坐標(biāo)分別是 。（1）當(dāng)點(diǎn)）當(dāng)點(diǎn)p是線段是

11、線段p1p2的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)p的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)）當(dāng)點(diǎn)p是線段是線段p1p2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)p的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。1122( ,),(,)x yxyxyop1p2p(1)(1)m1212121()2(,)22 opopopxxyy 解解: (1)所以，點(diǎn)所以，點(diǎn)p的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為1212(,)22xxyyxyop1p2p(2)(2)xyop1p2p例例3:設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)p是線段是線段p1p2上的一點(diǎn)，上的一點(diǎn)，p1、p2的坐標(biāo)分別是的坐標(biāo)分別是 。（1）當(dāng)點(diǎn)）當(dāng)點(diǎn)p是線段是線段p1p2的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)p的坐標(biāo)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)）當(dāng)點(diǎn)p是線段是線

12、段p1p2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)p的坐標(biāo)的坐標(biāo)。1122( ,),(,)x yxyxyop1p2pxyop1p2p. 221153 . 22212121ppppppppppp或有兩種情況，即，的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，是線段，當(dāng)點(diǎn)）如圖（xyop1p2p32,323132)(3131212121211212111121yyxxopopopopopppopppopoppppp，那么如果），的坐標(biāo)是（即點(diǎn)32322121yyxxp 設(shè)設(shè) ， ，p分分 所成的比為所成的比為 ，如何，如何求求p點(diǎn)的坐標(biāo)呢？點(diǎn)的坐標(biāo)呢？ ),(111yxp),(222yxp 21pp),(111yyxxpp ),(),(2211yyxxyyxx ),(222yyxxpp 21pppp )()(2121yyyyxxxx 112121yyyxxx 112121yyyxxx有向線段有向線段 的的定比分